勾股定理-2024年新九年級數(shù)學(xué)暑假提升講義（滬科版）

專題04勾股定理

專題04勾股唾

?s@?

知識點1:勾股定理

1.勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么/+呈=02.

特別提醒:

(1)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

(2)勾股定理公式/+力2=<?2的變形有：a=Yc2-b2，b=\及c=4@2+52.

(3)由于/+9=。2>￡,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊.

知識點2：勾股定理的證明

1.勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的.先利用拼圖的方法，然后再利用面積相

等證明勾股定理.

2.證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形

的面積和化簡整理得到勾股定理.

知識點3：勾股定理的應(yīng)用

1.應(yīng)用條件：勾股定理的應(yīng)用必須是在直角三角形中，所以要應(yīng)用勾股定理，必須先找出直角三角形

1

2..常見的類型：

①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度.

②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形

的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和.

③勾股定理在實際問題中的應(yīng)用：運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題.

④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三

角形的斜邊.

知識點4：平面展開-最短路徑問題

（1）平面展開-最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑.一

般情況是兩點之間，線段最短.在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題.

（2）關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們在解決有關(guān)結(jié)合問

題時的關(guān)鍵就是能從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型.

知識點5：勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長。，b,C滿足/+必=02,那么這個三角形就是直角三角形.

說明：

①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形.必須滿足較小兩邊平方的

和等于最大邊的平方才能做出判斷.

2.運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角.然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來解決

問題.

注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和

與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.

知識點6：勾股數(shù)

勾股數(shù)：滿足/+必=02的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

①三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足@2+62=02,但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù).

②一組勾股數(shù)擴大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù).

③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；-

知識點7：兩點間的距離公式

設(shè)有兩點A（xi，yi）,B（X2,>2）,則這兩點間的距離為（X1-X2）2+（丫［-丫2）2.

2

?題型歸納

【題型1勾股定理】

滿分技法

應(yīng)用勾股定理時，應(yīng)注意區(qū)分直角邊和斜邊，標(biāo)注字母C的不一定就是斜邊

1.（2023春?金寨縣期末）已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm,AD=9c〃z,將此長方形折疊，使點3

與點。重合，折痕為EF,則AABE的面積為（）

2.（2023春?安慶期末）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,若AB=15,則正方形ADEC和正方形BC尸G的

面積和為（）

3.（2024春?田家庵區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點0（0,0）,A（2,3）,以點。為圓心,

Q4長為半徑畫弧，交尤軸的正半軸于3點，則3點的橫坐標(biāo)介于（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

3

4.（2024?蕪湖二模）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)

史上稱為“希波克拉底月牙"，當(dāng)AC=4,5C=2時，則陰影部分的面積為（）

B.4%C.8%

5.（2024春?黃山期中）如圖，正方形ABCD是由9個邊長為1的小正方形組成，每個小正方形的頂點都

叫格點，點石，尸都在格點上，連接AE,AF,則NE4/=（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【題型2勾股定理的證明】

滿分技法

（1）證明勾股定理時，找面積相等是關(guān)鍵.

⑵組成圖形的面積的兩種表示方法：

①直接利用面積公式表示;②間接利用各個組成部分的面積和表示。

6.（2024春?廬陽區(qū)校級期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕

傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角

形較長直角邊長為。，較短直角邊長為6,若（4+份2=22,大正方形的面積為17,則小正方形的邊長為（

）

C.A/6D.2石

7.（2024春?蕪湖期中）勾股定理從被發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史，人們對這個定理的證明找到了很多

方法.我國數(shù)學(xué)家劉徽利用“出入相補”原理（一個平面圖形從一處移到另一處，面積不變；又若圖形分

成若干塊，則各部分的面積和等于原來圖形的面積）也證明了勾股定理，如圖所示，這種證法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)

思想是（）

4

C.函數(shù)思想D.歸納思想

8.（2024春?大觀區(qū)校級期中）如圖，它是由弦圖變化得到的，是由八個全等的直角三角形拼接而成的，

將圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MAKT的面積分別記為H、邑、S3,若岳=25,S3=l,則

9.（2022春?廬江縣期中）將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點A、E、。在同一條直線上.利

用此圖的面積表示式證明勾股定理.

【題型3勾股定理的應(yīng)用】

滿分技法

（1）若不存在直角三角形，可以通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形.

