2024年江西中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：特殊的四邊形 學(xué)案（含答案）

構(gòu)建2特殊的四邊形

命題分析

特殊的四邊形是初中階段重要的幾何內(nèi)容，包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形，它們既有性質(zhì)又有判

定，既可以和三角形全等、三角形相似結(jié)合，又可以與圓的有關(guān)知識(shí)相結(jié)合，內(nèi)容多,考查面，難度中等或偏難，是

江西中考必考內(nèi)容.

【知識(shí)清單】

知識(shí)點(diǎn)1特殊四邊形的定義及性質(zhì)

四條邊相等,對(duì)邊平

邊對(duì)邊①______對(duì)邊相等且平行四條邊②,對(duì)邊③—

行

四個(gè)角④四個(gè)角相等（都是直

角兩組對(duì)角分別相等兩組對(duì)角分別相等

（都是直角）角）

互相平分且垂直，相

性質(zhì)對(duì)角線(xiàn)互相平分互相平分且相等互相⑤______平分⑥_____

等,平分一組對(duì)角

既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，

既是中心對(duì)稱(chēng)圖形,也是軸

對(duì)稱(chēng)性中心對(duì)稱(chēng)圖形也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有2也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有4

對(duì)稱(chēng)圖形，有2條對(duì)稱(chēng)軸

條對(duì)稱(chēng)軸條對(duì)稱(chēng)軸

對(duì)稱(chēng)中心對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)

周長(zhǎng)C=2(a+b)C=2(a+b)C=4aC=4tz

面積S=ahS=abS=ah=-mnS=a2=-m2

22

知識(shí)點(diǎn)2特殊四邊形之間的關(guān)系

一組鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)互相垂直

有一例是直角則角線(xiàn)相等許

平行一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€(xiàn)相等且互相垂直

正方形

四邊形

對(duì)角線(xiàn)互相垂直或一組鄰邊相等對(duì)角線(xiàn)相等或有一個(gè)角是直角

1

知識(shí)點(diǎn)3中點(diǎn)四邊形

任意四邊形的中點(diǎn)四邊形為矩形的中點(diǎn)四邊形為菱形的中點(diǎn)四邊形為正方形的中點(diǎn)四邊形為

⑦_(dá)_____________⑨________⑩__________

對(duì)龜線(xiàn)相等的四邊形的對(duì)角線(xiàn)垂直的四邊形的對(duì)角線(xiàn)垂直且相等的四邊形的

中點(diǎn)四邊脖為?中點(diǎn)四邊形為?中點(diǎn)四邊形為?

溫馨提示：（1）判斷一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形形狀的關(guān)鍵是判斷其?；

（2）中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng)是原四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度之和；

（3）中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半.

【參考答案】①相等且平行②相等③平行④相等⑤平分且垂直

⑥一組對(duì)角⑦平行四邊形⑧菱形⑨矩形⑩正方形

?盤(pán)形矩形正方形兩條對(duì)角線(xiàn)的位置和數(shù)量關(guān)系

【自我診斷】

1.如圖，在平行四邊形A3C。中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AO=CO

B.AB=DC

C.ZDAB=ZBCD

D.AC=BD

2.如圖，在中對(duì)角線(xiàn)則的面積為（）

A.20B.24C.40D.48

3.如圖，在矩形中,對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)。，若4與=2,2493=60。,則47的長(zhǎng)度為（）

2

A.2B.3C.4D.6

4.下列說(shuō)法：

(1)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形；

(2)對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形；

(3)對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形是正方形;

(4)兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；

其中正確的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.小琦在復(fù)習(xí)幾種特殊四邊形的關(guān)系時(shí)整理如圖,(1)(2)(3)(4)處需要添加相應(yīng)的條件，則下列條件添加錯(cuò)誤的是

)

B

A.(l)處可填NA=90。

B.(2)處可填A(yù)D=AB

C.⑶處可填DC=CB

D.(4)處可填

【參考答案】LD2.B3.C4.B5.D

【真題精粹】

考向1平行四邊形的性質(zhì)與判定(6年2考)

1.(2021.江西)如圖，將。ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,CE交A。于點(diǎn)尸，若

ZB=S0°,ZACE=2ZECD,FC=a,FD=bM=ABCD的周長(zhǎng)為.

3

E

I)

B'

考向2矩形的性質(zhì)與判定（6年3考）

2.（2018.江西）如圖,在矩形ABCO中/。=3,將矩形ABC。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AEFG,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E

落在CD上，且DE=EF,則AB的長(zhǎng)為.

3.（分類(lèi)討論）（2020.江西）如圖，矩形紙片48CD的長(zhǎng)4。=8cm,寬48=4cm,折疊紙片,使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)交4。邊

于點(diǎn)E,點(diǎn)A落在點(diǎn)處，展平后得到折痕BE,同時(shí)得到線(xiàn)段R41EA；不再添加其他線(xiàn)段.當(dāng)圖中存在30。角時(shí)

的長(zhǎng)為cm.

