2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：尺規(guī)作圖在壓軸題中的應(yīng)用(7種題型歸類)(解析版)

重難點(diǎn)突破：尺規(guī)作圖在壓軸題中的應(yīng)用

7種題型歸類

目錄

重難點(diǎn)題型突破

題型01作線段口

題型02作角口

題型03作角平分線口

題型04作垂線口

題型05畫圓口

題型06格點(diǎn)作圖口

題型07與尺規(guī)作圖有關(guān)的計(jì)算題口

重難點(diǎn)髓型突破

題型01作線段

1.(2022?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題)(現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點(diǎn)。是圓心，直徑4B的長(zhǎng)是12cm,C是

半圓弧上的一點(diǎn)(點(diǎn)C與點(diǎn)4、B不重合)，連接AC、BC.

AOBAOB

備用圖

(1)沿AC、BC剪下△ABC,貝IJAABC是三角形(填“銳角”、“直角”或“鈍角”)；

(2)分別取半圓弧上的點(diǎn)E、尸和直徑AB上的點(diǎn)G、H.已知剪下的由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)

邊長(zhǎng)為6cm的菱形.請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個(gè)符合條件的菱形(保留作圖痕跡，不要求寫作法)；

(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對(duì)于半圓弧上的任意一點(diǎn)C,一定存在線段4C上的點(diǎn)M、線段BC上的點(diǎn)N和

直徑2B上的點(diǎn)P、Q,使得由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的菱形.小明的猜想是否正

確？請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)直角

(2)見詳解

(3)小明的猜想正確，理由見詳解

【分析】(1)AB是圓的直徑，根據(jù)圓周角定理可知NACB=90。，即可作答；

(2)以A為圓心，AO為半徑畫弧交OO于點(diǎn)E,再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于點(diǎn)F連接EF、

FO、EA,G、H點(diǎn)分別與A、O點(diǎn)重合，即可；

(3)當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A時(shí)，設(shè)CM=ZC4CN=iCB,可證MN||4B,推出MN=工43=4cm,分別以M,N為

333

圓心，MN為半徑作弧交AB于點(diǎn)P,Q,可得MN=MP=NQ=4cm,進(jìn)而可證四邊形MNQP是菱形；當(dāng)

點(diǎn)C靠近點(diǎn)B時(shí)，同理可證.

【詳解】(1)解：如圖，

AOB

???AB是。0的直徑，

.-.ZACB=9O°,

??.ZACB是直角，

即AABC是直角三角形，

故答案為：直角；

(2)解：以A為圓心，AO為半徑畫弧交OO于點(diǎn)E,再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于0O點(diǎn)F連接

EF、FO、EA,G、H點(diǎn)分別與A、O點(diǎn)重合，即可，

作圖如下：

由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA=iAB=6，

2

即四邊形EFHG是邊長(zhǎng)為6cm的菱形；

(3)解：小明的猜想正確，理由如下：

如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A時(shí)，設(shè)CM=1C4CN—CB,

33

...CM_CN_1

CACB3’

???MNWAB,

...MN—CM—1

ABCA3'

??.MN=1X12=4cm.

33

分別以M,N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點(diǎn)P,Q,作MO，ZB于點(diǎn)D,NELZB于點(diǎn)E,

.?.MN=MP=NQ=4cm.

vMN\\AB,MD1AB,NELAB,

???MD=NE,

在RtMD麗RtNE＞，｛靄［黑，

RtMDP=RtNE&HL）,

???乙MPD=4NQE,

MP//NQ,

又?；MP=NQ,

四邊形MNQP是平行四邊形，

又MN=MP,

四邊形MNQP是菱形；

同理，如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)B時(shí)，采樣相同方法可以得到四邊形MNQP是菱形,

故小明的猜想正確.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、尺規(guī)作圖、菱形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)

用上述知識(shí)解決問題.

2.（2020?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）【算一算】

如圖①，點(diǎn)口、口、口在數(shù)軸上，口為口口的中點(diǎn)，點(diǎn)□表示-3,點(diǎn)口表示1,則點(diǎn)D表示的數(shù)為,

□□長(zhǎng)等于；

【找一找】

如圖②，點(diǎn)口、口、口、口中的一點(diǎn)是數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)口、口分別表示實(shí)數(shù)應(yīng)-1、立+1,口是口口的中點(diǎn)，

,22

則點(diǎn)是這個(gè)數(shù)軸的原點(diǎn)；

【畫一畫】

如圖③，點(diǎn)口、口分別表示實(shí)數(shù)口-口、口+口，在這個(gè)數(shù)軸上作出表示實(shí)數(shù)口的點(diǎn)口（要求：尺規(guī)作圖，不寫

作法，保留作圖痕跡）；

【用一用】

學(xué)校設(shè)置了若干個(gè)測(cè)溫通道，學(xué)生進(jìn)校都應(yīng)測(cè)量體溫，已知每個(gè)測(cè)溫通道每分鐘可檢測(cè)1個(gè)學(xué)生.凌老師

