專(zhuān)題09-數(shù)列-五年(2017-2021)高考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)詳解(新高考地區(qū)專(zhuān)用)(解析版)

專(zhuān)題09數(shù)列【2021年】一、【2021·浙江高考】已知數(shù)列滿(mǎn)足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到，從而得解．【詳解】因?yàn)椋?，．由，即根?jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即．故選：A．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過(guò)倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過(guò)局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項(xiàng)相消法求得．【2021·浙江高考】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求出，對(duì)任意恒成立，分類(lèi)討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，由①，得②，①②得，又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時(shí)不等式恒成立；時(shí)，，得；時(shí)，，得；所以.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時(shí)，要注意變量的正負(fù)零討論，如（2）中恒成立，要對(duì)討論，還要注意時(shí)，分離參數(shù)不等式要變號(hào).二、【2021·江蘇高考】某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折.規(guī)格為20dm×12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對(duì)折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm【答案】5

240(3-【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列求和方法【解析】解：易知有20dm×34dm,10dm×32dm,5dm×3dm,52dm×6dm，54dm×12dm，共5種規(guī)格；

由題可知，對(duì)折k次共有k+1種規(guī)格，且面積為2402k，故Sk=240(k+1)2k，

則k=1n【2021·江蘇高考】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，an+1=an+1,n為奇數(shù),an+2,n為偶數(shù)【答案】解：(1)因?yàn)閍1=1，an+1=an+1,n為奇數(shù)an+2,n為偶數(shù)，

所以a2=a1+1=2，a3=a2+2=4，a4=a3+1=5，

所以b1=a2=2，b2=a4=5，

bn-bn-1=a2n-a【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列求和方法【解析】(1)由數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可求得a2，a4，從而可得求得b1，b2，由bn-bn-1=3可得數(shù)列【2020年】一、【2020·北京高考】在等差數(shù)列{an}中，a1=-9，a5=-1.記TA.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列的函數(shù)特征【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，是中檔題．

由已知求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析可知數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，且前5項(xiàng)為負(fù)值，自第6項(xiàng)開(kāi)始為正值，進(jìn)一步分析得答案．

【解答】

解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為d，由a1=-9，a5=-1，得d=a5-a15-1=-1-(-9)4=2，

∴an=-9+2(n-1)=2n-11．

由an=2n-11=0，得n=112，而n∈N*，

可知數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，且前5項(xiàng)為負(fù)值，自第6項(xiàng)開(kāi)始為正值．

可知T1=-9<0，T2=63>0，T3=-315<0，T4=945>0為最大項(xiàng)，

自T5起均小于0，且逐漸減小．

∴數(shù)列{Tn}有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)．

故選：B．

【2020·北京高考】已知{an}是無(wú)窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：

①對(duì)于{an}中任意兩項(xiàng)ai，aj【答案】解：(Ⅰ)不滿(mǎn)足，理由：a32a2=92?N*，不存在一項(xiàng)am使得a32a2=am．

(Ⅱ)數(shù)列{an}同時(shí)滿(mǎn)足性質(zhì)①和性質(zhì)②，

理由：對(duì)于任意的i和j，滿(mǎn)足ai2aj=22i-j-1，因?yàn)閕∈N*，j∈N*且i>j，所以2i-j∈N*，則必存在m=2i-j，此時(shí)，2m-1∈{ai}且滿(mǎn)足ai2aj=22i-j-1=am，性質(zhì)①成立，

對(duì)于任意的n，欲滿(mǎn)足an=2n-1=ak2al=22k-l-1，滿(mǎn)足n=2k-l即可，因?yàn)閗∈N*，l∈N*，且k>l，

所以2k-l可表示所有正整數(shù)，所以必有一組k，l使n=2k-l，即滿(mǎn)足an=ak2al，性質(zhì)②成立．

(Ⅲ)首先，先證明數(shù)列恒正或恒負(fù)，

反證法：假設(shè)這個(gè)遞增數(shù)列先負(fù)后正，

那么必有一項(xiàng)al絕對(duì)值最小或者有al與al+1同時(shí)取得絕對(duì)值最小，

如僅有一項(xiàng)al絕對(duì)值最小，此時(shí)必有一項(xiàng)am=al2aj，此時(shí)|am|<|al|

與前提矛盾，【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列的函數(shù)特征【解析】(Ⅰ)由a32a2=92?N*，即可知道不滿(mǎn)足性質(zhì)．

