浙江省北斗星盟2024年5月競賽（強(qiáng)基）聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

絕密★考試結(jié)束前

浙江省北斗星盟競賽（強(qiáng)基）聯(lián)考

數(shù)學(xué)學(xué)科試題

考生須知：

1.本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字。

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙。

一、填空題（每小題8分，共計(jì)96分）

1.已知0<根Y”，關(guān)于龍的一元二次不等式加+bx+c>0的解集為卜忱<彳<〃｝,則關(guān)于X的一元

二次不等式（a+c-Z?）9+（b-?.d）x+a>0的解集為.

2.已知向量》滿足同=1,同=g，且（3a—25），a.則a與分的夾角=.

tana_2/_、

3.已知tan（a+巴]=一5，貝U100sin[2a+；]的值是.

4.設(shè)復(fù)數(shù)4,22*3*4滿足歸—Z2]=1,22—Z31=4,憶—zj=2,肉—zj=3,則一Z3）仁一）|的最大值為

5.在四面體尸—A8C中，2PD=PA+PB，5Pm=2PB+3PC，2PF=-PC+3PA，設(shè)四面體

P-A3C與四面體尸―。砂的體積分別為匕、K,則9的值為_________.

v\

6.設(shè)a,"ce[l,2],則由:1+（￡二上+經(jīng)心!的最大值為_______.

becaab

7.數(shù)列｛4,｝滿足q=l,%=2,*=31+a“.則因回[幺]'']的值_____.

1^2024JLa2J

注：國表示不超過x的最大整數(shù)，｛%｝表示％的小數(shù)部分，即｛%｝=%-國

8.已知實(shí)數(shù)“滿足：①。?[0,2兀）；②存在實(shí)數(shù)上c（a<6<c<2兀），使得a,b,c是等差數(shù)列，

cosb,cosa,cose也是等差數(shù)列.則實(shí)數(shù)cosa的取值范圍是.

9.甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第2〃-1（”N*）局，甲贏的概率為葭第2"（”eN*）局，乙

2

贏的概率為每一局沒有平局.規(guī)定：當(dāng)其中一人贏的局?jǐn)?shù)比另一人贏的局?jǐn)?shù)多兩次時(shí)游戲

結(jié)束.則游戲結(jié)束時(shí)，甲、乙兩人玩的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為.

數(shù)學(xué)學(xué)科試題第1頁（共4頁）

JTSi72sina-石+2sin尸-6a+/3

10.設(shè)04c、j8<27t,a、/wg，號，且=0.則cot

2cosa-12cos/?-l2

11.設(shè)集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},滿足下列性質(zhì)的集合稱為“好集”：集合至少含有兩個(gè)元

素，且集合內(nèi)任意兩個(gè)元素之差的絕對值大于2.則/的子集中有個(gè)“好集”.

12.甲乙兩人玩游戲，規(guī)則如下:兩人輪流在黑板上寫數(shù)字，并且當(dāng)數(shù)字a和6已經(jīng)出現(xiàn)在黑板上時(shí)，

就不允許寫所有滿足依+6y（x,y為非負(fù)整數(shù)）形式的數(shù)，最后兩人中不得不寫下數(shù)字1的人為

失敗者.已知黑板上已有數(shù)字5和6,此時(shí)由甲開始寫數(shù)字，若甲要保證必勝，那么他第一次只

能夠填的數(shù)字有____.

二、解答題（13題滿分14分，14、15題滿分各20分，合計(jì)54分）

13.已知點(diǎn)M（-3,0）,N、尸兩點(diǎn)分別在軸、x軸上運(yùn)動，且滿足跖V-NQ=0,NP=gpQ.

（1）求。的軌跡方程；

（2）若正方形A8CZ）的三個(gè)頂點(diǎn)在點(diǎn)。的軌跡上，求其面積的最小值.

