人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊5.3.1.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(二)【同步教學(xué)課件】

第五章第二課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(二)1.結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求進一步理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和其單調(diào)性的關(guān)系，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)與直觀想象素養(yǎng).課堂互動分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課堂互動題型剖析1題型一根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)B解析

易得f′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex.A(1)已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應(yīng)注意參數(shù)的取值是f′(x)不恒等于0的參數(shù)的范圍，然后檢驗參數(shù)取“＝”時是否滿足題意.(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為f′(x)＝0在(a，b)上有解(需驗證解的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號).思維升華【訓(xùn)練1】

若函數(shù)f(x)＝x3－12x在區(qū)間(k－1，k＋1)上不單調(diào)，則實數(shù)k的取值范圍是(

)A.(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞) B.(－3，－1)∪(1，3)C.(－2，2) D.不存在這樣的實數(shù)k解析

由題意得，f′(x)＝3x2－12＝0在區(qū)間(k－1，k＋1)上至少有一個實數(shù)根.又f′(x)＝3x2－12＝0的根為±2，且f′(x)在x＝2或－2兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而區(qū)間(k－1，k＋1)的區(qū)間長度為2，故只有2或－2在區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)，∴k－1<2<k＋1或k－1<－2<k＋1，∴1<k<3或－3<k<－1，故選B.B【例2】

(1)已知f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且對于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，則(

)題型二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用A.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)B.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0)D.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)<f(0)A解析

構(gòu)造函數(shù)h(x)＝exf(x)，則h′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex(f(x)＋f′(x))>0，所以函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增，故h(－2021)<h(0)，即e－2021f(－2021)<e0f(0)，即e－2021f(－2021)<f(0).同理，h(2021)>h(0)，即e2021f(2021)>f(0)，故選A.(2)已知f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f(x)<－xf′(x)，則不等式f(x＋1)>(x－1)·f(x2－1)的解集是(

)A.(0，1) B.(2，＋∞)C.(1，2) D.(1，＋∞)B解析

構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，則g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函數(shù)y＝xf(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.又因為f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，即g(x＋1)>g(x2－1)，所以x＋1<x2－1，解得x>2或x<－1(舍).所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).故選B.【遷移1】

把例2(1)中的條件“f(x)＋f′(x)>0”換為“f′(x)>f(x)”，比較e2021f(－2021)和f(0)的大小.【遷移2】

把例2(2)中的條件“f(x)<－xf′(x)”換為“f(x)<xf′(x)”，解不等式(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1).∵f(x)<xf′(x)，∴g′(x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，即不等式(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1)的解集為(0，2).求解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形狀，因此熟悉以下結(jié)論可以達到事半功倍的效果.①對于f′(x)>g′(x)，構(gòu)造h(x)＝f(x)－g(x)，一般地，遇到f′(x)>a(a≠0)，即導(dǎo)函數(shù)大于某個非零常數(shù)a(若a＝0，則無需構(gòu)造)，則可構(gòu)造h(x)＝f(x)－ax.②對于f′(x)＋g′(x)>0，構(gòu)造h(x)＝f(x)＋g(x).③對于f′(x)＋f(x)>0，構(gòu)造h(x)＝exf(x).思維升華CD1.1種思想——轉(zhuǎn)化思想

已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍問題往往將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗參數(shù)取“＝”時是否滿足題意.

恒成立問題的重要思路： (1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max； (2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.2.1種方法——構(gòu)造函數(shù)法

對于解有關(guān)函數(shù)的不等式問題，如果直接通過函數(shù)的表達式得不到結(jié)果，或者直接求解比較煩瑣，可以通過研究函數(shù)的單調(diào)性，利用構(gòu)造函數(shù)法解不等式，將函數(shù)值大小轉(zhuǎn)化為自變量問題.

課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升2

一、選擇題A2.已知函數(shù)f(x)，g(x)對任意實數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且當(dāng)x>0時，有f′(x)>0，g′(x)>0，則當(dāng)x<0時，有(

) A.f′(x)>0，g′(x)>0 B.f′(x)>0，g′(x)<0 C.f′(x)<0，g′(x)>0 D.f′(x)<0，g′(x)<0B解析

由已知，得f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù).∵當(dāng)x>0時，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上均單調(diào)遞增，∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x<0時，f′(x)>0，g′(x)<0.B4.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(

)B5.(多選題)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f′(x)<f(x)，對任意的x∈R恒成立，則(

) A.f(ln2)<2f(0) B.f(2)<e2f(0) C.f(ln2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0)AB所以f(ln2)<2f(0)，f(2)<e2f(0).(a，a＋1)解析

f′(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝[x－(a＋1)](x－a)，令f′(x)<0，得a<x<a＋1，故f(x)的減區(qū)間是(a，a＋1).8.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2)＝0，若當(dāng)x>0時，xf′(x)＋f(x)>0，則不等式xf(x)>0的解集是________________________.(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析

由題意設(shè)g(x)＝xf(x)，則g′(x)＝xf′(x)＋f(x).∵當(dāng)x>0時，xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴g(x)是定義在R上的偶函數(shù).又f(2)＝0，則g(2)＝2f(2)＝0，∴不等式xf(x)>0等價于g(x)>0＝g(2)，∴|x|>2，解得x<－2或x>2，∴不等式xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞).三、解答題9.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2.(1)若a＝1，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；解

∵a＝1，∴f(x)＝x3＋x2－x＋2，∴f′(x)＝3x2＋2x－1，∴f′(1)＝4.又f(1)＝3，∴切點坐標(biāo)為(1，3)，∴所求切線方程為y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.(2)若a>0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解

f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)，10.試討論函數(shù)f(x)＝kx－lnx的單調(diào)區(qū)間.解

函數(shù)f(x)＝kx－lnx的定義域為(0，＋∞)，當(dāng)k≤0時，kx－1<0，∴f′(x)<0，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)k≤0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)，無單調(diào)遞增區(qū)間；C(2)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是____________________________.(－1，0)∪(0，＋∞)13.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；解f′(x)＝3x2＋2ax＋1，Δ＝4(a2－3).令f′(x)＞0，即3x2＋2ax＋