2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：基本不等式的三種高頻考點(diǎn)題型歸類（講義）解析版

專題1-2基本不等式的三種高頻考點(diǎn)題型歸類

01專題網(wǎng)絡(luò)?思維腦圖（含基礎(chǔ)知識(shí)梳理、常用結(jié)論與技巧）

02考情分析?解密高考

03高頻考點(diǎn)?以考定法（五大命題方向+6道高考預(yù)測(cè)試題，高考必考?（4-8）分）

考點(diǎn)一基本不等式

>命題點(diǎn)基本不等式及其應(yīng)用

>高考猜題

考點(diǎn)二不等式的性質(zhì)

>命題點(diǎn)不等關(guān)系與不等式

>高考猜題

考點(diǎn)三絕對(duì)值不等式

>命題點(diǎn)絕對(duì)值不等式的解法

>高考猜題

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專題網(wǎng)絡(luò)?思維腦圖?

2023年秋考第1題

絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式的解法

2023年春考第3題

高頻考點(diǎn)?以考定*

考點(diǎn)一基本不等式

??高考解密<<

命題點(diǎn)基本不等式及其應(yīng)用

典例01（2024?上海）已知"=1,44+9k的最小值為12.

【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可求解.

【解答】解：由。匕=1,44+9》2..2?2。?36=12,當(dāng)且僅當(dāng)2。=3匕，BPa=-^-,b-A=

2323

時(shí)取最小值12,

所以4片+9片的最小值為12.

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

典例02（2023?上海）已知正實(shí)數(shù)°、6滿足a+46=l,則必的最大值為—.

一16一

【分析】直接利用基本不等式求出結(jié)果.

【解答】解：正實(shí)數(shù)。、6滿足4+46=1,貝』x（空竺『=，,當(dāng)且僅當(dāng)“=1，6=工時(shí)

4421628

等號(hào)成立.

故答案為：

16

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：基本不等式，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題.

考點(diǎn)二不等式的性質(zhì)

??高考解密<<

命題點(diǎn)不等關(guān)系與不等式

典例01（2024?上海）a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是（）

A.a+b2>a+c1B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.c^b>a2c

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：對(duì)于A,若|"<|c|,則k<02,選項(xiàng)不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于5,a2-a2,b>c,

由不等式的可加性可知，cr+b>a1+c,故3正確.

對(duì)于C、D,若a=0,則選項(xiàng)不成立，故C、D錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)三絕對(duì)值不等式

命題點(diǎn)絕對(duì)值不等式的解法

典例01（2023?上海）不等式的解集為_(kāi)（1,3）_.

【分析】原不等式可化為-l<x-2<1,從而求出尤的范圍.

【解答】解：由|x-2|<l可得，-1<%-2<1,

解得l<x<3,

即不等式的解集為（1,3）.

故答案為：（1,3）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

典伊】02（2023?上海）不等式的解集為：—（結(jié)果用集合或區(qū)間表示）

【分析】運(yùn)用|x|麴h=a,不等式2即為-2效樂(lè)-12,解出即可.

【解答】解:不等式|x-l|,,2即為-2都一12,

即為-啜k3,

則解集為[T,3],

故答案為：[-1,3].

【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

（J創(chuàng)新好題.分層訓(xùn)煉?〉（★精選22道最新名校模擬考試題+21道易錯(cuò)提升）

一、填空題

1.（2023?上海虹口?上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）不等式國(guó)+|2023-R<2023的解集為_(kāi)______.

【答案】0

【分析】利用零點(diǎn)分段法，分三種情況進(jìn)行求解，得到答案.

【詳解】|x|+|2023-x|<2023,當(dāng)x<0時(shí)，一龍+2023r<2023,解得尤>0,故解集為0,

當(dāng)0WXW2023時(shí)，x+2023—x<2023,解集為0,

當(dāng)x>2023時(shí)，x+尤一2023<2023,解得x<2023,故解集為0,

綜上：不等式的解集為。.

故答案為：0

12

2.（2023?上海金山?統(tǒng)考二模）已知正實(shí)數(shù)。力滿足一+7=1,則為+人的最小值為_(kāi)_______.

ab

【答案】8

【分析】因?yàn)?0+6=（24+3.\+2，展開(kāi)利用基本不等式求解即可.

