自動(dòng)控制原理自控第五章

【授課時(shí)間】：、11.20上午三四節(jié)【授課形式】：多媒體【授課地點(diǎn)】：43064114【授課時(shí)數(shù)】：2【授課題目】：頻率特性及典型環(huán)節(jié)的頻率特性【教學(xué)目標(biāo)】1、正確理解頻率特性的概念；2、熟練掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性，熟記其幅相特性曲線及對(duì)數(shù)頻率特性曲線?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：典型環(huán)節(jié)的頻率特性難點(diǎn)：典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線及對(duì)數(shù)頻率特性曲線【教學(xué)內(nèi)容】復(fù)數(shù)的表示形式：(1)代數(shù)式：A=a+bj(2)三角式：A=R(cosφ+jsinφ)(3)指數(shù)式：A=Rejφ(4)極坐標(biāo)式：A=R∠φ5.1頻率特性一、頻率特性定義頻率特性是控制系統(tǒng)在頻域中的一種數(shù)學(xué)模型，是研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的一種工程求解方法。系統(tǒng)頻率特性能間接地揭示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，可簡(jiǎn)單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，指出系統(tǒng)改進(jìn)方向。頻率特性的定義（1）頻率響應(yīng):在正弦輸入作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)值稱為頻率響應(yīng)。（2）頻率特性:頻率響應(yīng)c(t)與輸入正弦函數(shù)r(t)的復(fù)數(shù)比。幅頻特性：輸出響應(yīng)中與輸入同頻率的諧波分量與諧波輸入的幅值之比A(ω)為幅頻特性相頻特性：輸出響應(yīng)中與輸入同頻率的諧波分量與諧波輸入的相位之差φ(ω)為相頻特性實(shí)頻特性：虛頻特性：RCuruci例5-1已知ui(RCuuci其中，T=RC零初始條件穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量上式表明：對(duì)于正弦輸入，其輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是一個(gè)同頻率正弦信號(hào)。但幅值降低，相角滯后。幅頻特性和相頻特性數(shù)據(jù)頻率特性的性質(zhì)1）與傳遞函數(shù)一樣，頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型。且只適用于線性定常系統(tǒng)。它描述了系統(tǒng)的內(nèi)在特性，與外界因素?zé)o關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)給定，則頻率特性也完全確定。2）頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下求得的，不穩(wěn)定系統(tǒng)則無(wú)法直接觀察到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。從理論上講，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的穩(wěn)態(tài)分量總可以分離出來(lái)，而且其規(guī)律并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，我們?nèi)钥梢杂妙l率特性來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能等。3）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量具有相同的頻率。當(dāng)頻率?改變，則輸出、輸入量的幅值之比A（?）和相位移?（?）隨之改變。這是系統(tǒng)中的儲(chǔ)能元件引起的。4）實(shí)際系統(tǒng)的輸出量都隨頻率的升高而出現(xiàn)失真，幅值衰減。所以，可以將它們看成為一個(gè)“低通”濾波器。5）頻率特性可應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)的分析中去。二、頻率特性、傳遞函數(shù)、微分方程的關(guān)系系統(tǒng)系統(tǒng)頻率特性傳遞函數(shù)微分方程頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復(fù)平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系統(tǒng)的固有特性。例：頻率特性的求?。海?）根據(jù)定義求取。即對(duì)已知系統(tǒng)的微分方程，把正弦輸入函數(shù)代入，求出其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比即可得到。（2）根據(jù)傳遞函數(shù)求取。即用s=j?代入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即可得到。（3）通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法直接測(cè)得。5.1.3頻率特性的圖示方法頻率特性的圖形表示是描述系統(tǒng)的輸入頻率ω從0到∞變化時(shí)頻率響應(yīng)的幅值、相位與頻率之間關(guān)系的一組曲線。常用頻率特性曲線及其坐標(biāo)系半對(duì)數(shù)坐標(biāo)半對(duì)數(shù)坐標(biāo)伯德圖對(duì)數(shù)頻率特性曲線2極坐標(biāo)極坐標(biāo)圖奈奎斯特圖幅相頻率特性曲線1坐標(biāo)系圖形常用名名稱序號(hào)1.幅相頻率特性曲線對(duì)于一個(gè)確定的頻率，必有一個(gè)幅頻特性的幅值和一個(gè)幅頻特性的相角與之對(duì)應(yīng)，幅值與相角在復(fù)平面上代表一個(gè)向量。當(dāng)頻率ω從零變化到無(wú)窮時(shí)，當(dāng)頻率ω從零變化到無(wú)窮時(shí)，相應(yīng)向量的矢端就描繪出一條曲線。這條曲線就是幅相頻率特性曲線，簡(jiǎn)稱幅相曲線，又稱Nyquist圖。例：RC電路的幅相頻率特性。