2021年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：斜邊上的中線問題 突破訓(xùn)練（解析版）

專題13斜邊上的中線問題

【規(guī)律總結(jié)】

直角三角形中遇到斜邊上的中點，常聯(lián)想“斜邊上的中線等于斜邊的一半”

1模型分析I直角三角形中有斜邊中點時，常作斜邊上

的中線，利用“斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得CO

=AD=BD=y/lB來解題，有時有直角無中點，要找中

點，可簡記為“直角+中點，等腰必呈現(xiàn)”.

此模型作用:①證明線段相等或求線段長；②構(gòu)造角相

等進行等量代換.

【典例分析】

例1.（2021上海九年級專題練習(xí)）一副三角板如圖擺放，點/是45角三角板ABC的斜

邊的中點，AC=4.當(dāng)30角三角DEF的直角頂點繞著點/旋轉(zhuǎn)時，直角邊。尸，EF，分

別與AC,BC相交于點M,N.則CMFN的面積為

【答案】4

【分析】

連結(jié)CR證明CFM=BKV,根據(jù)S=S=ls即可求解.

四邊形CMFNBFC2ACB

【詳解】

AA

解:連結(jié)CR如圖，

???點R是45角三角板ABC的斜邊的中點，

CF=BF,CT平分/ACB,CAB,N8=45°,

ZACF=45。,/2+/3=45。

Nl+N2=90。，

??Z1=Z3,

在ACFM和BFN中,

NMCF=NB

<CF=BFA

Z1=Z3

CFM=BFN（ASA）,

=月

CFMBFN

S=S——S=—X—x4x4=4

四邊形CMFNBFC24cB22

【點睛】

此題考查的知識點有等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，綜合性強，難度

較大，是一道難題.

例2.（2020嗨北恩施土家族苗族自治州口九年級期中）如圖，在等腰直角三角形ABC中，

/C=90°,AC=a,點E為邊AC上任意一點，點。為的中點，過點。作班，班

交BC于點、F.求證：CE+CF為定值.

【答案】證明見解析

【分析】

連接CD,證明［SCDEaaBDF,得CE=BF,進一步證明CE+CF=BC=AC=。，從而得到結(jié)論.

【詳解】

證明：連接CD,如圖,

函ABC是等腰直角三角形，且D為AB的中點,

0CD0AB,CD平分國ACB,AD=BD=CD

00DCA=0DCB=EIDBC=45O

又DEfflDF

a3EDC+[3FDC=90°

而回FDC+團FDB=90°

EHEDC=EIFDB

在I3CDE和I3BDF中，

ZDCE=ZDBF

<CD=CD

ZEDC=NBDF

00CDEEIEBDF

0CE=BF

!3BC=AC=a

EICE+CF=BE+CF=BC=AC=a,

故：CE+CN為定值.

【點睛】

此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，證明CE=BF是解答此

題的關(guān)鍵.

【真題演練】

一、填空題

1.（2020?哈爾濱市蕭紅中學(xué)八年級月考）如圖，在5c中，回B=60。，CD為AB邊上的

高，E為AC邊的中點，點F在BC邊上，0EDF=6O°,若BF=3,CF=5,則AC邊的長為-----

A

【答案】2A

【分析】

如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理得出BO=4,OF=JTT,再根據(jù)等

邊三角形的判定與性質(zhì)得出DH=4,NBDH=60°,然后根據(jù)三角形的中位線定理、平行

線的性質(zhì)得出/EHD=ZBDH=60°,從而可得NEHD=NB,ZBDF=ZHDE,最

后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出DE=DF=g據(jù)此根據(jù)直角三角形斜邊上的

中線等于斜邊的一半即可得.

【詳解】

如圖，過點D作。G,6c于點G

BF=3,CF=5

1，.BC=BF+CF=8

在必5co中，ZB=60°,Z5CD=90°-ZB=30°

:.BD^LBC=4

A2

在及BDG中,ZB=60°,ZBDG=90°-ZB=30°

BG=^BD=2,DG=J6￡>2一BGz=2事

：.GF=BF-BG=1,DFEDG2+GF2=屜

取BC的中點H,連接DH、EH

：.DH=BH=-BC=4=BD

2

BDH是等邊三角形

:.ZBDH=60。

???點E是AC邊的中點

，EH是ABC的中位線

EH//AB

:.NEHD=/BDH=60。

:.NEHD=/B=6O。

又ZBDF+Z.FDH=ZBDH=60°,ZHDE+ZFDH=ZEDF=60°

:.Z?B?DF=ZHDE

ZEHD=ZB

在HDE和BDF中，＜=DB

ZHDE=ZBDF

A

HDE=^DF(ASA)

：.VE=DR=8

則在及△AC。中，DE=^-AC,即AC=2DE=2jB

故答案為：2g

E

BGFH

【點睛】

本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、

三角形的中位線定理等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造等邊三角形和全等三角形是解題關(guān)鍵.

