2023-2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷含答案（全國(guó)甲卷、乙卷）

2024屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考（全國(guó)甲卷、乙卷通用）

理科數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.考試范圍：高考全部?jī)?nèi)容。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.已知集合A=[xeN卜=7?^},^A={-1,5},。=卜卜=2,，則3cD=（）

A.{L2,3,4,5}B.{1,2,3,5}C.{0,1,2,3,5}D.{-1,0,1,2,3,4,5}

2.已知復(fù)數(shù)曾的虛部是2,則當(dāng)=（）

1-ai1一

A.75B.近C.3D.ViT

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出p的值為21,則空白框內(nèi)可以填入的是（）

A.k<3B.k<5C.k<lD.k<9

4.已知MC中，AB=2,AC=4,ZBAC=120°,。為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，^OA+OB+2OC=O,

則AOBC的值為（）

A.6B.7C.8D.9

5.已知數(shù)列{%}是等差數(shù)列，數(shù)列也}是等比數(shù)列，若4+為+%=9也貼8=3』，則（）

A.2B.73C.-D.且

23

6.已知長(zhǎng)方形ABC。中，AD=2AB,E,X分別是43,A。的中點(diǎn)，尸是8C邊上靠近2的三等分點(diǎn)，G是

。。邊上靠近。的四等分點(diǎn).現(xiàn)往長(zhǎng)方形ABC。中投擲96個(gè)點(diǎn)，則落在陰影部分內(nèi)的點(diǎn)有（）

D.72個(gè)

7.已知平面直角坐標(biāo)系中，角a的終邊不在坐標(biāo)軸上，則“tan0<sin（z<cosa”是“a是第四象限角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

22_

8.已知雙曲線C:=-與=1（a>0,b>0）的離心率為君，圓（尤-a）。+F=9與C的一條漸近線相交,

ab

且弦長(zhǎng)不小于4,則。的取值范圍是（）

A.（0,1］B.［。,|C.（0,2］D.

9.勞動(dòng)教育是中國(guó)特色社會(huì)主義教育制度的重要內(nèi)容，某校計(jì)劃組織學(xué)生參與各項(xiàng)職業(yè)體驗(yàn)，讓學(xué)生在勞

動(dòng)課程中掌握一定的勞動(dòng)技能，理解勞動(dòng)創(chuàng)造價(jià)值，培養(yǎng)勞動(dòng)自立意識(shí)和主動(dòng)服務(wù)他人，服務(wù)社會(huì)的情懷.該

校派遣甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)小組到A、B,C三個(gè)街道進(jìn)行打掃活動(dòng)，每個(gè)街道至少去一個(gè)小組，則不

同的派遣方案有（）

A.140B.150C.200D.220

10.已知函數(shù)〃x）=Mcos（s+0,M>O,o>O,|d<1的部分圖象如圖所示，其中A［或，0），

5,o］,C（O,2）,現(xiàn)先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的］再向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度,

得到函數(shù)g（x）的圖象，則｛一舒］=（）

A.72-76B.-2也C.V6-V2D.76+72

22

11.已知橢圓土+匕=1,直線/過橢圓的右焦點(diǎn)尸，交橢圓于A,3兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為A5的中點(diǎn),

1612

N為。尸的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)的取值范圍為（）

6」「1J「3J「13一

A.—-4B.-JC.-JD.不丁

2J\_2J14」124」

2

12.已知函數(shù)=爐，實(shí)數(shù)。，6分別滿足〃2=一，b=ln2f則下列結(jié)論成立的是（）

e

A.a>bB.a<bC.f（a）>f（b）D.f（a）<f（b）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知函數(shù)=—+Asinx+2(〃A工0),若“4)=6,則/(?■)=

x-2y+l<0

14.若滿足約束條件，x+2yW7,則y-2x的最小值是.

3%+2y>5

15.已知正四棱錐P-MCD的底面邊長(zhǎng)為2后，高為"，且14//44,該四棱錐的外接球的表面積為S,則

S的取值范圍為.

16.已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足-c?卜inCcosC=

bccos(B+C),a=y/2,貝IABC周長(zhǎng)的取值范圍為.

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)已知數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S,,且滿足%=2,%=4,當(dāng)心2時(shí)，]鳥二二工，是4的常數(shù)列J.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵當(dāng)〃22時(shí)，設(shè)數(shù)列/—的前"項(xiàng)和為北，證明：(<二.