（2）在運用勾股定理解決實際問題時，要從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，即建立直角三角形模型，把實

際的量抽象成線段的長度，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求直角三角形的邊長。

⑶勾股定理可以幫助我們計算，也可以幫助我們建立方程，還可以幫助我們證明線段之間的平方關(guān)系.

⑷運用勾股定理求直角三角形的邊長時，若未明確哪條邊是斜邊，應(yīng)分類討論

10.（2024春?廬陽區(qū)校級期中）如圖，一棵樹在離地面6米處斷裂，樹的頂部落在離底部8米處，樹折斷

之前的高度是（）

5

B.8米C.10米D.16米

11.（2024春?蜀山區(qū)期中）如圖，梯子靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為5加，梯子的

頂端B到地面的距離為Um,現(xiàn)將梯子的底端A向外移動到4,使梯子的底端4到墻根（9的距離

等于6〃工，同時梯子的頂端3下降至那么2夕（）

C.等于I沉D.小于或等于1m

12.（2024春?大觀區(qū)校級期中）某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD,如圖所示，學(xué)校計劃在空地上種植草

皮，經(jīng)測量NA=90。，AB=3m,AD=4m,CD=12m,BC=13m.若每平方米草皮需要200元，問學(xué)校

需要投入多少資金買草皮？

13.（2024春?金安區(qū)校級期中）如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船，河岸上一男子拽著繩子另一

端向右走，繩端從C移動到E,同時小船從A移動到5,繩子始終繃緊且繩長保持不變，已知A、B、F

三點在一條直線上，且詼_LCF于點下，若CF=8米，AF=15米，AB=9米，求男子向右移動的距離CE.

14.（2024春?廬陽區(qū)校級期中）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的高度相等的墻，一根竹竿斜靠在左墻時，竹

竿底端O到左墻角的距離OC為2米，頂端3距墻頂?shù)木嚯x為1米，若保持竹竿底端位置不動，將竹竿

斜靠在右墻時，竹竿底端到右墻角的距離OP為3米，頂端E距墻頂。的距離DE為2米，點A、B、C在

6

一條直線上，點D、E、尸在一條直線上，AC±CF,DF±CF.

求：（1）墻的高度；

（2）竹竿的長度.

15.（2024春?廬江縣期中）某校八年（1）班的小華和小軒學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂

直高度CE,他們進(jìn)行了如下操作：

①測得水平距離BD的長為12米：

②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線BC的長為20米：

③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為L62米.

（1）求風(fēng)箏的垂直高度CE:

（2）如果小明想風(fēng)箏沿CD方向再上升4米，則他應(yīng)該再放出多少米線？

【題型4平面展開-最短路徑問題】

滿分技法

立體圖形平面化，解決最短路徑問題求立體圖形上兩點間的最短距離時，可先將立體圖形展開，使這兩

點在同一個平面內(nèi)，再利用勾股定理求出兩點之間線段的長度.但需要注意，個立體圖形的展開方式可

能不止一種，要從中選出最短路徑.

16.（2023秋?泗縣期中）如圖，圓柱高為7cm,底面周長為48cm,螞蟻在圓柱表面爬行，從點A爬到點3

的最短路程是（）

7

B.32cmC.25cmD.24cm

17.（2024春?合肥期中）有一個如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設(shè)其長AD=80c〃7,高AB=50c〃z,

水深A(yù)E=40c/”,在水面上緊貼內(nèi)壁的G處有一塊面包屑，G在水面線防上，且FG=30cm,一只螞蟻想

從魚缸外的A點沿魚缸壁爬進(jìn)魚缸內(nèi)的G處吃面包屑.螞蟻爬行的最短路線為cm.

18.（2023秋?埔橋區(qū)校級期中）如圖，在一個長方形草坪上，放著一根長方體的木塊.已知AD=6

米，4?=4米，該木塊的較長邊與AD平行，橫截面是邊長為2米的正方形，一只螞蟻從點A爬過木塊到

達(dá)C處需要走的最短路程是米.

19.（2023春?花山區(qū)校級期中）春節(jié)期間，某廣場用彩燈帶裝飾了所有圓柱形柱子.為了美觀，每根柱子

的彩燈帶需要從A點沿柱子表面纏繞兩周到其正上方的3點，如圖所示，若每根柱子的底面周長均為2米，

高均為3米，則每根柱子所用彩燈帶的最短長度為米.

