2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義-等比數(shù)列

第3講等比數(shù)列

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)料

1.理解等比數(shù)列的2024新高考卷IIT8；

概念和通項(xiàng)公式2024全國(guó)卷乙T15；

的意義.2024全國(guó)卷甲T5；

本講的命題熱點(diǎn)為等比數(shù)列

2.探究并駕馭等比2024天津T6；2024全

等比數(shù)列的基本運(yùn)算、等比數(shù)列的判

數(shù)列的前“項(xiàng)和國(guó)卷乙T8；2024全國(guó)

的基本運(yùn)定與證明、等比數(shù)列的性質(zhì)

公式，理解等比卷IT17；2024新高考

算的應(yīng)用，整體比等差數(shù)列的

數(shù)列的通項(xiàng)公式卷IT18；2024新高考

運(yùn)算量大.在客觀題與主觀題

與前n項(xiàng)和公式卷HT18；2024全國(guó)卷

中都有可能出現(xiàn)，難度中等.

的關(guān)系.IT14；2024全國(guó)卷

預(yù)料2025年高考命題穩(wěn)定，

3.能在詳細(xì)的問(wèn)題IIIT5

重點(diǎn)駕馭等比數(shù)列的通項(xiàng)公

情境中，發(fā)覺(jué)數(shù)等比數(shù)列

式和前〃項(xiàng)和公式及其變形

列的等比關(guān)系，的判定與2024全國(guó)卷IIT6

應(yīng)用，同時(shí)也要關(guān)注等比數(shù)

并解決相應(yīng)的問(wèn)證明

列與其他學(xué)問(wèn)的綜合運(yùn)用.

題.等比數(shù)列2024新高考卷IIT8；

4.體會(huì)等比數(shù)列與的性質(zhì)的2024全國(guó)卷乙T15,

指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.應(yīng)用2024全國(guó)卷甲T7

1.等比數(shù)列的概念

(1)等比數(shù)列的定義

一般地，假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這

個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(qWO)表示.

留意(1)等比數(shù)列中的任何一項(xiàng)都不為0,且公比“W0.(2)若一個(gè)數(shù)列是常數(shù)列，則

此數(shù)列確定是等差數(shù)列，但不愿定是等比數(shù)列，如：0,0,0,

(2)等比中項(xiàng)的概念

假如在。與6中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與6的等比中

項(xiàng)，此時(shí)CP—ab.

留意只有當(dāng)兩個(gè)數(shù)同號(hào)且不為0時(shí)，才有等比中項(xiàng)，且等比中項(xiàng)有兩個(gè).

(3)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其變形

通項(xiàng)公式：①a“=a「qLi，其中刃是首項(xiàng)，q是公比.

通項(xiàng)公式的變形：

說(shuō)明當(dāng)q>0且qWl時(shí)，斯=放應(yīng)"可以看成函數(shù)y=c垢，其表示一個(gè)不為。的常數(shù)與指

數(shù)函數(shù)的乘積.

規(guī)律總結(jié)

等比數(shù)列的單調(diào)性

仿“｝是遞減

當(dāng)歸A或｛葭3時(shí)，3是遞增數(shù)列;當(dāng)歸;或忠W時(shí)，

數(shù)列;

當(dāng)q=l時(shí)，｛詼｝是常數(shù)列；當(dāng)q<0時(shí)，｛?。菗u擺數(shù)列.

2.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和

設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為前”項(xiàng)和為S”.

，q=1,

③一=也學(xué)，q^i.

J1—q—q/

(2)當(dāng)oWl時(shí)，s”=a」H=一q〃"+2,若設(shè)。=工，則S“=④~aan+a

1—q1—ql-ql-q

(aWO,qWO,qWl).由此可知，數(shù)列｛S,J的圖象是函數(shù)y=—。夕'+々的圖象上一系列孤

立的點(diǎn)，且q"的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).

當(dāng)q=l時(shí)，因?yàn)閍iWO,所以S,=〃ai.由此可知，數(shù)列｛&｝的圖象是函數(shù)y=aix的圖象上

一系列孤立的點(diǎn).

