高中數(shù)學第一章三角函數(shù)1.1.1任意角課件新人教A版必修

第一章三角函數(shù)任意角和弧度制任意角目標導航課標要求1.了解任意角的概念及角的分類.2.理解象限角的概念.3.理解終邊相同角的含義,并能熟練寫出終邊相同的角的集合表示.素養(yǎng)達成1.通過任意角、象限角及終邊相同的角等有關(guān)概念的學習,逐步形成數(shù)學抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).2.通過對角有關(guān)概念的探究和應(yīng)用提高邏輯推理能力,增強應(yīng)用意識.新知導學課堂探究新知導學·素養(yǎng)養(yǎng)成1.任意角的概念與分類(1)角的概念:角可以看成是平面內(nèi)一條

繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.射線(2)角的表示:如圖,①頂點:射線的端點O;②始邊:射線的起始位置OA;③終邊:射線的終止位置OB.(3)角的分類:按照旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類:正角:按

時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角;負角:按

時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角;零角:一條射線

作任何旋轉(zhuǎn)形成的角.思考1:零角的始邊與終邊重合,如果一個角的終邊和始邊重合,那么這個角一定是零角嗎?提示:不一定.若角的終邊未作旋轉(zhuǎn),則這個角是零角;若角的終邊作了旋轉(zhuǎn),則這個角不是零角.如360°角.2.象限角在直角坐標系內(nèi),使角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,那么角的

在第幾象限就是第幾象限角.如果角的

落在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限.逆順沒有終邊終邊思考2:把角的頂點放在平面直角坐標系的原點,角的始邊與x軸的非負半軸重合,旋轉(zhuǎn)該角,則其終邊(除端點外)可能落在什么位置?提示:終邊可能落在坐標軸上或四個象限內(nèi).3.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S=

,即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個

的和.{β|β=α+k·360°,k∈Z}周角名師點津(1)準確認識終邊相同的角所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi)(而且只有這樣的角)可以用式子α+k·360°,k∈Z表示.在運用時,需注意以下幾點:①k是整數(shù),這個條件不能漏掉;②α是任意角;③k·360°與α之間用“+”號連結(jié),如k·360°-30°應(yīng)看成k·360°+(-30°)(k∈Z);④終邊相同的角不一定相等,但相等的角終邊一定相同,終邊相同的角有無數(shù)個,它們相差周角的整數(shù)倍.(教師備用)提醒:一般地,終邊相同的角的表達式形式不唯一,可利用圖形來驗證,如α=90°+k·180°與β=-90°+k·180°(k∈Z)都表示終邊在y軸上的角.(2)象限角及終邊落在坐標軸上的角的集合表示①象限角的集合:第一象限角的集合:{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z};第二象限角的集合:{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z};第三象限角的集合:{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z};第四象限角的集合:{α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z}.②終邊落在坐標軸上的角的集合:a.終邊落在x軸的非負半軸上的角的集合:{α|α=k·360°,k∈Z};b.終邊落在x軸的非正半軸上的角的集合:{α|α=k·360°+180°,k∈Z};c.終邊落在y軸的非負半軸上的角的集合:{α|α=k·360°+90°,k∈Z};d.終邊落在y軸的非正半軸上的角的集合:{α|α=k·360°+270°,k∈Z};e.終邊落在x軸上的角的集合:{α|α=k·180°,k∈Z};f.終邊落在y軸上的角的集合:{α|α=k·180°+90°,k∈Z};g.終邊落在坐標軸上的角的集合:{α|α=k·90°,k∈Z}.課堂探究·素養(yǎng)提升題型一象限角的判定[例1]

已知角的頂點與坐標原點重合,始邊落在x軸的非負半軸上,作出下列各角,并指出它們是第幾象限的角.(1)-75°;(2)855°;(3)-510°.解:作出各角,其對應(yīng)的終邊如圖所示:(1)由圖可知:-75°是第四象限的角;(2)由圖可知:855°是第二象限的角;(3)由圖可知:-510°是第三象限的角.方法技巧象限角的判定方法(1)根據(jù)圖象判定.利用圖象實際操作時,依據(jù)是終邊相同的角的概念,因為0°～360°之間的角與坐標系中的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系;(2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi).在直角坐標平面內(nèi),在0°～360°范圍內(nèi)沒有兩個角終邊是相同的.即時訓練1-1:已知角的頂點與坐標原點重合,始邊落在x軸的非負半軸上,作出下列各角,指出在0°～360°范圍內(nèi)與其終邊相同的角,并指出它們是第幾象限的角.(1)360°;(2)1440°.解:作出各角的終邊如圖所示(1)360°=0°+1×360°,所以在0°～360°范圍內(nèi),與360°終邊相同的角是0°.(2)1440°=0°+4×360°,所以在0°～360°范圍內(nèi),與1440°終邊相同的角是0°.以上兩個角的終邊落在x軸的非負半軸上,是不屬于任何象限的角.[備用例1]