(Ⅱ)對(duì)于任意的i和j，滿(mǎn)足ai2aj=22i-j-1，?2i-j∈N*，必存在m=2i-j，可得滿(mǎn)足性質(zhì)①；對(duì)于任意的n，欲滿(mǎn)足an=2n-1=ak2al=22A.2a4=a2+【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的遞推關(guān)系、等差數(shù)列的求和【解析】【分析】

本題考查數(shù)列遞推式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，是中檔題．

由已知利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷A與C；由數(shù)列遞推式分別求得b2,b4,b6,b8，分析B，D成立時(shí)是否滿(mǎn)足公差d≠0，a1d?1判斷B與D．

【解答】

解：在等差數(shù)列{an}中，an=a1+n-1d，

Sn+2=(n+2)a1+(n+2)(n+1)2d，S2n=2na1+2n(2n-1)2d，

b1=S2=2a1+d，bn+1=Sn+2-S2n=(2-n)a1-3n2-5n-22d．

∴b2=a1+2【答案】10【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的函數(shù)特征【解析】【分析】

本題考查數(shù)列求和，數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．

求出數(shù)列的前3項(xiàng)，然后求解即可．

【解答】

解：數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=n(n+1)2，

可得a1=1，a【2020·浙江高考】已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿(mǎn)足a1=b1=c1=1，cn+1=an+1-an，【答案】(1)解：由題意，b2=q，b3=q2，

∵b1+b2=6b3，∴1+q=6q2，

整理，得6q2-q-1=0，

解得q=-13(舍去)，或q=12，

∴cn+1=bnbn+2?cn=1bn+2bn?cn=1q2?cn=1(12)2?cn=4?【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列求和方法、裂項(xiàng)相消法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式，等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算，以及和式不等式的證明問(wèn)題．考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，整體思想，方程思想，累加法求通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和，放縮法證明不等式，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于綜合題．

(1)先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將b2=q，b3=q2代入b1+b2=6b3，計(jì)算出公比q的值，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義化簡(jiǎn)cn+1=bnbn+2?cn可得cn+1=4cn，則可發(fā)現(xiàn)數(shù)列三、【2020·天津高考】已知{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，a1=b1=1，a5=5(a4-a3)，b5=4(b4-b3).

(Ⅰ)求{an}和{【答案】解：(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，

由a1=1，a5=5(a4-a3)，則1+4d=5d，可得d=1，

∴an=1+n-1=n，

∵b1=1，b5=4(b4-b3)，

∴q4=4(q3-q2)，

解得q=2，

∴bn=2n-1；

證明(Ⅱ)由(Ⅰ)可得Sn=n(n+1)2，

∴SnSn+2=1【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和方法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】本題考查了等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查了不等式的大小比較，考查了數(shù)列求和的方法，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，分類(lèi)與整合能力，屬于難題．

(Ⅰ)分別根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出；

(Ⅱ)根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和作差法即可比較大小，則可證明；

(Ⅲ)分類(lèi)討論，再根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求出前2n項(xiàng)和．

四、【2020·上海高考】計(jì)算：limn【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】極限思想【解析】【分析】

本題考查數(shù)列的極限的求法，注意運(yùn)用極限的運(yùn)算性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題．

由極限的運(yùn)算法則和重要數(shù)列的極限公式，可得所求值．【解答】

解：，故答案為：13【2020·上海高考】已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，且a1【答案】27【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的求和【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，注意分析a1與d的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可由a1+a10=a【解答】

