山東省泰安市泰安實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE18-山東省泰安市泰安試驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）第Ⅰ卷（選擇題)一、單選題．(共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)1.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?（5，7），故選A.考點(diǎn)：本小題主要考查平面對(duì)量的基本運(yùn)算，屬簡(jiǎn)潔題.2.若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則復(fù)數(shù)的虛部為A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，故，故復(fù)數(shù)的虛部為，故選B．3.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是（）A.若,,則 B.若，,則C.若,,則 D.若,,則【答案】C【解析】【分析】在A中，與相交或平行；在B中，或；在C中，由線面垂直的判定定理得；在D中，與平行或．詳解】設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則：在A中，若，，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；在B中，若，，則或，故B錯(cuò)誤；在C中，若，，則由線面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，，則與平行或，故D錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的推斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，是中檔題．4.設(shè)R，向量且，則()A. B. C. D.10【答案】C【解析】試題分析:向量且，，，從而，因此，故選C．考點(diǎn)：1.向量的模；2.向量的平行與垂直．5.若線段AB的長(zhǎng)等于它在平面內(nèi)的射影長(zhǎng)的2倍，則AB所在直線與平面所成的角為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)圖形找到線面角,進(jìn)而在直角三角形中求解即可.【詳解】如圖，AC⊥α，AB∩α＝B，則BC是AB在平面α內(nèi)的射影，則BC＝AB，所以∠ABC＝60°，它是AB與平面α所成的角．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面角的求解,屬于基礎(chǔ)題.6.如圖，O是△ABC的重心，=，=，D是邊BC上一點(diǎn)，且=3，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由O為△ABC的重心，則點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，且，又由3，得：D是BC的四等分點(diǎn)，再利用平面對(duì)量的線性運(yùn)算可得則，故得解【詳解】如圖，延長(zhǎng)AO交BC于E，由已知O為△ABC的重心，則點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，且由3，得：D是BC的四等分點(diǎn)，則，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量的基本定理及重心的特征，屬中檔題．7.在△ABC中，sinA＝，則△ABC的形態(tài)為（）A.直角三角形 B.等邊三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形【答案】A【解析】【分析】等式變形為，再依據(jù)，，綻開變形，推斷三角形的形態(tài).【詳解】由條件可知,因?yàn)?，所以，所以，所以，整理為?即因?yàn)椋?，，所以是直角三角?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查推斷三角形的形態(tài)，重點(diǎn)考查三角函數(shù)恒等變換，屬于基礎(chǔ)題型，本題的重點(diǎn)是利用公式，變形，化簡(jiǎn)三角函數(shù).8.已知S，A，B，C是球O表面上的點(diǎn)，平面ABC，，，，則球O的體積等于A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)直線平面垂直的判定與性質(zhì)得出，為直角三角形，可得SC的中點(diǎn)O為球心，又可求得，求出球的半徑，即可得解．【詳解】解：平面ABC，，，，面SAB，面SAB，，，中AC的中點(diǎn)O，，為球O的直徑，又可求得，球O的半徑，體積，故選B．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了空間幾何體的性質(zhì)，空間思維實(shí)力的運(yùn)用，平面，立體問題的轉(zhuǎn)化，巧運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)．二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2，有選錯(cuò)的得0分)9.下列各式中，化簡(jiǎn)結(jié)果為的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】分析】依據(jù)向量加減法的法則，分別推斷每個(gè)選項(xiàng)，得到正確答案.【詳解】A.，故A正確；B.，故B正確；C.，故C正確；D.，故D不正確.故選：ABC【點(diǎn)睛】本題考查向量加法和減法，屬于簡(jiǎn)潔題型.10.下列命題正確的是（）A.復(fù)數(shù)z1，z2的模相等，則z1，z2是共軛復(fù)數(shù)B.z1，z2都是復(fù)數(shù)，若z1＋z2是虛數(shù)，則z1不是z2的共軛復(fù)數(shù)C.復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z＝(是z的共軛復(fù)數(shù))D.已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虛數(shù)單位)，它們對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(x，y∈R)，則x＋y＝1【答案】BC【解析】【分析】A.依據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，舉例推斷；B.依據(jù)是虛數(shù)，推斷兩個(gè)復(fù)數(shù)的虛部的關(guān)系，推斷選項(xiàng)；C.分別推斷充分和必要條件；D.利用向量，復(fù)數(shù)，坐標(biāo)的關(guān)系，利用向量相等求得的值.【詳解】A.模相等的復(fù)數(shù)不肯定是共軛復(fù)數(shù)，比如：，，這兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等，但不是共軛復(fù)數(shù)，故A不正確；B.