提出了這樣的問題：假設(shè)現(xiàn)在校門口有口個(gè)學(xué)生，每分鐘又有□個(gè)學(xué)生到達(dá)校門口.如果開放3個(gè)通道，

那么用4分鐘可使校門口的學(xué)生全部進(jìn)校;如果開放4個(gè)通道，那么用2分鐘可使校門口的學(xué)生全部進(jìn)校.在

這些條件下，口、口、口會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

愛思考的小華想到了數(shù)軸，如圖④，他將4分鐘內(nèi)需要進(jìn)校的人數(shù)1+40記作+（1+4口），用點(diǎn)口表示；將2

分鐘內(nèi)由4個(gè)開放通道檢測(cè)后進(jìn)校的人數(shù)，即校門口減少的人數(shù)8口記作-8口，用點(diǎn)口表示.

①用圓規(guī)在小華畫的數(shù)軸上分別畫出表示+（口+2口）、-12D的點(diǎn)口、口，并寫出+（口+2口）的實(shí)際意義；

②寫出口、□的數(shù)量關(guān)系：.

---A?B1?-----C------------->

-3------------0-----1

圖①

M?A4N?P?Q?B4--?

巫-1互+1

27

圖②

_________________A_1______________________U

c-n0____c+〃

圖③

_________0,4r

-8。°m+4b

圖④

【答案】（1）5,8；（2）N；（3）圖見解析；（4）①+（m+2b）的實(shí)際意義：2分鐘后，校門口需要進(jìn)入學(xué)校

的學(xué)生人數(shù)，圖見解析；@m=4a.

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)-3,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)1,求得AB的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)AB=BC可求得AC的長(zhǎng)以

及點(diǎn)C表示的數(shù)；

（2）可設(shè)原點(diǎn)為0,根據(jù)條件可求得AB中點(diǎn)表示的數(shù)以及線段AB的長(zhǎng)度，根據(jù)AB=2,可得AQ=BQ

=1,結(jié)合0Q的長(zhǎng)度即可確定N為數(shù)軸的原點(diǎn)；

（3）設(shè)AB的中點(diǎn)為M,先求得AB的長(zhǎng)度，得到AM=BM=n,根據(jù)線段垂直平分線的作法作圖即可;

列方程組設(shè)；學(xué)二*，根據(jù)：

（4）①根據(jù)每分鐘進(jìn)校人數(shù)為b,每個(gè)通道每分鐘進(jìn)入人數(shù)為a,m+2b

OF,m+4b=12a,即可畫出F,G點(diǎn)，其中m+2b表示兩分鐘后，校門口需要進(jìn)入學(xué)校的學(xué)生人數(shù)；

②解①中的方程組，即可得到m=4a.

【詳解】解：⑴【算一算工記原點(diǎn)為0,

■?-AB=1-（-3）=4,

；.AB=BC=4,

??-0C=0B+BC=5,AC=2AB=8.

所以點(diǎn)C表示的數(shù)為5,AC長(zhǎng)等于8.

故答案為：5,8；

(2)【找一找］：記原點(diǎn)為O,

??,AB=sJ+i-(11-1)=2,

22

???AQ=BQ=1,

???OQ=OB-BQ=41-1=應(yīng)，

22

??.N為原點(diǎn).

故答案為：N.

(3)【畫一畫】：記原點(diǎn)為O,

由AB=c+n-(c-n)=2n,

作AB的中點(diǎn)M,

得AM=BM=n,

以點(diǎn)0為圓心，

AM=n長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)E,

則點(diǎn)E即為所求；

__________________4Q''.M\\EBf

c-n0：：?~C+M

圖③\：：

??.I*t

?、;：，?

\\?,t

X

/，?。、、?

(4)【用一用】：在數(shù)軸上畫出點(diǎn)F,G；2分鐘后，校門口需要進(jìn)入學(xué)校的學(xué)生人數(shù)為：m=4a.

???4分鐘內(nèi)開放3個(gè)通道可使學(xué)生全部進(jìn)校，

.?.m+4b=3xa><4,即m+4b=12a(I)；

■?■2分鐘內(nèi)開放4個(gè)通道可使學(xué)生全部進(jìn)校，

；.m+2b=4xax2,即m+2b=8a(II)；

①以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)F,則點(diǎn)F即為所求.

作OB的中點(diǎn)E,則OE=BE=4a,在數(shù)軸負(fù)半軸上用圓規(guī)截取OG=3OE=12a,

則點(diǎn)G即為所求.

p43

m+4b

-12a-8a-4a02b

圖④m+

+(m+2b)的實(shí)際意義：2分鐘后，校門口需要進(jìn)入學(xué)校的學(xué)生人數(shù)；

②方程(II)x2-方程⑴得：m=4a.

故答案為：m=4a.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，作圖.解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)

系.

