1.1.2空間向量的數(shù)量積運算課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

1.1空間向量及其運算

共線向量

共面向量定義向量所在直線互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推論運用判斷三點共線，或兩直線平行判斷四點共線，或直線平行于平面共面回顧引入：平面向量

如果兩個向量不共線,則向量與向量共面的充要條件是存在實數(shù)對使類比平面向量推廣得到空間向量1.空間向量的定義及相關(guān)概念2.空間向量的線性運算及運算律（加法、減法、數(shù)乘）3.【共線向量定理】4.【共面向量定理】

對任意兩個空間向量,的充要條件是存在實數(shù)λ使復習鞏固1.了解空間向量夾角的概念．2.掌握空間向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)和運算律．3.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義4.應(yīng)用空間向量數(shù)量積解決簡單空間幾何體中的垂直、夾角和距離問題．學習目標:

與

反向OAB

與

同向OAB記作與

垂直，OAB1.平面向量的夾角：復習回顧范圍：________定義：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作

＝a，

＝b，則_______＝θ叫做向量a與b的夾角．記作:________∠AOB0≤θ≤π<a,b>特殊情況：OAB關(guān)鍵是起點相同！平面向量及其線性運算空間向量及其線性運算推廣平面向量的數(shù)量積運算空間向量的數(shù)量積運算思考探究

由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，因此，兩個空間向量的夾角和數(shù)量積就可以像平面向量那樣來定義.1.空間向量的夾角新課講授定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，

＝b，則_______叫做向量a與b的夾角．記作:________∠AOB<a,b>關(guān)鍵是起點相同！OBA通常規(guī)定：________0≤<a,b>≤π兩個向量的夾角唯一確定，且<a,b>=<b,a>

如果<a,b>=90°，那么a,b互相垂直，記作a⊥b==a⊥b〈a，b〉[0，π]〈a，b〉＝0〈a，b〉＝π知識點1：向量的夾角C0°90°對向量數(shù)量積的理解:(1)一定要掌握兩向量之間夾角;(2)a·b是數(shù)量而不是向量，a·b的正負由cos〈a,b〉確定;(3)a·b與數(shù)的乘法不同．書寫時應(yīng)寫成a·b，而不能寫成ab.規(guī)定:零向量與任意向量的數(shù)量積都等于零.知識點2：空間向量的數(shù)量積

設(shè)a，b是兩個非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則（1）a·e＝e·a＝___________.（2）a⊥b?__________.（垂直的判斷）（3）當a，b同向時，a·b＝_________；當a，b反向時，a·b＝___________.（4）a·a＝_______或|a|＝_____.（求向量長）（5）|a·b|≤_________.（6）cosθ＝_____.（求角度）|a|cosθ

a·b＝0

|a||b|

－|a||b|

|a|2

|a||b|

【數(shù)量積的性質(zhì)】以上結(jié)論說明,可以從向量角度有效地分析有關(guān)垂直、長度、角度等問題.空間兩個向量的數(shù)量積性質(zhì)兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)若a，b是非零向量,則a⊥b?a·b＝0.(4)|a·b|≤|a|·|b|.證垂直求夾角求范圍求長度投影向量圖①

向量a向向量b投影得到與向量b共線的向量c，c＝____________，向量____稱為向量a在向量b上的投影向量．圖②

向量a向直線l投影圖③

向量a向平面β投影向量______稱為向量a在平面β上的投影向量．c4.空間向量數(shù)量積的運算律思考2

空間向量的數(shù)量積運算在形式上是兩個向量相乘，由此自然會想到將其與數(shù)的乘法類比.向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法有什么共性與差異？共性差異×××D'C'B'DABCA'題型講解例2、

如圖，在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求：分析：要證明一條直線與一個平面垂直,由直線與平面垂直的定義可知,就是要證明這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直.例、（試用向量方法證明直線與平面垂直的判定定理）已知直線m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線,如果l⊥m，l⊥n,求證：l⊥α.mng共面向量定理如何把已知的幾何元素轉(zhuǎn)化為向量表示？一些未知的幾何元素能否用已知向量表示？結(jié)論和已經(jīng)表示出來的向量或其運算有何聯(lián)系？能否通過向量的運算獲得結(jié)論？如何將向量運算的結(jié)果“翻譯”為幾何結(jié)論？知識點4：空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

證明垂直幾何問題向量問題用已知向量表示所證向量用公式和運算律證明幾何問題【用向量解決幾何問題的常用方法（三部曲）】選擇恰當?shù)南蛄勘硎締栴}中的幾何元素通過向量運算得出幾何元素的關(guān)系把運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義例.證明:(三垂線定理)在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.方法歸納:應(yīng)用數(shù)量積公式求空間向量數(shù)量積的關(guān)鍵點.1.先將兩個向量表示為幾個已知向量a，b，c(基底)的線性形式;2.再應(yīng)用數(shù)量積公式求空間向量數(shù)量積.知識點3：空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

求距離和夾角方法歸納:C方法歸納:課本P101.判斷:(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量．(

)(2)零向量與任意向量的數(shù)量積等于零．(

)(3)若a·b＝a·c，則b＝c.(

)√√×C概念理解:A4例1證明兩直線的垂直可以轉(zhuǎn)化為證明這兩直線的向量垂直,①將兩個方向向量表示為幾個已知向量a，b，c的線性形式;②利用兩個方向向量的數(shù)量積為零,說明