[n｛n+l)an+1J2

18.(12分)如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB//CD,AB1BC,SA=SD=1,AB=2CD=2BC=2,SB=6,

點(diǎn)M為棱。的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱弘上，且⑷V=3MV.

(1)證明：〃平面S3C；(2)求直線SC與平面S3。所成角的正弦值.

19.(12分)為了進(jìn)一步推動(dòng)智慧課堂的普及和應(yīng)用，A市現(xiàn)對(duì)全市中小學(xué)智慧課堂的應(yīng)用情況進(jìn)行抽樣

調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表:

經(jīng)常應(yīng)用偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用總計(jì)

農(nóng)村40

城^市60

總計(jì)10060160

從城市學(xué)校中任選一個(gè)學(xué)校，偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用智慧課堂的概率吟

(1)補(bǔ)全2x2列聯(lián)表，判斷能否有99.5%的把握認(rèn)為智慧課堂的應(yīng)用與區(qū)域有關(guān)，并闡述理由；

(2)在經(jīng)常應(yīng)用智慧課堂的學(xué)校中，按照農(nóng)村和城市的比例抽取5個(gè)學(xué)校進(jìn)行分析，然后再?gòu)倪@5個(gè)學(xué)校中

隨機(jī)抽取2個(gè)學(xué)校所在的地域進(jìn)行核實(shí)，記其中農(nóng)村學(xué)校有X個(gè)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-be)2

(a+6)(c+d)(a+c)3+d)

P(K2>k)0.5000.0500.005

k0.4453.8417.789

20.（12分）已知拋物線C:f=2py經(jīng)過點(diǎn)P（-2,l）,過點(diǎn)。（-1,0）的直線/與拋物線C有兩個(gè)不同交點(diǎn)AB,

且直線上4交x軸于直線加交x軸于N.

（1）求直線/斜率的取值范圍；

（2）證明：存在定點(diǎn)T,使得。M=2QT,"=〃。7且；+'=4.

Z（J,

21.（12分）己知函數(shù)/（xbaeX+V+x.

（1）若曲線y=/（x）在x=0處的切線方程為y=2x+6,求a,b的值；

⑵若函數(shù)Mx）=/（x）+lna-x2-x7nx,且耳⑺恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

（-）選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.（10分）

°c??[x=tcosa

在直角坐標(biāo)系xOy中，己知曲線C：x?+y2=x+y（其中》＞。），曲線0：.（r為參數(shù)，r＞0）,

[y=tsma

—rsmCLTV

一一G為參數(shù)，/＞0,。＜￡＜彳）.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

y=tcosa2

系.

（1）求C的極坐標(biāo)方程；

⑵若曲線C與G，G分別交于A,B兩點(diǎn)，求0AB面積的最大值.

選修4-5：不等式選講

23.（10分）

已知函數(shù)/（x）=|x-2|-|x-2|.

（1）當(dāng)a=-l時(shí),求不等式的解集;

⑵若不等式/（x）gx—4|-1恒成立，求實(shí)數(shù)〃的值.2024屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考（全國(guó)甲

卷、乙卷通用）

理科數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.考試范圍：高考全部?jī)?nèi)容。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

已知集合=卜€(wěn)叫了=)

1.47^7},3A={-1,5},Z={y|y=2J,則5co=()

A.{123,4,5}B.{1,2,3,5)C.{0,1,2,3,5)D.{-1,0,1,2,3,4.5)

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域求得A,進(jìn)而求得8,根據(jù)函數(shù)的值域求得。，進(jìn)而求得5co.

【詳解】A=XGN|y=74^x1={xeN|0<x<4}={0,1,2,3,4),

因?yàn)?A={-1,5},所以3={-1,0,1,2,3,4,5},又。={>b=2,巾>0},

所以3￡>={1,2,3,4,5}.

故選:A

2.已知復(fù)數(shù)當(dāng)?shù)奶摬渴?,3+ai

則()

1-ai1-ai

A.亞C.3D.而

【答案】A

3+〃i3+oi

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,化簡(jiǎn)結(jié)合虛部為2求出a的值，即可得復(fù)數(shù),再根據(jù)模的計(jì)

1-ai1一出

算公式,即可得答案;

3+ai_(3+ai)(l+ai)3—a2+4ai，則咨

【詳解】=2,

1-ai+l+i?