留意在運(yùn)用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式時(shí)，要留意對(duì)q=l與qWl進(jìn)行探討.

3.等比數(shù)列的性質(zhì)

(1)等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)

設(shè)數(shù)列｛斯｝,仍"｝是等比數(shù)列.

a.若機(jī)+〃=左+/,則⑤4",°"=<7劭，其中機(jī)，n,k,/GN*,反之，不愿定成立，如當(dāng)數(shù)

列｛斯｝是非零常數(shù)列時(shí)，此結(jié)論不成立.

b.相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即延，ak+m,公+2,“，…ik,加GN*)仍是等

比數(shù)列，公比為⑥d".

c.數(shù)列｛九/”｝,｛明，1｝,血也｝和仔｝GI數(shù)0,"GN*)也是等比數(shù)列.

a”bn

d.若斯>0,則數(shù)列｛1g斯｝是等差數(shù)列.

(2)等比數(shù)列的前“項(xiàng)和的性質(zhì)

設(shè)必是等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.

b.當(dāng)qW—1（或q=-1且左為奇數(shù)）時(shí)，Sk,SZLSHS3k—S2f…是⑦等比數(shù)列.

留意當(dāng)q=-1且左為偶數(shù)時(shí)，Sk,S2k-Sk,S3*—S2b…不是等比數(shù)列.

1.下列說(shuō)法正確的是（B）

A.滿(mǎn)意a”+i=?“（qWO,wGN*）的數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列

B.a,b,c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列是加=改的充分不必要條件

C.若數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，S,為其前〃項(xiàng)和，則叉，s8-s4,S12—S8成等比數(shù)列

D.若等比數(shù)列｛詼｝為遞增數(shù)列，則其公比q>l

2.［多選］已知數(shù)列UJ是等比數(shù)列，公比為q,前〃項(xiàng)和為S“則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是

（BC）

A《｝為等比數(shù)列B.｛log2斯｝為等差數(shù)列

C.｛a〃+a“+i｝為等比數(shù)列D.若S“=3"r+r,則r=-］

解析令幻=三，則等i=工=工（非零常數(shù)），所以｛2｝是等比數(shù)列，選項(xiàng)A正確；若

?nbnan+1qan

an<0f則log2即無(wú)意義，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)q=-1時(shí)，an+an+i=Of此時(shí)不

n

是等比數(shù)列，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)qWl時(shí)，Sn=A-A-q（/1=言^）,由5〃=3"一】+r=

》X3"+r可得廠=一1,所以選項(xiàng)D正確.故選BC.

3.［易錯(cuò)題］設(shè)等比數(shù)列｛詼｝的前“項(xiàng)和為S.,若m=2,$3=6,則孔=8或一10.

解析設(shè)公比為％當(dāng)q=l時(shí)，S3=3ai成立，所以S4=4ai=8.當(dāng)qWl時(shí)，SB：。1'二：）=

6,解得q=—2,所以S4=6+2/=-10.所以§4=8或一10.

4.［教材改編］有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)

數(shù)的和為21,中間兩個(gè)數(shù)的和為18,則這四個(gè)數(shù)依次為3,6,12,18或），?，》，

解析設(shè)后三個(gè)數(shù)分別為。一4,a,a+d,則第一個(gè)數(shù)為,因此這四個(gè)數(shù)為

a

(2

d,：a—d,a,a+d.由題意得——a—+(a+d)=21,解得卜=豆，或

a—d+a=18,d—6

a=27

49故這四個(gè)數(shù)為3,6,12,18或?，

d=一?4444

研透高考明確方向

命題點(diǎn)1等比數(shù)列的基本運(yùn)算

例1(1)[2024全國(guó)卷甲]設(shè)等比數(shù)列UJ的各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)和為S”若ai=l,S5

=5$3—4,則8=(C)

A.—B.—C.15D.40

88

解析解法一若該數(shù)列的公比4=1,代入S5=5S3—4中，有5=5X3—4,不成立，所

以9W1.由，^=5義^^~—4,化簡(jiǎn)得q4—5q2+4=0,所以/=1(舍)或,2=%由于此

數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以q=2,所以S4=L￡=15.故選C.

