2024年新高考二卷數(shù)學試卷附詳解

2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

新高考數(shù)學II卷

一、選擇題:本共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知z=—l—z?，貝1]目=（）

A.OB.lC.V2D.2

2.已知命題?：\/%€尺,卜+1]>1；命題4：球>0,三=乩則（）

A.p和q都是真命題B.r7和q都是真命題

c.p和f都是真命題D.M和r都是真命題

3.已知向量a力滿足慟=1,卜+=2,且S一2a）_1_6，則,|=（）

A.-B.叵C.BD.1

222

4.某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單

位:kg）并整理部分數(shù)據(jù)如下表所示：

畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

頻數(shù)612182410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過40%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg

5已知曲線C：%2+y2=i6（y>0）,從C上任意一點p向x軸作垂線段PP',p為垂足，則線段

PP的中點M的軌跡方程為（）

2222

A.2+?=l（y>0）+=>0）

164168

C.^-+^-=l(y>0)D.^-+^-=l(y>0)

164168

6.設函數(shù)/(x)=a(x+l)2—l,g(x)=cosx+2ax(a為常數(shù))，當xe(-l,l)時，曲線y=/(x)與

y=g(x)恰有一個交點，則a=()

A.-lB.-C.lD.2

2

52

7.已知正三棱臺ABC-A與G的體積為w，A3=6,4g=2,則AA與平面ABC所成角的正切

值為()

A.-B.lC.2D.3

2

8.設函數(shù)/(x)=(尤+a)ln(x+。)，若/(幻..0,則/的最小值為().

A.—B.—C.—D.1

842

二、多項選擇題.本題共3小題,每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分,部分選對的得3分,選錯或不選得0分.

7T

9.對于函數(shù)/'3=sin2龍和g(x)=sin(2x--)，下列正確的有()

AJQ)與g(x)有相同的零點

B"(九)與g(x)有相同的最大值

CJ(無)與g(x)有相同的最小正周期

D./(x)與g(x)的圖像有相同的對稱軸

10.拋物線C：/=4x的準線為次為C上動點，過P作圓,A:/+(y—4)2=l的一條切線，。為

切點，過點P作/的垂線,垂足為8.則()

AJ與-A相切

B.當三點共線時,|PQ|=V15

C.當|P3|=2時,PALP3

D.滿足IPA\=\PB\的點A有且僅有2個

11.設函數(shù)/(%)=2%3—3公2+1,則().

A.當a>1時,/(x)有三個零點

B.當a<0時,x=0是/(%)的極大值點

C.存在使得x=Z>為曲線,=/(無)的對稱軸

D.存在a使得點(1,/(1))為曲線y=于(x)的對稱中心

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.記S"為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，若%+4=7,3/+%=5,則品)=.

13.已知a為第一象限角，夕為第三象限角,tan。+tan尸=4,tanatan(3=0+1,則

sin(o+0)=.

14.在下圖的4x4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中,則共有種

選法,在所有符合上述要求的選法中,選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

四、解答題.本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

記AABC的內(nèi)角A,3,C的對邊分別為已知sinA+指cosA=2.

⑴求A

(2)若a=2,?sinC=csin2B，求AABC的周長

16.(15分)

已知函數(shù)/(x)=ex-ax-a3

⑴當a=1時，求曲線y=/(%)在點(L/⑴)處的切線方程.

⑵若于(x)有極小值,且極小值小于0,求a的取值范圍.

17.(15分)

如圖，平面四邊形ABCD中，48=8,。。=3,40=56,44。。=90°,/氏40=30°,點E,F滿足

2,—.1

AE=-AD,AF=-AB.^AAEF沿EF翻折至APEF，使得PC=473.

(1)證明:EFLPD

(2)求面PCD與面所成的二面角的正弦值.

B

18.(17分)

某投籃比賽分為兩個階段,每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下:第一階段由參賽隊

中一名隊員投籃3次，若3次都未投中,則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該

隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分,該隊的比賽成

績?yōu)榈诙A段的得分總和.