解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1+所以a1故答案為：278【2020·上海高考】已知數(shù)列{an}為有限數(shù)列，滿(mǎn)足|a1(1)判斷數(shù)列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性質(zhì)P，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若a1=1，公比為q的等比數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為10，具有性質(zhì)P，求(3)若{an}是1，2，3，…，m的一個(gè)排列(m≥4)，{bn}符合bk=ak+1(k=1,【答案】解：(1)對(duì)于數(shù)列3，2，5，1，有|2-3|=1，|5-3|=2，|1-3|=2，滿(mǎn)足題意，該數(shù)列滿(mǎn)足性質(zhì)P；對(duì)于第二個(gè)數(shù)列4、3、2、5、1，|3-4|=1，|2-4|=2，|5-4|=1.不滿(mǎn)足題意，該數(shù)列不滿(mǎn)足性質(zhì)P．(2)由題意：|a1-a1qn|≥|a1兩邊平方可得：q2整理可得：(q-1)qn-1所以等價(jià)于n=2時(shí)，q所以，(q+2)(q-1)≥0，所以q當(dāng)0<q≤1時(shí)，得qn-1(q所以(q+2)(q-1)≤0當(dāng)-1≤q<0當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得qn-1(q+1)-2≤0，恒成立，當(dāng)故當(dāng)-1≤當(dāng)q<-1時(shí)，得qn-1[當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，qn-1(q所以(q+2)(q-1)≥0，所以q綜上．(3)設(shè)a1=p，p∈{3,4，…，因?yàn)閍1=p，a2可以取p-1，或p+1如果a2或a3取了p-3或p+3，將使{an①a1=p，a2=p②a1=p，a2=p③a1=p，a2=p④a1=p，a2=p對(duì)于①，b1=p-1，|b2對(duì)于②，b1=p-1，|b2-b對(duì)于③，b1=p+1，|b2-b1對(duì)于④b1=p+1，|b2所以P∈{3,4，…，m-3，m-2}，均不能同時(shí)使{當(dāng)p=1時(shí)，有數(shù)列{an}:1，2，3，…，當(dāng)p=m時(shí)，有數(shù)列{an}:m，m-1，當(dāng)p=2時(shí)，有數(shù)列{an}:2，1，3，…，當(dāng)p=m-1時(shí)，有數(shù)列{an}:m-1，m，m-所以滿(mǎn)足題意的數(shù)列{a【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，不等式以及不等關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力是難度大的題目，必須由高的數(shù)學(xué)思維邏輯修養(yǎng)才能解答．(1)根據(jù)定義，驗(yàn)證兩個(gè)數(shù)列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性質(zhì)P即可；(2)假設(shè)公比q的等比數(shù)列滿(mǎn)足性質(zhì)P，可得：|a1-a1qn|≥|a1-(3)設(shè)a1=p，分p=1時(shí)，當(dāng)p=m時(shí)，當(dāng)p=2時(shí)，當(dāng)p=m-1時(shí)，以及P∈{3,4，【2019年】一、【2019·北京高考（理）】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=-3，S5=-10，則a5=

【答案】0-【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的函數(shù)特征、等差數(shù)列的求和【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值的求法，屬于基礎(chǔ)題．

利用等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式列出方程組，能求出a1=-4，d=1，由此能求出a5的Sn的最小值．

【解答】

解：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2=-3，S5=-10，

∴a1+d=-35a1+5×4【2019·北京高考（理）】已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、…、第im項(xiàng)(i1<i2<…<im)，若ai1<ai2<…<aim，則稱(chēng)新數(shù)列ai1，ai2，…，aim為{an}的長(zhǎng)度為m的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列{an}的任意一項(xiàng)都是{an}的長(zhǎng)度為1的遞增子列．