因此RC網(wǎng)絡(luò)的幅相頻率特性是一個(gè)以(0.5,j0)為圓心，以0.5為半徑的半圓。2.對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）又稱為伯德曲線（伯德圖），由對(duì)數(shù)幅頻曲線和對(duì)數(shù)相頻曲線組成，是工程中廣泛應(yīng)用的一組曲線。在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上繪制，由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性兩條曲線所組成。半對(duì)數(shù)坐標(biāo)：橫坐標(biāo)不均勻，而縱坐標(biāo)是均勻刻度。對(duì)數(shù)幅頻相頻橫坐標(biāo)是ω的對(duì)數(shù)分度,縱坐標(biāo)是L(ω)的線性分度，此坐標(biāo)系稱為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)。采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)：（1）將低頻段展開(kāi)，將高頻段壓縮。（2）當(dāng)系統(tǒng)由多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而成時(shí)，簡(jiǎn)化運(yùn)算。 …（3）所有典型環(huán)節(jié)乃至系統(tǒng)的頻率特性可用分段直線近似表示。（4）容易將頻率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用分段直線擬合，從而得到對(duì)數(shù)頻率特性或傳遞函數(shù)?？v坐標(biāo)是以幅值對(duì)數(shù)分貝數(shù)刻度的，是均勻的；橫坐標(biāo)按頻率對(duì)數(shù)標(biāo)尺刻度，但標(biāo)出的是實(shí)際的值，是不均勻的?！@種坐標(biāo)系稱為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系。在橫軸上，對(duì)應(yīng)于頻率每增大10倍的范圍，稱為十倍頻程(dec)，如1-10，5-50，而軸上所有十倍頻程的長(zhǎng)度都是相等的。為了說(shuō)明對(duì)數(shù)幅頻特性的特點(diǎn)，引進(jìn)斜率的概念，即橫坐標(biāo)每變化十倍頻程（即變化）所對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)分貝數(shù)的變化量。5－3典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)：K慣性環(huán)節(jié)：1/(Ts+1)，式中T>0一階微分環(huán)節(jié)：(Ts+1)，式中T>0積分環(huán)節(jié)：1/s延遲環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：；式中ωn>0，0<ζ<1（1）比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：G(s)=K=const00K=1K>100K=1K>1K<1比例環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)K的幅相曲線kj0·對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別是：L(ω)=20lg|G(jω)|=20lgK和φ(ω)=0°（2）積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：頻率特性表達(dá)式為：橫坐標(biāo)：x=lgω計(jì)量單位：dec——一個(gè)十倍頻程縱坐標(biāo)：y=Kx計(jì)量單位：dB取ω2=10ω1Δlgω=lgω2-lgω1=lg(10ω1/ω1)=1decΔL(ω)=L(ω2)-L(ω1)=-20lg(10ω1/ω1)=-20dB/dec斜率為：雙重積分：隨著開(kāi)環(huán)增益的增大，直線逐漸升高。（3）慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：頻率特性表達(dá)式為：此慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性是一個(gè)以(1/2，j0)為圓心，以1/2為半徑的半圓。采用近似方法，即用漸近線分段表示頻率特性。低頻段：ω<<1/T，ωT<<1，ω2T2可略去頻率特性可近似為：L(ω)≈-20lg1=0—低頻漸近線在高頻段：ω>>1/T，ωT>>1，1可略去頻率特性可近似為：L(ω)≈-20lgωT=-20[lgω-lg(1/T)]—高頻漸近線ω的頻率增大10倍時(shí)，高頻漸近線斜率為：高頻漸近線具有-20dB/10倍頻程的斜率，記為-20dB/dec或[-20]。高頻漸近線正好在ωT=1處與低頻漸近線相交，交點(diǎn)處的頻率稱為轉(zhuǎn)折頻率。（4）振蕩環(huán)節(jié)1010(0<ζ<0.707)低頻段：ω<<1/T，ωT<<1，ω2T2可略去在高頻段：ω>>1/T，ωT>>1，1可略去0000-40【授課時(shí)間】：【授課形式】：多媒體【授課地點(diǎn)】：43064113【授課時(shí)數(shù)】：2【授課題目】：典型環(huán)節(jié)的頻率特性【教學(xué)目標(biāo)】1、熟練掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性，熟記其幅相特性曲線及對(duì)數(shù)頻率特性曲線；【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：典型環(huán)節(jié)的頻率特性難點(diǎn)：典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線及對(duì)數(shù)頻率特性曲線、開(kāi)環(huán)幅相特性曲線的繪制【教學(xué)內(nèi)容】（5）微分環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：000.1000.11012090L(ω)=20lgωφ(ω)=90o斜率為：（6）一階微分環(huán)節(jié)00！高頻放大！抑制噪聲能力下降00！高頻放大！