某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為P,乙每次投中的概率為4,各次投中與

否相互獨立

⑴若，=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.

⑵假設o<p<q.

(i)為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段的比賽？

(ii)為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應該由誰參加第一階段的比賽？

19.（17分）

已知雙曲線C--丁2=制加＞0）,點及5,4）在。上次為常數(shù),0＜左＜1.按照如下方式依次構造

點匕（〃=2,3,），過點Pnl作斜率為k的直線與c的左支交于點Qnl，令月為21T關于7軸的對

稱點，記A的坐標為（X””）.

（1）右—，求尤2,

⑵證明.數(shù)歹!!{/-笫}是公比為生的等比數(shù)列

⑶設S”為的面積，證明.對任意的正整數(shù)n,sn=s,1+1.

2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

新高考數(shù)學n卷答案解析

一、選擇題:本共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知z=—l—z?，貝1］目=()

A.OB.lC.V2D.2

【答案】：C

【解析】：|2|=斤1?+(-1)2=0.故選匚

2.已知命題,：\/%€尺,卜+1］>1；命題4：球>0,_￥3=%.則()

A.”和q都是真命題B.r2和q都是真命題

C.P和-都是真命題D.~1P和-都是真命題

【答案】：B

【解析】：P：VxeR,|x+l|>l假，則「為真;g：五>0,止=%真，則「為假.故選B.

3.已知向量a,Z?滿足,=1,卜+20=2,且(6一2a)_1_6,則W=()

A.-B.—C.—D.1

222

【答案】：B

［解析］：I〃1=LI〃+2Z?|=2.S-2〃)_L5=>//=0,|〃+2Z?|=2=>J+4a.Z?+4z/=4-

次=片=2,.皿|=走.故選已

22

4.某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單

位:kg)并整理部分數(shù)據(jù)如下表所示：

畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

頻數(shù)612182410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結論中正確的是()

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于UOOkg的稻田所占比例超過40%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg

【答案】：題目不清.

5已知曲線C：f+y2=i6(y>0),從C上任意一點p向x軸作垂線段尸尸',尸’為垂足，則線段

PP'的中點M的軌跡方程為()

2222

q+i>°)B.—+^=l(y>0)

168-

22

D.^+—=l(y>0)

168.

【答案】：A

【解析】:設>0),則P'(xo,O),P(x0,2y0)，代入爐+y2=i6=>%+4^=16(%>0).

22

易得,M的軌跡方程為土+2L=l(y>0).故選A.

164

6.設函數(shù)f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax(a為常數(shù))，當XG(-1,1)時，曲線y=/(無)與

丁=g(x)恰有一個交點，則。=()

A.-lB.-C.lD.2

2

【答案】：D

【解析1:令/(x)=g(x)，貝UCOSx=a(x2+1)-1.

令h(x)=cosx-a(x2+1)+1.因為h(x)為偶函數(shù)，且k(x)有唯一零點,所以有砥))=0,即a=2.

故選D.

52

7.已知正三棱臺A5C-A耳G的體積為可,A5=6,4月=2,則4A與平面A3C所成角的正切

值為()

A.-B.lC.2D.3

2

【答案】：B

【解析】：如圖

由題意知,SAA4cl=V3,5AAsc=9"易得AO=『,AO=273,AM='

V=1.(73+9A/3+773-PA/S)-^=y

所以=OOl=——

所以,tanNAAM=1.故選B.

8.設函數(shù)/(x)=(x+a)ln(無+b)，若/(%)..0,則片+〃的最小值為().

A.—B.—C.—D.1

842

【答案】：C

【解析】：/(x)=(x+a)ln(x+b)(x>—令g(尤)=X+。,以尤)=ln(x+Z?),則/(x)=g(x)-/i(x)..O.

又g(x)單調(diào)遞增,〃(X)單調(diào)遞增，所以只需［-a,+8)和口”,+8)滿足—a=l—d則

a2+Z?2=2Z?2-2Z?+1,其最小值為—，故選C.

二、多項選擇題.本題共3小題,每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分,部分選對的得3分,選錯或不選得0分.