數(shù)學(xué)學(xué)科試題第2頁（共4頁）

14.求證：關(guān)于x的方程M%+D（X+2）（冗+2024）-1=0有且僅有一個(gè)正實(shí)根與，且這個(gè)實(shí)根與滿

足：-------<x<------------

2024!+10020241+6

數(shù)學(xué)學(xué)科試題第3頁（共4頁）

最近的一次數(shù)學(xué)競賽共6道試題，每題答對得7分，答錯(cuò)（或不答）彳氏*霆蹙參黑宣翳

15.團(tuán)體總分⑹分，且統(tǒng)計(jì)分?jǐn)?shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：該隊(duì)任兩名選手至多答對兩道相同的題目，沒有一名選

手都答對兩道相同的題目?試問該隊(duì)選手至少有多少人？

數(shù)學(xué)學(xué)科試題第4頁（共4頁）

絕密★考試結(jié)束前

浙江省北斗星盟競賽（強(qiáng)基）聯(lián)考

數(shù)學(xué)學(xué)科試題

考生須知：

1.本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字。

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙。

一、填空題（每小題8分，共計(jì)96分）

1.已知0＜相＜〃，關(guān)于x的一元二次不等式依2+c＞0的解集為｛%|加＜%＜〃｝，則關(guān)于x的一元

二次不等式(〃+°—8)冗2+(b-2a)x+a>0的解集為.

答案：|xl^—<%<—^―|

[[1+〃1+mJ

2.已知向量〃、力滿足同=1,同=6,且(3°-2〃)_La.設(shè)a、力的夾角=

解：設(shè)所求夾角為6.則0=(3a—25)?a=3|a「-2\a\\b\cos0.

結(jié)合|a|=i,m=百，知cose==B=g=e=g.故答案為：g

2|p|266

tana2(

3.已知’an"尸,則1。。町22）的值是.

tana_tana_tana。-tana)_2

兀)tana+1tancr+13,得3tan2a—5tana—2=0,

a—4)i1-tancr

解得。i=2,或tana=-g.

sin2a+—=sin2acos—+coslasin—

(4)44

2sinacosa+cos2a—sin2aV2(2tana+\-tan2a

=^-(sin2a+cos2a)=w2

sin26z+cos2a2Itana+\

一叵（2x2+1-22）V2

當(dāng)q=2時(shí),上式二二行

數(shù)學(xué)學(xué)科試題第1頁（共9頁）

當(dāng)tana=」時(shí)，上式——二——匚］=噂.綜上，$.2&+巴］=m.，

32（_1）2+110I4；10

故答案為2

4.設(shè)復(fù)數(shù)Z1,z2,z3,z4|z,-z21=1,|z2-z31=4,|z3-z41=2,|z4-^|=3,則_Z3）（z2-zj的最大值為

解：由題意知，四邊形ABC。在復(fù)平面中，其邊長和對角線為

AB=|zj-z2|=l,BC=|z2-z3|=4,C￡>=|z3-z4|=2,￡）A=|z4-zj=3

AC=|（Z1-Z3）|,BD=|（Z2-Z4）|

根據(jù)托勒密不等式得：［（Z］-Z3）（z?-zj〈Kz-Z?）（Z3-zJ+L-Z3）（z4-zj|=1x2+3x4=14,

故答案為14.

5.在四面體產(chǎn)一ABC中，2PD=PA+PB，5PE=2PB+3PC，2PF=-PC+3PA.設(shè)四面體

P-ABC與四面體尸—DEF的體積分別為匕、K,則9的值為.

I?：由2PD=PA+PB，2PD=PA+PB-PA+PA^2（PD-PA）=PB-PA,則2AD=AB;

由5尸E=2PB+3PC，5PE=2PB+3PC-3PB+3PB，5（PE-PB）=3（PC-PB）,貝心BE=3BC;

由2PF=-PC+3PA,2PF=-PC+3PA-3PC+3PC,2（PF-PC）=3（PA-PC）,則2CF=3CA;

顯然四面體PABC與四面體PDEF共頂點(diǎn)且底面共面，則其高相同可設(shè)為力，

結(jié)合題意可作圖如下：

r

B

在底面連接尸3,作圖如下：

ACSAC

由2Cf=3C4,即篙一32,則《ARr2易知FAB_

S_3；

FC3、,FBC人。30,FBC?