(Ⅰ)寫(xiě)出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列；

(Ⅱ)已知數(shù)列【答案】解：

(I)1，3，5，6．

(II)證明：

考慮長(zhǎng)度為q的遞增子列的前p項(xiàng)可以組成長(zhǎng)度為p的一個(gè)遞增子列，

∴an0>該數(shù)列的第p項(xiàng)≥am0，

∴am0<an0．

(III)解：考慮2s-1與2s這一組數(shù)在數(shù)列中的位置．

若{an}中有2s，2s在2s-1之后，

則必然存在長(zhǎng)度為s+1，且末項(xiàng)為2s的遞增子列，

這與長(zhǎng)度為s的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2s-1矛盾，

∴2s必在2s-1之前．

繼續(xù)考慮末項(xiàng)為2s+1的長(zhǎng)度為s+1的遞增子列．

∵對(duì)于數(shù)列2n-1，2n，由于2n在2n-1之前，

∴研究遞增子列時(shí)，不可同時(shí)取2n與2n-1，

∵對(duì)于1至2s的所有整數(shù)，研究長(zhǎng)度為s+1的遞增子列時(shí)，第1項(xiàng)是1與2二選1，第2項(xiàng)是3與4二【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的遞推關(guān)系【解析】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了邏輯推理能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，屬于難題．

(I)1，3，5，6.答案不唯一．

(II)考慮長(zhǎng)度為q的遞增子列的前p項(xiàng)可以組成長(zhǎng)度為p的一個(gè)遞增子列，可得an0>該數(shù)列的第p項(xiàng)≥am0，即可證明結(jié)論．

(III)考慮2s-1與2s這一組數(shù)在數(shù)列中的位置，可得2s必在2s-1之前．繼續(xù)考慮末項(xiàng)為2s+1的長(zhǎng)度為s+1的遞增子列，即可得出：遞增子列最多有2s個(gè)．由題意，這s組數(shù)列對(duì)全部存在于原數(shù)列中，并且全在2s+1之前．可得2，1，4，3，6，5，……，是唯一構(gòu)造．

【2019·北京高考（文）】設(shè){an}是等差數(shù)列，a【答案】解：(Ⅰ)∵{an}是等差數(shù)列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．

∴(a3+8)2=(a2+10)(a4+6)，

∴(-2+2d)2=d(-4+3【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的求和【解析】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的最小值的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

(Ⅰ)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程求出d=2，由此能求出{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)由a1=-10，d二、【2019·浙江高考】設(shè)a，b∈R，數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=aA.當(dāng)b=12時(shí)，a10>10 B.當(dāng)b=14時(shí)，a10【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的函數(shù)特征【解析】【分析】

本題考查命題真假的判斷，考查數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查推理論證能力，屬于難題．逐項(xiàng)檢驗(yàn)，可得結(jié)果．

【解答】

解：對(duì)于B，令λ2-λ+14=0，得λ=12，

取a1=12，∴a2=12,…,an=12<10，

∴當(dāng)b=14時(shí)，a10<10，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，令λ2-λ-2=0，得λ=2或λ=-1，

取a1=2，∴a2=2，…，an=2<10，

∴當(dāng)b=-2時(shí)，a10<10，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，令λ2-λ-4=0【2019·浙江高考】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3=4，a4=S3.數(shù)列{bn}滿(mǎn)足：對(duì)每個(gè)n∈N*，Sn+bn，Sn+1+b【答案】解：(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，

由題意得a1+2d=4a1+3d=3a1+3d，

解得a1=0，d=2，

∴an=2n-2，n∈N*．

∴Sn=n2-n，n∈N*，

∵數(shù)列{bn}滿(mǎn)足：對(duì)每個(gè)n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比數(shù)列．【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明、數(shù)列的綜合應(yīng)用【解析】(Ⅰ)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出a1=0，d=2，從而an=2n-2，n∈N*.Sn=n2-n，n三、【2019·天津高考（理）】設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列．已知a1=4，b1=6，b2=2a2-2，b3=2a3+4．