7T

9.對于函數(shù)/'3=sin2龍和g(x)=sin(2x--)，下列正確的有()

Aj(x)與g(x)有相同的零點

B"(x)與g(x)有相同的最大值

C"(x)與g(x)有相同的最小正周期

D./(x)與g(x)的圖像有相同的對稱軸

【答案】：BC

【解析】：分析如下.

7T

/(x)=sin2xg(x)=sin(2x--)

零占，

y八、、鳥,0)#eZ(?+W0)?eZ

o2

_3兀k7i

對稱軸x=—+—,keZx------1-----,kG￡

4282

最小正周期71n

最大值11

故BC正確.

10.拋物線C：y2=4x的準線為為C上動點，過尸作圓0A:\+(y—4=1的一條切線，。為

切點，過點P作/的垂線,垂足為8.則()

AJ與-A相切

B.當P,A5三點共線時,|尸。|=行

C.當|P3|=2時，PAL尸3

D.滿足IPA|=|PB\的點A有且僅有2個

【答案】：ABD

【解析】：A.y2=4x,p=2,/.x=-L

又CM半徑為1,圓心為40,4),所以服-/=1=廠,所以.A與/相切,A正確

B.當P,A,B三點共線時，力=%=4.代入/=4x中，與=4,所以PA=4,所以

PQ=，玄―/=岳,B正確.

C.當I尸31=2時，%=1,力=2.此時，CT2),P(l,2),A(0,4),AP2=AB2=5,BP?=4.

因為Ap2+Ag2#3p2,所以9與A3不垂直,c錯誤.

D.因為PB=PF,所以上4=PB時,PA=P冗所以，點P在AF中垂線上.

f.15

又A(0,4),/(1,0),所以A方方程為x=4y—?聯(lián)立—>2'得丁—I6y+3。=0,A>。,所

一y2=4x

以AF與拋物線。有兩個交點.故點P有且僅有兩個,D正確.

11.設函數(shù)/。)=2/_3加+1,則().

A.當a>1時,/(%)有三個零點

B.當a<0時,x=0是/(%)的極大值點

C.存在使得x=Z>為曲線,=/(無)的對稱軸

D.存在a使得點(1,/(1))為曲線y=于(x)的對稱中心

【答案】：AD

【解析】：/(x)=2x3-3ax2+1,f\x)=6x2-6ax=6x(x-a).令/'(%)=0,玉=0,9=a.

A.當a>l時"(x)在(YO,0)/(0,a)又x——oo時"(x)f—oo,xf+oo時

"(x)f+8,/(0)=l>o,/(l)=3-3a<0,所以/(?)<0.

/(x)大致圖像如圖所示，所以有三個零點,A正確.

B.當a<0時,/(幻在(YQ,a),(a,0),(0,-K?)：x=0為極小值點,B錯誤

C.三次函數(shù)無對稱軸,C錯誤.

D.令/(0)+/(2)=2/(1),gp1+(2x23-3?x22+1)=2(3-3a)，所以a=2.

代入得/(%)=2d-6/+1，滿足/(x)+/(2—x)=2/(1),D正確.

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.記S"為等差數(shù)歹(]{4}的前幾項和，若4+%=7,3%+%=5,貝I%=..

【答案】：95.

【解析】:%+%=7,3。2+%=24+q+%=5，所以2a2--2,a2=-l.

又+4=2a2+3d=7，所以d=3，所以q=4一d=—4.

10x9

故Ho=10%+d=10x(-4)+45x3=95.

13.已知。為第一象限角涉為第三象限角，tana+tan/?=4,tanatan/?=0+1,則

sin(6Z+/?)=.

【答案】：-速.

3

【解析】：因為,tana+tan/?=4,tanatan/?=0+1,所以

tanQ+⑶=tan"tan尸=4=近

1-tancif-tanp1-(V2+1)

71

2k兀<a<——F2ki,keZ,

又分別為第一、三象限角，所以23所以

7i+2k兀<p<—7i+2k兀,左￡Z,

?+2左萬va+分<2萬+2左下，左wZ.所以為第三、四象限角.