3.(2021?浙江金華?校聯(lián)考二模)如圖，在7x7的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,ADDD的頂點(diǎn)均在格

3

(2)如圖2,D為M口口內(nèi)一格點(diǎn)，口，口為口口，DD邊上的點(diǎn)，使四邊形口口口口為平行四邊形;

(3)如圖3,DD交網(wǎng)格線于點(diǎn)口，過點(diǎn)口作口口的平行線交口口于口.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)在點(diǎn)B右側(cè)第一條豎格線畫線，即可得到；

(2)過點(diǎn)E,在格點(diǎn)上畫出與線段AB、BC相等的線，即可得到；

(3)點(diǎn)F是BC的三等分點(diǎn)，在AC上畫出AC的三等分點(diǎn)，即可得到.

【詳解】（1）解：如圖：在點(diǎn)B右側(cè)第一條豎格線畫線，與BC的交點(diǎn)D即為所求的點(diǎn)

【點(diǎn)睛】本題考查了利用無刻度的直尺作圖，找到關(guān)鍵點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

4.（2023?山西太原?山西大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知線段a、b、c.

b

（1）用直尺和圓規(guī)作出一條線段4B,使它等于a+c-b.（保留作圖痕跡，檢查無誤后用水筆描黑，包括痕

跡）

（2）若a=6,b=4,c=7,點(diǎn)C是線段48的中點(diǎn)，求4C的長(zhǎng).

【答案】（1）作圖見解析

（2）4.5

【分析】（1）作射線AM,在射線AM上順次截取4E=a,EF=c,在線段凡4上截取FB=b,則線段4B即為

所求；

（2）由（1）中結(jié)論及已知條件，求得4B的長(zhǎng)，再利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)即可解得AC的長(zhǎng).

【詳解】（1）解：如圖，線段2B即為所求：

A_jFM

（2）如圖，

AC~/EjFM

???a=6,b=4,c=7,

??.4B=a+c—b=6+7—4=9

???點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，

11

：?AC=-AB=—x9=4.5

22

即4c的長(zhǎng)4.5.

【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖、線段的和差、線段的中點(diǎn)等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

題型02作角

5.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）操作探究題

⑴已知4C是半圓。的直徑，乙408=（儂）。（幾是正整數(shù)，且?guī)撞皇?的倍數(shù)）是半圓。的一個(gè)圓心角.

操作：如圖1,分別將半圓。的圓心角乙4OB=（儂）。（九取1、4、5、10）所對(duì)的弧三等分（要求：僅用圓

規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

n=5n=10

131

從上面的操作我發(fā)現(xiàn)，就是利用的、用）所對(duì)的孤去找用’的三分

之一即借『所對(duì)的孤.

交流：當(dāng)n=11時(shí)，可以僅用圓規(guī)將半圓。的圓心角N40B=（詈）。所對(duì)的弧三等分嗎？

我發(fā)現(xiàn)了它們之間的數(shù)量關(guān)系是4x〔用"《60。=制'

我再試試：當(dāng)產(chǎn)28時(shí).嗡。、劍、圈］°之間存在數(shù)量關(guān)系

因此可以僅用圓規(guī)將半BIO的圓心角4408=〔翦"所對(duì)的弧三等分.

探究：你認(rèn)為當(dāng)n滿足什么條件時(shí)，就可以僅用圓規(guī)將半圓。的圓心角N40B=（%）°所對(duì)的弧三等分？說

說你的理由.

（2）如圖2,。0的圓周角NPMQ=（紅2）°.為了將這個(gè)圓的圓周14等分，請(qǐng)作出它的一條14等分弧CD（要

求：僅用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

Q

O尸

M

【答案】⑴作圖見解析；交流：60。-9/（嗎。=㈣。,或19X。一2X60°=

探究：正整數(shù)n（n不是3的倍數(shù)），理由見解析

（2）作圖見解析

【分析】（1）由操作可知，如果（歿）?？梢杂?0。與（儂）。的線性表示，那么該圓弧就可以被三等分

nn

（2）將圓周14等分就是把NPMQ=（磔）°所對(duì)的圓周角4QOP所對(duì)弧三等分即可,給出一種算法：180。-

540°X2=180°

77

【詳解】（1）

操作：

探究：設(shè)60?！猭華）。=儂）。，解得n=3k+l（k為非負(fù)整數(shù)）.

或設(shè)k（儂）。—60°=（叫。，解得71=3k-11為正整數(shù)）.

所以對(duì)于正整數(shù)幾5不是3的倍數(shù)），都可以僅用圓規(guī)將半圓。的圓心角乙4。3=（詈）。所對(duì)的弧三等分;

(2)

【點(diǎn)睛】本題考查了用圓規(guī)作圖的基本技能，需要準(zhǔn)確理解題意，對(duì)于復(fù)雜圖形的作圖要學(xué)會(huì)將其轉(zhuǎn)化成

基本圖形去作，本題第二問利用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為第一問的思路從而得以解決，這也是本題求解的關(guān)鍵.

6.(2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模)如圖，。。是AABC的外接圓，AB=AC,4。是。。的切線.