(Ⅰ)求{an}和【答案】解：(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，

依題意有：

6q=6+2d6q2=12+4d，解得d=3q=2，

∴an=4+(n-1)×3=3n+1，

bn【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、分組轉(zhuǎn)化求和法、等比數(shù)列的求和、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的求和【解析】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運(yùn)算求解能力．

(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，能求出{an}和{bn}的通項(xiàng)公式．【2019·天津高考（文）】設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于0.已知a1=b1=3，b2=a3，b3=4a2+3．【答案】解：

(Ⅰ){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，q>0，

由題意可得：3q=3+2d①，3q2=15+4d②，

解得：d=3，q=3，

故an=3+3(n-1)=3n，【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法、分組轉(zhuǎn)化求和法、數(shù)列的遞推關(guān)系【解析】本題主要考查等差等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求解，考查數(shù)列求和的基本方法分組和錯(cuò)位相減法的運(yùn)算求解能力，屬中檔題．

(Ⅰ)由等差等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求解{an}和{bn}的通項(xiàng)公式即可．

(Ⅱ)利用分組求和和錯(cuò)位相減法得答案．

四、【2019·上海高考】已知數(shù)列{an}，a1=3，前n項(xiàng)和為Sn．

(1)若{an【答案】解：(1)設(shè)公差為d

∵a4=a1+3d=3+3d=15，∴d=4，

∴Sn=3n+n(n-1)2×4=2n2+n；

(2)設(shè)公比為q，

當(dāng)q=1時(shí)，Sn=3n【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的求和、極限思想、等差數(shù)列的求和【解析】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了極限的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

(1)求出公差即可求Sn；

(2)當(dāng)q=1時(shí)，顯然不合題意，由limn→+∞Sn存在得-1<q<1【2019·上海高考】已知等差數(shù)列{an}的公差d∈(0,π]，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=sin(an)，集合S={x|x=bn,n∈N*}．【答案】解：(1)∵等差數(shù)列{an}的公差d∈(0,π]，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=sin(an)，集合S={x|x=bn,n∈N*}．

∴當(dāng)a1=0,d=2π3，

集合S={-32,0，32}.

(2)∵a1=π2，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=sin(an)，集合S={x|x=bn,n∈N*}恰好有兩個(gè)元素，如圖：

根據(jù)三角函數(shù)線(xiàn)，①等差數(shù)列{an}的終邊落在y軸的正負(fù)半軸上時(shí)，集合S恰好有兩個(gè)元素，此時(shí)d=π，

②a1終邊落在OA上，要使得集合S恰好有兩個(gè)元素，可以使a2，a3的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，如圖OB，OC，此時(shí)d=2π3，

綜上，d=23π或者d=π．

(3)①當(dāng)T=1時(shí)，bn+1=bn，數(shù)列{bn}為常數(shù)列，S僅有1個(gè)元素，顯然不符合條件；

②當(dāng)T=2時(shí)，bn+2=bn，，數(shù)列{bn}的周期為2，S中有2個(gè)元素，顯然不符合條件；

③當(dāng)T=3時(shí)，bn+3=bn，集合S={b1,b2,b3}，(1)情況滿(mǎn)足，符合題意．

④當(dāng)T=4時(shí)，bn+4=bn，sin(an+4d)=sinan，an+4d=an+2kπ，k∈Z，

或者an+4d=π+2kπ-an，k∈Z，

當(dāng)時(shí)，集合S={-1,0，1}，符合條件．

⑤當(dāng)T=5【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列綜合、集合中元素的性質(zhì)、正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)【解析】本題考查等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)、集合元素的性質(zhì)以及三角函數(shù)的周期性，是一道綜合題．

(1)根據(jù)等差數(shù)列及三角函數(shù)周期性求解；

(2)由集合S的元素個(gè)數(shù)，結(jié)合題意進(jìn)而可求得答案；

(3)分別令T=1，2，3，4，5，6，7進(jìn)行驗(yàn)證，判斷T的可能取值．【2018年】一、【2018·北京高考（理）】“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于122.若第一個(gè)單音的頻率為fA.32f B.322【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的應(yīng)用【解析】【分析】