3+m3-l2+4i3+ai

解得4=1,則=l+2i,則=|l+2i|=>/5,

1—ai1+1-1-ai

故選：A.

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出p的值為21,則空白框內(nèi)可以填入的是（）

A.k<3B.左<5C.k<lD.k<9

【答案】B

【分析】模擬程序，可知輸出p的值為21時(shí)，上的取值，即可得解.

【詳解】執(zhí)行程序框圖：

k=l,P=l,進(jìn)入循環(huán)，p=lxl=l,是；

k=3,0=lx3=3,是；

k=7,p=3x7=21,否，結(jié)束循環(huán).

輸出P的值為21,

所以結(jié)合選項(xiàng)知選B.

故選：B

4.已知ABC中，AB=2,AC=4,ABAC=120°,。為一ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且OA+OB+20c=O,

則A0-8C的值為()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】利用平面向量基本定理即可解決問題.

【詳解】AB-AC=|AB||AC|COS120=2x4x]-g]=-4,

vOA+OB+2OC=0>/.OA+(OA+AB)+2(0A+AC)=0,AO=^AB+^AC,

AO-BC^\-AB+-AC\(AC-AB｝=-AC2--AB2--AB-AC=S

(42八>244

故選：C.

5.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，若6+丹+名=9也貼8=36,則士廠()

AI

A.2B.J3C.-D."

23

【答案】C

【分析】根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)分析求解.

也4+納4+分%=3相a.=9’解得,%=3

【詳解】由題意可得，=3

4=5

斫以二a,+a.L,=——2a.=---6---=—3

加入1+Z41+￡1+32,

故選：C.

6.已知長(zhǎng)方形4BC。中，AD=2AB,E,X分別是AB,的中點(diǎn)，尸是BC邊上靠近B的三等分點(diǎn)，G是

。。邊上靠近。的四等分點(diǎn).現(xiàn)往長(zhǎng)方形ABC。中投擲96個(gè)點(diǎn)，則落在陰影部分內(nèi)的點(diǎn)有()

C.54個(gè)D.72個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)己知可分別長(zhǎng)方形及陰影部分的面積，再根據(jù)幾何概型即可求解.

【詳解】依題意，不妨設(shè)A8=6,則AD=12,落在陰影部分的點(diǎn)有八個(gè)，

結(jié)合題中圖形易知長(zhǎng)方形ABCD的面積為6x12=72,

陰影部分的面積S=12x6-工X3X6」X6X3-LX8X2—J_X4X3=",

2222222

69

由幾何概型得」_=2，解得九=46,

96~72

即落在陰影部分內(nèi)的點(diǎn)有46個(gè).

故選：A.

7.已知平面直角坐標(biāo)系中，角a的終邊不在坐標(biāo)軸上，則“tancr<sin(z<cosa"是"a是第四象限角”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用不同象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)可知，a不在第二象限和第三象限，對(duì)a在第一象限和第四

象限進(jìn)行分類討論即可得出結(jié)論.

【詳解】顯然a在第二象限和第三象限不等式均不成立，

若a在第一象限，則tana>0,sin(Z>0,coscr>0,

因?yàn)镺ccosevl,所以一-—>1,

cosa

sincc

可知---->sina,即tana>sina,故tanavsinavcosa不成立；

cosa

若。在第四象限，貝！Jtana<0,sina<0,cosa>0,

因?yàn)镺vcosavl,所以一-—>1,

cosa

sinoc

可知----<sin6/,即tancrvsina,即tanavsinavcosa成立；

cos。

若tanavsinevcosa,則可知。不在第二象限和第三象限；

當(dāng)a在第一象限時(shí)，不妨取工，則sina=^>cosa=L,不合題意；

322

所以a只能是第四象限角;

綜上可知，“tanavsinavcosa”是是第四象限角”的充要條件.

故選：C

22_

8.已知雙曲線C:二-2=1(a>0,b>0)的離心率為正，圓(x-a>+y2=9與C的一條漸近線相交,

ab

且弦長(zhǎng)不小于4,則a的取值范圍是()

A.(0,1]B.10,|C.(0,2]D.fo,|

【答案】D

【分析】根據(jù)雙曲線的離心率可得漸近線方程為y=±2x,結(jié)合弦長(zhǎng)可得2/9-丫24,運(yùn)算求解即可.