12

【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)。/滿足一+7=1,

ab

所以20+6=（2.+6）.仕+2]=4+四+”4+2、但2=8,

b）ba\ba

〃

當(dāng)且僅當(dāng)4空=h=即人=4,a=2時(shí)等號(hào)成立，

ba

所以2a+6的最小值為8.

故答案為：8.

3.（2023.上海浦東新?華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)關(guān)于x的不等式V一G+6<0的解集為（-1,2）,則

a+b=_______.

【答案】-1

【分析】根據(jù)一元二次不等式與方程的關(guān)系求解.

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式爐-6+6<0的解集為（」,2）,

所以一元二次方程/一分+6=0的兩個(gè)根為-1,2,

1—1+2=4

所以根據(jù)韋達(dá)定理可得-1x2=。,解得°=1,6=一2,

則AB=_______.

【答案】{3,4}

【分析】先求出集合A,B,再由交集的定義求解即可.

【詳解】A={XGN|X<5}={0,1,2,3,4},

B=[x\》（*-2）>0}={小<0或%>2},

所以A臺(tái)={3,4}.

故答案為：{3,4}

5.（2023?上海普陀?曹楊二中?？寄M預(yù)測(cè)）不等式，20的解集是____.

x—\

【答案】（l,4w）U{。}

【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為Fa：。；。，從而可解不等式.

x-1^0

【詳解】因?yàn)槎?0,所以『叮）j°，解得了>1或x=0，

x-11x-1/O

所以不等式=20的解集是（L"）—{0}.

故答案為：（1,^）1{0}

6.（2023?上海徐匯?上海市南洋模范中學(xué)?？既＃┰O(shè)集合A={尤eZ||x|w2},B={y|y=l-x2,xeR）,

則AB=_______.

【答案】{-2,-1,0,1}

【分析】確定4={-2,-1,0,1,2},8=}僅41},再計(jì)算交集得到答案.

【詳解】A={xeZ||x|<2}={xeZ|-2<x<2}={-2,-1,0,1,2）,

8={小=12”埒={小41},故Ac3={-2,-1,0,1}.

故答案為：{-2,-1,0,1}.

7.（2023?上海金山?上海市金山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的不等式尤2+灰+。20（6>1）的解集為口，

?.1+2b+4c,,曰.0、r

則一:—:—的最小值為_(kāi)______.

b-1

【答案】8

*1+2b+4r4

【分析】由題意可得A40化簡(jiǎn)得。2幺，所以：：-1)+—+4,利用基本不等式即可求解

4b-1b-l

b2

【詳解】因?yàn)椴坏仁?+"+。203>1)的解集為R,則A="-4c<0=>c>—，

4

因?yàn)閎>l,所以

.l+2/?+4cb2+2b+l(Z?-l)2+4(/?-l)+444>2j(Z?-l)x-^-+4=8.

..--------->---------=----------------——=(zz/7-1)+----+

b-lb-lb-lb-\

4

當(dāng)且僅當(dāng)b—1二丁=，即〃=3時(shí)，取到等號(hào).

b-l

故答案為：8

8.(2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模)命題“若無(wú)>。，則土4>0”是罩

1命題，實(shí)數(shù)。的取值范圍是_______.

【答案】［L+8)

【分析】由角軍得光>1或%<0,貝！J%>4能推出或％<0成立，即可得出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由—>0可得：M%—1)>°，解得：X>1或XV。，

"若%>〃，則--->?！笔钦婷}，貝!Jx>。能推出1>1或％v0欣

X

則.故實(shí)數(shù)。的取值范圍是［1,+8).

故答案為：［1,+8)

9.(2023?上海崇明?上海市崇明中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))若集合P={x|x(x-l)>O},Q={x||x|<l},則

PQ=_____.

【答案】(T,O)

【分析】分別求出集合P,。，由交集的定義即可得出答案.

【詳解】P={x|x(x—l)〉0}={x|x>l或x<0},

Q={尤|國(guó)<1}={小1<x<1},

P2=(-1,0).

故答案為：(一1,0).

10.(2023?上海徐匯?位育中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知集合4=卜!<lj,集合B={-1,0,1,2},貝1]

=______

【答案】（T2）/（2,-1）

【分析】首先解分式不等式求出集合A,再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.