1-Q

解法二設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為夕，由已知得1+4+42+爐+.4=5(i+g+g2)-4,整

理得q(1+q)(才-4)=0,由于此數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以q=2,所以S4=l+q+q2

+43=1+2+4+8=15.故選C.

(2)[2024天津高考]已知｛〃〃｝為等比數(shù)列，S〃為數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和,即+i=2S〃+2,則

。4的值為(C)

A.3B.18C.54D.152

解析解法一因?yàn)樗?i=2S〃+2,所以當(dāng)〃22時(shí)，an=2Sn-i+2,兩式相減得斯+i—斯=

2a,即a〃+i=3斯，所以等比數(shù)列｛念｝的公比.當(dāng)〃=1時(shí)，Q2=2SI+2=2〃I+2,

nan

又怎=3。1,所以3的=2防+2,解得的=2,所以。4=0爐=2X33=54,故選C.

解法二設(shè)等比數(shù)列｛許｝的公比為q,因?yàn)樗?i=2S〃+2,所以公比qWl,且。應(yīng)”=

又。iWO,所以q=3,〃1=2,所

以?4=?1^3—2X33=54,故選C.

方法技巧

1.等比數(shù)列基本運(yùn)算中常用的數(shù)學(xué)思想

方程等比數(shù)列中有五個(gè)量ai,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通過(guò)列方

思想程(組)求解.

分類(lèi)討等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類(lèi)探討(分4=1和“W1兩種狀

論思想況探討).

2.等比數(shù)列基本運(yùn)算中常用的技巧

(1)(對(duì)稱(chēng)設(shè)元)一般地，若連續(xù)奇數(shù)個(gè)項(xiàng)成等比數(shù)列，則可設(shè)

這些項(xiàng)為…，x,xq,若連續(xù)偶數(shù)個(gè)符號(hào)相同的項(xiàng)成等比數(shù)列，則可設(shè)這些項(xiàng)

q

4xx3

為…，-T,一，xq,xqJ,….

Q3Q

(2)求解等比數(shù)列基本量時(shí)留意運(yùn)用整體思想、設(shè)而不求等，同時(shí)合理運(yùn)用鄉(xiāng)=歿=電

%a2

__an_。2+.3+…+而

aaa，

n-il+2+-+?n_1

(3)留意立方差公式的應(yīng)用：〃一〃二(〃一。)(/+乃+/).

訓(xùn)練1(1)［2024全國(guó)卷乙］已知等比數(shù)列｛斯｝的前3項(xiàng)和為168,〃2—〃5=42,則%=

(D)

A.14B.12C.6D.3

解析解法一設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為⑶

由題意可得『】+"2+%=168，

即卜1(1+q+q2)=168,=96

1

32解得

Lq(1—Q)=arq(1—Q)(1+q+q)=42,q=：，

所以〃6=。q5=3,故選D.

g金=168,

解法二設(shè)等比數(shù)列｛a,J的公比為q,易知由題意可得｛解得

(1—q3)=42,

%=96,

1所以〃6=〃M=3,故選D.

q，

I"2

(2)［全國(guó)卷I］設(shè)｛aj是等比數(shù)列，且〃1+〃2+〃3=1，。2+。3+〃4=2,則〃6+〃7+。8=

(D)

A.12B.24C.30D.32

解析設(shè)等比數(shù)列｛?！埃墓葹閝,所以中抖=上士W=q=2,所以恁+仍+債

十。2十。3d1十。2十。3

=(。1+(?2+。3)口5=25=32,故選D.

命題點(diǎn)2等比數(shù)列的判定與證明

例2［全國(guó)卷I］已知數(shù)列⑷｝滿(mǎn)意41=1,〃斯+1=2(〃+1)即設(shè)6“=%.

n

(1)求如bi，Z?3；

(2)推斷數(shù)列仍“｝是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；

(3)求｛為｝的通項(xiàng)公式.

