江蘇省徐州市2024-2025學年高一數(shù)學下學期期中試題含解析

PAGE18-江蘇省徐州市2024-2025學年高一數(shù)學下學期期中試題（含解析）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.sin45°cos15°+cos45°sin15°的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩角和與差的正弦公式求得答案.【詳解】解：sin45°cos15°+cos45°sin15°＝sin（45°+15°）＝sin60°，故選：B.【點睛】本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式.屬基礎(chǔ)題.2.在正方體中，與是（）A.相交直線 B.平行直線C.異面直線 D.相交且垂直的直線【答案】C【解析】【分析】依據(jù)異面直線的概念可推斷出與是異面直線.【詳解】由圖形可知，與不同在任何一個平面，這兩條直線為異面直線.故選：C.【點睛】本題考查空間中兩直線位置關(guān)系的推斷，熟識異面直線的概念是推斷的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3.已知：α，β均為銳角，tanα，tanβ，則α+β＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換及和角公式的運用求出結(jié)果.【詳解】解：由于α，β均為銳角，tanα，tanβ，所以.所以.所以故選：B.【點睛】本題考查的學問要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，和角公式的運用，主要考查學生的運算實力和轉(zhuǎn)換實力及思維實力，屬于基礎(chǔ)題型.4.在△ABC中，已知a＝6，b＝8，C＝60°，則△ABC的面積為（）A.24 B.12 C.6 D.12【答案】B【解析】【分析】由已知利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：∵a＝6，b＝8，C＝60°，∴△ABC的面積SabsinC12.故選：B.【點睛】本題主要考查了三角形的面積公式的應用，屬于基礎(chǔ)題.5.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由，可得，結(jié)合，，可得，繼而得到，，轉(zhuǎn)化，利用兩角差的正弦公式即得解【詳解】由題意，故故又，故，則故選：C【點睛】本題考查了兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系綜合，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算實力，屬于中檔題6.已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a，b，c，若bcosC+ccosB＝b，則△ABC肯定是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形【答案】A【解析】【分析】干脆利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦定理的應用求出結(jié)果.【詳解】解：△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a，b，c，由bcosC+ccosB＝b，依據(jù)正弦定理：sinBcosC+sinCcosB＝sinB，整理得sin（B+C）＝sinA＝sinB，故a＝b，則△ABC肯定是等腰三角形.故選：A.【點睛】本題考查的學問要點：正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，主要考查學生的運算實力和轉(zhuǎn)換實力及思維實力，屬于基礎(chǔ)題型.7.若tanα＝2，則2cos2α+sin2α＝（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切求解.【詳解】解：∵tanα＝2，∴2cos2α+sin2α.故選：D.【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及二倍角公式的應用，是基礎(chǔ)題.8.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面是平行四邊形，點F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，則λ的值為（）A.1 B. C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】連結(jié)AC，交BD于O，連結(jié)OF，則AO＝OC，再由點F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，能求出OF∥PC，【詳解】解：連結(jié)AC，交BD于O，連結(jié)OF∵四棱錐P﹣ABCD的底面是平行四邊形，∴AO＝OC，∵點F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，∴OF∥PC，∴λ＝1.故選：A.【點睛】本題考查實數(shù)值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學問，考查運算求解實力，是中檔題.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.下列各式中，值為的是（）A.2sin15°cos15° B.C.1﹣2sin215° D.【答案】BCD【解析】【分析】利用二倍角公式結(jié)合三角函數(shù)的值逐一求解四個選項得答案.【詳解】解：對于選項A，2sin15°cos15°＝sin30；對于選項B，；對于選項C，1﹣2sin215°＝cos30；對于選項D，.∴值為的是BCD.故選：BCD.【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查二倍角公式的應用，是基礎(chǔ)題.10.依據(jù)下列條件解三角形，有兩解的有（）A.已知a，b＝2，B＝45° B.已知a＝2，b，A＝45°C.已知b＝3，c，C＝60° D.已知a＝2，c＝4，A＝45°【答案】BD【解析】【分析】干脆利用三角形的解的狀況的判定理的應用和正弦定理的應用求出結(jié)果.【詳解】解：對于選項A：由于a，b＝2，B＝45°，利用正弦定理，解得sinA，由于a＜b，所以A，所以三角形有唯一解.對于選項B：已知a＝2，b，A＝45°，利用正弦定理，解得,又,則或，故三角形有兩解.對于選項C：已知b＝3，c，C＝60°，所以利用正弦定理，所以sinB＝1.5＞1，故三角形無解.對于選項D：已知a＝2，c＝4，A＝45°，由于a＞csinA，即以頂點B為圓心,a為半徑的圓與AC射線有兩個不同交點，故三角形有兩解.故選：BD.【點睛】本題考查的學問要點：正弦定理的應用，三角形的解的狀況的判定，主要考查學生的運算實力和轉(zhuǎn)換實力及思維實力，屬于基礎(chǔ)題型.11.在空間四邊形中,分別是上的點,當平面時,下面結(jié)論正確的是()A.肯定是各邊的中點B.肯定是中點C.,且D.四邊形是平行四邊形或梯形【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可得解.【詳解】解：由平面,所以由線面平行的性質(zhì)定理,得,,則,且,且,四邊形是平行四邊形或梯形.故選：.【點睛】本題考查線面平行的性質(zhì)定理的應用，屬于基礎(chǔ)題.12.在中，，，下列各式正確是()A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，可得，選項A，B錯誤；再依據(jù)已知條件和兩角和的正切公式可得，故選項C，D正確.【詳解】，，，，選項A，B錯誤；，①，又②，聯(lián)立①②解得，，故選項C，D正確:故選：CD.【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，考查了兩角和的正切公式，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知α為其次象限的角，sinα，則tan2α＝_____.