4.（2019?江西）如圖，在四邊形ABC。中A8=CDAD=BC,對(duì)角線(xiàn)AC,B。相交于點(diǎn)。，且OA=OD求證:四邊形

ABCD是矩形.

考向3菱形的性質(zhì)與判定（必考，常在圓的綜合題中或幾何探究題中出現(xiàn)）

5.（2022.江西）如圖,四邊形A8C。為菱形，點(diǎn)E在A(yíng)C的延長(zhǎng)線(xiàn)上,N4co=NA8E.

4

⑴求證:△ABC^/XAEB.

(2)當(dāng)AB=6AC=4時(shí)，求AE的長(zhǎng).

6.（2023?江西）課本再現(xiàn)

思考

我們知道，菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直.反過(guò)來(lái),對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？

可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個(gè)判定定理；

對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.

定理證明

⑴為了證明該定理,小明同學(xué)畫(huà)出了圖形（如圖1）,并寫(xiě)出了“已知''和"求證”,請(qǐng)你完成證明過(guò)程.

已知:在-ABCD中,對(duì)角線(xiàn)5D_LAC,垂足為O.

求證:。48co是菱形.

知識(shí)應(yīng)用

（2）如圖2,在。A8CD中,對(duì)角線(xiàn)AC和8。相交于點(diǎn)OAD=5AC=S,BD=6.

①求證:。ABC。是菱形.

②延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E,連接OE交CD于點(diǎn)F,若NES/ACD,求歡的值.

2EF

5

考向4正方形的性質(zhì)與判定（6年3考）

7.（數(shù)學(xué)文化X2019?江西）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》有估算方法:“方五，邪（通“斜”）七.見(jiàn)方求斜，七之，五而

一.”譯文:如果正方形的邊長(zhǎng)為五，則它的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為七已知正方形的邊長(zhǎng)，求對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，則先將邊長(zhǎng)乘以七再除

以五.若正方形的邊長(zhǎng)為1,由勾股定理得對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為VZ依據(jù)《孫子算經(jīng)》的方法，則它的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)

是.

8.（分類(lèi)討論）（2018?江西）在正方形A8CD中48=6,連接4cBD,P是正方形邊上或?qū)蔷€(xiàn)上一點(diǎn)，若PD=2AP,則

AP的長(zhǎng)為_(kāi)_____________________

考向5中點(diǎn)四邊形

9.（拓展）如圖,在任意四邊形A8C。中,分別是A8,8C,CDQA上的點(diǎn)，對(duì)于四邊形EFGH的形狀，某班學(xué)

生在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中,通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，探索出如下結(jié)論,其中錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)EFG,H是各邊中點(diǎn)，且AC=B。時(shí),四邊形EFGH為菱形

B,當(dāng)E,F,G,H是各邊中點(diǎn)，且AC±BD時(shí),四邊形EFGH為矩形

C.當(dāng)E,F,G,77不是各邊中點(diǎn)時(shí),四邊形EFGH可以為平行四邊形

D.當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點(diǎn)時(shí),四邊形EFGH不可能為菱形

【參考答案】1.40+2。2.3V23.越或4舊或（8-4舊）4.略

3

5.⑴略（2）AE=96.（1）略（2）①略②2￡=￡

EF8

7.1.48.2或2舊或舊-加9.D

【核心突破】

考點(diǎn)1平行四邊形的性質(zhì)與判定

例題1如圖「A3CD的對(duì)角線(xiàn)AUBO相交于點(diǎn)O,BD=2AB八E〃BD,OE〃AB4O=4,S+“““=4舊，則3D的

四邊形A.DUL

長(zhǎng)為?

6

變式特訓(xùn)1.如圖，在。ABCD中，點(diǎn)E,F分別在A(yíng)DBC上,DE=BF=3,EF±AD,^EF=8,AE=9,貝UAB的長(zhǎng)為

)

AED

BF

A.6B.V73C.9D.10

2.如圖，在。ABCO中，點(diǎn)區(qū)尸分別在A(yíng)D,BC上，連接

(1)探究四邊形BEDF的形狀，并說(shuō)明理由.

(2)連接AC,分別交8EQ尸于點(diǎn)G,H,連接BD交AC于點(diǎn)。若也=Z1AE=4,求BC的長(zhǎng).

0G3

考點(diǎn)2矩形的性質(zhì)與判定

例題2如圖，在△ABC中，8=AC>AEJ_BGA。平分NFAC,CD_LA￡>于點(diǎn)D求證:四邊形AECD是矩形.