抑制噪聲能力下降頻率特性為：低頻段：ω<<1/τ，ωτ<<1，ω2τ2可略去頻率特性可近似為：L(ω)≈20lg1=0—低頻漸近線在高頻段：ω>>1/τ，ωτ>>1，1可略去頻率特性可近似為：L(ω)≈20lgωτ=20[lgω-lg(1/τ)]—高頻漸近線漸近線斜率k=20dB/dec（7）二階微分環(huán)節(jié)0dBL(ω)dB0dBL(ω)dBω[+40]ωn0<ζ<0.707時(shí)有峰值：（8）一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)非最小相位環(huán)節(jié)定義：傳遞函數(shù)中有右極點(diǎn)、右零點(diǎn)的環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)），稱為非最小相位環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)）。由上圖看出，一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的幅頻與慣性環(huán)節(jié)的幅頻完全相同，但是相頻大不一樣。相位的絕對(duì)值大，故一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)又稱非最小相位環(huán)節(jié)。（9）延遲環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)和一階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)。則有G1(s)=1/G2(s)設(shè)，則則，傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)，對(duì)數(shù)幅頻曲線關(guān)于0dB線對(duì)稱，對(duì)數(shù)相頻曲線關(guān)于0°線對(duì)稱。例：試將系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)分解解:

【授課時(shí)間】：2013.11.25、11.27上午三四節(jié)【授課形式】：多媒體【授課地點(diǎn)】：43064113【授課時(shí)數(shù)】：2【授課題目】：開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的頻率特性【教學(xué)目標(biāo)】1、掌握開(kāi)環(huán)奈奎斯特圖的繪制2、掌握開(kāi)環(huán)Bode圖的繪制；【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：開(kāi)環(huán)奈奎斯特圖的繪制、開(kāi)環(huán)Bode圖的繪制難點(diǎn)：同上【教學(xué)內(nèi)容】5.4系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相頻率特性一、開(kāi)環(huán)幅相特性G(s)H(s)G(s)H(s)-R(s)C(s)Gi(s)為除1/sν、k外的其他典型環(huán)節(jié)（2）粗略畫(huà)三個(gè)特殊點(diǎn)①起點(diǎn)低頻段②終點(diǎn)高頻段③與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)ⅰ曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)令求得ω值代入中，即可得與實(shí)軸的交點(diǎn)。令求得ω值代入中，即可得與虛軸的交點(diǎn)。再取幾個(gè)ω點(diǎn)計(jì)算A(ω)和φ(ω)，即可得幅相頻率特性的大致形狀。只包含慣性環(huán)節(jié)的0型系統(tǒng)Nyquist圖只包含慣性環(huán)節(jié)的I型系統(tǒng)Nyquist圖只包含慣性環(huán)節(jié)的II型系統(tǒng)Nyquist圖例5-2設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為已知：K＝10，T1＝1，T2＝5，繪制開(kāi)環(huán)幅相頻率特性。解：求交點(diǎn)：令解得，ω=0.447rad/s例5-3設(shè)某系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為繪制開(kāi)環(huán)幅相頻率特性。解： 例5-4:繪制的幅相曲線。解：求交點(diǎn)：解得無(wú)實(shí)數(shù)解，與虛軸無(wú)交點(diǎn)曲線如圖所示：二系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制如果已知幾個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)的開(kāi)環(huán)頻率特性，則系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性為：步驟：（1）將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)表示為時(shí)間常數(shù)表達(dá)形式；（2）求20lgK的值，并明確積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v；（3）確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并按由小到大排序；（4）求出低頻漸近線的斜率和位置。①低頻段頻率特性為：對(duì)數(shù)幅頻特性為：對(duì)數(shù)相頻特性為：上述表明：A低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性直線的斜率為－20×v(dB/dec)，相頻角度為－v×90°；B當(dāng)ω=1時(shí)，低頻段直線或其延長(zhǎng)線（在ω<1的范圍內(nèi)有轉(zhuǎn)折頻率）的分貝值為20lgK，這是因?yàn)橛傻皖l段的幅頻方程，可得到C低頻段直線（或其延長(zhǎng)線）與零分貝線（橫軸）的交點(diǎn)頻率為，對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)交點(diǎn)頻率為，Ⅱ型系統(tǒng)交點(diǎn)頻率為；這是因?yàn)橛傻皖l段的幅頻方程，可得到于是有：②轉(zhuǎn)折頻率及轉(zhuǎn)折后斜率變化量的確定首先在橫坐標(biāo)軸上將轉(zhuǎn)折頻率按從低到高的順序標(biāo)出個(gè)轉(zhuǎn)折頻率。然后，依次在各轉(zhuǎn)折頻率處改變直線的斜率，改變的多少取決于轉(zhuǎn)折處環(huán)節(jié)的性質(zhì)。