1]—X

【詳解】由一<1,即一<0,等價(jià)于x(x-l)>0,解得X>1或x<0,

XX

所以A=卜!<i，={x[x>l<r<0},又2={-1,0,1,2},

所以AB={-1,2}.

故答案為：{-1,2}

11.（2023?上海徐匯?上海市南洋模范中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)y=〃x）,其中〃=若

曲線y=〃力在處的切線斜率為1,則4+〃的最小值為_(kāi)___.

【答案】1/0.5

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得再結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)椤▁）=alnx-2的定義域?yàn)椋?,+8）,且產(chǎn)（%）"+=,

XXX

由題意可得：（（1）=。+。=1,

又因?yàn)閅+^2^+為一=L當(dāng)且僅當(dāng)。=6=：時(shí)，等號(hào)成立，

222

所以/+〃的最小值為

故答案為：y.

12.（2023?上海黃浦?格致中學(xué)?？既＃┤羧癁镽,集合4=卜|三|<0,,3=卜|尸-公+2},則

ACB=______.

【答案】{x|2<x<3}

【分析】先求出集合A8,再求出后，再利用集合的運(yùn)算即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳=bW1<o],由土土<0,得至打<尤<3,即4={尤|1<彳<3},

又3=}母=-必+2},易知yW2,所以3={y|y>2},

所以AB={x|2<%<3）,

故答案為：{x|2<x<3}

_4

13.（2023?上海奉賢?上海市奉賢中學(xué)?？既＃┤鐖D：已知AA8C中，ZA=arcsin-,邊長(zhǎng)為1的正方

形QEFG為“BC的內(nèi)接正方形，則AB+AC的最小值為_(kāi)_____

【答案】V5+—

4

【分析】過(guò)點(diǎn)。作SLAB,利用三角形相似得空+紙=1,再利用基本不等式即可得到最值.

ABCH

【詳解】過(guò)點(diǎn)。作SLAB,設(shè)CW=x,AB=y,顯然%>1,

因?yàn)镚尸//AB,所以-CGFs,C4B,所以丁7=:二，①

ABCA

同理AGD^ACH,所以趣2=3二，②

CHAC

①+②得尊+等=1,即LLi,則尸缶，

ABCHyx尤-1

45

因?yàn)?A=arcsin—,則AC=—x,

54

所以A8+AC=—x+X=—x-i——-——Fl=—(x—1)H——-——F—

4x-14x-14'7x-14

“2卻-1）占￥百+>

當(dāng)且僅當(dāng)］（x-l）==，即工=等+1,

故答案為：^+|,

14.（2023?上海?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在一至C中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,

ZB=1,的平分線交AC于。，若BD=C,則a+2c的最小值為

【答案】3+2V2/2V2+3

【分析】利用5ABe=SABD+SCBD可得出工+』=1，然后將。+2c與1+工相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可

acac

求得a+2c的最小值.

【詳解】因?yàn)镹B=。，-3的平分線交AC于D,且石，

171171171

由SABC~SABD+SCBD，即一sin—=-c'BDsin—I—a,BDsin一,

232626

整理可得走ac=4l(c+a),所以，1+』=￡±￡=1,

22vacac

因止匕，a+2c=(a+2c)f-+-^3+—+->3+2/---=3+2>/2,

\ac)ac\ac

ac=a+ca=V2+1

當(dāng)且僅當(dāng)2c_a時(shí)，即當(dāng)正時(shí)，等號(hào)成立，

—=-c=l+——

C[2

因止匕，a+2c的最小值為3+20.

故答案為：3+2A/2.

15.(2023?上海寶山?上海交大附中?？既?不等式=20的解集為_(kāi)_______.

x-1

【答案】(一8,-3]。(1,+8)

【分析】將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次不等式組，求解即得.

【詳解】原不等式等價(jià)于卜解得X-3或X>1,

故答案為：(―8,—3]U(1,+8).

16.(2023?上海虹口?華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既?若關(guān)于x的不等式|x+a|+|尤-2歸歸-4|的解

集則實(shí)數(shù)。的取值范圍是________.

