2025屆達(dá)州市通川區(qū)高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底聯(lián)考試卷附答案解析

2025屆達(dá)州市通川區(qū)高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底聯(lián)考試卷考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．4．雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．將正整數(shù)1，2，3，…按從小到大的順序分組，第組含個(gè)數(shù)，分組如下：，則2025在第（

）組．A．9 B．10 C．11 D．126．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且的面積，若的平分線交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．7．已知面積為的正三角形的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，若三棱錐的體積為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，若在上的值域?yàn)?，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．10二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知命題“”為真命題，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．2 B．0 C． D．10．已知隨機(jī)變量，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．11．若定義在R上的偶函數(shù)y=fx，對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有，則稱y=fx為“函數(shù)”．下列函數(shù)為“函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為．13．已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．14．如圖，已知圓的半徑為4，是圓的一條直徑．兩點(diǎn)均在圓上，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．近些年來(lái)，促進(jìn)新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展政策頻出，新能源市場(chǎng)得到很大發(fā)展，銷量及滲透率遠(yuǎn)超預(yù)期，新能源幾乎成了各個(gè)汽車領(lǐng)域的熱點(diǎn)．在對(duì)某品牌10個(gè)子工廠投資及利潤(rùn)的統(tǒng)計(jì)后，得到如下表格，分別表示第個(gè)子工廠的投資（單位：萬(wàn)元）和純利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）．投入萬(wàn)元32313336373839434546純利潤(rùn)萬(wàn)元25303437394142444850(1)依據(jù)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，請(qǐng)判斷投資與純利潤(rùn)是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)程度？（參考：若，則線性相關(guān)程度一般；若，則線性相關(guān)程度較強(qiáng)．計(jì)算時(shí)精確度為0.01）(2)求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（精確到0.01）．參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：相關(guān)系數(shù)，對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為．16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．如圖，在三棱柱中，平面．

(1)求證：平面；(2)設(shè)點(diǎn)滿足，若平面與平面的夾角為，求實(shí)數(shù)．18．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(3)設(shè)，證明：對(duì)任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，不等式恒成立．19．定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)滿足，則稱為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且橢圓過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：有兩個(gè)點(diǎn)滿足“共軛點(diǎn)對(duì)”，并求出的坐標(biāo)；(3)設(shè)（2）中的兩個(gè)點(diǎn)分別是，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，順時(shí)針排列且，證明：四邊形的面積小于．1．B【分析】根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】由題易得．故選:B．2．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】由題知，所以．故選:D．3．B【分析】將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出答案.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，焦點(diǎn)在軸正半軸上，且，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選:B.4．B【分析】通過(guò)雙曲線的幾何量，結(jié)合離心率直接求解即可．【詳解】由，得，所以，即雙曲線的離心率．故選：B．5．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算即可．【詳解】由題意可設(shè)前組里含有的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為，則，由于，，故2025在第11組．故選：C．6．A【分析】根據(jù)題意由結(jié)合余弦定理可得，從而求得，再利用等面積法即可求解.【詳解】由可知，，所以，所以．在中，由等面積法得，即，即，解得，故正確.故選:A.7．B【分析】根據(jù)題意先求出外接圓半徑，再求出中點(diǎn)到外接圓圓心的距離，從而可求解.【詳解】設(shè)球的半徑為外接圓圓心為，半徑為的邊長(zhǎng)為．因?yàn)槭敲娣e為的等邊三角形，所以，解得，所以，所以，解得，則，則球的表面積為，故正確.故選：B.8．C【分析】根據(jù)三角恒等變換可得，即可根據(jù)平移得，利用整體法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的根，即可求解.【詳解】故，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由于，所以在上的值域?yàn)?，所以解得，即的零點(diǎn)即為的根，則或，即或，所以函數(shù)在上的零點(diǎn)有，共8個(gè)．故選：C．9．CD【分析】進(jìn)行參變分離，設(shè)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最值即可求出的取值范圍，即可求解．【詳解】因?yàn)槊}“”為真命題，所以．令，根據(jù)增函數(shù)減去減函數(shù)知：為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：CD．10．ABD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概念，識(shí)別期望與方差，利用期望和方差的性質(zhì)計(jì)算，利用正太分布的圖象及正態(tài)分布的對(duì)稱性來(lái)求解即可．【詳解】由隨機(jī)變量，得，，，，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；兩個(gè)隨機(jī)變量的均為120，由正態(tài)分布特點(diǎn)知D正確．故選：ABD．11．ACD【分析】根據(jù)題意可得“函數(shù)”的條件為：fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且fx為偶函數(shù)，對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行分析，從而可求解.【詳解】根據(jù)題意，對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有，變形可得，即．若，則，可得，即在0,+∞上單調(diào)遞減．又為偶函數(shù)，所以fx在上單調(diào)遞增．對(duì)A：定義域?yàn)?，且，則fx為偶函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，符合題意，故正確；對(duì)：定義域?yàn)?，且，則fx為偶函數(shù)，函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)為增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故不符合題意，故錯(cuò)誤；對(duì)C：，定義域?yàn)?，且，則fx為偶函數(shù)，且，則fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故符合題意，故正確；對(duì)D：，定義域?yàn)椋覞M足，則fx為偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，，由為減函數(shù)，為增函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，同理可得fx在上單調(diào)遞增，故符合題意，故正確.故選：ACD．12．【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式可得，從而可求解.【詳解】由題意可得的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，可得，所以，故含的項(xiàng)的系數(shù)為80.故答案為：80.13．【分析】根據(jù)題意可得在上單調(diào)遞增，則得，從而可得存在極小值點(diǎn)x0∈1,2x【詳解】由題意可得fx在時(shí)有最小值，即在1,2上有極小值即可，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以只需即解得，這時(shí)存在x0∈1,2，使得在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即函數(shù)在區(qū)間上有極小值也即是最小值．所以的取值范圍是．故答案為：.14．【分析】由平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算可得，結(jié)合的取值范圍，計(jì)算即可．【詳解】如圖，為圓心，連接，