，經(jīng)過(guò)ωi后，斜率變化量為+20dB/dec。（一階微分環(huán)節(jié)），經(jīng)過(guò)ωk后，斜率變化量為+40dB/dec。（二階微分環(huán)節(jié)），經(jīng)過(guò)ωj后，斜率變化量為-20dB/dec。（慣性環(huán)節(jié)），經(jīng)過(guò)ωl后，斜率變化量為-40dB/dec。（振蕩環(huán)節(jié)）相頻特性的表達(dá)式為：其中ω<1/τ且ω<1/T定義：若L(ωc)＝0dB，則ωc稱作剪切頻率，也叫0dB頻率。繪制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的波特圖一般規(guī)則：寫(xiě)成典型環(huán)節(jié)之積；找出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率；畫(huà)出各環(huán)節(jié)的漸近線；在轉(zhuǎn)折頻率處修正漸近線得各環(huán)節(jié)曲線；將各環(huán)節(jié)曲線相加即得波特圖。例5－4系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻與相頻特性曲線。解：開(kāi)環(huán)由三個(gè)典型環(huán)節(jié)組成，每個(gè)環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻與相頻特性均是已知的。將各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻與相頻曲線繪出后，分別相加即得系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻及相頻。例5-5：已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。解：典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)表示的標(biāo)準(zhǔn)形式其對(duì)應(yīng)的頻率特性表達(dá)式為由此可見(jiàn)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性由5個(gè)典型環(huán)節(jié)構(gòu)成，分別為合成后的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性：L(ω)=L1(ω)+L2(ω)+L3(ω)+L4(ω)+L5(ω)(6)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性表達(dá)式為逐點(diǎn)計(jì)算結(jié)果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)相頻特性數(shù)據(jù)11

【授課時(shí)間】：2013.11.26、11.29上午一二節(jié)【授課形式】：多媒體【授課地點(diǎn)】：43064114【授課時(shí)數(shù)】：2【授課題目】：奈氏穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)【教學(xué)目標(biāo)】1、掌握根據(jù)Bode圖確定最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2、映射定理；3、輔助函數(shù)的構(gòu)造；4、s平面閉合曲線?（奈氏路徑）的選擇?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：、根據(jù)Bode圖確定最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、s平面閉合曲線?（奈氏路徑）的選擇難點(diǎn)：、根據(jù)Bode圖確定最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、映射定理【教學(xué)內(nèi)容】最小相位系統(tǒng)、非最小相位系統(tǒng)根據(jù)零、極點(diǎn)在s平面上分布情況的不同，函數(shù)G(s)可分為最小相位系統(tǒng)、非最小相位系統(tǒng)。最小相位（相角）系統(tǒng)：指系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中沒(méi)有右極點(diǎn)、右零點(diǎn)的系統(tǒng)。非最小相位（相角）系統(tǒng)：指系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中有右極點(diǎn)或右零點(diǎn)的系統(tǒng)或者系統(tǒng)帶有延遲環(huán)節(jié)。最小相位系統(tǒng)特點(diǎn)在具有相同幅值特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角范圍在所有這類系統(tǒng)中是最小的。任何非最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍都大于最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，其幅頻特性和相頻特性一一對(duì)應(yīng)，某頻率段的相角主要由該頻率段的幅頻特性斜率所決定，也受相鄰頻段的影響。例5-6：兩個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別為（T1>T2）它們的對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性為顯然,兩個(gè)系統(tǒng)的幅頻特性一樣，但相頻特性不同。由圖可見(jiàn)，的變化范圍要比大得多?！钚∠辔幌到y(tǒng)——非最小相位系統(tǒng)例5-7已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如下，試確定系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。