【答案】【解析】【分析】由已知求得cosα，進一步得到tanα，再由二倍角的正切求解.【詳解】解：∵α為其次象限的角，且sinα，∴cosα，得tan.∴tan2α.故答案為：.【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及二倍角的正切，是基礎(chǔ)題.14.如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，則異面直線EF與B1D1所成的角為_____.【答案】60°【解析】【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線EF與B1D1所成的角.【詳解】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為2，則E（0，1，2），F(xiàn)（0，2，1），B1（2，2，2），D1（0，0，2），（0，1，﹣1），（﹣2，﹣2，0），設(shè)異面直線EF與B1D1所成的角θ，則cosθ，∴θ＝60°.故答案為：60°.【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學問，考查運算求解實力，是中檔題.15.內(nèi)角的對邊分別為，若的面積為，則C=_______________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)余弦定理和的面積公式可求角.【詳解】由余弦定理，可得的面積，又的面積，，又.故答案為：.【點睛】本題考查余弦定理和三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.16.已知：，cos（α），則cos（α）＝_____.【答案】【解析】【分析】首先利用已知條件求出的范圍，進一步求出，最終利用角的恒等變換的應用求出結(jié)果.【詳解】解：由已知，則，由于cos（α），故.則cos（α）＝cos[（）].故答案為：.【點睛】本題考查的學問要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，和角和差角公式的應用，主要考查學生的運算實力和轉(zhuǎn)換實力及思維實力，屬于基礎(chǔ)題型.四、解答題（共6小題，滿分70分）17.△ABC三個內(nèi)角A，B，C對應的三條邊長分別是a，b，c，且滿意csinA＝acosC.（1）求角C的大?。唬?）若b，c，求a.【答案】（1）（2）a【解析】【分析】（1）由正弦定理得csinA＝asinC，代入得，即可得出.（2）由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，代入化簡即可得出.【詳解】解（1）由正弦定理得csinA＝asinC，代入得，即∵0＜C＜π，∴sinC≠0，故cosC≠0∴又0＜C＜π，∴.（2）由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，得a22acos，即a2﹣3a﹣8＝0，解得a，又a＞0，∴a.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、方程的解法，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知函數(shù)f（x）＝cos2x+sinxcosx.（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）若x∈[，]，求函數(shù)f（x）的取值范圍.【答案】（1）π（2）【解析】【分析】（1）由題意利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性，得出結(jié)論.（2）由題意利用正弦函數(shù)函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的取值范圍.【詳解】解：（1）由題意可得，，所以f（x）的最小正周期為T＝π.（2）若x∈[，]，則2x∈[，]，∴，∴f（x）的取值范圍為.【點睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的定義域、值域，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為A1C1和BC的中點，M，N分別為A1B和A1C的中點.求證：（1）MN∥平面ABC；（2）EF∥平面AA1B1B.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）推導出MN∥BC，由此能證明MN∥平面ABC.（2）取A1B1的中點D，連接DE，BD.推導出四邊形DEFB是平行四邊形，從而EF∥BD，由此能證明EF∥平面AA1B1B.【詳解】證明：（1）∵M、N分別是A1B和A1C中點.∴MN∥BC，又BC?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC.（2）如圖，取A1B1的中點D，連接DE，BD.∵D為A1B1中點，E為A1C1中點，∴DE∥B1C1且，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1是平行四邊形，∴BC∥B1C1且BC＝B1C1，∵F是BC的中點，∴BF∥B1C1且，∴DE∥BF且DE＝BF，∴四邊形DEFB是平行四邊形，∴EF∥BD，又BD?平面AA1B1B，EF?平面AA1B1B，∴EF∥平面AA1B1B.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學問，考查運算求解實力，是中檔題.20.已知α，β∈（0，π），且tanα＝2，cosβ（1）求tan（α+β）的值；（2）求2α﹣β的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）干脆利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應用和同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換求出結(jié)果.（2）利用角的變換的應用及和（差）角公式的應用，求出結(jié)果.【詳解】解（1）∵，∴，∴.∴.（2）由（1）知，∴.∴.∵tanα＝2，α∈（0，π），∴，∵，∴，∵tan（2α﹣β）＝﹣1∴.【點睛】本題考查的學問要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換，和（差）角公式的應用，主要考查學生的運算實力和轉(zhuǎn)換實力及思維實力，屬于基礎(chǔ)題型.21.如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2.（1）若∠ABC＝30°，求DC；（2）記∠ABC＝θ，當θ為何值時，△BCD的面積有最小值？求出最小值.【答案】（1）（2）θ＝75°時，面積取最小值.【解析】【分析】（1）由題意可求∠ADC＝120°，在△ACD中，可得∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠ADC＝120°，進而由正弦定理解得CD的值.（2）由題意可得可得∠CAD＝30°，可求∠ADC＝150°﹣θ，在△ADC中，由正弦定理解得，在△ABC中解得，利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應用可求S△BCD，結(jié)合范圍0°＜θ＜150°，可得﹣60°＜2θ﹣60°＜240°，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：（1）在四邊形ABCD中，因為AD⊥AB，∠BCD＝120°，∠ABC＝30°，所以∠ADC＝120°，在△ACD中，可得∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠ADC＝120°，AC＝2，由正弦定理得：，解得：.（2）因為∠CAB＝60°，AD⊥AB可得∠CAD＝30°，四邊形內(nèi)角和360°得∠ADC＝150°﹣θ，∴在△ADC中，由正弦定理得：，解得：，在△ABC中，由正弦定理得：，解得，∴S△BCD，∵0°＜θ＜150