(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)口作4C的平行線交4。于點(diǎn)口，交O。于點(diǎn)口，連接4F(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)證明：AF=BC；

(3)若。。的半徑長(zhǎng)為3BC=4,求EF和BF的長(zhǎng).

2

【答案】(1)見解析；

(2)見解析;

(3)EF=遙，BF=逗

55

【分析】(1)根據(jù)題意進(jìn)行尺規(guī)作圖即可；

(2)由BE||4C可得乙4BF=NB4C,從而得出井'=品，最后證得結(jié)果；

(3)連接4。并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M,連接。C,先通過勾股定理求得CM及4C的長(zhǎng)，再證四邊形4EBC是平行四

邊形，再證△AEFsABEA,然后列比例式即可求得結(jié)果.

【詳解】(1)作圖如下圖所示：

/)P/

??Z.ABF=Z.BAC,

.加=阮,

.-.AF=BC；

(3)如圖，連接4。并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M,連接。C,

■■.AM1BC,

.-.BM=MC=LBC=2,

2

???在RtAOMC中，OC=2,MC=2

2

：.OM=4OC2-MC2=Jg)2_22=1,

：.AM=。4+OM=&+3=4,

22

?-AB=AC=弋AN2+MC2=V42+22=245,

??弘0是。。的切線，

.'.AM1AD,

'.ADWBC,

???BE||AC,

???四邊形4EBC是平行四邊形，

:?BE=AC=2次，AE=BC=4,乙AEB=乙ACB,

-'-AB=BE,

?t-Z.BAE=Z-BEAf

???四邊形”BC是圓內(nèi)接四邊形，

??.匕AFE=乙AEB,

??Z-AFE=Z.BAE,

???△AEFBEA,

.EF—

AEEB

.?磔=_4_

42,5

：.EF=喳

5

,-.BF=2V5—返=返

55

【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊

形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，判斷出△4EFSABE4是解本題的關(guān)鍵.

7.(2023?福建廈門?福建省廈門第六中學(xué)?？家荒?如圖1,AABC中，AACB=90°,乙4的大小保持不變，

點(diǎn)D在斜邊4B上，DEVAC,垂足為點(diǎn)E.如圖2,把△4DE繞著點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0。<cr<90°),

點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P.

(1)求作點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q(要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)連接PQ,CP,BQ,直線CP,BQ相交于點(diǎn)尸，試探究在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，直線CP,BQ所相交成的銳角

是否保持不變？若不變，請(qǐng)證明：若有變化，說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)不變，理由見解析

【分析】(1)作NP4Q=N8aC,AQ=AD,則點(diǎn)Q即為所求；

(2)根據(jù)題意得出DEIIBC,則歿=嫗，進(jìn)而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出4P=AE.AQ=AD,證明△CAP“ABAQ

ABAC

得出乙4BQ=乙4"=根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得出NBFC=乙4,進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖所示，點(diǎn)Q即為所求;

A

EH\

（2）解：如圖所示，設(shè)CF,/B交于點(diǎn)G,

-DE1.AC,^ACB=90°,

???DE||BC,

-AD_AE_

ABAC

???把△4DE繞著點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為以0。</<90。），點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q,

：.AP=AE,AQ=AD,

-AP—AQ_

ACAB

又4P=Z-DAQ=a,

??.△CAPBAQ,

：.Z-ABQ=^ACP=Zi4CF,

,.ZBGC=/LABF+乙BFC=^LACF+/-BAC,

???乙BFC=Z-BAC,

的大小保持不變，

.“FC是定值.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題

的關(guān)鍵.

題型03作角平分線

8.（2022?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題）【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇

形的面積？

【初步嘗試】如圖1,已知扇形048,請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心0作一條直線，使扇形的面積被這

條直線平分；

【問題聯(lián)想】如圖2,已知線段MN,請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個(gè)以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP；

【問題再解】如圖3,已知扇形04B,請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點(diǎn)。為圓心的圓弧，使扇形的面

積被這條圓弧平分.

（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）

【答案】見解析

【分析】【初步嘗試】如圖1,作NAOB的角平分線所在直線即為所求；

【問題聯(lián)想】如圖2,先作MN的線段垂直平分線交MN于點(diǎn)O,再以O(shè)為圓心MO為半徑作圓，與垂直

平分線的交點(diǎn)即為等腰直角三角形的頂點(diǎn)；

【問題再解】如圖3先作OB的線段垂直平分線交OB于點(diǎn)N,再以N為圓心NO為半徑作圓，與垂直平分

線的交點(diǎn)為M,然后以。為圓心，OM為半徑作圓與扇形04B所交的圓弧即為所求.

【詳解】【初步嘗試】如圖所示，作NAOB的角平分線所在直線OP即為所求；

【問題聯(lián)想】如圖，先作MN的線段垂直平分線交MN于點(diǎn)O,再以0為圓心M0為半徑作圓，與垂直平

分線的交點(diǎn)即為等腰直角三角形的頂點(diǎn)；

【問題再解】如圖，先作OB的線段垂直平分線交OB于點(diǎn)N,再以N為圓心NO為半徑作圓，與垂直平分

線的交點(diǎn)為M,然后以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓與扇形04B所交的圓弧CD即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，扇形的面積等知識(shí)，解決此類

題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，掌握基本作圖方法.

