線性代數(shù) 第07章 線性空間與線性變換

第7章線性空間與線性變換本章介紹線性空間的根本概念與根本運算，介紹線性變換的根本概念以及線性變換的矩陣。通過本章的學習，應(yīng)該掌握以下內(nèi)容：線性空間的概念、基、維數(shù)與坐標基變換與坐標變換公式線性變換的概念、簡單性質(zhì)與運算線性變換的矩陣表示和線性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系線性變換運算所對應(yīng)的矩陣線性變換的矩陣為對角矩陣的充要條件維線性空間的概念7.1維線性空間

7.1.1定義1

設(shè)

是一個非空集合，是一個數(shù)域,在

中定義了兩種代數(shù)運算：

1．加法對于

中任意兩個元素

按某一法那么,在中都有惟一的一個元素與它們對應(yīng),稱為

的和,記作

2．數(shù)量乘法對于

任意元素和數(shù)域中的任意數(shù)

按某一法那么,在中都有惟一的一個元素對應(yīng),稱為

與它們與的數(shù)量乘積，記作一般稱集合

對于加法和數(shù)量乘法這兩種運算封閉．

如果加法和數(shù)量乘法滿足以下八條運算規(guī)律，那么稱是數(shù)域上的一個線性空間．其中：

〔3〕在中有一個元素,對于中任一元素

,都有

.稱元素

為的零元素〔4〕對于中每一個元素

,都有

中的元素使得.稱元素

為的負元素,記作

,即(5)對數(shù)域中的數(shù)1和

中的任一元素

,都有

是任意實數(shù))

注:凡滿足八條運算規(guī)律的加法及數(shù)量乘法，就稱為線性運算；凡定義了線性運算的集合，就稱為線性空間．

線性空間具有以下性質(zhì)：性質(zhì)1

線性空間的零元素是惟一的；性質(zhì)2

線性空間中每個向量的負向量是惟一的；性質(zhì)3

性質(zhì)4

如果

,那么或

基、維數(shù)與坐標定義2

在線性空間

中,如果存在

個元素

滿足:中任一元素

總可以由

線性表示,

那么,稱為線性空間的一組基,稱為線性空間的維數(shù)

線性無關(guān);定義3

設(shè)

是維線性空間的一組基是中任一元素，如果這組有序數(shù)組就稱為元素在這組基下的坐標，并記作：建立了坐標后，就把抽象的向量〔元素〕與具體的數(shù)組向量聯(lián)系起來了并且,還可把抽象的線性運算與數(shù)組向量的元素聯(lián)系起來．設(shè)為一組基于是

基變換與坐標變換公式

設(shè)與是線性空間

中的兩個基

利用分塊矩陣的乘法形式，可將上式記為或其中稱為由基

到過渡矩陣.中的每一列元素分別是基在基下的坐標；

稱為基變換公式

定理1設(shè)中的元素在基

下的坐標為,在基

下的坐標為,假設(shè)兩個基滿足那么有坐標變換公式或例8

設(shè)是線性空間

的一組基

為一個二階可逆矩陣，令

顯然，

也線性無關(guān)，因此

的一組基,并且滿足

也是是由基到的過渡矩陣.例9

設(shè)由所有二階矩陣組成的線性空間的兩個基為：

〔1〕求由基到基

〔2〕分別求的過渡矩陣；在上述兩個基下的坐標；〔3〕求一個非零矩陣,使在兩個基下的坐標相同．解〔1〕因為寫成矩陣形式，就有

于是矩陣

到基的過渡矩陣；即是由基〔2〕由于是,在基下的坐標為在基下的坐標為(3)設(shè)在上述兩個基下坐標相同,由(2)知,應(yīng)有,故為在給定的兩組基下坐標相同的非零的二階矩陣．7.2線性變換

線性變換的定義定義4

設(shè)有兩個非空集合如果對于中的任一元素

,按照一定的規(guī)那么,總有中一個確定的元素

對應(yīng),那么,這個對應(yīng)規(guī)那么就稱為從集合和它到集合的變換(或映射).我們常用字母來表示一個變換，譬如把上述變換記作,并記

或定義5

設(shè)

分別是實數(shù)域上的

維和空間,維線性是一個從到的變換,如果變換滿足:

〔1〕任給,有〔2〕任給,有那么就稱為從到的線性變換如果,那么,稱

為中的線性變換.