解：由圖可見(jiàn)，低頻段的斜率為?20dB/dec，所以開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有一個(gè)積分環(huán)節(jié)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的幾種方法：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件—全部閉環(huán)極點(diǎn)均具有負(fù)的實(shí)部代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)—Ruoth判據(jù)由閉環(huán)特征多項(xiàng)式系數(shù)（不解根）判定系統(tǒng)穩(wěn)定性不能用于研究如何調(diào)整系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)來(lái)改善系統(tǒng)穩(wěn)定性及性能的問(wèn)題。5.5頻域穩(wěn)定判據(jù)奈氏判據(jù)是利用開(kāi)環(huán)幅相特性判斷閉環(huán)穩(wěn)定性的圖解方法；可用于判斷閉環(huán)系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，也能計(jì)算系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定指標(biāo)和研究改善系統(tǒng)性能的方法.一奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1.映射定理（幅角定理）s為復(fù)數(shù)變量，F(xiàn)(s)為s的有理分式函數(shù)。s1代入F(s)得F(s1)，s2代入F(s)得F(s2)；s沿Γs連續(xù)變化一周（不穿過(guò)F(s)的零、極點(diǎn)），則F(s)沿封閉曲線ΓF連續(xù)變化一周。Γs包圍一個(gè)F(s)的零點(diǎn)，當(dāng)s1沿Γs順時(shí)針連續(xù)變化一周，(s-zi)的相角積累-2π，或者說(shuō)，ΓF順時(shí)針繞F平面原點(diǎn)一周;Γs不包圍F(s)的零點(diǎn)，當(dāng)s1沿Γs順時(shí)針連續(xù)變化一周，(s-zi)不積累角度;Γs包圍Z個(gè)F(s)的零點(diǎn)，當(dāng)S1沿Γs順時(shí)針連續(xù)變化一周，(s-zi)的相角積累Z*(-2π)，或者說(shuō)，ΓF順時(shí)針繞F平面原點(diǎn)Z圈。如果：Γs包圍一個(gè)F(s)的極點(diǎn)，當(dāng)s1沿Γs順時(shí)針連續(xù)變化一周，因?yàn)閜i映射到F(s)上是在無(wú)窮遠(yuǎn)，所以，相對(duì)應(yīng)ΓF逆時(shí)針繞F平面零點(diǎn)一周，(s-pi)的相角積累是2π角度；Γs包圍P個(gè)F(s)的極點(diǎn)，當(dāng)s1沿Γs順時(shí)針連續(xù)變化一周，s-pi積累的相角為2π*P，或者說(shuō)，ΓF逆時(shí)針繞F平面零點(diǎn)P周；Γs包圍P個(gè)F(s)的極點(diǎn)，又包圍Z個(gè)F(s)的零點(diǎn)，當(dāng)s1沿Γs順時(shí)針連續(xù)變化一周后，ΓF順時(shí)針繞F平面零點(diǎn)（Z-P）周，或：ΓF逆時(shí)針繞F平面零點(diǎn)R=（P-Z）周若s平面上的封閉曲線Γs包圍著F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)，則在F(s)平面上映射的曲線ΓF將按順時(shí)針?lè)较驀@著坐標(biāo)原點(diǎn)Z周。若s平面上的封閉曲線Γs包圍著F(s)的P個(gè)極點(diǎn)，當(dāng)s沿著s平面上的封閉曲線順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)一周時(shí)，則在F(s)平面上映射的曲線ΓF將按逆時(shí)針?lè)较驀@著坐標(biāo)原點(diǎn)P周。映射定理(幅角定理)：設(shè)s平面上不通過(guò)F(s)任何奇異點(diǎn)的某條封閉曲線Γ，它包圍了F(s)在s平面上的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，當(dāng)s以順時(shí)針?lè)较蜓胤忾]曲線Γ移動(dòng)一周時(shí)，則在F平面上相對(duì)應(yīng)于封閉曲線Γ的像ΓF將以順時(shí)針的方向圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)R圈。R與Z、P的關(guān)系為:R=Z－P。當(dāng)Z>P，則R>0，ΓF順時(shí)針包圍原點(diǎn)R圈當(dāng)Z<P，則R<0，ΓF逆時(shí)針包圍原點(diǎn)R圈當(dāng)Z=P，則R=0，ΓF不包圍原點(diǎn)2.輔助函數(shù)F(s)的選擇則定義一個(gè)輔助函數(shù)輔助函數(shù)F(s)有如下特點(diǎn)：(1)輔助函數(shù)F(s)是閉環(huán)特征多項(xiàng)式與開(kāi)環(huán)特征多項(xiàng)式之比，其零點(diǎn)和極點(diǎn)分別為閉環(huán)極點(diǎn)和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。(2)F(s)的零極點(diǎn)數(shù)目相同，都為n。(3)F(s)與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)之間只差一個(gè)常量1，F(xiàn)(s)=1+G(s)H(s)的幾何意義為：F平面的坐標(biāo)原點(diǎn)就是GH平面的(-1,j0)點(diǎn)。3.s平面閉合曲線?（奈氏路徑）的選擇順時(shí)針?lè)较虬鼑麄€(gè)s右半面。由于不能通過(guò)F(s)的任何零、極點(diǎn)，所以當(dāng)F(s)有若干個(gè)極點(diǎn)處于s平面虛軸（包括原點(diǎn)）上時(shí)，則以這些點(diǎn)為圓心，作半徑為無(wú)窮小的半圓，按逆時(shí)針?lè)较驈挠覀?cè)繞過(guò)這些點(diǎn)。