【詳解】設(shè)雙曲線C的半焦距為c>0,

則e，=H=J也尹=、"^=布,解得2=2,

a\a\ayaa

且雙曲線C的焦點(diǎn)在X軸上，所以雙曲線C的漸近線為y=±2尤，

因?yàn)閳A。-。了+丁=9的圓心為(a,0),半徑r=3,

可知圓(x-a)2+V=9關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨取漸近線為y=2x,即2x-y=0,

則圓心(a,0)到漸近線的距離”=m<3,可得0<a〈笠，

又因?yàn)閳A(x-a)2+y=9與雙曲線C的一條漸近線相交弦長(zhǎng)為2,因一屋=2/一Y,

由題意可得2,9-手24,解得0<森(

所以a的取值范圍是[。福.

故選：D.

9.勞動(dòng)教育是中國(guó)特色社會(huì)主義教育制度的重要內(nèi)容，某校計(jì)劃組織學(xué)生參與各項(xiàng)職業(yè)體驗(yàn)，讓學(xué)生在勞

動(dòng)課程中掌握一定的勞動(dòng)技能，理解勞動(dòng)創(chuàng)造價(jià)值，培養(yǎng)勞動(dòng)自立意識(shí)和主動(dòng)服務(wù)他人，服務(wù)社會(huì)的情懷.該

校派遣甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)小組到A、8、C三個(gè)街道進(jìn)行打掃活動(dòng)，每個(gè)街道至少去一個(gè)小組，則不

同的派遣方案有()

A.140B.150C.200D.220

【答案】B

【分析】分成兩種情況，分別對(duì)每種情況單獨(dú)討論即可.

【詳解】當(dāng)按照3:1:1進(jìn)行分配時(shí)，則有C；A；=60種不同方案，

C2

當(dāng)按照2:2:1進(jìn)行分配時(shí)，則有C；涓A；=90種不同方案，

故共有150不同的方案，

故選:B

10.已知函數(shù)/(x)=Mcos(s+0“M＞0,。＞0,［司＜］的部分圖象如圖所示，其中小?,

B[^,O\C（O,2）,現(xiàn)先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的;，再向左平移含個(gè)單位長(zhǎng)度,

\NT"JJ

571

得到函數(shù)g（力的圖象,則g()

144

C.V6-V2D.V6+V2

【分析】根據(jù)圖象得到八％）的最小正周期，進(jìn)而求出口，根據(jù)/（%）的圖象過點(diǎn)AC求出得到了（%）的

解析式，根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則求出g（無）的解析式,即可根據(jù)和差角公式求解.

【詳解】記函數(shù)/'（X）的最小正周期為T,由題意知:=工一或=:,得7=（所以&=宗=4,故

/（%）=Afcos（4x+e）.

因?yàn)?（X）的圖象過點(diǎn)所以4x￡+0=3+2日(左wZ),得"=1+2far(左EZ),又|?|＜］，所以

1,故〃x)=Mcos(4x+|J,

9=

3

因?yàn)?（x）的圖象過點(diǎn)。（。,2）,所以Mcos1=2,解得M=4,所以/（"=4cos]以十5；

將〃x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的g,得到y(tǒng)=4cos112x+3的圖象，再將所得圖象向左平移點(diǎn)

324

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）=4cos卜2了+5+與=4cosH2x+^-

的圖象，所以

571“571/7171.(7171.71.71

g=4cos——=4cos—+—4cos—cos---sin—sin—=yj6~y/2,

1441246I4646

故選:c.

22

11.已知橢圓三+二=1,直線/過橢圓的右焦點(diǎn)尸，交橢圓于A,B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為的中點(diǎn),

1612..............

N為。尸的中點(diǎn),則線段的長(zhǎng)的取值范圍為（）

3

A.B.C.D.

214

【答案】A

【分析】依題意運(yùn)用垂徑定理和橢圓的對(duì)稱性即可求解.