則．因?yàn)辄c(diǎn)在線段上且，則圓心到直線的距離，所以，所以，則，即的取值范圍是，故答案為：．15．(1)是(2)【分析】（1）根據(jù)題中給出的數(shù)據(jù)，，代入相關(guān)系數(shù)公式即可求解；（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出，然后求出，從而可求解.【詳解】（1）依題意知，，所以相關(guān)系數(shù)，所以與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.（2）依題意知，又因?yàn)?，所以，所以，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系，作差可得為等比數(shù)列，即可由等比通項(xiàng)求解，（2）利用錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，①，②，①-②得，即，所以．因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．則，即．（2）由（1）得，，所以，，故，所以．17．(1)證明見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）根據(jù)題意由線面垂直求出，再利用線面垂直即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，再利用空間向量法求出面面夾角，從而可求解.【詳解】（1）證明：平面平面，．又，且平面，平面．平面．又平面，平面．（2）由（1）知四邊形為正方形，即，且有，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，以過(guò)點(diǎn)和平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則．，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得：，?。桑?）知平面平面的一個(gè)法向量為，，解得.所以.18．(1)1(2)在上單調(diào)遞增(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)求解，（2）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可求解，（3）對(duì)式子變形后構(gòu)造函數(shù)，即可求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求解最值求解.【詳解】（1）由均在單調(diào)遞增知在上單調(diào)遞增，由當(dāng)時(shí)，，可知，即．（2）由（1）知，的定義域?yàn)?，．令，所以，所以在上單調(diào)遞增．（3）．不妨設(shè)，則要證明，只需證明，即，即證．設(shè)，則只需證明，化簡(jiǎn)得．設(shè)，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.19．(1)(2)證明見(jiàn)解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意，根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)在橢圓上以及，，的關(guān)系列出等式即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，根據(jù)“共軛點(diǎn)對(duì)”得到直線方程為，再聯(lián)立方程求解；（2）將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出，的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，，，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的方程為，求出直線與橢圓相切時(shí)的值，再檢驗(yàn)證明此時(shí)不滿足，進(jìn)而證明四邊形面積小于．【詳解】（1）由題，橢圓的另一焦點(diǎn)為F21,0因此，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)的坐標(biāo)為Bx,y，根據(jù)“共軛點(diǎn)對(duì)”定義：點(diǎn)的坐標(biāo)滿足所以或于是有兩個(gè)點(diǎn)滿足，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）設(shè)．設(shè)所在直線為，則的方程為．設(shè)點(diǎn)，則兩式相減得．又，于是，則，所以線段的中點(diǎn)在直線上．所以線段被直線平分．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則四邊形的面積．又，則有．

設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的方程為，則當(dāng)與相切時(shí)，取得最大值．由消去得令，解得．當(dāng)時(shí)，方程為，即，解得，則此時(shí)點(diǎn)或點(diǎn)必有一個(gè)和點(diǎn)重合，不符合條件，從而直線與不可能相切，即