二、解答題

2.（2020?慶云縣第二中學(xué)八年級期中）已知：在ABC中，AC=BC,?ACB=90。，點D是

AB的中點，點E是AB邊上一點.

（1）直線BF垂直于CE于點F,交CD于點G（如圖1）,求證：AE=CG；

（2）直線AH垂直于CE,垂足為H,交CD的延長線于點M（如圖2）,求證：BCEQCAM.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

AA

【分析】

（1）運用等腰直角三角形性質(zhì)，三線合一，可以得到回AEC和回CGB一組對應(yīng)邊、一組對應(yīng)

角相等，AC=BC,/C4￡=4CG；然后利用同角的余角相等，證得Z4CE=NCBG；

兩角及其夾邊對應(yīng)相等（AM）則兩三角形全等.

（2）運用等腰直角三角形性質(zhì)，三線合一，可以得到國BCE和回CAM一組對應(yīng)邊、一組對應(yīng)

角相等，AC=BC,ZACM=NCBE；然后利用同角的余角相等，證得NBEC=ZCMA；

兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等（A4S）則兩三角形全等.

【詳解】

(1)證明：回點D是AB中點，AC=BC,0ACB=9O",

[3CD0AB,0ACD=0BCD=45°,

00CAD=0CBD=45°,

EBCAE=I3BCG,

又E1BFEICE,

0OCBG+0BCF=9OO,

又EHACE+I3BCF=9O°,

0HACE=0CBG,

在OAEC和回CGB中，

NCAE=ZBCG

<AC=BC

ZACE=ZCBG

EHAECEHCGB(ASA),

OAE=CG,

(2)證明：0CH0HM,CD0ED,

EHCMA+EIMCH=90°,BBEC+0MCH=9O°,

00CMA=0BEC,

又a3ACM=!3CBE=45°,

在OBCE和13cAM中，

ZBEC=ZCMA

<ZACM=ZCBE

BC=AC

EHBCEEECAM(AAS).

【點睛】

本題考查全等三角形判定定理，從題中找到對應(yīng)邊、角的信息，靈活運用三角形判定定理是

解題關(guān)鍵.

3.(2020?張家港市梁豐初級中學(xué)八年級期中)已知，EIABC中，AC=BC,EACB=90°,CD為邊

AB上的中線，若E是線段CA上任意一點，D甩DE,交直線BC于F點.G為EF的中點，連

接CG并延長交直線AB于點H.

(1)試說明：①AE=CF；②CG=GD；

(2)若AE=6,CH=10,求邊AC的長.

【答案】(1)理由見詳解；(2)AC=14

【分析】

(1)①由題意易得AD=DC=DB,0A=0B=45°,CD0AB,進而可證OADEEIEICDF,然后根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)可得；②由直角三角形斜邊中線定理可得CG==進而問

題得證；

(2)由(1)可得AE=CF=6,由題意易得則有EF=CH=10,然后根據(jù)勾股定理

可求解.

【詳解】

解：⑴①AE=CF,理由如下：

0AC=BC,0ACB=9O°,CD為邊AB上的中線,

團AD二DODB,回A二朋二45°,CD回AB,

加A二回BCD=45°,

回DF團DE,

團團EDC+團CDF=90°,

又加ADE+回EDC=90°,

釀ADE二回CDF,

盟1ADE釀CDF(ASA),

0AE=CF,

@CG=GD,理由如下：

回回ACB=90°,團EDF=90°,EG=GF,

⑦CG=LEF,DG=LEF,

22

0CG=GD；

(2)由(1)得：AE=CF=6,CG=GD,DG=-EF

2

回團GCD二團GDC,

回回GCD+國CHD=90°,0GDC+[2GDH=9OO,

回團CHD二回GDH,

團GH=GD,

@DG=；CH,

[3CH=10,

0CH=EF=1O,

在RtEICEF中，CF2+CE2=EF2,即62+CE2=1。2,

解得：CE=8,

0AC=AE+CE=14.

【點睛】

本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及直角三角形斜邊中線定理，熟練掌握等

腰三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及直角三角形斜邊中線定理是解題的關(guān)鍵.

4.(2019口隴東學(xué)院附屬中學(xué)八年級期末)如圖在RtZXABC中，AB=AC,ABAC=90°,

。為的中點.

(1)寫出點。到ABC的三個頂點4、8、。的距離的大小關(guān)系.