本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，進(jìn)行求解即可．

【解答】

解：由題意，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于122．

若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為：(122)7?f=1227f．

故選：D．

【2018·【答案】a【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．

列出方程組，求出d，由此能求出{an}的通項(xiàng)公式．

【解答】

解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，

∵{an}是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，

∴a1=3a1+d+a1+4d=36,

解得a1=3，d=6，

∴an【答案】解：(Ⅰ){an}是等差數(shù)列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．

可得：2a1【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的求和【解析】本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，考查計(jì)算能力．

(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ二、【2018·浙江高考】已知a1,a2,a3,A.a1<a3，a2<a4 B.a1>a3【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)、分類(lèi)討論思想【解析】【分析】

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的值的判斷，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查分類(lèi)討論思想，難度比較大．

利用等比數(shù)列的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)數(shù)列的公比的討論分析判斷即可．

【解答】

解：a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，

a1>1，設(shè)公比為q，

當(dāng)q>0時(shí)，有a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3，所以a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立；

當(dāng)q=-1時(shí)，a1+a2+a3+a4=0，ln(a1+a2+a3)=ln【答案】解：(1)等比數(shù)列{an}的公比q>1，

且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項(xiàng)，

可得2a4+4=a3+a5=28-a4，

解得a4=8，

由8q+8+8q=28，可得q=2或q=12(舍去)，

則q的值為2；

(2)由q=2及a3+a4+a5=28可得a1(q2+q【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【解析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)、錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．

(1)運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得公比q；

(2)設(shè)cn=(bn+1-三、【2018·天津高考（理）】設(shè){an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是等差數(shù)列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b【答案】(Ⅰ)解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2-q-2=0．

∵q>0，可得q=2．

故an=2n-1．

設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用、裂項(xiàng)相消法【解析】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查利用裂項(xiàng)相消法求和，是中檔題．

(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由已知列式求得q，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可求；等差數(shù)列{bn}的公差為d，再由已知列關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，求得首項(xiàng)與公差，可得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)(i)由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得Sn，再由分組求和及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求得數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn；

(ii)化簡(jiǎn)整理(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)，再由裂項(xiàng)相消法證明結(jié)論．

【2018·天津高考（文）】設(shè){an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(【答案】解：(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，

由b1=1，b3=b2+2，可得q2-q-2=0，

∵q>0，可得q=2，

故bn=2n-1，Tn=1-2n1-2=2n-1，

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由b4=a3+a5，得a1+3d=4，

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、分組轉(zhuǎn)化求和法、等比數(shù)列的求和、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的求和【解析】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)列求和的基本方法及運(yùn)算能力，是中檔題．

(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，由已知列式求得q，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和可求；等差數(shù)列{an}的公差為d，再由已知列關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，求得首項(xiàng)與公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式可得Sn；

(Ⅱ)由(Ⅰ)求出T1+T2+……+Tn，代入Sn+(T1+T2+……+T【答案】14【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的求和【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題．

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出a1=-4，d=2，由此能求出S7．

【解答】

解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

a3=0，a6+a7=14，

∴a1+2d=0a1+5d+a1+6d=14，

解得a【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的求和、數(shù)列的函數(shù)特征、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】【分析】

本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，數(shù)列的函數(shù)特征，屬于中檔題．

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)，通過(guò)數(shù)列的極限，列出方程，求解公比即可．

【解答】

解：等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=qn-1(n∈N*)，可得a1=1，

因?yàn)閘imn→+∞Snan+1=12，所以數(shù)列的公比不是1，

Sn=a1(1-qn)1-q，an+1=qn．

可得limn→+∞1-qn1-qqn=limn→+∞1-qn(1-q)qn=limn→+∞1qn-11-q，

當(dāng)0<q<1時(shí)，當(dāng)n→+∞時(shí)，1qn-11-q→+∞，

當(dāng)-1<q<0時(shí)，當(dāng)n→+∞時(shí)，1qn-11-q→+∞(n為偶數(shù))或1qn-11-q→-∞(n為奇數(shù))，