又tan(a+0=-20<0,所以a+分為第四象限角

所以sin(a+/?)<0,cos(cr+/?)>0.

*+0=地@±包=_2友

又1cos(o+B)

sin2(6r+/?)+cos2(cif+/?)=1.

所以sin(a+/?)=-2f.

14.在下圖的4x4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種

選法，在所有符合上述要求的選法中,選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

【答案】：24;112.

【解析】：(1)在四列中分別取一格，分別取第一、二、三、四行中的某一格，即相當于把取出的

格子排序.故共有=24種選法.

(2)由于每列都要取一個數(shù)，不妨先將每列的數(shù)依次減10,20,30,40,則表格變?yōu)?/p>

1110

2232

3233

5444

再按行考慮，此表選出的四個數(shù)之和＜1+3+3+5=12.從而原表中選出的4個數(shù)之和最大值為

21+33+43+15=122.

四、解答題.本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

記AABC的內(nèi)角A瓦。的對邊分別為a,b,c,已知sinA+豆cosA=2.

⑴求A

(2)若a=2,V2Z?sinC=csin28,求AABC的周長

解.?sinA+A/3COSA=2,:.2sin(A+；)=2,sin(A+y)=1.

又AA￡(/e0x,7T)\,A.H--7-T——TC,A.=—TC

326

綜上,A=二.

o

/y

(2)y/2bsinC=csin2B,-JibsinC=2csinBcosB,\(2bc=2bccosB,cosB=

2

jr7

又Be(0,?),.?.3=—,C=?—A—3=—Tz■在AABC中,由正弦定理得

412

^_=上=^=2=4

sinAsinBsinC，

2

Z?=4sinB=2^2,c=4sinC=4sin^-=4sin(￡+?)=娓+叵

.'.ci+b+c—2.+3A/2+-\/6

綜上AABC的周長為2+30+C.

16.(15分)

已知函數(shù)f(x)=ex-ax-a3

⑴當a=1時,求曲線y=/(x)在點(L/⑴)處的切線方程.

⑵若/(九)有極小值,且極小值小于0,求。的取值范圍.

解.(1)當。=1時,/(x)=".

令x=l,得/⑴=e-2,/?)=e-L

故f(x)在工/⑴)處的切線方程為(e—l)(x—1)=y—(e—2),整理得(e—l)x—y—1=0

綜上,曲線/■⑴在(L/⑴)處的切線方程為(e-l)x-y-1=0.

(；2)因為/(%)=6"-狽-43,所以/(無)定義域為R,且/'(x)="-a,/'(x)在R上單調(diào)遞增.當

a<0時,VxeR,/'(x)>。恒成立"(x)無極小值.

當a>0時，令/'(x)=0得x=Ina.

所以，當無e(-8,Ina)時，于'(%)<0,f(x)單調(diào)遞減；當xe(歷a,+co)時，于'(%)>0,f(x)單調(diào)遞增

即/(無)在x=Ina處取極小值,極小值于(Ina)=a-alna-a3.

又f(x)的極小值小于0,所以a-a歷a-a，(oWa^+lna-l〉。.

令g(a)=?2+lna-l，則g(a)=2a+—>0,g(a)單調(diào)遞增

a

又8(1)=12+勿1一1=0,所以4+/也—1>0的解集為?！?1,+8).

綜上。的取值范圍為(L+8).

17.(15分)

如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8,8=3,AO=56,ZADC=90°,/BAD=30°，點瓦/滿足

AE=-A。,AF=-AB.將AAEF沿EF翻折至NPEF，使得PC=4退.

(1)證明:EF_LPD

(2)求面PCD與面PB尸所成的二面角的正弦值.

⑴連接EC,在AAEF中,由余弦定理知EF=2,則.

EF±PE,EF±ED，貝|EF±平面PED,EF±PD.

(2)ACDE中，CE=<DE。+CD?=J27+9=6.

APCE中，PE?+CE?=PC2,PE±EC.