【答案】[-3,0]

【分析】不等式轉(zhuǎn)換為對(duì)任意的xe[1,2],都有不等式歸+4+卜-2歸卜-4恒成立，則按照絕對(duì)值不等式

即可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】關(guān)于x的不等式卜+。|+卜-2區(qū)k-4|的解集42[1,2],則對(duì)任意的xe[l,2],都有不等式

上+同+|尤―2|《上一"恒成立

止匕時(shí)x-2V0,x-4V0,故原不等式化為+2-x44-?%,故

貝U—2Wx+aW2對(duì)任意的xe[1,2]成立，故實(shí)數(shù)。的取值范圍是[-3,0].

故答案為：[-3,0].

17.(2023?上海虹口?華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)校考三模)已知平面向量a,b,e滿足

a-e=l,b-e=-l,\a-^=4,則何第的取值范圍是________-

【答案】卜24,2g)

【分析】不妨設(shè)e=(1,0),則a=(l,x),b=(Ty),得到|x-y|=26,結(jié)合絕對(duì)值三角不等式，即可求

解.

【詳解】不妨設(shè)e=(l,o),則。=(l,x),b=(—Ly),

由,_4=4,可得,_0=26，

則I⑷一閉口叱一產(chǎn)卜H-3nA"=2若，

所以MT4的取值范圍是卜26,2道).

故答案為：(-2瓜2研

18.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))不等式一二+工20的解集是_______.

x+1x+3

【答案】{止3-2或x>T}

【分析】分別在x>-l,-3<x<-l,x<-3時(shí)去分母，化簡(jiǎn)不等式求其解.

【詳解】因?yàn)椤?+一二20,

x+1x+3

所以當(dāng)%>—1時(shí)，x+3+x+l>0,

角軍得％N—2,所以%>—1

當(dāng)—3<x<—1時(shí)，x+3+x+l?0,

解得xW—2,所以—3vxW—2,

當(dāng)xv-3時(shí)，x+3+x+l>0,

解得了2-2,滿足條件的x不存在，

所以不等式」7+白>0的解集是{尤|-3<xW-2或X>T},

%十A%十J

故答案為：卜卜3-2或%>-!}.

3x+5

19.（2023?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）不等式的解集是________.

x-1

【答案】（―8,—l］u（L5］

【分析】移項(xiàng)通分得（“+1）（"-940,即］。：），+。。一5）4°,再利用穿根法即可得到答案.

x-11x-1/O

【詳解】^^-x>0,即3"+5一八屋。,即（x+l）（x_5）w0,

X-1x-1x-1

則［（二1）,+1）（X-5）40,根據(jù)穿根法解得*ey,T51,5］,

故答案為：（-8,-1］口（1,5］.

20.（2023?上海黃浦?格致中學(xué)?？既＃╆P(guān)于尤的不等式依2-閑+2a20的解集是（分,-），則實(shí)數(shù)a

的取值范圍為_(kāi)_______.

【答案】］￥，+°°

【分析】構(gòu)造/。）=52-W+2a,利用函數(shù)的性質(zhì)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在［0,+"）上恒成立，再通過(guò)分離常轉(zhuǎn)

化成求函數(shù)的最值即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式依2-國(guó)+2心。的解集是（f,+a））,所以加-忖+2心。在R上恒成立，

令/（彳）=依2-國(guó)+2。，易知/（X）為偶函數(shù)，所以加-N+2a20在R上恒成立，即

了（尤）=ar?—國(guó)+2a20在［0,+8）上恒成立,

所以，當(dāng)x=0時(shí)，由ax?一%+2〃=2々20,得至

當(dāng)”。時(shí)，由辦一+2/。，得到窈—二7,又因?yàn)閤+》2亞當(dāng)且僅當(dāng)A應(yīng)時(shí)取等號(hào),

X

所以心奈孝

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為忤+3

L7

故答案為:

21.（2023?上海崇明?統(tǒng)考一模）已知正實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足"+1=0,c2+d2=l,則當(dāng)（a-4+3-取

得最小值時(shí)，ab=________.

【答案】也+1

2

【分析】將（。-cP+S-d）2轉(zhuǎn)化為（。力）與（c,d）兩點(diǎn)間距離的平方，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為（。,6）與圓心（0,0）的距

離，結(jié)合基本不等式求得最小值，進(jìn)而分析求解即可.