9.（2023?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐

問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個(gè)已知角.”即：

作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在。4和。B上分別取

點(diǎn)和，使得0C=。。，連接CD,以CD為邊作等邊三角形CDE,貝！JOE就是乙40B的平分線.

請(qǐng)寫出0E平分乙408的依據(jù)：；

類比遷移：

（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE=DE即可.他查閱資料：我

國古代已經(jīng)用角尺平分任意角.做法如下：如圖3,在乙40B的邊。4。8上分別取。M=0N,移動(dòng)角尺，

使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)，重合，則過角尺頂點(diǎn)的射線0C是乙40B的平分線，請(qǐng)說明此做法的

理由;

拓展實(shí)踐:

（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐.如圖4,校園的兩條小路和4C,匯聚形成了一個(gè)岔路口，現(xiàn)在學(xué)校要在

兩條小路之間安裝一盞路燈，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈到岔路口的距離

和休息椅到岔路口的距離相等.試問路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的

示意圖5中作出路燈的位置.（保留作圖痕跡，不寫作法）

圖3圖4圖5

【答案】（1）SSS；（2）證明見解析；（3）作圖見解析；

【分析】（1）先證明AOCE三AODE（SSS）,可得乙40E=AB0E,從而可得答案；

（2）先證明△OCM=△OCN（SSS）,可得乙40C=4BOC,可得0c是乙4。8的角平分線;

（3）先作NB2C的角平分線，再在角平分線上截取4E=4。即可.

【詳解】解：（1）--0C=0D,CE=DE,DE=DE,

???AOCESAODE(SSS),

??Z-A0E=Z.B0E,

.?.0E是乙4。8的角平分線;

故答案為：SSS

(2)-：0M=ON,CM=CN,0C=0C,

.?.AOCM=△OCN(SSS),

-,-Z-AOC=Z.BOCf

；.0C是N40B的角平分線;

（3）如圖，點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn);

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義與角平分線的性質(zhì)，作已知角的角平分

線，理解題意，熟練的作角的平分線是解本題的關(guān)鍵.

10.（2021?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知銳角△ABC中，AC=BC.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作N4CB的平分線CD；作AABC的外接圓。。；（不寫作法,

保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若2B=",。。的半徑為5,則sinB=.（如需畫草圖，請(qǐng)使用圖2）

5

【答案】（1）見詳解；（2）士

5

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的步驟，即可作N4CB的平分線CD,作出AC的中垂線交CD于點(diǎn)O,再

以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑，畫圓，即可：

⑵連接。A,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=BD言,CD1AB,利用勾股定理求出OD,BC,進(jìn)而即可求

解.

【詳解】解：（1）如圖所示：

AyLD7^

（圖D/

(2)連接OA,

-AC=BC,乙4cB的平分線CD,

???AD=BDT4B=1x18=24,CD1AB,

2255

???。。的半徑為5,

??.OD=VOi42—AD2—7

5

??.CD=CO+OD=5+至9

55

J(?)2+(度=8,

.,.BC=VBZ)2+CD2=

??,sinB=絲=-s-=

BC85

故答案是：士.

5

【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，理解三角形

外接圓的圓心是三角形各條邊中垂線的交點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵.

H.（2023?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）如圖，為制作角度尺，將長(zhǎng)為10,寬為4的矩形028C分割成4x10的

④以「2為圓心，。「2的長(zhǎng)為半徑作弧，與射

線CB交于點(diǎn)C,連結(jié)。。交4B于點(diǎn)心.

4

⑴分別求點(diǎn)心表示的度數(shù).

（2）用直尺和圓規(guī)在該矩形的邊上作點(diǎn)「5,使該點(diǎn)表示37.5。（保留作圖痕跡，不寫作法）.

【答案】（1）點(diǎn)23表示0?點(diǎn)均表示15。

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可求出NOP2c度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)/22。23度數(shù)，即可求出/23。4

的度數(shù)，從而知道點(diǎn)表示度數(shù)；利用半徑相等即可求出再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出

/-POD=ADCM以及對(duì)應(yīng)的度數(shù)，從而知道P3點(diǎn)表示度數(shù).

（2）利用角平分線的性質(zhì)作圖即可求出答案.

【詳解】（1）解：①???四邊形。4BC是矩形，

???BCWOA.

.-.Z.OPC=Z.POA=30°

22

由作圖可知，EF是。22的中垂線,

圖1

OP=PP.

332

??.Z.POP=Z_PP0=30°.

3232

???乙POA=Z.POP+乙POA=0?

3322

?，?點(diǎn)「3表小0?

②由作圖可知，P2D=P2O.

???乙POD=乙PDO.

22

又「CB||OA,

???Z-PDO=Z-DOA.

2

???Z-POD=2LD0A=IzPOA=15°.