線性變換的簡單性質(zhì)線性變換有以下性質(zhì):性質(zhì)1

性質(zhì)2假設(shè),那么性質(zhì)3假設(shè),那么線性相關(guān).線性相關(guān)性質(zhì)4

線性變換

的像集

稱為線性變換的像空間；

是一個線性空間,性質(zhì)5

使

的

的全體也是一個線性空間,

稱為線性變換的核.

例17

設(shè)有階矩陣

其中中的變換為線性變換

的像空間為

的核

就是齊次線性方程組的解空間

線性變換的運算1.線性變換的加法定義6

設(shè)是線性空間定義它們的和的兩個線性變換,為容易證明,線性變換的和還是線性變換.

線性變換的加法滿足結(jié)合律與交換律.即

2．線性變換的數(shù)量乘法

定義7

設(shè)

是線性空間

的線性變換,定義它們的數(shù)量乘法

為實數(shù)，為顯然

,仍然是線性變換.

線性變換的數(shù)量乘法滿足以下運算規(guī)律：

稱為

的負變換

3.線性變換的乘法定義8設(shè)

是線性空間定義它們的乘積的兩個線性變換,為容易證明,線性變換的乘積還是線性變換.

線性變換的乘法滿足結(jié)合律.即

但不滿足交換律,即一般地對于乘法,單位變換

有特殊的地位,對任意變換還可以證明線性變換的加法與乘法滿足乘法對加法的左右分配律：

滿足4．線性變換的逆變換定義9

設(shè)

是線性空間

的線性變換,如果有

的線性變換存在,使

,那么稱線性變換可逆，并稱

是的逆變換.可以證明可逆變換的逆變換是惟一的．

可逆變換的逆變換記做,即可以證明,線性變換

的逆變換也是線性變換．

7.3線性變換的矩陣表示線性變換在一個基下的矩陣

定義10

設(shè)

是維線性空間的線性變換，

在中取定一組基，

,如果這組基在線性變換下的像〔用這個基線性表示〕為記上式可以表示為

其中那么,就稱為線性變換在基下的矩陣．

顯然，矩陣由基的像惟一確定．特別地,在中取定一組基以后,線性變換矩陣例18

求

中的線性變換

在如下基下的矩陣：

解〔1〕因為所以,在基下線性變換

的矩陣為〔2〕因為所以，在基下線性變換的矩陣

例20

設(shè)的線性變換為求在基

下的矩陣.解因為所以,線性變換在基

下的矩陣為定理

2設(shè)

是維線性空間的一組基，

的線性變換

在這組基下的矩陣為,向量

在基

下的坐標為其中

那么即線性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系

定理3

設(shè)

與是線性空間的兩組不同的基,由基

到的過渡矩陣為

中的線性變換矩陣分別為

在這兩組基下的和,那么

證明按定理的假設(shè)，有可逆，從而及于是因為線性無關(guān),所以

于是

例21

設(shè)中的線性變換

在基下的矩陣為

,求在基下的矩陣.解

即由

到的過渡矩陣,求得

在基下的矩陣.可逆,那么矩陣線性變換運算所對應(yīng)的矩陣

定理4

設(shè)

是維線性空間的一組基,

在這組基下,線性變換的矩陣分別為,那么在基下〔1〕線性變換的和的矩陣為〔2〕線性變換的數(shù)量乘法的矩陣為矩陣〔3〕線性變換的乘積的矩陣為〔4〕假設(shè)線性變換可逆，反之亦然．有個相異的特征值,那么〔1〕線性變換所對應(yīng)的矩陣可以對角化的充要條件是矩陣有個線性無關(guān)的特征向量；

是維線性空間的一個線性變換，如果在內(nèi)存在一組基使在這