(2)如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，移動中保持AN=BM,請判斷OMN

A

的形狀，并證明你的結(jié)論.

A

(3)當(dāng)點M、N分別在A3、AC上運動時，四邊形40ON的面積是否發(fā)生變化？說

明理由.

【答案】(1)OA=OB^OC.(2)OMN是等腰直角三角形，證明見解析；(3)四邊形

AMON的面積不變，理由見解析

【分析】

(1)連接04由。為的中點可得,由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得

OA=A.BC,即可得Q4=O6=OC.

(2)由(1)不難證明/C4。=N3=45。，結(jié)合已知條件進而證明OAN0OBM,即

可得0M=ON,Z.NOA=ZMOB,即Z.NOM=ZAOB=90°,所以O(shè)MN是等腰直

角三角形.AA

A

(3)由(2)可得S=S，進而將四邊形40ON的面積轉(zhuǎn)化為A03的面積，AOB

OANOBM

的面積保持不變,*故四邊形40ON的面積保持不變.

AA

【詳解】

(1)連接。A,

?.?山△ABC中，。為3C的中點，

OA=^-BC,OC=OB,

2

OA=一x2xOB=OB,

2

OA=OB=OC.

(2)OMN是等腰直角三角形，證明如下:

?：AB=AC,。為的中點，

A

AOIBC,

：.ZAOB=90°,

...OA=OB=OC,

ZCAO=NB=45°,

在OAN與OBM中，

OA=OB

<ZCAO=NB)

AN=BM

：.OAN回OBM,

：.OM=ON,ZNOA=ZMOB,

AA

ZNOM=ZA0B=9Q°,

???OMN是等腰直角三角形.

(3)四邊形AMON的面積保持不變，理由如下：

A

由(2)可得：SOAN=SOBM,

：,s=s+s=s+s=s

四邊形4MCWOANAOMOBMAOMAOB"

?rAOB的面積祺持不下

???四邊形AMON的面積保持不變.

A

【點睛】

本題主要考查直接三角形斜邊上中線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形

的判定與性質(zhì)定理并靈活運用是解題關(guān)鍵.

5.(2020嗚蘭察布市口內(nèi)蒙古涼城縣宏遠中學(xué)八年級月考)已知：三角形ABC中，回A=90。，

AB=AC,D為BC邊的中點，

(1)如圖①，E,F分別是AB,AC上的點，且BE=AF,求證：回DEF為等腰直角三角形.

(2)如圖②，若E,F分別為AB,CA延長線上的點，仍有BE=AF,其他條件不變，那么，

回DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論.

F

A

【答案】(1)見解析；(2)回DEF為等腰直角三角，證明見解析

【分析】

(1)先連接AD,構(gòu)造全等三角形：EIBED和EIAFD.AD是等腰直角三角形ABC底邊上的中

線，所以有EICAD=I3BAD=45",AD=BD=CD,而EIB=EIC=45°,所以EIB=EIDAF,再力口上BE=AF,AD=BD,

可證出：0BED00AFD,從而得出DE=DF,0BDE=0ADF,從而得出I3EDF=9O°,即I3DEF是等腰直

角三角形；

(2)還是證明：EIBEDEIEIAFD,主要證EIDAF=I3DBE(團DBE=180°-45°=135°,0DAF=9O°+45°=135°),

再結(jié)合兩組對邊對應(yīng)相等，所以兩個三角形全等.

【詳解】

(1)證明：連接AD,EAB=AC,HBAC=90o,D為BC的中點,

0AD0BC,BD=AD.00B=0DAC=45°又BE=AF,

EHBDEEHADF(SAS).

0ED=FD,0BDE=0ADF.EfflEDF=0EDA+0ADF=0EDA+0BDE=0BDA=9O°.

寬DEF為等腰直角三角形.

(2)國DEF為等腰直角三角形.

證明：若E,F分別是AB,CA延長線上的點，如圖所示：連接AD,回AB=AC,

EE1ABC為等腰三角形，EfflBAC=90°,D為BC的中點，

I3AD=BD,AD0BC（三線合一），

a3DAC=IBABD=45°.

EHDAF=EIDBE=135°.又AF=BE,

EBDAFEEDBE（SAS）.E1FD=ED,fflFDA=EEDB.

0fflEDF=fflEDB+EFDB=0FDA+EFDB=0ADB=9O".

GBDEF仍為等腰直角三角形.

【點睛】

本題利用了等腰直角三角形底邊上的中線平分頂角，并且等于底邊的一半，還利用了全等三

角形的判定和性質(zhì)，及等腰直角三角形的判定.

6.（2019全國九年級專題練習(xí)）如圖所示，E