【詳解】Ux軸時(shí)M（2,0）1（1,O）,N（1,O）,故|叫=1,

Uy軸時(shí)A,8均為頂點(diǎn)，〃為原點(diǎn)，尸（2,0）,N（l,0）,故WM=1,

4

/不垂直坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)/：尤=④+2,和橢圓方程聯(lián)立得（〃y+2）9-+gy2=16

即1/+g卜2+4ny-12=0

，…2/8

故乙="加+2=2--=

n-\——

3

故心M心B=干：=一：，即

人M幾一4

23

設(shè)M（x,y）,易知/2,。），則…，2聽?長(zhǎng)=［（1）+1/一1）一1廠“

得點(diǎn)M的軌跡方程為"-）+5=1,而無=。,2時(shí)也滿足該方程，剛好構(gòu)成完整的橢圓，且N為其對(duì)稱中

心，

22

又橢圓當(dāng)=1上的點(diǎn)到橢圓中心的距離de也同,

ab

所以|MN|e￥，1.

故選：A.

2

12.已知函數(shù)/（x）=ex+er-V,實(shí)數(shù)。，匕分別滿足/=—,b=ln2,則下列結(jié)論成立的是（）

A.a>bB.a<bC./（a）>f（b'）D./（a）<f（b）

【答案】C

【分析】對(duì)于AB選項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性比較大小進(jìn)行判斷.

對(duì)于CD利用函數(shù)為偶函數(shù)得到“的兩個(gè)函數(shù)值相等，然后求出（0,一）上函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，然后利用單

調(diào)性比較大小.

|，得…￡令且⑴:詈，則g，(x)=圭—Inx,—7=2—Inx

【詳解】由二——^=27^

X

所以當(dāng)無時(shí)，g'(無)>。，當(dāng)xe(e2,+9)時(shí)，g'(無)<0,

所以g(x)在(0,e2)上單調(diào)遞增,在卜2,+e)上單調(diào)遞減,

Ine1In2</?

所以g(e)>g(2),即歪=能>近，所以/>1口2,

56

所以當(dāng)。=〒時(shí)，a>b,當(dāng)々=一一產(chǎn)時(shí)，a<Q<b,故選項(xiàng)A,B均錯(cuò)誤.

Jeve

因?yàn)樗詅(x)的定義域?yàn)镽,f(-x)=/(x),所以，(x)是偶函數(shù).

易知r(x)=e“—e—x—2x,^h(x)=ex-e~x-2x,貝!J"(%)=e”+匕一”一220,

所以廣⑺是R上的增函數(shù).

因?yàn)槭?0)=0,所以當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)>0,所以"X)在(0,內(nèi))上單調(diào)遞增,

所以/(?)=/[±日=/舊〉〃ln2)=f(b).

故選:C.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知函數(shù)/⑴—+bsinx+2(aZ;W0),若“4)=6,則〃-4)=

【答案】-2

【分析】設(shè)g(%)=/(x)-2=等二+bsinX,判斷函數(shù)g(x)的奇偶性求解即可.

【詳解】設(shè)+即戶"

g(x)=/(x)-2=3+力sinx,

g(x)的定義域?yàn)闊owo},

x+bsin苫]=

g(-)=e-/+bsin(r)=-Q：-g(x),

g(x)是奇函數(shù)，

"4)=6,.?.g(4)=/(4)-2=6-2=4,

.??g(-4)=/(-4)-2=-g(4)=-4,

故答案為：-2.

x-2y+l<0

14.若x，y滿足約束條件<x+2y47,則y-2x的最小值是

3x+2y25

【答案】-4

【分析】利用線性規(guī)劃作出可行域，直接求最優(yōu)解即可.

【詳解】如圖，作出可行域，為一封閉三角形區(qū)域（包含邊界），

易得三角形的頂點(diǎn)分別為A（-l,4）,B（3,2）,C（1,1）,

作出直線y=2x并平移，

當(dāng)平移后的直線過點(diǎn)8時(shí)，y-2x取得最小值，

且為2—2x3=4

故答案為：—4

15.已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2夜，高為“，且該四棱錐的外接球的表面積為S,則

S的取值范圍為.

【答案】［16兀,25兀］

【分析】作出輔助線，找到球心的位置，列出方程，求出半徑與〃的關(guān)系式，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性和最

值情況，得到表面積的取值范圍.