20.（2023春?天長市校級期中）如圖，直四棱柱側(cè)棱長為4c〃z,底面是長為5c機，寬為3s的長方形.

只螞蟻從頂點A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點3.則螞蟻經(jīng)過的最短路程cm.

8

【題型5勾股定理的逆定理】

滿分技法

利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否為直角三角形的一般步驟：

第1步：比較a,b,c的大小，找出最大邊長，

第2步：計算兩小邊長的平方和,看它是否與最大邊長的平方相等.若相等，則是直角三角形，并且最大邊

所對的角是直角；若不相等，則不是直角三角形，

21.（2024春?大觀區(qū)校級期中）在下列條件中，能確定AABC是直角三角形的條件是（）

A.ZA+ZB=2ZCB.AB:AC:BC=1:1:2

C.(AC+BC)(AC-BC)=AB2D.ZA-ZB=90°

22.（2024春?金安區(qū)校級期中）在AABC中，NA、ZB、NC對邊是a、b、c,哪個條件不能判斷AABC

是直角三角形（）

A.ZA+ZB=ZCB.ZA:ZB:ZC=1:2:3

C.ZA:ZB:ZC=3:4:5D.b2+a2=c2

23.（2024春?田家庵區(qū)校級期中）AABC中,a、b、。分別為NA、ZB、NC的對邊，下列條件中能判

斷AABC為直角三角形的是（）

A.a=b=cB.ZA:ZB:ZC=3:4:5

C.a:b:c=l:2:3D.a=3fb=49c=5

24.（2024春?黃山期中）以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（)

A.G/,A/5B.2,3,4C.2,2,5D.2,3,75

【題型6勾股數(shù)】

滿分技法

勾股數(shù)滿足條件：

1.三個數(shù)必須都是正整數(shù)

2.以這三個數(shù)為長度的線段能組成三角形

3.兩個較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方

25.（2024春?廬陽區(qū)校級期中）下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)是一組勾股數(shù)的為（）

9

A.N/3,AA/5B.6,8,10C.6,7,8D.1,1,72

26.(2024春?鏡湖區(qū)校級期中)下列各組3個整數(shù)是勾股數(shù)的是(

A.4,5,6B.6,8,9C.13,14,1515,17

27.(2024春?蜀山區(qū)期中)下列3個數(shù)能成為勾股數(shù)的是(

A.6,8,91,近,A/3C.7,15,1712,13

28.(2024春?廬江縣期中)在下列四組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的是(

A.0.3,0.4,0.5B.9,40,41C.2,3,4,s/2,在

【題型7兩點間的距離公式】

滿分技法

(1)平面內(nèi)兩點之間的距離與這兩個點的坐標(biāo)有關(guān).

⑵運用平面直角坐標(biāo)系中兩點之間的距離公式時，代入要準(zhǔn)確.

29.(2023春?蚌山區(qū)期中)在平面直角坐標(biāo)系中，點尸(1,-應(yīng))到原點的距離為()

A.1B.A/2C.A/3D.3

30.(2023春?巢湖市校級期中)已知點A的坐標(biāo)為(-3,-2),點3在y軸上，當(dāng)A、3兩點間的距離最

短時，點3的坐標(biāo)為()

A.(0,-2)B.(-2,0)C.(-3,0)D.(0,-3)

31.(2024春?安慶期中)閱讀材料：

例：說明代數(shù)式尸Z+3)2+4的幾何意義,并求它的最小值.

解：Jx~+]+《(x-3)~+4=-0)2+]+J(x-3)~+22.

幾何意義：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點尸(x,0)是尤軸上一點，則J(x-0)2+1可以看成點P與點4(0』)的

距離，&x-3)2+2?可以看成點P與點3(3,2)的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段與PB長度之和，

它的最小值就是孫+PB的最小值.

求最小值：設(shè)點A關(guān)于無軸對稱點A,^\PA=PA.因此，求R4+P3的最小值，只需求ZW+總的最小值，

而點4,3間的直線段距離最短，所以9+PB的最小值為線段A，3的長度.為此，構(gòu)造直角三角形HCB,

因為AC=3,CB=3,所以由勾股定理得A'3=30,即原式的最小值為3后.

根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：

(1)代數(shù)式?x-Ip+1+J(x-2)2+16的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點尸(x,0)與點4L1)，點、B

的距離之和.(填寫點3的坐標(biāo))

(2)代數(shù)式+25+_i2x+45的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點P(x,0)與點4、點B的

10

距離之和.（填寫點A,3的坐標(biāo)）

（3）求出代數(shù)式收+25+一12x+45的最小值.