設(shè)，，若是虛數(shù)，，兩個(gè)復(fù)數(shù)的虛部不互為相反數(shù)，所以不是的共軛復(fù)數(shù)，故B正確；C.設(shè)，，若，則，所以復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，若是實(shí)數(shù)，則則，所以C正確；D.由條件可知，，，若(x，y∈R)，則，所以，解得：，所以，故D不正確.故選：BC【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的定義和相關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題型，本題的關(guān)鍵是正確理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念.11.如圖所示是斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的三角形的直觀圖，D′為B′C′的中點(diǎn)，且A′D′∥y′軸，B′C′∥x′軸，那么在原平面圖形ABC中（）A.AB與AC相等B.AD的長(zhǎng)度大于AC的長(zhǎng)度C.AB的長(zhǎng)度大于AD的長(zhǎng)度D.BC長(zhǎng)度大于AD的長(zhǎng)度【答案】AC【解析】【分析】首先依據(jù)斜二測(cè)畫法的直觀圖還原幾何圖形，依據(jù)實(shí)際圖形的長(zhǎng)度關(guān)系推斷選項(xiàng).【詳解】依據(jù)斜二測(cè)畫法的直觀圖，還原幾何圖形，首先建立平面直角坐標(biāo)系，軸，并且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，并且作軸，即，且，連結(jié)，所以是等腰三角形，,的長(zhǎng)度大于的長(zhǎng)度，由圖可知，，由圖視察，，所以,即.故選：AC【點(diǎn)睛】本題考查由直觀圖還原實(shí)際圖形，推斷長(zhǎng)度關(guān)系，重點(diǎn)考查斜二測(cè)畫法的規(guī)則，屬于基礎(chǔ)題型.12.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,則下列四個(gè)命題正確的是()A.直線與平面所成的角等于B.點(diǎn)C到面的距離為C.兩條異面直線和所成的角為D.三棱柱外接球半徑為【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)線面角的定義及求法，點(diǎn)面距的定義，異面直線所成角的定義及求法，三棱柱的外接球的半徑求法，即可推斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】正方體的棱長(zhǎng)為1，對(duì)于A，直線與平面所成的角為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)槊妫c(diǎn)到面的距離為長(zhǎng)度的一半，即，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以異面直線和所成的角為，而為等邊三角形，故兩條異面直線和所成的角為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閮蓛纱怪?，所以三棱柱外接球也是正方體的外接球，故，故選項(xiàng)D正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面角的定義以及求法，點(diǎn)面距的定義以及求法，異面直線所成角的定義以及求法，三棱柱的外接球的半徑求法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分，將答案拍在一張圖片上進(jìn)行上傳)13.已知向量的夾角為，，，則在方向上的投影是________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)平面對(duì)量投影的定義可干脆求出結(jié)果.【詳解】由已知得，在方向上的投影為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量投影的定義，駕馭投影的計(jì)算公式是關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.14.若z為復(fù)數(shù)，且，則|z－1|的最小值是________．【答案】【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到復(fù)數(shù)到的距離與到的距離相等，即復(fù)數(shù)在虛軸上.再設(shè)出，計(jì)算的最小值即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿意，所以在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)到的距離與到的距離相等.即復(fù)數(shù)在虛軸上，設(shè)，.，所以的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)式形式及其幾何意義，同時(shí)考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力，屬于中檔題.15.一個(gè)圓柱的側(cè)面綻開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是__________．【答案】【解析】【分析】利用側(cè)面綻開圖是正方形得到圓柱的底面半徑與高的關(guān)系后可得圓柱的表面積與側(cè)面積之比.【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，圓柱的底面半徑為，則，，所以圓柱的全面積為，故全面積與側(cè)面積之比為，填.【點(diǎn)睛】圓柱的側(cè)面綻開圖是矩形，其一邊的長(zhǎng)為母線長(zhǎng)，另一邊的長(zhǎng)為底面圓的周長(zhǎng)，利用這個(gè)關(guān)系可以得到綻開前后不同的幾何量之間的關(guān)系.16.已知二面角α－l－β為60°，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在平面α，β內(nèi)，P到β的距離為，Q到α的距離為2，則P，Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為________，此時(shí)直線PQ與平面α所成的角為________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）如圖，分別作，，連結(jié)，，，連結(jié)，則，利用勾股定理得到，并驗(yàn)證最小值成立條件；（2）由（1）可知，干脆得到直線PQ與平面α所成的角.【詳解】（1）如圖，分別作，，連結(jié)，，，連結(jié)，則，因?yàn)?，所?當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，又此時(shí)成立，所以兩點(diǎn)之間距離的最小值是；（2）此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)，所以與平面所成的角為.