易知EP,EF,ED兩兩垂直.以防,ED,EP所在直線分別為％軸,V軸,z軸建立空間直角坐標系.

則P(0,0,2省),F(2,0,0),3(4,2百,0),C(3,3^,0),D(0,3^,0)

PB=(2,0,-26),m=(2,26,0),可求得平面PBF的一個法向量為=(6,-1,1).

PD=(0,33-2百),CD=(-3,0,0)，可求得平面PCD的一個法向量小=(0,2,3).所以

]1,sindM.

,cos0=|附?附2|=

75.V13V6565

I勺IIn21

18.(17分)

某投籃比賽分為兩個階段,每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下:第一階段由參賽隊

中一名隊員投籃3次，若3次都未投中,則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該

隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分,該隊的比賽成

績?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為P,乙每次

投中的概率為q,各次投中與否相互獨立

⑴若，=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.

(2)假設0<p<q.

⑴為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段的比賽？

(ii)為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應該由誰參加第一階段的比賽？

解。)設甲、乙所在隊的比賽成績不少于5為事件A,則甲在第一階段至少投中一次，乙在第二

階段至少投中一次.P(A)=(1-OS)(1-OS)=0.686.

綜上，甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率為0.686.

(2)①設第一階段由甲比賽,且比賽成績?yōu)?5分為事件8,第一階段由乙比賽,且比賽成績?yōu)?5

分為事件C.

P(B)=[1-(1-p)3，尸(C)=口一(1—幻3

P(B)一P(C)=口一(1一。)3]/_口_(1_/3=3夕久。+彳_pq)g—。)

=3匈1-(1-p)(l-q)](q-/?)>0.

綜上，由甲參加第一階段的比賽比賽成績?yōu)?5分的概率最大.

(ii)設第一階段由甲參賽，所在隊最終成績?yōu)閄，第一階段由乙參賽，所在隊最終成績?yōu)镵

則X=0,5,10,15;7=0,5,10,15.

P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-療

P(X=5)=[1-(1-p)3]x3q(j)2

P(X=10)=口一(1-p)3]x3/(1-q)

P(X=15)=[1-(1-p)3比

E(X)=0xP(X=0)+5xP(X=5)+10xP(X=10)+15xP(X=15)

=15[l-(l-p)3%(l-4)2+30[l-(l-p)3]q2(i—q)+i5[i—(i—p)3]q3

=15仇1—(1一pF][(l-^)2+24(1—q)+/]

=15磯1-(1-p)3].

同理,E(F)=15p口一(l-q)3].

所以,E(X)_E(y)=15q[l_(l_p)3]_15Ml_(l_q)3]=152q(p+q_3Xp_q)>O

故為使甲乙所在隊成績數(shù)學期望最大，應由甲參加一階段比賽.

19.（17分）

已知雙曲線C*-_/=械相＞0）,點及5,4）在。上次為常數(shù),0＜左＜1.按照如下方式依次構造

點E5=2,3,），過點Pnl作斜率為k的直線與C的左支交于點Qnl，令匕為21T關于y軸的對

稱點,記匕的坐標為（乙,％）.

⑴右左=5,求x2,y2-

⑵證明.數(shù)歹U{%-yj是公比為生的等比數(shù)列

⑶設S”為M心出+2的面積，證明.對任意的正整數(shù)n，S,=s.M.

22

解.⑴因為《（5,4）在C上,所以加=52—4?=9.故雙曲線方程為C^-g=l

11022

由已知有/皿.y—4=耳（無一5）,即丁=5%+：，與—1=1聯(lián)立y（y—4）=0,所以0（—3,。）,

則鳥(3,0).所以,％2=3,%=。.

（2）點P"（4，5），匕+1（當+i，笫+1），Q（一%+1，笫+1）滿足

(%-%)(%+%)=9,%—%+1

且"+1一%=左（一七+]—%），左=

%+1+Z

、(％+1—y”+i)(x〃+i+%+J=9,

]_|_y丁+i/X,z,x(%+1_%+1)+----------------

所以【廣B?！?]-笫+1)