【授課時(shí)間】：【授課形式】：多媒體【授課地點(diǎn)】：43064113【授課時(shí)數(shù)】：2【授課題目】：奈奎斯特判據(jù)與對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)【教學(xué)目標(biāo)】1、了解輔助函數(shù)的構(gòu)成以及奈氏判據(jù)的推導(dǎo)過(guò)程；2、掌握奈氏穩(wěn)定判據(jù)及增補(bǔ)線的繪制。3、了解極坐標(biāo)圖與伯德圖的對(duì)應(yīng)；4、掌握伯德圖上的穩(wěn)定判據(jù)掌握根據(jù)【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：奈氏穩(wěn)定判據(jù)、伯德圖上的穩(wěn)定判據(jù)難點(diǎn)：增補(bǔ)線的繪制、穩(wěn)定的判斷【教學(xué)內(nèi)容】二奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù)設(shè)：——閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式顯然：F(s)的零點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)奈氏判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：s沿著奈氏路徑繞一圈（當(dāng)ω從-∞→+∞變化時(shí)），G(jω)H(jω)曲線逆時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)P圈。P——為G(s)H(s)位于s右半平面的極點(diǎn)數(shù)；R——G(jω)H(jω)曲線逆時(shí)針繞（-1，j0）點(diǎn)圈數(shù)；Z——閉環(huán)系統(tǒng)位于s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。Z=0，說(shuō)明系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)極點(diǎn)在s右半開(kāi)平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，系統(tǒng)則是不穩(wěn)定的。若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是開(kāi)環(huán)幅相曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)。例5-8：已知某系統(tǒng)G(jω)H(jω)幅相特性曲線如下，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定P=1，試分析閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：由ω=0+→+∞變化時(shí)G(jω)H(jω)的曲線，根據(jù)鏡像對(duì)稱得ω=-∞→0-變化時(shí)G(jω)H(jω)的曲線，得到一封閉曲線。G(jω)H(jω)(ω從-∞→+∞)曲線逆時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)一次，即R=1Z=P-R=0，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。例5-9：已知單位反饋系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)均在s平面的左半平面，開(kāi)環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，即P=0，從圖中看到ω由-∞→+∞變化時(shí)，G(jω)H(jω)曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，即N=0，Z=P-N=0，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。說(shuō)明:如果開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)含有ν個(gè)積分環(huán)節(jié)，奈氏曲線為一不封閉曲線，此時(shí)為了說(shuō)明包圍（-1，j0）點(diǎn)的情況，可作輔助處理，即由ω=0+→+∞變化時(shí)G(jω)H(jω)的曲線，根據(jù)鏡像對(duì)稱得ω=-∞→0-變化時(shí)G(jω)H(jω)的曲線，然后從ω=0-開(kāi)始，對(duì)應(yīng)的G(jω)H(jω)以無(wú)窮大為半徑，按逆時(shí)針?lè)较蚶@過(guò)角度，與ω=0+曲線相接，成為封閉曲線，按照奈氏判據(jù)判定穩(wěn)定性。例5-10：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：繪制系統(tǒng)幅相特性曲線。（1）繪制起點(diǎn)、終點(diǎn)（2）與坐標(biāo)軸交點(diǎn)由于v=1，所以需要ω=0+的位置開(kāi)始逆時(shí)針畫(huà)90°的增補(bǔ)線，如圖中虛線所示，計(jì)算幅相曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。當(dāng)，即時(shí)，幅相曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)1圈，即R=-1.于是Z=P-2R=2，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當(dāng)，即時(shí)，幅相曲線順時(shí)針不包圍(-1,j0)點(diǎn)1圈，即R=0.于是Z=P-2R=0，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)時(shí)，G(jω)H(jω)(ω從-∞→+∞)曲線穿越(-1，j0)點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穿越法穿越：指開(kāi)環(huán)Nyquist曲線穿過(guò)(-1,j0)點(diǎn)左邊實(shí)軸時(shí)的情況。正穿越：ω增大時(shí)，Nyquist曲線由上而下(相角增加)，穿過(guò)(-∞,-1)段實(shí)軸，用表示。負(fù)穿越：ω增大時(shí)，Nyquist曲線由下而上（相角減少）穿過(guò)(-∞,-1)段實(shí)軸，用表示。對(duì)于不含積分環(huán)節(jié)的G(jω)H(jω)曲線對(duì)稱實(shí)軸。應(yīng)用中只畫(huà)部分。負(fù)穿越正穿越負(fù)穿越正穿越例5-11：半次穿越：若G(jω)H(jω)軌跡起始或終止于(-1,j0)以左的負(fù)軸上，則穿越次數(shù)為半次，且同樣有+1/2次穿越和-1/2次穿越。