7

變式特訓(xùn)3.如圖,0為矩形A8CD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)8cm48=6cm,將△480向右平移得到△DCE,則△480

向右平移的過(guò)程中掃過(guò)的面積是(

A.12cm2B.24cm2

C.48cm2D.60cm2

4.如圖1,已知AD〃BO1B〃DC,NB=NC.

(1)求證:四邊形ABC。為矩形.

(2)如圖2M為4。的中點(diǎn)N為A8的中點(diǎn)，連接CN,CM、MN,BN=2.若NBNC=2NDCM,束B(niǎo)C的長(zhǎng).

考點(diǎn)3菱形的性質(zhì)與判定

例題3如圖,在矩形ABCO中AGB。相交于點(diǎn)。八E〃BD,BE〃AC.

(1)求證:四邊形4E80是菱形.

(2)若A8=03=2,求四邊形AEBO的面積.

8

變式特訓(xùn)5.如圖，菱形A8CD的對(duì)角線(xiàn)4c,8。相交于點(diǎn)O,OE_LAD,垂足為E4C=8,8D=6,則0E的長(zhǎng)

為.

6.如圖，在菱形A8CO中,E尸是A8的垂直平分線(xiàn),NFBA=50。,則NACB的度數(shù)為.

7.如圖，在等腰三角形ABC中/。平分頂角/8AC,交底邊BC于點(diǎn)H點(diǎn)E在A(yíng)。上,8E=BD求證:四邊形BDCE

是菱形.

考點(diǎn)4正方形的性質(zhì)與判定

例題4如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E.F分別在邊BC和CD上，且滿(mǎn)足4AEF是等邊三角形，連接AC交EF

于點(diǎn)G.

⑴求證:CE=CK

(2)若等邊的邊長(zhǎng)為2,求AC的長(zhǎng).

9

變式特訓(xùn)8.如圖，在正方形ABCD中48=4cm,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E,使BE=8cm,F是DE的中點(diǎn)，求線(xiàn)段8尸的長(zhǎng)

度.

9.（過(guò)程性學(xué)習(xí)）問(wèn)題解決:一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖LP是正方形ABC。內(nèi)一

點(diǎn)，尸4=1,PB=2,PC=3.你能求出NAP8的度數(shù)嗎？

小明通過(guò)觀(guān)察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一:將△BPC繞點(diǎn)、B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,得到△BPA,連接PP；求出N4PB的度數(shù).

思路二:將△APB繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,得到△CP3,連接PP；求出NAPB的度數(shù).

請(qǐng)參考小明的思路，任選一種寫(xiě)出完整的解答過(guò)程.

類(lèi)比探究:如圖2,若尸是正方形ABCO外一點(diǎn)，尸4=5『8=2,乙4尸3=45。,求尸（7的長(zhǎng).

方法提煉

矩形、菱形、正方形的解題策略：

1.判斷一個(gè)四邊形是矩形、菱形和正方形時(shí)，要注意題中給出的前提條件是平行四邊形還是任意四邊形.

2.已知矩形、菱形和正方形，根據(jù)它們的性質(zhì)，可以得到線(xiàn)段或角的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

3.在解決矩形、菱形和正方形的問(wèn)題時(shí)，注意對(duì)全等三角形的性質(zhì)和判定以及相似三角形的性質(zhì)和判定的使用.

4.注意根據(jù)矩形、菱形和正方形的對(duì)稱(chēng)性來(lái)解決問(wèn)題.

考點(diǎn)5中點(diǎn)四邊形

10

例題5如圖,四邊形ABC。四條邊上的中點(diǎn)分別為區(qū)尸,6,目,順次連接所,尸6,6",/汨,得到四邊形￡7?7（即

四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）.

（2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)滿(mǎn)足的條件時(shí),四邊形EFGH是矩形.

（3）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)滿(mǎn)足的條件時(shí),四邊形EFGH是菱形.

⑷當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)滿(mǎn)足的條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形，證明你的結(jié)論.

變式特訓(xùn)10.（2023?山西）閱讀與思考

下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別是邊A8,8C,CD,D4的中點(diǎn)，順次連接E,F,G,H,得到的

四邊形EFGH是平行四邊形.

我查閱了許多資料,得知這個(gè)平行四邊形EFGH被稱(chēng)為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里尼翁（Varingnon,Pierre1654-

1722）是法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切.

①當(dāng)原四邊形的對(duì)角線(xiàn)滿(mǎn)足一定關(guān)系時(shí),瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與原四邊形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度也有一定關(guān)系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下：

證明:如圖2,連接AC,分別交EH,FG于點(diǎn)P,Q,過(guò)點(diǎn)D作DM±AC于點(diǎn)/交HG于點(diǎn)N.

,：H,G分別為AD,CD的中點(diǎn),，HG〃4C,HG=%1C,（依據(jù)1）

2

：心=9?：DG=GC,：.DN=NM=、DM.