【詳解】連接AC,3。相交于點(diǎn)E,連接PE,則PEL平面ABCD,

球心。在尸E上，連接則OP=O3=r,OE=h-r,

因?yàn)檎睦忮F尸-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2虛，所以巫=2,

在直角三角形OBE上，由勾股定理得OB2=OE2+BE2,

即產(chǎn)=22+（/7-r）2,1</1<4,解得r—

,,21/I2-4

由/=一一r+-=―丁,

h222/?

當(dāng)時(shí)，/<0,〃=介2單調(diào)遞減，

當(dāng)此（2,4］時(shí)，/>0,/?=?單調(diào)遞增,

所以廠=：+?在力=2取得極小值，也是最小值，此時(shí)/'=2,

h2

又當(dāng)力=1和無=4時(shí)，r=2+-=-

22f

所以一￡2,g,貝！jS=4兀/￡［16兀,25兀］.

D

故答案為：［16兀,25兀］

16.已知銳角三角形A8C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足-6?-c?卜gCcosC=

Z?ccos(B+C),0=^/2,貝ij.ABC周長(zhǎng)的取值范圍為.

【答案】(2+V2,2A/2+2)

【分析】本題利用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，將已知轉(zhuǎn)化為角后，利用角的范圍求三角函數(shù)的范圍，從

而解出周長(zhǎng)的范圍.

【詳解】由(a?——c-sinCcosC=becos(B+C),得——(——------sinCcosC=cos(B+C)=cos(^—A))

化簡(jiǎn)為—2cos4sinCcosC=—cosA,因?yàn)锳為銳角，所以cosAwO,

jr

所以2sinCc°sC=l,即sin2c=1,因?yàn)镃為銳角，所以C="

由正弦定理就=^=髭得"Uri。煮.條烹,

asinB拒sin[=-（A+C）]^2sin^A+jsinA+cosA,

sinAsinAsinAsinA

故.ABC的周長(zhǎng)為

1sinA+cosA_1+cos

I=c+b+a=

sinAsinAsinA

02AA

2cos—cos—]

--------^—+V2+1=—J_+A/2+1=-+V2+1.

c.AA.AA

2sin—cos—sin—tan—

2222

TT

因?yàn)閏=K且-MC為銳角三角形'

71A71

所以卜A芳,—<—<—

824

2tan—/\

因?yàn)閠an2=----------=1,整理得tai?三+2tan三一1二0tan—>0,

488I8J

8

解得tan￡=-l+0,

o

所以后一Ivtan^vl,故1<4<同1,

25

fiCh.2+V2<^-+V2+l<2V2+2

所以tan^'

2

即一ABC周長(zhǎng)的取值范圍為(2+忘,2①+2).

故答案為：(2+72,272+2).

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S.,且滿足4=2,%=4,當(dāng)w22時(shí)，1安巴，是4的常數(shù)歹1].

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列,—的前〃項(xiàng)和為?；，證明：

[n｛n+l)an+lJ2

即(t包[是4的常數(shù)列，............2分

【詳解】(1)當(dāng)“22時(shí)，為等比數(shù)列，

故見+1=4。"_1，........................................................................................................................................3分

當(dāng)〃=2左時(shí)，a2k+1=4<2M_1,.................................................................................................................4分

當(dāng)九=2左+1時(shí)，a2k+2=4a2k,.............................................................................................................5分

二數(shù)列｛%-｝，｛%,｝均為公比為4的等比數(shù)列，

12

二.%=24-1=221,?2?=4-4"-=2",.......................................................................................7分

2"....................................................................................................................................................8分

⑵〃+2=〃+2=2(〃+1)

?"(n+l)-2"+,,107

+n(n+l)2n+1n(n+l)2n+1

〃+2

.?.當(dāng)“22時(shí)，數(shù)列',八，的前”項(xiàng)和為

[n[n+l)an+lJ

1

r-O_____O+O______O+Jj___-J—1=1一——<112夕

"(1x22x22J(2x223x23Jn-T(r+1)-2用2(?+1)-2"+12攵

18.(12分)如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB//CD,ABJ.BC,SA=SD=1,AB=2CD=2BC=2,SB=?,

點(diǎn)〃為棱CO的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱81上，且4V=3SN.

(1)證明：MN//平面SBC；

(2)求直線SC與平面S3。所成角的正弦值.