數(shù)學(xué)學(xué)科試題第2頁（共9頁）

BDsDBF_BDDBF_1

由2AD=AB,BP-9則<-。，易知c;

BA-~2JABFBA/kJFBC6

EC_2,5.ECF_EC2

由5BE=3BC，即,則<~BC~;

BC-5JBCF5

BD_1BE3,S13_3_q_3_2]_

DEB_—x—易知qDBEx—=

由9則<9-：5;

~BA~2~BC~gkJABC25~163FBCio3

q3〃JDEF

￡FDE_[DBFSFCFSDBE_2_°.FDE73777

-=——X—=■匕==三.故答案為:

30,20;

5FBC§FBC5BCFSFBC°ABC302匕20

個(gè)hSABC

6.設(shè)a,b,c則也Z0_+（c-4）+（。-'的最大值為_________.

becaab

解：設(shè)1112*（々,。,0282111111（4,。?,則

a,、ab

—+1>—+—

cbc

^a-b^b-c)>0<^ab+bc>ca+b2<=><

c<bc

—+1>—+—

、aab

二匚i、[("-。)2(c-a)2(a-")2abaccbacy.

所以---+------+------^-=-+-+-+-+-+——6<2-+--4

becaabbacabcyca)

(2a-c)(2c-a)2a2c

因?yàn)?a2c,2c2a,所以^------------>0^>5>一十—

caca

h.(Z?-c)2(c-aY(a-bY(a工心林心生

因此r:，——二+^——乙+^^-<2-+--4<5-4=1,故答案為41.

becaabyca)

%I〃3II〃4

。2025“2024

7.已知數(shù)列｛a“｝滿足?i=l,a2=2,a“+2=3a?+1+?！?則的值

ClyCl?

注：［可表示不超過X的最大整數(shù)，｛1｝表示x的小數(shù)部分，即｛x｝=x-［可

解：顯然，｛%｝為嚴(yán)格遞增的正整數(shù)的數(shù)列.則

“〃+2an+23%+]+《凡

3a.+i<an+2=3an+l+an<4an+1n

q+La

n+l

Cl?dlyd2^^2023^*20242“2024

故原式=

CI3^^2024^-2“2024a2

由％=1,2=2,%=7及數(shù)學(xué)歸納法，知3+2為偶數(shù)，生計(jì)1與的t+3為奇數(shù).

從此，％024為偶數(shù)，因此，所求代數(shù)式的值為1.故答案為：1.

8.已知實(shí)數(shù)。滿足：①ae［0,2;t）；②存在實(shí)數(shù)4c（a<6<c<2兀），使得a,b,c是等差數(shù)列,

cos"cosa,cose也是等差數(shù)列.則實(shí)數(shù)COS。的取值范圍是.

數(shù)學(xué)學(xué)科試題第3頁（共9頁）

解：設(shè)等差數(shù)列。也c的公差為相，a=b-m,c=b+m,依題意，cosa-cosb=cosc-cosa,

2b-m.-m....

于是cos(/?-m)-cosb=cos(/?+m)-cos(Z?-m),整理得-2sin--------sin----=—2sinbsmm

22

目口./加7、.根.7..mmrnu-mm.[[m

即sin(-----b)sin—=sinbsmm=2sinbsin—cos—,因止匕sin—cosb7-cos—sm。=2sinpcos—,

2222222

YYl

即有tan萬=3tanb,則相隨Z?增大而增大，而相＞0

當(dāng)〃￡（0,兀），匕￡（兀,*|兀）時(shí)，。到達(dá)2兀時(shí)是臨界值點(diǎn)，止匕時(shí)力=￡+兀,

代入得2cos。=?。5(9+兀)+cos2兀，艮2cos〃=—cos@+l,整理得4cos2@+cos@-3=0,

而畀嗚）,解得貝"叫一

”2c1]即a=arccos—,

8

所以實(shí)數(shù)COS。的取值范圍是cos4G（-1」）.

8

9.甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第2"-l（"eN*）局，甲贏的概率為：；第2〃（〃eN*）局，乙

2

贏的概率為每一局沒有平局.規(guī)定：當(dāng)其中一人贏的局?jǐn)?shù)比另一人贏的局?jǐn)?shù)多兩次時(shí)游戲結(jié)

束.則游戲結(jié)束時(shí)，甲、乙兩人玩的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為.