3(3,2)

0

-1

，過關(guān)檢測

1.（2024春?廬江縣期中）一個直角三角形的三邊長分別為a,b,c,那么以成，bk,硬（左＞0）為三邊

長的三角形是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

2.（2024春?銅官區(qū)校級期中）如圖，在RtAABC中，NC=90。，AC=6,3C=4.以AB為一條邊向三

角形外部作正方形，則正方形的面積是（）

A.10D.92

3.（2023春?渦陽縣期中）如圖，在6*6網(wǎng)格中，點A,B,C都是格點（網(wǎng)格線的交點），則AABC的

形狀是（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

4.（2024春?宣城期中）滿足下列條件的三角形中，是直角三角形的是（

11

A.三邊的邊長比為1:0:石B.三邊邊長的平方比為3:4:5

C.三個內(nèi)角度數(shù)比為1:3:5D.三個內(nèi)角度數(shù)比為3:4:5

5.（2024春?宣城期中）如圖，該圖由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設(shè)直角

三角形較長直角邊長為。，較短直角邊長為6.若必=12,大正方形面積為30,則小正方形邊長為（）

C.屈D.3^/2

6.（2024春?金安區(qū)校級期中）已知某直角三角形的兩條直角邊長的比為5:12,若該直角三角形的周長為

60,則該直角三角形的斜邊長為.

7.（2024春?安慶期中）一直角三角形的三邊長分別為6,8,x,那么以x為邊長的正方形的面積為.

8.（2023秋?泗縣期中）如圖點A、B、C都在方格線的交點上，則NACB的度數(shù)是.

9.（2024春?瑤海區(qū)校級期中）（1）如圖，在AABC中，ADLBC,求證：AB1-AC2=BD1-CD1.

（2）在AABC中，AB=8,AC=5,3c邊上的高4）=4,求邊3c的值.

10.（2024春?鏡湖區(qū)校級期中）如圖，在AABC中，BC=4,AC=13,AB=15,求

11.（2024春?安慶期中）如圖，有一架秋千，當(dāng)他靜止時，踏板離地的垂直高度DE=0.6〃/,將他往

前推送2.4m（水平距離3c=24"）時，秋千的踏板離地的垂直高度3口=1.2根，秋千的繩索始終拉得很

直，求繩索"）的長度.

12

13

專題04勾股定理

lUlhiJE

專題04勾股唾

知識點1:勾股定理

1.勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為C,那么/+廿=02.

特別提醒:

(1)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

(2)勾股定理公式@2+)=1的變形有：_-^2,6=「2-22及c={a2+b2,

(3)由于/+3=o2>］，所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊.

知識點2：勾股定理的證明

1.勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的.先利用拼圖的方法，然后再利用面積相

等證明勾股定理.

2.證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形

的面積和化簡整理得到勾股定理.

知識點3：勾股定理的應(yīng)用

1.應(yīng)用條件：勾股定理的應(yīng)用必須是在直角三角形中，所以要應(yīng)用勾股定理，必須先找出直角三角形

14

2..常見的類型：

①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度.

②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形

的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和.

③勾股定理在實際問題中的應(yīng)用：運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題.

④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三

角形的斜邊.

知識點4：平面展開-最短路徑問題

(1)平面展開-最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑.一

般情況是兩點之間，線段最短.在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題.

(2)關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們在解決有關(guān)結(jié)合問

題時的關(guān)鍵就是能從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型.

知識點5：勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長。，b,C滿足/+必=02,那么這個三角形就是直角三角形.

說明：

①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形.必須滿足較小兩邊平方的

和等于最大邊的平方才能做出判斷.

2.運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角.然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來解決

問題.

注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和

與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.

知識點6：勾股數(shù)

勾股數(shù)：滿足/+必=02的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

①三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足@2+62=02,但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù).

②一組勾股數(shù)擴大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù).

③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；-

知識點7：兩點間的距離公式

設(shè)有兩點A(xi,yi),B(x2,”)，則這兩點間的距離為J(x1-x2)2+(y[-y?)2.

