2024歷年高考數(shù)學(xué)試題匯編：二項(xiàng)式定理

歷年高考數(shù)學(xué)真題精編

17二項(xiàng)式定理

一、單選題

1.(2006?山東)已知［尤2-；］的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為-之，其中f=一1，

則展開式中常數(shù)項(xiàng)是()

A.-45iB.45iC.-45D.45

4432

2.（2022?北京）若（2x-1）=a4x+a3x+a2x+axx+a0,貝|%%:=（）

A.40B.41C.-40D.-41

2

3.（2020?全國）(x+乙)(x+y)5的展開式中濘y3的系數(shù)為()

X

A.5B.10

C.15D.20

(1+1)(1+幻6展開式中一的系數(shù)為

4.（2017?全國）

A.15B.20

C.30D.35

5.（2017?全國）。+，(2%?1)5的展開式中工3尸的系數(shù)為

A.-80B.-40C.40D.80

在，2一的二項(xiàng)展開式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是(

6.（2020?山東））

A.56B.-56C.70D.-70

(/+x+y)5的展開式中，％5y2的系數(shù)為

7.（2015?全國）

A.10B.20

C.30D.60

8.（2013?全國）設(shè)m為正整數(shù)，(x+y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+i展

開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b,若13a=7b,則11!=

A.5B.6C.7D.8

9.（2015?湖北）已知（l+x）”的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)

式系數(shù)和為（）.

A.212B.211C.210D.29

10.（2015?湖南）己知［石-云）的展開式中含1的項(xiàng)的系數(shù)為30,則。等于（

A.73B.-如C.6D.-6

二、填空題

11.（2023?天津）在，三一）1的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為.

12.（2007.四川）的展開式中的第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，那么正整數(shù)〃的值是

13.（2022?全國）［-+的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

14.（2022?浙江）已知多項(xiàng)式0+2）0-1）4=〃0+。1%+〃2工2+。3/+。4/+〃5/,貝U

15.（2020?全國）（d+2升的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（用數(shù)字作答）.

X

16.（2021?天津）在（2d+：］的展開式中，工6的系數(shù)是.

17.（2020?天津）在1+蛾］的展開式中，d的系數(shù)是.

18.（2019?浙江）在二項(xiàng)式（0+x）9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)

數(shù)是.

19.（2021.北京）在（丁一工）4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.

X

20.（2014?全國）（x-y）（x+y）8的展開式中無2y7的系數(shù)為.（用數(shù)字填寫答案）

參考答案:

1.D

【分析】由二項(xiàng)式展開項(xiàng)通項(xiàng)公式結(jié)合第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比列式可解出〃=10,即可

求出常數(shù)項(xiàng).

k5k

【詳解】由二項(xiàng)式展開項(xiàng)通項(xiàng)公式可得第％+1項(xiàng)為1h=（：%2"心（_爐一=（-療2r，

故第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為

㈠)2c33

——n---〃一50九一50=0,解得〃=10

(TV14—1)(〃—2)(〃—3)14

4x3x2xl

（〃wN*）,

由2"q=?！?8得故常數(shù)項(xiàng)為勾=（-i『c：0=45.

故選：D

2.B

【分析】利用賦值法可求佝+%+。4的值.

【詳解】令％=1,則。4+。3+。2+4+。0=1,

令X——1f貝!]g—q+/一q+%=（—3）—81,

M1+81-

RA〃4++。0==41,

故選：B.

3.C

【分析】求得（X+a展開式的通項(xiàng)公式為（reN且"5）,即可求得“+[]

與展開式的乘積為C"6-y或C"~y+2形式，對(duì)r分別賦值為3,1即可求得的

系數(shù)，問題得解.

【詳解】（x+療展開式的通項(xiàng)公式為小（居"且廠45）

所以（尤+二]的各項(xiàng)與（x+?展開式的通項(xiàng)的乘積可表示為：

22

xTr+l=xc^-y=G產(chǎn)y和匕大=上6一了=c，-y+2

XX

在工4+1=。梟6-？，中，令廠=3,可得：尤心=以尤3y3,該項(xiàng)中W的系數(shù)為I。，

22

在匕7；M=C#jy+2中，令r=i,可得：^=C^y\該項(xiàng)中三丁的系數(shù)為5

XX

所以x3;/的系數(shù)為10+5=15

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及

分析能力，屬于中檔題.

4.C

【分析】化簡已知代數(shù)式，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可以求出展開式中無2的系數(shù).

【詳解】因?yàn)椋?+4（1+尤）6=（1+無）6+《X（l+X）6,則（1+4展開式中含/的項(xiàng)為

XX

C^2=15X2；4X（1+以展開式中含/的項(xiàng)為2xC%4=15/,故/的系數(shù)為15+15=30,

XX

故選：C.

5.C

【詳解】（x+y）（2i-,丫=兀（2%-y）5+y（2%-y）s,

由（2x-y）5展開式的通項(xiàng)公式&]=G（2x）*（_y）"可得:

當(dāng)r=3時(shí)，x（2x-y）5展開式中x3j3的系數(shù)為C^x22x（-1）3=-40；

當(dāng)r=2時(shí)，y（2尤-才展開式中x3y3的系數(shù)為C；X23X（T）2=80,

貝1）丁〉3的系數(shù)為80—40=40.