在0°～360°范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并判定它們是第幾象限角.(1)-150°;(2)650°;(3)-950°15′.解:(1)因為-150°=-360°+210°,所以在0°～360°范圍內(nèi),與-150°角終邊相同的角是210°角,它是第三象限角.(2)因為650°=360°+290°,所以在0°～360°范圍內(nèi),與650°角終邊相同的角是290°角,它是第四象限角.(3)因為-950°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°～360°范圍內(nèi),與-950°15′角終邊相同的角是129°45′角,它是第二象限角.題型二終邊相同的角[例2]

已知角α=2020°.(1)把α改寫成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第幾象限角;解:(1)由2020°除以360°,得商為5,余數(shù)為220°.所以取k=5,β=220°,α=5×360°+220°.又β=220°是第三象限角,所以α為第三象限角.(2)求θ,使θ與α終邊相同,且-360°≤θ<720°.方法技巧(1)把任意角化為α+k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式,關(guān)鍵是確定k.可以用觀察法(α的絕對值較小)也可用除法;(2)要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角,其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式,再依條件構(gòu)建不等式求出k的值.解析:由于y=-|x|的圖象是三、四象限的平分線,故在0°～360°間所對應(yīng)的兩個角分別為225°及315°,從而角α的集合為S={α|α=k·360°+225°或α=k·360°+315°,k∈Z}.即時訓練2-1:若角α的終邊和函數(shù)y=-|x|的圖象重合,試寫出角α的集合.題型三區(qū)域角的集合表示[例3]

已知,如圖所示.(1)分別寫出終邊落在OA,OB位置上的角的集合;(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.解:(1)終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},終邊落在OB位置上的角的集合為{β|β=-30°+k·360°,k∈Z}.(2)由圖可知,陰影部分角的集合是由所有介于[-30°,135°]之間的與之終邊相同的角組成的集合,故該區(qū)域可表示為{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.方法技巧表示區(qū)間角的三個步驟第一步:先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界;第二步:按由小到大分別標出起始和終止邊界對應(yīng)角α和β,寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β};第三步:起始、終止邊界對應(yīng)角α,β再加上360°的整數(shù)倍,即得區(qū)間角集合.解:在-180°～180°內(nèi)落在陰影部分角集合為大于-45°小于45°,所以終邊落在陰影部分(不含邊界)的角的集合為{α|-45°+k·360°<α<45°+k·360°,k∈Z}.即時訓練3-1:寫出圖中陰影部分(不含邊界)表示的角的集合.[備用例2]

已知角α的終邊落在陰影所表示的范圍內(nèi)(包括邊界),試寫出角α的集合.解:在0°～360°范圍內(nèi),終邊落在陰影內(nèi)的角為90°≤α≤135°或270°≤α≤315°.所以終邊落在陰影所表示的范圍內(nèi)的角α的集合為{α|90°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}∪{α|270°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}={α|90°+2k·180°≤α≤135°+2k·180°,k∈Z}∪{α|90°+(2k+1)·180°≤α≤135°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|90°+n·180°≤α≤135°+n·180°,n∈Z}.題型四易錯辨析糾錯:致錯原因是把α是第二象限角范圍誤認為是大于90°而小于180°,而應(yīng)是{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}才完整.正解:(1)由題意得90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),①所以180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z).故2α是第三或第四象限角或終邊落在y軸非正半軸上的角.課堂達標解析:一條射線繞著端點順時針旋轉(zhuǎn)240°所形成的角是-240°,故選D.1.把一條射線繞著端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)240°所形成的角是(

)(A)120° (B)-120° (C)240° (D)-240°D解析:由終邊相同角的概念知①②③④都正確,故選D.2.以下說法,其中正確的有(

)①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;③475°是第二象限角;④-315°是第一象限角.(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個D3.(2019·大港區(qū)月考)在0°～360°范圍內(nèi),與-950°終邊相同的角是

.

解析:-950°=-3×360°+130°,所以在0°～360°范圍內(nèi),與-950°終邊相同的角是130°.答案:130°解析:①-330°