解：設(shè)甲、乙兩人玩的局?jǐn)?shù)為“其數(shù)學(xué)期望為E（J）,由題設(shè)，游戲至少進(jìn)行兩局,

214

若4=2,則比分為2:0,且PC=2）=5：X2=],

否則前兩局的比分為1:1,從此刻開始知道游戲結(jié)束，進(jìn)行的局?jǐn)?shù)的期望跟比分為0：。時(shí)相同，總局

數(shù)的期望為E⑷+2,故E（3=《x2+[l-:（E?+2）,故E⑶=g,故答案為：

s'江八/Q/、n7i5TI口2sina-j32sin/?-v3八a+B

10.設(shè)04。、兀，。、4w—,一，且------—+---匕——=0.則cot—=

332cos。一12cos尸一1

解：注意至[J學(xué)41+竽勺也=0的幾何意義是橢圓t+匚1上的點(diǎn)P與橢圓上的點(diǎn)

2cosa-l2cos夕一143I2J

貝2cosa,J§sina）,N（2cos尸，石sin/?）連線的斜率互為相反數(shù).

而直線感的斜率為人*.于是儂山一空一左為定值）.

2（cosa—cos02223

又此定值改為橢圓二+反=1在點(diǎn)尸（1,-]]處的切線的斜率;，故cot"2=_述、!=_".

4312）22323

數(shù)學(xué)學(xué)科試題第4頁（共9頁）

故答案為：-心

3

11.設(shè)集合A=｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,10｝,滿足下列性質(zhì)的集合稱為“好集”：集合至少含有兩個(gè)元

素，且集合內(nèi)任意兩個(gè)元素之差的絕對值大于2.則/的子集中有個(gè)“好集”.

解：設(shè)集合｛1,2,3,,〃｝中滿足“好集”的子集個(gè)數(shù)為%，則%=%=。，%=1.當(dāng)〃>4時(shí)，可將滿足

題設(shè)性質(zhì)的子集分為如下兩類：一類是含有n的子集，去掉n后剩下小于2的單元子集或者是

｛1,2,3,,"-3｝滿足題設(shè)性質(zhì)的子集，前者有〃-3個(gè)，后者有a,一個(gè)；另一類是不含有〃的子集，此

時(shí)恰好是口，2,3,-1｝滿足題設(shè)性質(zhì)的子集，有。I個(gè).于是，%=（"3）+a“_3+4i.又

tz2==0,<?4=1,所以%=3,&=6,%=11,%=19,%=31,%o=49.故答案為：49

12.甲乙兩人玩游戲，規(guī)則如下:兩人輪流在黑板上寫數(shù)字，并且當(dāng)數(shù)字。和b已經(jīng)出現(xiàn)在黑板上時(shí)，

就不允許寫所有滿足+為非負(fù)整數(shù)）形式的數(shù)，最后兩人中不得不寫下數(shù)字1的人為失敗

者.已知黑板上已有數(shù)字5和6,此時(shí)由甲開始寫數(shù)字，若甲要保證必勝，那么他第一次只能夠填的

數(shù)字有.

解：由已知得，任意區(qū)間[5匕6月，左e.中的數(shù)均不能寫.

事實(shí)上,所有形如5a+60=5（a+0）+eN）的數(shù)均不能寫，設(shè)a+尸=k（左eN+）且夕e[0,k],

此時(shí)5（?+〃）+/恰好取遍[5人,6月，左6N+區(qū)間中所有的數(shù).

從而可以寫的數(shù)字總共有1,2,3,4,7,8,9,13,14,19這十個(gè).

此時(shí)，由甲開始填寫，則甲共有除1外的9種填寫方案.

若甲寫2,乙只需寫3,此時(shí)甲只可寫1,必?cái)?

若甲寫3,乙只需寫2,此時(shí)甲只可寫1,必?cái)?

若甲寫4,乙還剩1,2,3,7可寫;乙只需寫7,還剩1,2,3,易得甲必?cái)?

若甲寫7,乙還剩1,2,3,4,8,9可寫;乙只需寫4,還剩1,2,3,甲必?cái)?

若甲寫8,乙還剩1,2,3,4,7,9可寫;乙只需寫9,還剩1,2,3,4,7,此時(shí)（2,3）,（4,7）配對，

甲寫任意一個(gè)，乙只需寫與之對應(yīng)的另一個(gè)，甲必?cái)?

若甲寫9,還剩1,2,3,4,7,8,13可寫;乙只需寫8,還剩1,2,3,4,7,同上可知甲必?cái)?