15

?題型歸納

【題型1勾股定理】

滿分技法

應(yīng)用勾股定理時，應(yīng)注意區(qū)分直角邊和斜邊，標(biāo)注字母C的不一定就是斜邊

1.（2023春?金寨縣期末）已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm,AD=9c〃z,將此長方形折疊，使點3

與點。重合，折痕為EF,則AABE的面積為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)折疊的條件可得：BE=DE,在直角AABE中，利用勾股定理就可以求解.

【解答】解：將此長方形折疊，使點B與點D重合，；.BE=ED.

AD=9cm=AE+DE=AE+BE.

:.BE=9-AE9

根據(jù)勾股定理可知AB2+AE2=BE2.

解得鉆=4.

.?.AASE的面積為3x4+2=6（cm2）.

故選：C.

【點評】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

2.（2023春?安慶期末）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,若AB=15,則正方形ADEC和正方形3CFG的

面積和為（）

16

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理得AC2+BC2=AB2=152=225,從而得出答案.

【解答】解：在RtAABC中，ZC=90°,

由勾股定理得，AC2+BC2=AB2=152=225,

???正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為225,

故選：A.

【點評】本題主要考查了勾股定理，正方形的面積等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2024春?田家庵區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點0（0,0）,A（2,3）,以點。為圓心,

長為半徑畫弧，交x軸的正半軸于3點，則3點的橫坐標(biāo)介于（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【答案】A

【分析】先根據(jù)勾股定理求出。4的長，由于=故估算出。4的長，再根據(jù)點3在x軸的正半軸上

即可得出結(jié)論.

【解答】解：「點A坐標(biāo)為（2,3）,

:.OA=^22+32=713,

一點A、3均在以點。為圓心，以。4為半徑的圓上，

OA=OB=J13

3＜舊＜4，點3在x軸的正半軸上，

點B的橫坐標(biāo)介于3和4之間.

故選：A.

【點評】本題考查的是勾股定理及估算無理數(shù)的大小，根據(jù)題意利用勾股定理求出Q4的長是解答此題的關(guān)

鍵.

4.（2024?蕪湖二模）如圖，在RtAABC中，ZC=90%分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)

史上稱為“希波克拉底月牙"，當(dāng)AC=4,8C=2時，則陰影部分的面積為（）

17

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理得到AB-ACZ+BC?,根據(jù)扇形面積公式計算即可.

【解答】解：由勾股定理得，AB2=AC2+BC2=20,

則陰影部分的面積=；xACxBC+；x萬x（竿）2+；x〃x（竿）2-；*乃*（￥）2

=-X2X4+-X^X-X（AC2+BC2-AB2）

224

=4,

故選：A.

【點評】本題考查的是勾股定理、扇形面積計算，掌握勾股定理和扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

5.（2024春?黃山期中）如圖，正方形A5CD是由9個邊長為1的小正方形組成，每個小正方形的頂點都

叫格點，點E,F都在格點上，連接AE,AF,則NE4F=（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】B

【分析】連接灰，利用勾股定理可求出AE,EF,EF的長度，結(jié)合勾股定理的逆定理可得的為等腰

直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出E4戶的度數(shù).

AE=d展+f=非，EF=也+F=5J)=行+)=癡,

:.AE2+EF2=AF2>AE=EF,

.?.AA￡F是等腰直角三角形，

:.ZEAF=45°.

18

故選：B.

【點評】本題考查勾股定理，正確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.

【題型2勾股定理的證明】

滿分技法

⑴證明勾股定理時，找面積相等是關(guān)鍵.

⑵組成圖形的面積的兩種表示方法：

①直接利用面積公式表示；②間接利用各個組成部分的面積和表示。

6.（2024春?廬陽區(qū)校級期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕

傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角

形較長直角邊長為。，較短直角邊長為6,若（a+6）2=22,大正方形的面積為17,則小正方形的邊長為（

）

A.A/3B.2C.A/6D.2指

【答案】D

【分析】根據(jù)大正方形的面積和勾股定理推出片+62=13,然后結(jié)合完全平方公式的變形得出=5,

最后由小正方形的面積為E產(chǎn)=（。-bp,即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，由題意，ED=a,AE=b,

「大正方形的面積為17,

AD2=17，

AD2=AE2+ED2^a2+b2,

:.a2+b2=17,

(a+6)2=22,

(a-Z?)2=2(a2+Z72)-(a+Z?)2=2x17-22=12,

EF=ED-EF=a—b,

19

二小正方形的邊長為跖=2g（負(fù)值舍去），

故選：D.