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面之間的位置關(guān)系，以及空間中直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象實(shí)力，運(yùn)算實(shí)力，推理論證實(shí)力，屬于中檔題型.四、解答題．17.已知復(fù)數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z是：①實(shí)數(shù)；②純虛數(shù)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)．【答案】（Ⅰ）①m=1或m=2；②m=﹣（Ⅱ）【解析】【詳解】試題分析：（I）利用復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)、純虛數(shù)的充要條件即可得出．（II）當(dāng)m=0時(shí)，z=-2+2i，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出試題解析：（Ⅰ）①當(dāng)m2﹣3m+2=0時(shí)，即m=1或m=2時(shí)，復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)．②當(dāng)時(shí)，解得，即m=﹣時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)．（Ⅱ）當(dāng)m=0時(shí)，z=﹣2+2i，∴．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義18.設(shè)是不共線的非零向量，且（1）若，求λ，u的值．（2）若是相互垂直的單位向量，求與的夾角θ．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求，依據(jù)向量相等，建立方程求解；（2）依據(jù)公式求解.【詳解】（1）,，，；（2），，【點(diǎn)睛】本題考查向量相等，向量夾角，重點(diǎn)考查基本公式，計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.19.養(yǎng)路處建立圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于貯藏食鹽(供溶化高速馬路上的積雪之用)，已建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑為12m，高為4m．養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉(cāng)庫(kù)，以存放更多食鹽．現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑比原來大4m(高不變)；二是高度增加4m（1）分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的體積；（2）分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的表面積(不含底面積)；（3）哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些？【答案】（1），；（2），；（3）方案二.【解析】【分析】（1）依據(jù)底面半徑和高，依據(jù)體積公式，分別計(jì)算兩種方案的體積；（2）依據(jù)半徑和高求母線長(zhǎng)，依據(jù)公式求圓錐的表面積（不含底面積）；（3）比較兩種方案的體積和表面積，得出結(jié)論.【詳解】（1）第一種方案底面直徑為，高為，此時(shí)倉(cāng)庫(kù)的體積是其次種方案底面直徑為，高為，此時(shí)倉(cāng)庫(kù)的體積是；（2）第一種方案：底面半徑是，高，則母線長(zhǎng)，則倉(cāng)庫(kù)的表面積（不含底面積），其次種方案：底面半徑是，高，則母線長(zhǎng)，則倉(cāng)庫(kù)的表面積（不含底面積）；（3）由（1）（2）可知，其次種方案的體積大，可以貯藏更多的食鹽；，其次種方案的表面積（不含底面積）小，則用料少，成本低，所以選擇方案二更經(jīng)濟(jì).【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的實(shí)際應(yīng)用，重點(diǎn)考查圓錐的體積和表面積，計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.20.如圖在四棱錐中，底面是矩形，點(diǎn)、分別是棱和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，且平面平面，證明平面.【答案】(1)見證明；(2)見證明【解析】【分析】（1）可證，從而得到要求證的線面平行.（2）可證，再由及是棱的中點(diǎn)可得，從而得到平面.【詳解】（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)、分別是棱和的中點(diǎn)，所以，又在矩形中，，所以，又面，面，所以平面（2）證明：在矩形中，，又平面平面，平面平面，面，所以平面，又面，所以①因?yàn)榍沂堑闹悬c(diǎn)，所以，②由①②及面，面，，所以平面.【點(diǎn)睛】線面平行的證明的關(guān)鍵是在面中找到一條與已知直線平行的直線，找線的方法可利用三角形的中位線或平行公理.線面垂直的判定可由線線垂直得到，留意線線是相交的，而要求證的線線垂直又可以轉(zhuǎn)化為已知的線面垂直（有時(shí)它來自面面垂直）來考慮.21.如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，垂直于底面，.（1）求證；（2）求平面與平面所成二面角的大小；（3）設(shè)棱的中點(diǎn)為，求異面直線與所成角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，由線面垂直證線線垂直，再依據(jù)線面垂直的判定定理，證明線面垂直，再證線線垂直.（2）由（1）中線面垂直，可知所求二面角的平面角為，依據(jù)題意可求角度.（3）利用中位線將異面直線平移，則或其補(bǔ)角是異面直線與所成角，依據(jù)勾股定理，即可求解.【詳解】（1）∵底面是正方形，∴，∵底面，底面，∴，又，∴平面，∵平面，∴.（2）由（1）知，又，∴為所求二面角的平面角，在中，∵，∴.（3）取中點(diǎn)，連結(jié)，在，由中位線定理得，或其補(bǔ)角是異面直線與所成角，∵，，所以中，有，.【點(diǎn)睛】本題考查（1）垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化證明（2）二面角的求法（3）異面直線所成角，考查邏輯推理實(shí)力，考查計(jì)算實(shí)力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中等題型.22.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)題中等式，得到關(guān)于B的