222

:.點(diǎn)月表示15。.

4

故答案為：點(diǎn)與表示60。，點(diǎn)也表示15。.

（2）解：如圖所示，

作NPJ’OP4的角平分線等.如圖2,□點(diǎn)心即為所求作的點(diǎn).

圖2

點(diǎn)23表示60。，點(diǎn)U表示15。.

優(yōu)。4=工（“3%-七。4）+七。4=-（”3。4+七。4）=工（60°+15。）=37.5°.

?,勺表示37.5。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是尺規(guī)作圖的應(yīng)用，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線段垂直平分線、角平分線性質(zhì)、圓的相關(guān)性

質(zhì)，解題的關(guān)鍵需要正確理解題意，清楚知道用到的相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

12.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知。。為△ABC的外接圓，。。的半徑為6.

（1）如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn).

①尺規(guī)作圖：作乙4cB的角平分線CD,交。。于點(diǎn)。，連接8。（保留作圖痕跡，不寫作法）：

②求BD的長(zhǎng)度.

（2）如圖，4B是O。的非直徑弦，點(diǎn)C在骸上運(yùn)動(dòng)，乙ACD=eBCD=60°,點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形2D8C

的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴①見解析；②6金

（2）存在，最大值為368

【分析】(1)①根據(jù)角平分線的作圖方法畫出CD,在連接BD即可；②由點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，得出4C=BC.根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CD1AB.結(jié)合4B是O。的直徑，即得出CD經(jīng)過圓心O,即NBOD=90。，最后根

據(jù)勾股定理求解即可.

(2)連接AB,過點(diǎn)D作。C，_L4B于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)C，，過點(diǎn)C作CF_L4B.由題意易證A4DB為等邊三

角形.根據(jù)DQ14B,即得出DC，為。。直徑，。是AB的中點(diǎn).根據(jù)△4DB為等邊三角形，可得出和4B

邊上的高都為定值，再根據(jù)根據(jù)=1/1S-(L>E+CF),即得出當(dāng)CF最大時(shí)，最大，此

時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合,即當(dāng)點(diǎn)C為中點(diǎn)時(shí),SgM最大,此時(shí)OC為。。直徑，得出此時(shí)乙4=(B=90°.易

四邊形AOBC

求出乙4DC=90°-乙4co=30°,結(jié)合勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出4。=^CD=6AD=

2f

/CD2—AC2=6W，進(jìn)而可求出S“=^AC-AD=18>/3，又易證△BCD三△ACD(SSS),得出S°=

^ACD2ABCD

S“n=188，從而可求出S=s+s“c=36小,即點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形4DBC的面

ZACD四邊形4BCDABCDAACD

積存在最大值，最大值為368.

【詳解】(1)解：①如圖1,即為所作圖形；

圖1

②???點(diǎn)C是腦的中點(diǎn)，

-9-AC=BC.

?.￡￡>是N4CB的平分線,

■■■CDLAB.

??,AB是O。的直徑，

??CD經(jīng)過圓心O,

:/B0D=90°.

???。。的半徑為6,

??.OB=0D=6,

??BD—\[0B2+OD2=6V2；

(2)點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形4DBC的面積存在最大值.

理由：如圖，連接4B,過點(diǎn)D作DC，1AB于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)Q,過點(diǎn)C作CF_L4B.

D

圖2

■：^ACD=乙BCD=60°,

■■AD=BD,乙ACB=2乙BCD=120°,

-9-AD=BD.

???四邊形為。。內(nèi)接四邊形，

'.Z.ADB=180°一乙ACB=60°,

??.△ZDB為等邊三角形.

，:DC，1AB,

??.DC，為。。直徑，C，是腦的中點(diǎn).

,:S=s4-S

四邊形AOBC&ABDLABC9

:?S=^AB?DE+^AB-CF=^AB?(DE+CF).

四邊形40BC222

?.?△aoB為等邊三角形，

.■.AB和ZB邊上的高都為定值，

???當(dāng)CF最大時(shí)，S/**,最大，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)C，重合，

四邊形4DBC

???當(dāng)點(diǎn)C為趣中點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)OC為。。直徑,

四邊形4DBC

.?.乙4=NB=90°,如圖3.

圖3

???。。的半徑為6,

：,CD=12.

-Z.ADC=90°-Z,ACD=30°,

??.4。=工。。=6,

2

-,-AD=VCD2—AC2=68,

"SAACD=-AD=1X6X6^=18V3.

■：BD^AD,BCAC,CD=CD,

.-.ABCD=AXCD(SSS),

：3BCD=S—CD=18次,

''-S=S—+S*f=36y[3,

四邊形4BCD4BCDH.ACD

.?.點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形4DBC的面積存在最大值，最大值為364工

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一角平分線，勾股定理，圓周角定理的推論，垂徑定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性

質(zhì)，綜合性強(qiáng).正確作出輔助線，并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

13.（2022?山西晉中?統(tǒng)考一模）綜合與實(shí)踐

問題情境：

在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

操作發(fā)現(xiàn)：

某數(shù)學(xué)小組對(duì)圖1的矩形紙片DDDD進(jìn)行如下折疊操作：

第一步:如圖2,把矩形紙片口口口口對(duì)折，使口口與叩口重合，得到折痕口口，然后把紙片展開；

第二步:如圖3,將圖02中的矩形紙片沿過點(diǎn)口的直線折疊，使得點(diǎn)口落在口口上的點(diǎn)4處，折痕與口口交

于點(diǎn)口，然后展開紙片，連接44,BA',EA".