【詳解】可將（a-4+（6-dp轉(zhuǎn)化為（a,6）與（Gd）兩點(diǎn)間距離的平方，

由—cib+1=0,得b=aT,

a

而02+屋=1表示以（0,0）為圓心，1為半徑的圓，（c,d）為圓上一點(diǎn)，

貝U（a,6）與圓心（0,0）的距離為：y/a2+b2=卜+（a+-J=業(yè)+3+2>^2a2~+2=也應(yīng)+2,

當(dāng)且僅當(dāng)2/=，，即"=±《時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)（。力）與圓心（0,0）的距離最小，即（。,6）與（c,〃）兩點(diǎn)間距離的平方最小，

即（a-c）2+（b-d）2取得最小值.

當(dāng)〃二:口時(shí)，ab=a2+1=^^+1,

V22

故答案為：變+1.

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為圓c?+/=1上的點(diǎn)到6=a+工上的點(diǎn)的距離

a

的最小值的求解問(wèn)題，進(jìn)而求解.

22.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模）己知實(shí)數(shù)a,b,c滿足：a+b+c=0與"-次'=3,則"c的取值范圍

為_(kāi)_________.

【答案】［-2,2］

【分析】首先利用不等式求得-2WaW2,通過(guò)減少變量得f（a）=a（〃-3）,再利用導(dǎo)數(shù)求出其值域即可.

【詳解】由題意得Z?+c=-=/—3,

2

由（b+c）>4Z?c得。?N4（/一3）,得々244,所以一2KaW2,

令于（d）=abc=a'a1-3）=4?一3々，

f\a）=3Q2_3=3（Q+1）（QT），

當(dāng)々目―2,—l）u（l,2］時(shí)，八。）>0,此時(shí)/⑷在［—2,—1）和（1,2］上單調(diào)遞增，

當(dāng)ae(—1,1)時(shí)，((0<0此時(shí)/⑷在(-1,1)單調(diào)遞減，

所以的極大值為/'(-I)=2,〃4)的極小值為/(I)=-2,

又因?yàn)?(-2)=-2,/(2)=2,

則必。的取值范圍為[-2,2].

故答案為：[-2,2].

一.選擇題(共4小題)

1.(2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考)已知》>y>z,且x+y+z=0,下列不等式中成立的是()

A.xy>yzB.xz>yzC.xy>xzD.x\y\>z\y\

【分析】根據(jù)％>y>z和x+y+z=0,有3x>%+y+z=0,3zvx+y+z=0,從而得至!Jx>0,z<0.再

不等式的基本性質(zhì)，可得到結(jié)論.

【解答]解：x>y>z

.,.3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,

.>0,z<0.

由廠>°

[y>z

得：xy>xz.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的放縮及不等式的基本性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬基礎(chǔ)題.

2.(2023秋?青浦區(qū)校級(jí)月考)如果那么下列不等式成立的是()

.2/cjJ2_110ba

A.a<abB.—cib<—bC.—<—D.—>一

abab

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可得出.

【解答】解：對(duì)于A：由QVZ?VO,得：a1>ab,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于5：若a<b<0,貝b<0,-ab<-b2,故B正確；

對(duì)于C：由a<6<0,兩邊同除以a。得：即工〉工，故C錯(cuò)誤；

baab

對(duì)于->1,故。錯(cuò)誤；

ab

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中)己知機(jī)、”是非零常數(shù)，不等式機(jī)(尤+1)(尤-3)..0的解集為A,不等式

〃(x+1)0-3)>0的解集為3,則“"加<0”是8=尺”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的定義、一元二次不等式的解法以及集合并集的運(yùn)算進(jìn)行分析求解即可.

【解答】解：①當(dāng)"”。時(shí)，若加<0,則〃>0,此時(shí)A=[-l,3],B=(-OO,-1)<J(3,+8),所以A|JB=R；

當(dāng)/w>0,“<0時(shí)，止匕時(shí)A=(—co,—1]|J[35+00),8=(—1,3),所以4^8=尺，

所以"mn<0"是"A(B=R"的充分條件；

②當(dāng)A8=R時(shí)，若m<。,此時(shí)A=[—l,3],

當(dāng)〃<0時(shí)，B=(-l,3),不滿足題意，

當(dāng)〃>0時(shí)，B=(-00,-1)O(3,+<?),符合題意，此時(shí)〃加<0；

若相>0,此時(shí)A=(-<?,-1][[3,+oo),

當(dāng)〃>0時(shí)，B=(-00,-1)O(3,+<?),不符合題意；

當(dāng)〃<0時(shí)，5=(-1,3).滿足題意，此時(shí)相〃<0;

所以“〃加<0”是“A[B=R"的必要條件.