【詳解】(1)在平面ABC。內(nèi)過點(diǎn)M作兒牛〃3c交A3于點(diǎn)P,連接NF,

則四邊形MCBF為平行四邊形,

所以EB=MC=：CD=所以AF=3FB,

又AN=3SN,所以NFI/SB.................................................................................................................1分

因?yàn)镹Pz平面S3C,S3u平面SBC,所以NF〃平面5BC,

因?yàn)槠矫鍿BC,BCu平面S8C,所以MF〃平面&BC,...................................2分

又NFMF=F,NF,MFu平面MNF,所以平面尸//平面1sBC,.......................................3分

又肱Vu平面肱VF,所以ACV〃平面1sBe......................................................................................4分

(2)取AD的中點(diǎn)。，連接SO,80,

因?yàn)锳B//CD,AB_LBC,AB=2CD=2BC=2,

所以AD=BZ)=應(yīng)，所以AD2+B￡>2=44，所以ADSBD,....................................................5分

又SA=SD=1,AD=0,所以&4，S￡>,50_14￡),所以50=工4。=也.

22

在ABCO中，BO2=BD2+OD2=-,

2

又SB=0,所以SB?=5。2+3。2,所以SO_LO3,......................................................................6分

又AD30=0,4￡),30匚平面48?！?,所以SO_L平面A3CD.

過B作3z//SO,則Bz_L平面A3CD,則3A3C,及兩兩垂直，.........................7分

所以以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,BC,Bz所在的直線分別為尤,％z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

iB、

則5(0,0,0),C((U,0),D(l,l,0),S,

【222J

315A31

所以2S=,2。=(1,1,0),sc=-..................................8分

(222JI222J

設(shè)平面SB。的法向量為〃=(%,y,z),

、

n,BS=(x,y，z>I'l■'孝=二+%+比z=0

222

則7

n.BD=(x,=x+y=0

取x=l,貝!Jy=—1,z=—zz=^1,—1,—5/2j,...........................................10分

設(shè)直線sc與平面S3。所成的角為e,

I/7卜c/一5一”i6

Ulisinf)=1cosISC.〃\=J_=---------=.11分

,/網(wǎng)W266.......................

V442

即直線SC與平面S3。所成角的正弦值為丑..........................................

12分

6

19.(12分)為了進(jìn)一步推動(dòng)智慧課堂的普及和應(yīng)用，A市現(xiàn)對(duì)全市中小學(xué)智慧課堂的應(yīng)用情況進(jìn)行抽樣

調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

經(jīng)常應(yīng)用偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用總計(jì)

農(nóng)村40

城市60

總計(jì)10060160

從城市學(xué)校中任選一個(gè)學(xué)校，偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用智慧課堂的概率是

(1)補(bǔ)全2x2列聯(lián)表，判斷能否有99.5%的把握認(rèn)為智慧課堂的應(yīng)用與區(qū)域有關(guān)，并闡述理由；

(2)在經(jīng)常應(yīng)用智慧課堂的學(xué)校中，按照農(nóng)村和城市的比例抽取5個(gè)學(xué)校進(jìn)行分析，然后再?gòu)倪@5個(gè)學(xué)校中

隨機(jī)抽取2個(gè)學(xué)校所在的地域進(jìn)行核實(shí)，記其中農(nóng)村學(xué)校有X個(gè)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-be)2

(a+6)(c+d)(a+c)3+d)

P(K22k)0.5000.0500.005

k0.4453.8417.789

【詳解】(1)補(bǔ)全列聯(lián)表如下:

經(jīng)常應(yīng)用偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用總計(jì)

農(nóng)村404080

城市602080

總計(jì)10060160

2分

片=_______3bc￥_______=160(20x40-40x60)^32

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)100x60x80x803...........................力

所以有99.5%的把握認(rèn)為認(rèn)為智慧課堂的應(yīng)用與區(qū)域有關(guān)...............................5分

(2)在經(jīng)常應(yīng)用智慧課堂的學(xué)校中，農(nóng)村和城市的比例是2:3,所以抽取的5個(gè)樣本有2個(gè)是農(nóng)村學(xué)校，3

個(gè)是城市學(xué)校，抽取2個(gè)，.........................................................6分

則X可能取值為04,2.

c°c2,嗥P（X=2）="wi

P（x=o）/................................................9分

所以X的分布列為:

X012

331

P

W5W

11分

X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0x1+lx1+2x￡q.................................................................................12分

20.(12