(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中利用尺規(guī)作圖，作出折痕叩口；(保留作圖痕跡)

⑵請(qǐng)你判斷圖3中△口□口口的形狀，并說明理由；

(3)如圖4,折痕口口與口口交于點(diǎn)口，口「的延長(zhǎng)線交直線口口于點(diǎn)口，若口口=1,DD=7,請(qǐng)你直接寫出口口

的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

(22424是等邊三角形，理由見解析

⑶魚

3

【分析】(1)以點(diǎn)B為圓心，BA的長(zhǎng)為半徑作弧交MN于點(diǎn)AI連接BA，，作NABA，的角平分線交AD于

點(diǎn)E；

(2)由折疊可知MNIIBC,MNLAB,BM=^AB,AB=A'B,

2

可得=推出NB4M=30。，進(jìn)而可得A4B4是等邊三角形；

2

(3)由等邊三角形的性質(zhì)可求得MF為AaBE的中位線，得到4E=2MF=2,進(jìn)而求得AB=2VI,BE=

,再根據(jù)矩形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)求得乙E84=乙EHB=30。,最后求得PD的長(zhǎng).

【詳解】(1)如圖，線段BE即為所求.

AE/1D

....I

BC

(2)△434是等邊二角形.

證明：由折疊可知MNIIBC,MNLAB,BM=工出48=48,

2

；?BM=-AfB,

2

???sin4B4M=

A'B2

：2BA，M=30°.

在RtZkB4M中，乙4，BM=90°—4B4M=60°.

=60°,AB=A，B,

???A4B4是等邊三角形.

(3),?，△484是等邊三角形，

fr

?'-AA=AB=ABfZ-ABA'=60°

???MN//AD//BC,MN1AB,

???M為AB的中點(diǎn)，MF=1,

???MF為△ZBE的中位線，

??.AE=2MF=2,

??,矩形紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，使得點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)4處,

1

??.Z,ABE=乙ABBE=-Z-ABA>=30°,

RtA/BE中，/.ABE=30°,AE=2,

??.AB=2A/5.,BE=,

???四邊形ABCD為矩形，BC=7,

.'.Z.ADC=Z.ABC=90。，

??.AD=BC=7,AD〃BC,

???乙HDP=90。，

???乙PBC=30。，

???AD//BC,

???乙EHB=乙PBC=30%

???乙EBA，=乙EHB=30。，

EB=EH=,

/.DH=7--2=1,

???lPHD=乙EHB=30,

.?.在RtAHDP中，DH=1,PD:DH=

.?.PD=2

3

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合問題、動(dòng)點(diǎn)問題及銳角三角函數(shù)的定義.解題的關(guān)鍵在與分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

狀態(tài)，特別是要準(zhǔn)確地判斷零界點(diǎn)發(fā)生的條件，并計(jì)算位置.

題型04作垂線

14.（2022?重慶?統(tǒng)考中考真題）我們知道，矩形的面積等于這個(gè)矩形的長(zhǎng)乘寬，小明想用其驗(yàn)證一個(gè)底為，

高為的三角形的面積公式為S=^ah.想法是：以BC為邊作矩形BCFE,點(diǎn)在邊FE上，再過點(diǎn)作BC的

2

垂線，將其轉(zhuǎn)化為證三角形全等，由全等圖形面積相等來得到驗(yàn)證.按以上思路完成下面的作圖與填空：

證明：用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)作的垂線40交BC于點(diǎn).（只保留作圖痕跡）

在△AOC和△CF4中,

,-AD1BC,

'.^ADC=90°.

???NF=90°,

???①一.

■■■EF||BC,

-??②.

又???—③.

：.^ADC=ACFA(AAS).

同理可得：④

S-BC=S+S=-S+-S=-S=-ah.

LADCLABD2矩形40CF2矩形AEBD2矩形BCFE2

【答案】圖見解析，ZADC=ZF；Z1=Z,2；AC=AC；AABD=ABAE

【分析】根據(jù)垂線的作圖方法作圖即可，利用垂直的定義得到NADC=ZF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到乙1=42,

即可證明AADC三ACAF,同理可得AABD三ABAE,由此得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，AD即為所求，

在△4。。和4CF4中，

"AD1BC,

■■■^ADC=90°.

,:乙F=90°,

??.ZADC=ZF.

-：EF||BC,

,?■zl=z2.

又?；AC=AC.

■■AADCSACFA(AAS).

同理可得：AABD=ABAE.