綜上所述，“痛<0”是“8=R”的充要條件.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分條件與必要條件的判斷，一元二次不等式的解法，集合之間關(guān)系的運(yùn)用問(wèn)題，也

考查了邏輯推理與運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.

4.(2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中)設(shè)0<b<l+a,若關(guān)于x的不等式。-份？>(依產(chǎn)的解集中的整數(shù)解恰有3

個(gè)，貝IJ()

A.—1<?<0B.Q<a<\C.\<a<3D.3<?<6

【分析】將不等式變形為[(a+1)龍-孫[(。-1)龍+句<。的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，再由0<》<1+4可得，

?>1,不等式的解集為衛(wèi)<》<上<1,考查解集端點(diǎn)的范圍，解出。的取值范圍.

a—1a+1

【解答】解：關(guān)于x的不等式(4-方)2>3)2即(/一])%2+26%一"<0,0<b<l+a,

[(a+1)尤—切?[(?—1)兀+切vO的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，「.a>1,

.?.不等式的解集為*<x<_也<1,所以解集里的整數(shù)是-2,-1,0三個(gè).

a—1a+1

-3?--—<-2，

Q—1

b

2<------?3,2a—2<3a—3,

a—1

b<\+a

2Q—2Vl+a,

「.a<3,

綜上，l<a<3,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次不等式的應(yīng)用，注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，解區(qū)間的端點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)一元二次方程

的根.

二.填空題(共11小題)

5.(2022?浦東新區(qū)校級(jí)二模)不等式工<1的解集為_(kāi)(1」+8)D(-oo-0)_.

X

【分析】首先移項(xiàng)通分，等價(jià)變形為整式不等式解之

【解答】解：原不等式等價(jià)于上1>0,即尤(x-l)>0,

X

所以不等式的解集為(1，+oo)U(-oo,0);

故答案為：(1,y)D(-oo,0)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式不等式的解法；關(guān)鍵是正確轉(zhuǎn)化為整式不等式解之.

6.(2022?浦東新區(qū)校級(jí)模擬)不等式一^>2的解集是(2,-).

3尤-2—3一5一

【分析】通過(guò)作差化簡(jiǎn)一--2=安士>0,從而轉(zhuǎn)化為整式不等式(3x-2)(5x-4)<0,從而解得.

3x—23%—2

【解答】解：-^>2,

3x-2

x八一5x+4八

----------2=---------->0,

3x—23%—2

即(3x-2)(5x-4)<0,

即2±<%<立4

35

故答案為：(2,-).

35

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，注意分式不等式應(yīng)通過(guò)作差轉(zhuǎn)化為整式

不等式求解.是基礎(chǔ)題.

7.(2023秋?楊浦區(qū)校級(jí)月考)用函數(shù)的觀點(diǎn)：不等式4，+log2X<l的解集為_(kāi)(0,g)_.

【分析】根據(jù)函數(shù)/(尤)=4乂+1。82彳是定義域((),+00)的單調(diào)增函數(shù)，且=由此求出不等式的解集.

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=4*+log2X,是定義域(0,+8)的單調(diào)增函數(shù)，且/(g)=4?+log?(=1,

所以不等式4，+log2X<l的解集為(0,g).

故答案為：(0,g).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求不等式解集的問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

4

8.(2022秋?虹口區(qū)期末)對(duì)于正實(shí)數(shù)x,代數(shù)式x+2的最小值為4.

x

【分析】利用基本不等式直接計(jì)算即可，注意取等號(hào)的條件.

【解答】解：因?yàn)閤>0,

故x+±.zjx?&=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào).

x\x

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.(2023?楊浦區(qū)二模)由函數(shù)的觀點(diǎn)，不等式3'+值%,3的解集是_(0,1)

【分析】不等式化為3\,3-/gx,在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=3"和y=3-/gx的圖象，利用函數(shù)的圖象求出不

等式的解集.

【解答】解：不等式3工+忠%,3可化為313-/gx,

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=3*和y=3-/gx的圖象，如圖所示：

由3*=3-Igx,得x=1,

所以由函數(shù)的觀點(diǎn)知，不等式3'+用%,3的解集是(0,1].

