1.4.2充要條件課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.4充分條件與必要條件

1.4.2充要條件

主講人：小蔡老師學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．理解充要條件的意義.2．結(jié)合具體問(wèn)題，利用集合等知識(shí)，學(xué)會(huì)判斷充分條件、必要條件和充要條件．3．分清充分性和必要性，培養(yǎng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想．學(xué)習(xí)重點(diǎn)：充要條件及其判斷，充分、必要條件的證明與探究，充分、必要條件的應(yīng)用．學(xué)習(xí)難點(diǎn)：充分、必要條件的證明與探究及應(yīng)用．學(xué)習(xí)目標(biāo)——明確方向，把握重、難點(diǎn)復(fù)習(xí)導(dǎo)入觀察下側(cè)電路圖.1.①中開(kāi)關(guān)A閉合是燈泡B亮的什么條件？2.②中開(kāi)關(guān)A閉合是燈泡B亮的什么條件？3.③中開(kāi)關(guān)A閉合是燈泡B亮的什么條件？4.④中開(kāi)關(guān)A閉合是燈泡B亮的什么條件？5.將①中開(kāi)關(guān)A與燈泡B位置互換，開(kāi)關(guān)C始終是斷開(kāi)狀態(tài)，結(jié)論變嗎？問(wèn)題：充分不必要必要不充分充要不充分也不必要充分不必要

一般地，“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q,又有q?p，就記作

p?q.此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件.顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.

概括地說(shuō)，如果p?q

，那么p與q互為充要條件.新知：充要條件四種條件與命題真假的關(guān)系原命題逆命題p與q的關(guān)系q與p的關(guān)系真（p?q）真（q?p）p是q的充要條件q是p的充要條件真（p?q）假（q?p）p是q的充分不必要條件q是p的必要不充分條件假（p?q）真（q?p）p是q的必要不充分條件q是p的充分不必要條件假（p?q）假（q?p）p是q的既不充分也不必要條件q是p的既不充分也不必要條件若原命題為“若p，則q”，逆命題為“若q，則p”，那么p與q的關(guān)系有以下四種情形：充分條件、必要條件的判斷例3

下列各題中,哪些p是q的充要條件?(1)p:四邊形是正方形,q:四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分;(2)p:a≠0,q:關(guān)于x的方程ax=1有唯一解;(3)p:xy＞0，q：x＞0，y＞0.(4)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，q：a+b+c=0（a≠0）.不充要充要不充要充要充分、必要條件判斷的幾種方法（1）定義法：直接利用定義進(jìn)行判斷.a.分請(qǐng)條件和結(jié)論：分清那個(gè)事條件p，哪個(gè)是結(jié)論q；b.找推式：判斷“p?q”及“q?p”的真假；c.下結(jié)論：根據(jù)推式及定義下結(jié)論（2）等價(jià)法：將命題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)等價(jià)的又便于判斷真假的命題.充分、必要條件判斷的幾種方法（3）傳遞法充分條件具有傳遞性,若A1?A2?A3?…?An，則A1?An，即A1是An的充分條件.必要條件也具有傳遞性，若A1?A2?A3?…?An，則A1?An，即A1是An的必要條件.充要條件也有傳遞性.充分、必要條件判斷的幾種方法（4）利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷例：已知A={x|x滿足條件p}，B={x|x滿足條件q}，（1）如果A?B，那么p是q的什么條件？（2）如果B?A，那么p是q的什么條件？（3）如果A=B，那么p是q的什么條件？學(xué)生B中學(xué)生A

（2）如果B?A，那么p是q的必要不充分條件.

（3）如果A=B，那么p是q的充要條件.解：（1）如果A?B，那么p是q的充分不必要條件.課堂練習(xí)判斷下列各命題中p是q的什么條件：（1）p：x-2=0，q：(x-2)(x-3)=0；

（2）p：0<x<3，q：|x-1|<2；

（3）p：?ABC為直角三角形，q：?ABC為等腰三角形；

p是q的充分不必要條件p是q的充分不必要條件p是q的既不充分也不必要條件充分條件、必要條件的證明例:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為-1的充要條件是a-b+c=0.思路點(diǎn)撥：先證明充分性，即證a-b+c=0?ax2+bx+c=0有一個(gè)根為-1；再證必要性，即證ax2+bx+c=0有一個(gè)根為-1?a-b+c=0證明充分性：因?yàn)閍-b+c=0,即a·(-1)2+b·(-1)+c=0,

所以-1是ax2+bx+c=0的一個(gè)根必要性：因?yàn)閍x2+bx+c=0有一個(gè)根為-1，所以a·(-1)2+b·(-1)+c=0，即a-b+c=0.

綜上可得，ax2+bx+c=0有一個(gè)根為-1的充要條件是a-b+c=0.課堂練習(xí)證明:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1的充要條件是a+b+c=0（a≠0）.證明充分性：因?yàn)閍+b+c=0（a≠0）,即a·12+b·1+c=0,

所以1是ax2+bx+c=0的一個(gè)根必要性：因?yàn)閍x2+bx+c=0有一個(gè)根為1，所以a·12+b·1+c=0，即a+b+c=0.

綜上可得，ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1的充要條件是a+b+c=0（a≠0）.利用充分條件、必要條件確定參數(shù)的值（取值范圍）例：已知非空集合A={x|2<x<3a+1},B={x|a<x<a+2}.設(shè)p：x∈A，q：x∈B.若q是p的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.思路點(diǎn)撥：先轉(zhuǎn)化為集合A和集合B的關(guān)系，再求解A的取值范圍解∵A≠?,∴3a+1>2,即a>.

∵q是p的必要條件，∴A?B，∴解得a≤,

∴＜a≤.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|<a≤}課堂練習(xí)已知p：實(shí)數(shù)x滿足－3x＋4a<0；q：實(shí)數(shù)x滿足－x－6≤0.若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．.解：由p:－3x＋4a<0得到x>,由q：-x-6≤0得x≥-6，

∵p是q的充分條件，

∴A?B，

∴≥-6解得a≥

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥}知識(shí)梳理定義從集合的觀點(diǎn)看A={