故選C.

【名師點(diǎn)睛】（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：

第一步根據(jù)所給出的條件（特定項(xiàng)）和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時(shí)要注

意二項(xiàng)式系數(shù)中〃和廠的隱含條件，即〃，廠均為非負(fù)整數(shù)，且佗廠，如常數(shù)項(xiàng)指

數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等）；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).

（2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解.

6.A

【分析】本題可通過二項(xiàng)式系數(shù)的定義得出結(jié)果.

父x7x6

【詳解】第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為或=三—=56,

3x2

故選：A.

7.C

【詳解】在(d+x+y)5的5個(gè)因式中，2個(gè)取因式中/剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取X,其余因

式取y,故丁產(chǎn)的系數(shù)為c；C；C；=30,故選C.

考點(diǎn)：本題主要考查利用排列組合知識(shí)計(jì)算二項(xiàng)式展開式某一項(xiàng)的系數(shù).

【名師點(diǎn)睛】本題利用排列組合求多項(xiàng)展開式式某一項(xiàng)的系數(shù)，試題形式新穎，是中檔題,

求多項(xiàng)展開式式某■項(xiàng)的系數(shù)問題，先分析該項(xiàng)的構(gòu)成，結(jié)合所給多項(xiàng)式，分析如何得到該

項(xiàng)，再利用排列組知識(shí)求解.

8.B

【詳解】試題分析：由題意可知=:向=b,13a=76,，131=7g篇,即

]3(2”。！7(2/?+1)1

ml-ml+!

9m+1

「.13=7——「，解得m=6.故B正確.

考點(diǎn)：1二項(xiàng)式系數(shù)；2組合數(shù)的運(yùn)算.

9.D

【詳解】因?yàn)?1+%)〃的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以(7：=(/,解得

〃=10,

所以二項(xiàng)式(1+無產(chǎn)中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為」：-=>.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和.

10.D

[詳解]&]=，令r=l，

可得-5a=30解得〃=-6.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，屬于容易題.

11.60

【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出其通項(xiàng)公式%=(-1)，26「隈。*98*,令

18-4左=2確定上的值，然后計(jì)算/項(xiàng)的系數(shù)即可.

【詳解】展開式的通項(xiàng)公式小=建(2/廣［一口=(一琰X26YXC：X/"

令18—4左=2可得，k=4,

則Y項(xiàng)的系數(shù)為(-I)，x26TxC：=4x15=60.

故答案為：60.

12.8

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得第5項(xiàng)為4M=(-D'C'z,結(jié)合題意即可求解.

【詳解】由題意知，展開式的通項(xiàng)公式為

X

T=cxn-r(--y=(-iycx^2r,

r+lnXn

所以第5項(xiàng)為4=(-Dy/、

由第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，得〃-8=0,解得〃=8.

故答案為：8.

13.-28

【分析】11-1,+舊8可化為"+')8-!"+丁)8,結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】因?yàn)閥)8=(x+y)8-?(x+y)8,

所以“-(x+A'的展開式中含的項(xiàng)為CM、'_Zc^3/=-28x2/,

(l-￡|(x+M的展開式中小的系數(shù)為一28

故答案為：-28

14.8-2

【分析】第一空利用二項(xiàng)式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令1=0求出〃°,再令x=l

即可得出答案.

【詳解】含爐的項(xiàng)為:%.C^.x.(-1)3+2.Ctx2.(-1)2=-4x2+12x2=8x2,故%=8；

令％=0,即2=%,

令光=1,艮fl。=%+4+/+。3+。4+。5，

%+%+/+。4+05=-2,

故答案為：8；—2.

15.240

【分析】寫出］二項(xiàng)式展開通項(xiàng)，即可求得常數(shù)項(xiàng).

【詳解】p+jj

其二項(xiàng)式展開通項(xiàng)：

=￡"2-2，(2)'.尤一，

=q(2)r-x12-3r

當(dāng)12-3廠=。，解得，=4

卜+1J的展開式中常數(shù)項(xiàng)是：C：-24=C<16=15x16=240.

故答案為：240.

【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)，解題關(guān)鍵是掌握

(。+》)"的展開通項(xiàng)公式考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.160

【分析】求出二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)，令X的指數(shù)為6即可求出.

【詳解】,+1J的展開式的通項(xiàng)為J=C；(2x3p-QJ=2.產(chǎn)』，

令18—4廠=6,解得廠=3,

所以尤$的系數(shù)是23^=160.

故答案為：160.

17.10

【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，整理后令工的指數(shù)為2,即可求出.

【詳解】因?yàn)椴?機(jī);的展開式的通項(xiàng)公式為

4M=C05-(1)=C；-2r-xMr(r=0,l,2,3,4,5),令5—3r=2,解得r=l.

所以/的系數(shù)為C；x2=10.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