S=S+S=-S+1.S=-S=-ah.

△ABCLADCLABD2矩形/OCF2矩形4EBD2矩形BCFE2

故答案為：ZADC=ZF；Z1=Z2；AC=AC；AABDSABAE.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，垂線的作圖方法，矩形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的判定定

理是解題的關(guān)鍵.

15.（2022?河南?統(tǒng)考中考真題）如圖，反比例函數(shù)y=&O>0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)4（2,4）和點(diǎn)3,點(diǎn)B在點(diǎn)4的下

X

方，AC平分ZCMB,交x軸于點(diǎn)C.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

(2)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出線段4C的垂直平分線.(要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2口鉛筆作

圖)

(3)線段04與(2)中所作的垂直平分線相交于點(diǎn)D,連接CD.求證：CD||AB.

【答案】(l)y=§

X

(2)圖見解析部分

(3)證明見解析

【分析】(1)把點(diǎn)4的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可得出答案；

(2)利用基本作圖作線段4c的垂直平分線即可；

(3)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的定義可得到NB4C=ADC4然后利用平行線的判定即可得證.

【詳解】(1)解：?反比例函數(shù)y=>0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)4(2,4),

X

?,?當(dāng)％=2時(shí)，K=4,

2

?,?=8,

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=&

X

(3)證明：如圖，

,??直線EF是線段4c的垂直平分線,

??AD=CD,

'-Z-DAC=Z.DCA,

???/C平分

：.Z-DAC=Z.BAC,

^Z.BAC=Z.DCA,

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖基本作圖，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三

角形的性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的定義等知識(shí).解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖（作一條線段

等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直

線的垂線）.

16.（2022?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐

問題情境：我國東周到漢代一些出土實(shí)物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車離范、芯組

成的（如圖1）,它的端面是圓形，如圖2是用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法：將“矩”的直角

尖端口沿圓周移動(dòng)，直到在圓上標(biāo)記口，口，□三點(diǎn)；將“矩”向右旋轉(zhuǎn)，使它左側(cè)邊落在口，□

點(diǎn)上，“矩”的另一條邊與圓的交點(diǎn)標(biāo)記為口點(diǎn)，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的口，D,□,D四點(diǎn)，連

接口口，□□相交于點(diǎn)，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的口，□,□,□四點(diǎn)，連接口口，□□相交于點(diǎn)口，

即口為圓心.

AA

A

B//J

圖3圖4圖5

⑴問題解決：請(qǐng)你根據(jù)“問題情境”中提供的方法，用三角板還厚我國古代幾何作圖確定圓心口.如圖3,點(diǎn)

口，口，□在00上，ABLAC,且4B=AC,請(qǐng)作出圓心口.(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)類比遷移：小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”(帶直角的角尺)確定端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn)，如果

口口和口口不相等，用三角板也可以確定圓心口.如圖4,點(diǎn)口，口，口在O。上，ABL4C,請(qǐng)作出圓心L(保

留作圖痕跡，不寫作法)

(3)拓展探究：小梅進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點(diǎn)時(shí)存在誤差，用平時(shí)學(xué)的月部華園

的方法確定圓心可以減少誤差.如圖5,點(diǎn)口，□,□是。。上任意三點(diǎn)，請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出

圓心口.(保留作圖痕跡，不寫作法)請(qǐng)寫出你確定圓心的理由：.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)作NABD=90。，BD與圓相交于D,連接BC、AD相交于點(diǎn)0,即可；

(2)作NABD=90。，BD與圓相交于D,連接BC、AD相交于點(diǎn)0,即可；

(3)作AB的垂直平分線DE,作AC的垂直平分線MN,DE交MN于0,即可，則垂徑定理得出確定圓

心的理由即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，點(diǎn)0就是圓的圓心.

圖3

作NABD=90。，BD與圓相交于D,連接BC、AD相交于點(diǎn)O,

???ZCAB=ZABD=9O°,

??.BC、AD是圓的直徑

二點(diǎn)0是圓的圓心.

（2）解：如圖所示，點(diǎn)O就是圓的圓心.

作NABD=90。，BD與圓相交于D,連接BC、AD相交于點(diǎn)O,

???ZCAB=ZABC=9O°,

；.BC、AD是圓的直徑,

.??點(diǎn)O是圓的圓心.

（3）解：如圖所示，點(diǎn)O就是圓的圓心.

作AB的垂直平分線DE,作AC的垂直平分線MN,DE交MN于O,

??,DE垂直平分AB,

???DE經(jīng)過圓心，即圓心必在直線DE上,

?.■MN垂直平分AC,

???MN經(jīng)過圓心，即圓心必在直線MN上,

■.DE與MN的交點(diǎn)0是圓心.

確定圓心的理由：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理的推論，垂徑定理的推論，尺規(guī)作線段垂直平分線，熟練掌握直角的圓周角

所對(duì)的弦是直徑是解題的關(guān)鍵.

17.（2021?北京?統(tǒng)考中考真題）《淮南子?天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時(shí)，

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