【點評】本題考查勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理，熟練運用完全平方公式的變形是解題關(guān)鍵.

7.（2024春?蕪湖期中）勾股定理從被發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史，人們對這個定理的證明找到了很多

方法.我國數(shù)學(xué)家劉徽利用“出入相補”原理（一個平面圖形從一處移到另一處，面積不變；又若圖形分

成若干塊，則各部分的面積和等于原來圖形的面積）也證明了勾股定理，如圖所示，這種證法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)

C.函數(shù)思想D.歸納思想

【答案】A

【分析】根據(jù)圖形中各部分的關(guān)系即可得到結(jié)論.

【解答】解：這種證法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想,

故選：A.

【點評】本題考查了勾股定理的證明，正確地識別圖形是解題的關(guān)鍵.

8.（2024春?大觀區(qū)校級期中）如圖，它是由弦圖變化得到的，是由八個全等的直角三角形拼接而成的,

將圖中正方形ABC。、正方形EFGH、正方形MVKT的面積分別記為加、邑、S3,若耳=25,S3=1,則

￡F=_713

【答案】713.

【分析】先設(shè)出四個直角三角形的面積之和為S,再根據(jù)Sz+S=H和邑-S=$3求出$2=13,即可求解.

【解答】解：設(shè)四個直角三角形的面積之和為S,

昆+5=耳=25,

.e.S—25—S2,

又-S2-S=S3=1,

20

:.S=S2-lf

.e.25—S2=星—1,

解得昆=13,

正方形￡FGH的邊長為：713.

則EF=而，

故答案為：A/13.

【點評】本題考查勾股定理的證明、正方形的面積，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵.

9.（2022春?廬江縣期中）將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點A、E、。在同一條直線上.利

用此圖的面積表示式證明勾股定理.

【答案】證明過程見解答.

【分析】先推出ABEC是直角三角形，然后根據(jù)S梯形鈣CDUSAABE+SABEC+SADEC，代入字母整理化簡，即可證

明結(jié)論成立.

【解答】證明：由已知可得，

RtABAE=RtAEDC.

:.ZABE=ZDEC,

ZABE+ZAEB=90°,

:.ZDEC+ZAEB=90°,

:.ZBEC=90°,

.?.ABEC是直角三角形，

-S梯形ABC。=+^ABEC+^ADEC>

(a+Z?)(a+Z?)abC'Cab

-11-------,

2----2-----2-----2

a2+lab+b2c2+lab

...--------------------------=------------------,

22

/.a2+b2=c2?

【點評】本題考查勾股定理的證明，解答本題的關(guān)鍵是推出ABEC是直角三角形.

【題型3勾股定理的應(yīng)用】

滿分技法

21

（1）若不存在直角三角形，可以通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形.

⑵在運用勾股定理解決實際問題時，要從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，即建立直角三角形模型，把實

際的量抽象成線段的長度，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求直角三角形的邊長。

⑶勾股定理可以幫助我們計算，也可以幫助我們建立方程，還可以幫助我們證明線段之間的平方關(guān)系.

⑷運用勾股定理求直角三角形的邊長時，若未明確哪條邊是斜邊，應(yīng)分類討論

10.（2024春?廬陽區(qū)校級期中）如圖，一棵樹在離地面6米處斷裂，樹的頂部落在離底部8米處，樹折斷

A.6米B.8米C.10米D.16米

【答案】D

【分析】根據(jù)圖形，可以知道兩直角邊的長度，從而構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出斜邊的長.

【解答】解：-62+82=1001

7100=10.

.-.10+6=16（米）.

，樹折斷之前有16米.

故選：D.

【點評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用.培養(yǎng)同學(xué)們利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，觀察題目的信息是

解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

11.（2024春?蜀山區(qū)期中）如圖，梯子的靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為5加，梯子的

頂端B到地面的距離為12m,現(xiàn)將梯子的底端A向外移動到4,使梯子的底端4到墻根O的距離

等于6帆，同時梯子的頂端3下降至那么3斤（）

B.大于1m

D.小于或等于1m

22

【分析】在RtAAOB中依據(jù)勾股定理可知AB?=169,在及△AO眩中依據(jù)勾股定理可求得03'的長，從而

可求得期的長.

【解答】解：在RtAAOB中，由勾股定理可知AB?=492+032=169,

在用△A!OB'中由勾股定理可知AB''=AO1+OB'2.