-1/2次穿越+1/2次穿越-1/2次穿越+1/2次穿越Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)ω由0變化到+∞時(shí)，Nyquist曲線在(-1,j0)點(diǎn)左邊實(shí)軸上的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于P/2時(shí)(P為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函右極點(diǎn)數(shù))，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)極點(diǎn)分布在S右半平面，即，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應(yīng)該是N=0。注意：這里對(duì)應(yīng)的ω變化范圍是。例5-12：兩系統(tǒng)G(jω)H(jω)軌跡如下，已知其開(kāi)環(huán)極點(diǎn)在s右半平面的分布情況，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。P=2P=0P=2P=0解： 開(kāi)環(huán)穩(wěn)定 開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定 閉環(huán)穩(wěn)定注意：分析G(jω)H(jω)軌跡穿越(-1,j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸。例5-13：已知某系統(tǒng)G(jω)H(jω)幅相特性曲線如下，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定P=1，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：P=1N=N+-N-=1/2Z=P-2N=1-1=0閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。例5-14：兩系統(tǒng)奈氏曲線如圖，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：(a)N=N+-N–=（0-1）=-1，P=0，故Z=P-2N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。(b)K>1時(shí)，N=N+-N-=1-1/2=1/2，P=1，故Z=P-2N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；K<1時(shí)，N=N+-N-=0-1/2=-1/2，且已知P=1，故Z=P-2N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；K=1時(shí)，奈氏曲線穿過(guò)(-1,j0)點(diǎn)兩次，說(shuō)明有兩個(gè)根在虛軸上，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。三對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)奈氏判據(jù)是在奈氏圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，而作奈氏圖一般都比較麻煩，所以在工程上一般都是采用系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性來(lái)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的，這就是對(duì)數(shù)頻率判據(jù)。1.Bode圖與Nyquist圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系Nyquist圖上以原點(diǎn)為圓心的的單位圓Bode圖幅頻特性上的0dB線單位圓以外Bode圖L(ω)>0的部分；單位圓內(nèi)部Bode圖L(ω)<0的部分；Nyquist圖上的負(fù)實(shí)軸Bode圖相頻特性上的φ(ω)=－180°線奈氏圖上的(-1,j0)點(diǎn)便和伯德圖上的0dB線及-180°線對(duì)應(yīng)起來(lái)。Nyquist圖與Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系(-1,j0)點(diǎn)以左實(shí)軸的穿越點(diǎn)Bode圖L(ω)>0范圍內(nèi)的與－180°線的穿越點(diǎn)正穿越對(duì)應(yīng)于Bode圖φ(ω)曲線當(dāng)ω增大時(shí)，從下向上穿越－180°線；負(fù)穿越對(duì)應(yīng)于Bode圖φ(ω)曲線當(dāng)ω增大時(shí)，從上向下穿越－180°線。2.Bode圖上的穩(wěn)定判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)ω由0變到+∞時(shí)，在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)≥0的頻段內(nèi)，相頻特性φ(ω)穿越-π線的次數(shù)（正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差）為p/2，p為s平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)。若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)極點(diǎn)分布在S右半平面，即，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在L(ω)≥0的頻段內(nèi)，相頻特性φ(ω)在-π線上正負(fù)穿越次數(shù)代數(shù)和為零，或者不穿越-π線。Nyquist圖Nyquist圖Bode圖例5-15：開(kāi)環(huán)特征方程有兩個(gè)右根，P=2，試判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。P=2解：P=2P=0P=0正負(fù)穿越數(shù)之差（N+-N-）為1Z=P-2N=2-2=0系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定例5-16：開(kāi)環(huán)特征方程無(wú)右根，P=0，試判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：正負(fù)穿越數(shù)之差為0系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定例5-17已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，試用對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。