當(dāng)q?-1時(shí)，當(dāng)n→+∞【答案】解：(1)數(shù)列{bn}與{an}接近．

理由：{an}是首項(xiàng)為1，公比為12的等比數(shù)列，

可得an=12n-1，bn=an+1+1=12n+1，

則|bn-an|=|12n+1-12n-1|=1-12n<1，n∈N*，

可得數(shù)列{bn}與{an}接近；

(2){bn}是一個(gè)與{an}接近的數(shù)列，

可得an-1≤bn≤an+1，

數(shù)列{an}的前四項(xiàng)為：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，

可得b1∈[0,2]，b2∈[1,3]，b3∈[3,5]，b4∈[7,9]，

可能有①M(fèi)=b1,b2,b3,b4，②M=b1,b3,b4,(b1=b2)，③M=b1,b3,b4,(b【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【解析】本題考查新定義“接近”的理解和運(yùn)用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論思想方法，以及運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題．

(1)運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和新定義“接近”，即可判斷；

(2)由新定義可得an-1≤bn≤an+1，求得bi，i=1，2，3，4的范圍，即可得到所求個(gè)數(shù)；

(3)運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an，討論公差【2017年】一、【2017·北京高考（理）】若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿(mǎn)足a【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題．

利用等差數(shù)列求出公差，等比數(shù)列求出公比，然后分別求解第二項(xiàng)，即可得到結(jié)果．

【解答】

解：等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿(mǎn)足a1=b1=-1，a4=b4=8，

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，

可得8=-1+3d，∴d=3，a2=2；

由8=-q3，解得q=-2，∴b2=2；

可得a2b2=1．

故答案為：1．

【2017·北京高考（理）】設(shè){an}和{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列，記cn=max{b1-a1n,b【答案】解：(1)a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，

當(dāng)n=1時(shí)，c1=max{b1-a1}=max{0}=0，

當(dāng)n=2時(shí)，c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{-1,-1}=-1，

當(dāng)n=3時(shí)，c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{-2,-3,-4}=-2，

下面證明：對(duì)?n∈N*，且n≥2，都有cn=b1-na1，

當(dāng)n∈N*，且2≤k≤n時(shí)，

則(bk-nak)-(b1-na1)，

=[(2k-1)-nk]-1+n，

=(2k-2)-n(k-1)，

=(k-1)(2-n)，由k-1>0，且2-n≤0，

則(bk-nak)-(b1-na1)≤0，則b1-na1≥bk-nak，

因此，對(duì)?n∈N*，且n≥2，cn=b1-na1=1-n，cn+1-cn=-1，

又c2-c1=-1-0=-1，

∴cn+1-cn=-1對(duì)?n∈N*均成立，

∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；

(2)證明：設(shè)數(shù)列{an}和{bn}的公差分別為d1，d2，下面考慮的cn取值，

由b1-a1n，b2-a2n，…，bn-ann，

考慮其中任意bi-【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用放縮法證明不等式、數(shù)列綜合、等差數(shù)列的判定與證明【解析】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查與不等式的綜合應(yīng)用，考查“放縮法”的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力，考查分類(lèi)討論及轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，屬于難題．

(1)分別求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由(bk-nak)-(b1-na1)≤0，則b1-na1≥bk-nak，則cn=b1-na1=1-n，cn+1-cn=-1對(duì)?n∈N*均成立；

(2)由bi-a【答案】解：(Ⅰ)等差數(shù)列{an}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，

所以{an}的通項(xiàng)公式：an=1+(n-1)×2=2n-1；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得a5=a1【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用、等比數(shù)列的求和【解析】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列求和以及通項(xiàng)公式的求解，考查計(jì)算能力，屬于一般題．

(Ⅰ)利用已知條件求出等差數(shù)列的公差，然后求{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)利用已知條件求出公比，然后求