AB=AB,

:.A!O-+OB'-

OB'=7169-36=7133，

BB'=OB-OB'=n--Jiyi<1.

故選：A.

【點評】本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等

于斜邊的平方.

12.（2024春?大觀區(qū)校級期中）某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD,如圖所示，學(xué)校計劃在空地上種植草

皮，經(jīng)測量N4=90。，AB=3m,AD=4m,CD=12m,BC=13m.若每平方米草皮需要200元，問學(xué)校

需要投入多少資金買草皮？

A_____D

【答案】7200元.

【分析】連接班>,根據(jù)勾股定理可得BD=5m,再由勾股定理的逆定理可得ABDC是直角三角形，然后根

據(jù)四邊形ABCD的面積為S[BD+S^BD，即可求解.

【解答】解：如圖，連接BD,

AD

在RtAABD中，ZA=90°,AB=3m,AD=4〃z,

BD=7AB2+AD2=5m，

CD=12m,BC=13m,

BD2+CD2=25+122=132=BC2

.?.ABDC是直角三角形，且NBDC=90。,

23

2

四邊形ABCD的面積為5MBD+“CBO=1^5XA￡>+1BDXCD=1X3X4+1X5X12=36?7J,

36x200=7200（:元），

即學(xué)校需要投入7200元資金買草皮.

【點評】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形.

13.（2024春?金安區(qū)校級期中）如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船，河岸上一男子拽著繩子另一

端向右走，繩端從C移動到E,同時小船從A移動到3,繩子始終繃緊且繩長保持不變，已知A、B、F

三點在一條直線上，且AF_LCF于點尸，若CF=8米，AF=15米，AB=9米，求男子向右移動的距離CE.

【答案】小男孩需向右移動的距離為7米.

【分析】由勾股定理求出AC、3c的長，即可解決問題.

【解答】解：連接至，如圖所示：

則點A、B、P三點共線，

在RtACFA中，由勾股定理得：AC=V152+82-17（米），

BF=AF-AB=15-9=6（米），

在RtACFB中，由勾股定理得：BC=VCF2+BF2=A/82+62=10（米），

由（1）得：AC=BC+CE,

:.CE=AC-BC=11-10=1（米），

，小男孩需向右移動的距離為7米.

【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，由勾股定理求出AC、3c的長是解題的關(guān)鍵.

14.（2024春?廬陽區(qū)校級期中）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的高度相等的墻，一根竹竿斜靠在左墻時，竹

竿底端O到左墻角的距離OC為2米，頂端3距墻頂?shù)木嚯x為1米，若保持竹竿底端位置不動，將竹竿

斜靠在右墻時，竹竿底端到右墻角的距離OF為3米，頂端E距墻頂。的距離DE為2米，點A、B、C在

一條直線上，點。、E、尸在一條直線上，ACLCF,DF±CF.

求：（1）墻的高度；

【答案】（1）墻的高度為2.5米;

24

(2)竹竿的長度為2.5米.

【分析】(1)先根據(jù)勾股定理求出OB的長，同理可得出CF的長，進(jìn)而可得出結(jié)論；

(2)O32=Bc2+oc2=a-l)2+22.將(1)中的數(shù)據(jù)代入求值.

【解答】解：⑴設(shè)墻高為尤米，則3c=(》-1)米，EF=(x-2)米.

在RtAOBC中，根據(jù)勾股定理，WOB2=BC2+0C2=(x-1)2+22.

在RtAOEF中，根據(jù)勾股定理，0E2=EF2+OF2=(x-2)2+32.

OB=OE,

OB2=OE2,即(x-2)2+22=(x-2)2+32.

解得：%=2.5.

答：墻的高度為2.5米；

(2)由(1)知，OB=OE=2.5,S.OB2=BC2+OC2,

所以O(shè)B?=(尤一1)2+2?=(2.5-1)2+22=6.25.

所以03=2.5米.

答：竹竿的長度為2.5米.

【點評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實

際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思

想的應(yīng)用.

15.(2024春?廬江縣期中)某校八年(1)班的小華和小軒學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂

直高度CE,他們進(jìn)行了如下操作：

①測得水平距離的長為12米：

②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線BC的長為20米：

③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.62米.

(1)求風(fēng)箏的垂直高度CE:

(2)如果小明想風(fēng)箏沿CD方向再上升4米，則他應(yīng)該再放出多少米線？

【答案】(1)風(fēng)箏的高度CE為17.62米;

25

（2）他應(yīng)該再放出（4后-20）米.

