等差數(shù)列的性質(zhì) 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

4.2.1(3)等差數(shù)列的性質(zhì)1.由等差數(shù)列構(gòu)造新等差數(shù)列2.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的常用性質(zhì).3.能運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算.學(xué)習(xí)目標(biāo)例1

已知{an}為等差數(shù)列，（1）a1＝8，d＝2，求an.（2）a5＝8，d＝2，求an.（3）a55＝20，a60＝30，求d.一、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形與推廣一、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形與推廣設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則(1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)；(2)an＝am＋

(m，n∈N*)；(3)d＝

(m，n∈N*，且m≠n).(n－m)d例1

已知{an}為等差數(shù)列，（1）a1＝8，d＝2，求an.（2）a5＝8，d＝2，求an.（3）a55＝20，a60＝30，求d.反思感悟靈活利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以減少運(yùn)算.變式

已知{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.例2

等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-2，分別求a1+a7，a2+a6，a3+a5的值.a1=3×1-2=1，a7=3×7-2=19a2=3×2-2=4，a6=3×6-2=16a3=3×3-2=7，a5=3×5-2=13a1+a7=a2+a6=a3+a5=20二、等差數(shù)列多項(xiàng)間的性質(zhì)a1+a7=a2+a6=a3+a5=20追問1

三組和相等的項(xiàng)，有什么共同特點(diǎn)？下標(biāo)和相等的兩項(xiàng)，他們的和也相等.追問2

你能證明“當(dāng)p+q=s+t時(shí)，ap+aq=as+at”這個(gè)結(jié)論嗎？①特別地，當(dāng)p+q＝2s時(shí)，ap＋aq＝2as.②對(duì)有窮等差數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的____，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….追問3等差數(shù)列{an}中，能否有a2+a4=a6？2a4=a2+a6×√下標(biāo)和相等的兩項(xiàng)，他們的和也相等.需滿足兩個(gè)相等：下標(biāo)和相等，項(xiàng)數(shù)相等跟蹤訓(xùn)練

已知{an}為等差數(shù)列，（1）若a1－a9＋a17＝7，則a3＋a15等于A.7 B.14 C.21 D.7(n－1)√（2）在等差數(shù)列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.解∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40， ∴a10＝10.綜合運(yùn)用

在等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＋a7＋a9＋a13＝100，a6－a2＝12，則an的通項(xiàng)公式為____________例3

若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為8，在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，若要使之構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}，你能求出它的公差嗎？

追問1

若插入k個(gè)數(shù)，你能求出它的公差嗎？三、由等差數(shù)列構(gòu)造新等差數(shù)列例3

若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為8，在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，若要使之構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}，你能求出它的公差嗎？

追問2

b29是不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)？有其他方法得出此結(jié)論嗎？an

中的各項(xiàng)，依次是bn

中的第1,5,9,13，……項(xiàng)這些下標(biāo)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列{cn}

，則cn=1+4（n-1）=4n-3.令4n-3=29，解得n=8.所以b29是數(shù)列{an}中的第8項(xiàng).若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有數(shù)列結(jié)論{c＋an}公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an＋an＋k}公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù)，k∈N*){pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))三、由等差數(shù)列構(gòu)造新等差數(shù)列跟蹤訓(xùn)練1

有兩個(gè)等差數(shù)列2,6,10，…，190和2,8,14，…，200，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為A.15 B.16 C.17 D.18√解析易知，第一個(gè)數(shù)列的公差為4，第二個(gè)數(shù)列的公差為6，故新數(shù)列的公差為具有相同首項(xiàng)的兩個(gè)數(shù)列公差的最小公倍數(shù)，其公差為12，首項(xiàng)為2，所以通項(xiàng)公式為an＝12n－10，而n∈N*，所以n的最大值為16.變式已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}：5,8,11，…，與{bn}：3,7,11，…，它們的公共項(xiàng)組成數(shù)列{cn}，則數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn＝_______；若數(shù)列{an}和{bn}的項(xiàng)數(shù)均為100，則{cn}的項(xiàng)數(shù)是____.12n－125本課小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了：等差數(shù)列的性質(zhì)：(1)兩項(xiàng)之間的關(guān)系：(2)多項(xiàng)之間的關(guān)系：等差數(shù)列下標(biāo)和相等兩（n）項(xiàng)和相等;

(3)由等差數(shù)列構(gòu)造新等差數(shù)列要求下標(biāo)和相