故答案為：(0,1].

X

1

y=3—lgs

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題，也考查了不等式解法與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

10.(2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期中)設(shè)a>0,6>0,若百是3“與3〃的等比中項(xiàng)，則?+1的最小值是4.

ab

【分析】先根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)求得a+b的值，進(jìn)而利用基本不等式取得的最大值，把工+工化簡(jiǎn)整理，

ab

根據(jù)"的范圍，求得答案.

【解答】解：后是3"與3"的等比中項(xiàng)

...3。.3"=3"+"=3

，。久1￡土紀(jì)=_1(當(dāng)4=6時(shí)等號(hào)成立)

44

11a+b1.

二.一+—=----=——..4.

ababab

故答案為：4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用.使用基本不等式時(shí)要注意等號(hào)成立的條件.

11.(2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考)不等式/g(x-2)<l的解集是_(2,12)_.

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，不等式/g(x-2)<l,即有0<x-2<10,解得即可.

【解答】解：不等式/g(x-2)<l即為

lg(x-2)<lglO,

即有0<x—2<10,

解得，2Vx<12.

則解集為(2,12).

故答案為：(2,12).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)不等式的解法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)

題.

12.(2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考)要使關(guān)于x的不等式啖k+如+64恰好只有一個(gè)解，則〃=_±2近

2

【分析】配方后得到幺-2=0,由此求出答案.

4

22

【解答】解：因?yàn)?>、依+64,即幺-6轟&+馬2L一2恰有一個(gè)解，

424

所以---2=0,解得a=±2也.

4

故答案為：±20.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

13.（2022秋?青浦區(qū)期末）不等式2工j-3<（g嚴(yán)-1）的解集為—{X|_3<X<2}_.

【分析】?jī)蛇吇祝缓罄弥笖?shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

【解答】解：2-3-3<（g）3"T可化為：

203-3<233，因?yàn)閥=2,是增函數(shù)，

故x~—2元一3<3—3x,

BPX2+X-6<0,解得-3<X<2,

故原不等式的解集為{x|-3<尤<2}.

故答案為：{x|-3<x<2}.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2023秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）設(shè)x、yeR,a>0,b>0,若優(yōu)=夕=3,a+2b=2娓,則工+工的

xy

最大值為1.

【分析】由"=勿=3化簡(jiǎn)得L+L=log3",再由基本不等式可得2必,,（"殳A=6,從而可得a”,3,從

xy2

而確定最大值.

【解答】解："X=〃=3,

冗=log。3,y=logs3,

1?11；

—=log3a，—=log3b，

犬y-

/.—+—=log3a+log3b=log3ab，

y??

c,/〃+26、2/

2ah,（---）=6,

:.ab?3,故ab的最大值為3,

當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=時(shí)，等號(hào)成立，

故一+'=log3ab,,log33=1,

%y

故工+工的最大值為1,

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式在求最值中的應(yīng)用，同時(shí)考

查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

15.（2023春?寶山區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)>二的最小值是逑.

【分析】將函數(shù)化為了=（L，4+2+^^）+工，爐+2,注意運(yùn)用基本不等式和二次函數(shù)的最值，同時(shí)

2,犬+22

注意最小值取得時(shí)，x的取值要一致，即可得到所求最小值.

Y2+3Y2+2+1

【解答】解：函數(shù)尸看￡「二?

7771^/7T2

=7x2+2+■,1

4+2

=（-Jx，+2+.1）+-，尤2+2

277722

..2、口+3=述.

V222

當(dāng)且僅當(dāng)工，f+2=」_,即有彳=0,取得等號(hào).

則函數(shù)的最小值為殛.

2

故答案為：述.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意求最值的條件：一正二定三等，屬于中檔題和易錯(cuò)題.

三.解答題（共6小題）

16.（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）關(guān)于x的不等式（廿一2左-3）/一（％+1）無(wú)一1<0的解集為

（1）若le",求正整數(shù)上的取值范圍；

（2）若M為全體實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【分析】（1）把x=l代入原不等式，求出正整數(shù)上的取值范圍；

（2）討論二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)以及不為0時(shí)，求出原不等式的解集為R時(shí)左的取值范圍.