【分析】（1）利用勾股定理求出8的長，再加上DE的長度，即可求出CE的高度;

（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）在RtACDB中，

由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=202-122=256,

所以，8=16（負(fù)值舍去），

所以，CE=CD+?！?16+1.62=17.62（米），

答：風(fēng)箏的高度CE為17.62米；

（2）如圖所示：延長。C至連接夕0,

DM=20米，

■■■BM=^DM2+BD2=V202+122=4?（米），

8〃-8c=（4庖-20）米，

???他應(yīng)該再放出（4A/34-20）米.

【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，能從實際問題中抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【題型4平面展開-最短路徑問題】

滿分技法

立體圖形平面化，解決最短路徑問題求立體圖形上兩點間的最短距離時，可先將立體圖形展開，使這兩

點在同一個平面內(nèi)，再利用勾股定理求出兩點之間線段的長度.但需要注意，個立體圖形的展開方式可

能不止一種，要從中選出最短路徑.

16.（2023秋?泗縣期中）如圖，圓柱高為7cm,底面周長為48sz,螞蟻在圓柱表面爬行，從點A爬到點3

的最短路程是（）

26

A.31cmB.32cmC.25cmD.24cm

【答案】C

【分析】沿過A點和過5點的母線剪開，展成平面，連接AB,則4?的長是螞蟻在圓柱表面從A點爬到3

點的最短路程，求出AC和3c的長，根據(jù)勾股定理求出斜邊即可.

【解答】解：如圖所示：沿過A點和過3點的母線剪開，展成平面，連接AB，

則AB的長是螞蟻在圓柱表面從A點爬到3點的最短路程，

AC='x48=24(cm),NC=90°,BC=7cm,

2

由勾股定理得：AB=VAC2+BC2=25cm-

【點評】本題考查了平面展開-最短路線問題和勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是知道求出的長就是螞蟻在圓柱

表面從A點爬到B點、的最短路程.

17.(2024春?合肥期中)有一個如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設(shè)其長AD=80a〃，高AB=50cm,

水深A(yù)E=40c〃工，在水面上緊貼內(nèi)壁的G處有一塊面包屑，G在水面線EF上，且FG=30cm,一只螞蟻想

從魚缸外的A點沿魚缸壁爬進(jìn)魚缸內(nèi)的G處吃面包屑.螞蟻爬行的最短路線為

【答案】10而.

【分析】作出A關(guān)于3C的對稱點A,連接4G,與BC交于點、Q,此時AQ+QG最短；4G為直角△4EG

的斜邊，根據(jù)勾股定理求解即可.

【解答】解：如圖所示作出A關(guān)于3c的對稱點A,連接AG,與3c交于點。，小蟲沿著AfQfG的

27

路線爬行時路程最短.

AQ+QG=A'Q+QG=A'G=S/A'E2+EG2=10標(biāo)（c/）

最短路線長為-

故答案為：10府

【點評】本題考查平面展開？最短路徑問題，關(guān)鍵知道兩點之間線段最短，從而可找到路徑求出解.

18.（2023秋?埔橋區(qū)校級期中）如圖，在一個長方形草坪ABCD上，放著一根長方體的木塊.已知AD=6

米，AB=4米，該木塊的較長邊與AD平行，橫截面是邊長為2米的正方形，一只螞蟻從點A爬過木塊到

達(dá)C處需要走的最短路程是10米.

【分析】將木塊表面展開，然后根據(jù)兩點之間線段最短解答.

【解答】解：如圖，將木塊展開，AC即為所求，

貝ijAB=4+2+2=8（米），3C=AD=6米，

.1最短路徑為：AC=^AB2+BC2=A/82+62=10（米）.

【點評】本題主要考查了平面展開-最短路線問題，兩點之間線段最短，有一定的難度，要注意培養(yǎng)空間想

28

象能力.

19.（2023春?花山區(qū)校級期中）春節(jié)期間，某廣場用彩燈帶裝飾了所有圓柱形柱子.為了美觀，每根柱子

的彩燈帶需要從A點沿柱子表面纏繞兩周到其正上方的3點，如圖所示，若每根柱子的底面周長均為2米，

高均為3米，則每根柱子所用彩燈帶的最短長度為二米.

【答案】5.

【分析】要求彩帶的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)