解：繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性如圖。由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知P=0。所以閉環(huán)穩(wěn)定例5-18已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試用對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。解：繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性如圖在處振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻值為閉環(huán)特征方程的正根數(shù)為閉環(huán)不穩(wěn)定。注意：1、當(dāng)[s]平面虛軸上有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)時(shí)，奈氏路徑要從其右邊繞出半徑為無(wú)窮小的圓弧；[G]平面對(duì)應(yīng)要補(bǔ)充大圓弧。2、N的最小單位為二分之一。閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定有誤！3.無(wú)論開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的系數(shù)怎樣變化，系統(tǒng)總是閉環(huán)不穩(wěn)定的，這樣的系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。3.條件穩(wěn)定系統(tǒng)若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)P=0，當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的某些系數(shù)（如開(kāi)環(huán)增益）改變時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性將發(fā)生變化。這種閉環(huán)穩(wěn)定有條件的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。

【授課時(shí)間】：2013.12.3、12.6上午一二節(jié)【授課形式】：多媒體【授課地點(diǎn)】：43064114【授課時(shí)數(shù)】：2【授課題目】：穩(wěn)定裕度和系統(tǒng)閉環(huán)、開(kāi)環(huán)頻率特性與階躍響應(yīng)的關(guān)系【教學(xué)目標(biāo)】1、掌握穩(wěn)定裕度的計(jì)算；2、了解閉環(huán)頻率特性的性能指標(biāo)；3、掌握系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能、動(dòng)態(tài)性能及抗干擾性能和開(kāi)環(huán)頻率特性的關(guān)系；【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：穩(wěn)定裕度的計(jì)算、閉環(huán)頻域性能指標(biāo)；難點(diǎn)：穩(wěn)定裕度的計(jì)算、【教學(xué)內(nèi)容】四穩(wěn)定裕度通常用相角裕度?和幅值裕度h表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕度(開(kāi)環(huán)頻率指標(biāo))。若Z=P-2N中P=0，則G(jω)過(guò)(-1,j0)點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，見(jiàn)右圖：0j0j1-1G(jω)G(jω)曲線過(guò)(-1,j0)點(diǎn)時(shí)，同時(shí)成立！1相角裕度γ剪切頻率：正相角裕度?ImRe1在控制系統(tǒng)的剪切頻率ω正相角裕度?ImRe12、幅值裕度穿越頻率：幅值裕度h：以分貝表示時(shí)：含義：如果系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)增大到原來(lái)的h倍，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。h大于1，則對(duì)數(shù)幅值裕度為正值，系統(tǒng)穩(wěn)定。h小于1，則對(duì)數(shù)幅值裕度為負(fù)值，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定，則h>1、?>0。-180°-180°?dB0?正相角裕度0??正幅值裕度-270°-90°?正相角裕度ImRe正幅值裕度1系統(tǒng)穩(wěn)定負(fù)幅值裕度負(fù)相角裕度負(fù)幅值裕度負(fù)相角裕度0dB???????-90°-180°-270°B?ImRe負(fù)相角裕度負(fù)幅值裕度1-1當(dāng)γ<0時(shí)，相位裕度為負(fù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。相角裕度和幅值裕度的幾點(diǎn)說(shuō)明一般而言L(ωc)處的斜率為－20dB/dec時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。L(ωc)處的斜率為－40dB/dec時(shí)，系統(tǒng)可能穩(wěn)定，可能不穩(wěn)定，即使穩(wěn)定，γ也很小。L(ωc)處的斜率為－60dB/dec時(shí)，系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定。為了使系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)定裕量，L(ω)在ωc處的斜率為－20dB/dec。為了得到滿意的性能，一般要求：例5-20：一單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為求：⑴K=1時(shí)系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度；⑵調(diào)整K使系統(tǒng)的增益裕度為20dB，相位裕度解：⑴幅值裕度→穿越頻率即幅值裕度：相角裕度剪切頻率根據(jù)K=1時(shí)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)⑵由題意知→