【解答】解：（1）當(dāng)leM時(shí)，不等式化為（%2_2左-3）-（左+1）-1<0,

BPk2-3k-5<0,角軍得3一回<（<3+屈,

22

正整數(shù)人的取值范圍是｛1,2,3,4）.

(2)①當(dāng)左2—2左一3=0時(shí)，解得左=一1或左=3,

當(dāng)左=-1時(shí)，原不等式化為-1<0,對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立；

當(dāng)左=3時(shí)，原不等式化為Yx-1<0,解集不是全體實(shí)數(shù)，舍去.

k2-2k-3<0

②當(dāng)左2-2左一320時(shí)，若M=R,則

二=（左+1）2+4（公一2左一3）<0

解得一1<左<",

5

綜上，實(shí)數(shù)%的取值范圍是

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.

17.(2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期中)解關(guān)于x的不等式尤2+(24+1)%,辦.

【分析】不等式化為+(a+1)1,0,討論a的取值情況，即可求出不等式的解集.

【解答】解:不等式尤?+(2a+l)為，辦可化為龍？+(a+l)為,0,

即+(a+1)1,0,

當(dāng)a+1=0,即a=-1時(shí)，不等式化為一”0,解得x=0；

當(dāng)a+l>0,即a>-l時(shí)，一。一1<0,解不等式得一。一掇h0；

當(dāng)a+l<0,即a<-l時(shí)，一a—1>0,解不等式得度笈-a-1；

綜上知，a=-1時(shí)，不等式的解集為｛x|尤=0｝；

a>-l時(shí)，不等式的解集為｛x|-掇/0｝；

a<-l時(shí)，不等式的解集為口|噫左-a-1｝.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含有字母系數(shù)的一元二次不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

18.(2023秋?閔行區(qū)校級(jí)期中)已知關(guān)于尤的不等式：ax2-(tz+l)x+1<0(?e7?).

(1)當(dāng)°=-2時(shí)，求不等式的解集；

(2)當(dāng)&.0時(shí)，求不等式的解集；

(3)命題P：若二次不等式62-(。+1)尤+1<0的解集為空集，命題。:/-2尤-/+。+1>0對(duì)任意實(shí)數(shù)

尤都成立，若P,。中至少有一個(gè)真命題，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【分析】(1)。=-2時(shí)，不等式為-2d+x+l<0,求解即可；

(2)不等式化為(?-1)(*-1)<0,討論a=0時(shí)和a>0時(shí)，求不等式的解集即可；

(3)求出命題尸、命題。為真命題時(shí)a的取值范圍，再根據(jù)尸，。中至少有一個(gè)真命題時(shí)，求出實(shí)數(shù)。的

取值范圍.

【解答】解：(1)。=一2時(shí)，不等式為-2三+》+1<0,即

解得或x>l,所以不等式的解集為｛x|x<-；或x>l｝；

(2)不等式加_(。+1)%+1<0可化為(依一1)(%_1)〈0,

當(dāng)〃=0時(shí)，不等式為1—1>0,解得％>1,

當(dāng)a>0時(shí)，不等式為(x-L)(x-l)<0,

a

若。=1,則工=1,不等式為(無(wú)一1)2<0,無(wú)解；

a

若”1,則L1,解不等式(x-4)(x-1)<0,得！<X<1；

aaa

若Ovavl,則工>1,解不等式(工—工)(％—1)<0,得

aaa

綜上，a=0時(shí)，不等式的解集為｛x|1｝,1=1時(shí)，不等式的解集為0,

時(shí)，不等式的解集為0<”1時(shí)，不等式的解集為｛x|l<尤<占；

aa

(3)命題P：若二次不等式依2_(0+1)尤+1<0的解集為空集，則，解得々=1；

［產(chǎn)(a+l)-4o?0

命題。：尤2-2x-/+。+1>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則△=4-4(-/+。+1)<0,解得

所以產(chǎn)，。中至少有一個(gè)真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是｛。|0<4,1｝.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題.

19.(2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中)解關(guān)于x的不等式存②-2..2X-依(aeR).

【分析】對(duì)。分類：a=0,a>0>-2<a<0>a=-2,a<-2,分別解不等式，求解取交集即可.

【解答】解：原不等式變形為依2十5一2)尤-2..0.

①a=0時(shí)，x,,-1；

②“0時(shí),不等式即為(ar-2)(x+l)..O,

、2