平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示學(xué)案-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

基礎(chǔ)課28平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示

考點考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)

平面向量的基本定2023年全國乙卷(文)T6數(shù)學(xué)運算

理解★★☆

理2023年天津卷T14直觀想象

2023年新高考I卷T3

平面向量的坐標(biāo)運數(shù)學(xué)運算

掌握2022年新高考H卷T4★★☆

算直觀想象

2022年全國乙卷(文)T3

從近幾年高考的情況來看，平面向量的基本定理及其坐

標(biāo)表示一般以選擇題的形式出現(xiàn)，試題較為簡單，平面

向量的坐標(biāo)表示常與數(shù)量積運算交匯考查，在立體幾何

命題分析預(yù)測

中求空間角與距離時常常用到，在解析幾何中也會用到

共線向量的坐標(biāo)運算.預(yù)計2025年高考命題情況變化不

大

【基礎(chǔ)知識?診斷】

i/M夯實基礎(chǔ)

一、平面向量的基本定理

條件ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量

對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)Xi,入2,使a=①

結(jié)論

-iei+-2e2

若ei,e2②不共線,我們把｛ehe?｝叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的

基底

一個基底

二、平面向量的正交分解

把一個向量分解為兩個③互相垂直的向量,叫作把向量作正交分解.

三、平面向量的坐標(biāo)運算

1.向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模

設(shè)a=(xi,yi),b=(x2,yi),則a+b=@(X1+X2,yi+y2),a-b=⑤(x「X2,yi-y2),

Xa=@(Xxi,Xyi),|a|=?_Jxf+y-_.

2.向量坐標(biāo)的求法

(1)若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即向量的坐標(biāo).

22

⑵設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),則屈二⑧(一二Xi,丫2二Yi),|AB|=?_J(X2_XI)+(y2_y^_.

四、平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,yi),b=(X2,y2),則向量a,b(b#))共線的充要條件是⑩xiy2-X2yi=0.

?知識拓展?

1.作為基底的兩個向量必須是不共線的.

2.若a與b不共線，J=LXa+|ib=O,貝|X=|i=O.

3.若G是^ABC的重心，貝UGX+G5+慶=0,AG=|(AB+?.

—診斷自測1—

題組?走出誤區(qū)

L判一判.(對的打“力,錯的打“X”)

(1)平面內(nèi)的任意兩個向量都可以作為一個基底.()

(2)在△ABC中，向量屈，肥的夾角為NABC.()

(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()

(4)設(shè)a,b是平面內(nèi)的一個基底，若實數(shù)入1,|ii,九2,國滿足A4a+|iib=A<2a+|i2b,

則九1=九2,國=口2.()

答案(1)X(2)x(3)X(4)7

2.(易錯題)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且而?=3玄,CN=2CB)則際的

坐標(biāo)為.

【易錯點】求向量的坐標(biāo)易出錯，向量的坐標(biāo)應(yīng)該是由終點坐標(biāo)減去始點坐標(biāo).

答案(9,-18)

解析因為A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),

所以供=(1,8),CB=(6,3),

所以51=3瓦=(3,24),CN=2CB=(12,6).

設(shè)M(x,y),則而l=(x+3,y+4),

所以Ct；二工所以I；二;'0,

所以點M的坐標(biāo)為(0,20),

同理可得點N的坐標(biāo)為(9,2),所以際=(9,-18).

題組?走進(jìn)教材

3.(人教A版必修②P31?例7改編)已知a=(4,2),b=(6,y),且2a〃b,則y=.

答案3

解析因為2azzb,所以8y-4x6=0,解得y=3.

4.(人教A版必修②P27-T1改編)在^ABC中，已知AD為BC邊上的中線，E為

AD的中點，則聞=().

A.|AB-iACB.iAB-|ACC.|BACIA

44444A44D.4AB+4|C

答案A

解析由題意矢口屁二;嬴+;前=;嵌+；阮歐+/直+衣尸|鼠+；衣，貝I

EB=(AB-；AC.故選A.

題組?走向高考

5.(2023?新高考I卷改編)已知向量a=(l,l),b=(l,-l),若(a+九b)〃Oia+b)MJ().

A.A.+p.=lB.X+p,=-lC.Xp.=lD.Xp.=-l

答案C

解析由題易得a+易=(1,l)+k(l,-l)=(l+k,1-X),p,a+b=n，(l,1)+(1,-l)=(g+l,

li-l),由(a+九b)〃(口a+b),得(1+九)"D=0i+l)(12),整理得聞=1.故選C.

【考點聚焦?突破】

考片一平面向量的基本定理及其應(yīng)用

典例1如圖，在△ABC中，D為BC的中點，EB=2AE,AF=2FC，EF與AD交

于點G,若試=法方，則X=().