解析(1)由條件可得跖,+1="士?！?

n

將〃=1代入得，。2=4〃1,而。1=1,所以。2=4.

將〃=2代入得，的=3。2,所以〃3=12.

從而d=1,歷=2,83=4.

(2)仍〃｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.

由條件可得加=碼，即與+i=2b“，又乩=1,所以協(xié).｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.

n+1n

(3)由(2)可得%=2『1,所以?！?"251.

n

方法技巧

判定與證明等比數(shù)列的常用方法

定義法若‘嘰=4⑺為非零常數(shù)且”22),則｛斯｝是等比數(shù)列

an-l

等比

若數(shù)列｛斯｝中，a?^0且嗎+1=出?斯+2,則｛期｝是等比數(shù)列

中項(xiàng)法

通項(xiàng)若數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式可寫(xiě)成斯=cq"「i(c,g均為非零常數(shù))，則｛斯｝是等比

公式法數(shù)列

前n項(xiàng)和若數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和斗=左”〃一左(左為非零常數(shù)，qWO且qWl),則｛為｝是

公式法等比數(shù)列

訓(xùn)練2［2024江蘇省七市模擬］已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)意m=l,痣=5,an+2=5an+l-6a?.

(1)證明：｛斯+i—2%｝是等比數(shù)列.

(2)證明:存在兩個(gè)等比數(shù)列仿3｛金｝,使得斯=3+金成立.

解析解法一(1),.?斯+2=5。〃+1—6斯，

???！?22a〃+i5?！?16a“2a”+i3a〃+i6a”3(a”+i2a“),

?〃i=l,42=5,??a?-2〃i=3W0,

，數(shù)列｛詼+i—2斯｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.

(2)??！?25?！?16。八,??a〃+23〃〃+i5〃八+i6。八3a〃+i2。八+16〃“2(”〃+i

3a〃).

?=1,〃2=5,??。2-3〃i=2W0,

,數(shù)列｛斯+1—3斯｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

n

an+i—3an=2①,

由第(1)問(wèn)得〃〃+i—2斯=3〃②，

由②一①得，斯=3"-2".

故存在通項(xiàng)為為=3",金=一2〃的兩個(gè)等比數(shù)列，使得為+金成立.

角牛/去(1)a〃+2I2林(a〃+iI,

由研2=5研「6詼得解得匕二：2或「二:；.

??。〃+22。〃+13（。〃+12〃八）或〃八+23。八+12（?！?13。〃）.

?=1,〃2=5,

??〃22al=3WO,

???數(shù)列｛斯+1—2斯｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.

(2)由(1)知斯+1—2飆=3〃①，

由斯+2-3斯+1=23斯)可得斯+1—3斯=2"②，

nn

由①一②得，an=3~2f

故存在通項(xiàng)為勿=3",金=一2"的兩個(gè)等比數(shù)列，使得斯=為+金成立.

命題點(diǎn)3等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用

例3(1)[2024新高考卷II]記&為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，若&=—5,S6=21S2,則

S8=(C)

A.120B.85C.-85D.-120

解析解法一設(shè)等比數(shù)列｛〃〃｝的公比為q(q￥0),由題意易知qWl,則

‘皿（1—q4）=_5

q2—4,z_8、

1—q'11

化簡(jiǎn)整理得Iai1所以S8=%IF=工義（1—44）=

（1—q6）=2]X（1一＜?2）=-.i—q3

（1—q3

.i—qi—q

一85.故選C

2

解法二易知S2,S4—S2,S6-S4,S8—每為等比數(shù)列，所以(S4—S2)=S2-(S6-S4),

解得$2=—1或5＞2=9.當(dāng)5(2=—1時(shí)，由(孔一義)2=(義一512)?(1—、6),解得S8=

4

.d4)=—5,

-85;當(dāng)S2=g時(shí)，結(jié)合&=一5得4化簡(jiǎn)可得才=—5,不成立，舍去.

4Iat(1—_5