A

,F

R

14

--

29

答案B

解析由題意，A6=g（Ag+衣）=|屈+|研,

因為E,G,F三點共線，所以可設(shè)由+（1+）研=運，|1GR,又運=九區(qū)5,所

以ptAE+(l-|i)AF=yAE+yAF,，故選B.

。方法總結(jié)口口口

1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則

進(jìn)行向量的加、減與數(shù)乘運算.一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法

則列出向量間的關(guān)系.

2用平面向量基本定理解決問題的一般思路：先選擇一個基底，并運用該基底將

條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.注意同一個向量在不

同基底下的表示是不同的，但在每個基底下的表示都是唯一的.

iAA-針對訓(xùn)練~A—

（2024.益陽統(tǒng)考）如圖，在△ABC中，D為AB上一點，AD=2DB,P為CD上一

點，CP=3PD-J=LAP=mAC+nAB（m,n￡R）,則m+n的值為（）.

1113

ABcD

4-3-2-4-

答案D

解析因為麗=3而，AD=2DB,所以0=1CD,AD=|AB,則

AP=AC+CP=AC+|CD=AC+|AD-1AC=^AC+|AD=^AC+|X|AB=JAC+|AB,

XAP=mAC+nAB(m,nGR),所以m=；,n=|,故m+n=|.故選D.

考V二平面向量的坐標(biāo)運算

1.(2024.南山?？?已知點A(-l,2),B(3,1),向量敲=(2,1),則向量就=().

A.(-2,2)0)

C.(3,-1)D.(4,-1)

答案A

解析設(shè)C(x,y),則衣=(x,y)-(-l,2)=(2,1),故仁；［j解得=所以C(l,

3)，

又因為B(3,1),所以肥=(1,3)-(3,1)=(-2,2).故選A.

2.在正方形ABCD中，M是BC的中點.若衣=t云而+p§g(t,p?R),則t+p的值

為().

A：B.|C.vD.2

33o

答案B

解析在正方形ABCD中，以A為坐標(biāo)原點，直線AB,AD分別為x,y軸建

立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

令|AB|=2,則B(2,0),C(2,2),D(0,2),M(2,1),則友=(2,2),AM=(2,1),

BD=(-2,2),

因AC=tAM+pBD=(2t-2p,t+2p),

所以解得f一：，則t+p=(故選B.

(I十Zp—乙、(p=§n

3.(2024.自貢模擬)已知元=(1,2),AC=(2,t),|BC|=L則實數(shù)t=.

答案2

解析由已知得肥=XS-X5=(1,t-2),

V|BC|=1,

.\l+(t-2)2=l,解得t=2.

。方法總結(jié)口口口

向量坐標(biāo)運算問題的一般思路

向量問向量的坐標(biāo)運算，使得向量的線性運算都可以用坐標(biāo)來進(jìn)行，實現(xiàn)了

題向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，通過建立平面直角坐

坐標(biāo)化標(biāo)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運算

巧借方

向量的坐標(biāo)運算主要是利用向量的加法、減法、數(shù)乘運算法則進(jìn)行，

程

若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過程中

思想求

要注意方程思想的運用

坐標(biāo)

考其三平面向量共線的坐標(biāo)表示

角度1利用向量共線求參數(shù)

典例2已知向量a=(l,2),b=(0,1),若ka-b與a+2b共線,則實數(shù)k的值為(

A.-lB.-idD.2

答案B

解析Va=(l,2),b=(0,1),

/.ka-b=k(l,2)-(0,l)=(k,2k-1),a+2b=(l,2)+2(0,1)=(1,4),

又ka-b與a+2b共線，4k=2k-1,解得k=-1故選B.

角度2利用向量共線求向量或點的坐標(biāo)

典例31(1)(多選題)(2024.威海模擬)下列向量與a=(l,3)共線的是().

A.b=(l,2)B.c=(-1,3)

C.d=(-1,-3)D.e=(2,6)

⑵已知A(-2,4),B(-3,-4),且麗1=3嬴，則點M的坐標(biāo)為.

答案(DCD(2)(0,20)

解析⑴由lx2-3xl/),則b=(l,2)與a=(l,3)不共線,A不是；

由lx3-3x(-l)和，則c=(-l,3)與a=(l,3)不共線，B不是；

而d=(-l,-3)=-a,e=(2,6)=2a,則d,e都與a共線,C,D是.故選CD.

(2)由題意得直=(-2+3,4+4)=(l,8),則麗1=3嬴=(3,24).

設(shè)M(x,y),則前=(x+3,y+4)=(3,24),即群之之解得聯(lián)二為故點M的坐

標(biāo)為(0,20).

。方法總結(jié)口口口

1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：

⑴若a=(xi,yi),b=(X2,yi),則a〃b的充要條件是xiy2-X2yi=0.

(2)若a//b(b#0),則a=Xb.

2.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的

坐標(biāo)