若甲寫13,還剩1,2,3,4,7,8,9,14可寫;乙只需寫14,還剩1,2,3,4,7,8,9,此時(shí)

（2,3）,（4,7）,（8,9）配對，甲寫任意一個(gè)，乙只需寫與之對應(yīng)的另一個(gè)，甲必?cái)?

若甲寫14,還剩1,2,3,4,7,8,9,13可寫;乙只需寫13,還剩1,2,3,4,7,8,9,同上可

知甲必?cái)?

若甲寫19,此時(shí)（2,3）,（4,7）,（8,9）,（13,14）配對,乙任寫一個(gè)，甲只需寫與之對應(yīng)的另一個(gè)，此時(shí)甲

必勝.綜上，只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)數(shù)寫19時(shí)甲將獲勝.故答案為：19

二、解答題（13題滿分14分，14、15題滿分各20分，合計(jì)54分）

13.已知點(diǎn)M（-3,0）,N、尸兩點(diǎn)分別在y軸、x軸上運(yùn)動，且滿足MMNQ=0,NP=；PQ.

（1）求。的軌跡方程；

（2）若正方形/BCD的三個(gè)頂點(diǎn)在點(diǎn)Q的軌跡上，求其面積的最小值.

數(shù)學(xué)學(xué)科試題第5頁（共9頁）

解：（1）設(shè)點(diǎn)Q（x,y）,因?yàn)?且點(diǎn)N在y軸上，所以N[0,-

又M（-3,0）,則=NQ=（X，3],

由MNWQ=3x-[y2=o,..y2=4x,故點(diǎn)。的軌跡方程為丁=4%......4分

（2）設(shè)正方形A8CD在V=4尤上的三個(gè)頂點(diǎn)為A（X[,%）、8（%,%）、。（不，為），

不妨設(shè)A,B在X軸的下方（包括X軸），且為NOW%>%,

（22、

>2f=k紅-紅

,2,2244

貝UX]=—,x=—,X3也，設(shè)直線A3的斜率為上,貝I」

4244（22、

1?2L_22_

44

\7

44

所以兇=7一乃，>3=_4左一>2，故％+乃=7<0，故6<0.8分

kk

X\AB\=\BC\,所以

-將%,%用%表示,

得為-2+>2=-%（-必-2>2）,；.>2=2（_左++）'故'同=忸。|=J1+1（乃-乃）=4_.（_.+]）

222,當(dāng)且僅當(dāng)％=-1時(shí)等號成立,

12分

~K（~KI

又2（Jl+/『一（一左+1）2=（1+左『20,當(dāng)且僅當(dāng)k=-l時(shí)等號成立，

結(jié)合-左+1>0,故也，當(dāng)且僅當(dāng)上=-1時(shí)等號成立，

一人+12

故|BC|24x2x^=471,當(dāng)且僅當(dāng)上=-1時(shí)等號成立，所以正方形面積Smin=32,當(dāng)上=-1時(shí)取

112

最小值......14分

數(shù)學(xué)學(xué)科試題第6頁（共9頁）

c

O

A

14.求證：關(guān)于x的方程x(x+l)(x+2)(x+2024)-1=0有且僅有一個(gè)正實(shí)根與，且這個(gè)實(shí)根與滿

11

足:--------------<XQ<--------------

2024!+102024!+6

證明：設(shè)，a)=x(x+l)(x+2)(x+2024)-1,易知：當(dāng)冗W(O,+8)時(shí)，段)單調(diào)遞增

因?yàn)?(0)=-1<0,/(1)=2025!-1>0,所以")=0有且僅有一個(gè)正實(shí)根兩

下面先證明兩個(gè)引理：

36<i14+^—<10

引理一：6+++

2024!232024

2024119

yfJ-+J-++1

證明：￥-=1+-++-------

2—2'+l2'+22024

Jk=\kzZ=ll'

111113612Z3636

22l+i2Z+1J2024!22024!2024!

Z=1'/Z=1

等i等iii9cli>iii>

名人〈各=1十萬+§+盲〔2,+2，+1++3X2!'-1-J+^LX2!'_1+3X2M+1++2,+1-lJ

10r.i-110

<114

++=1+—+—+9x—+9x—<105分

233X2'T2323

i=2乙i=2

引理二：(貝努利Bernoulli不等式)設(shè)“22是正整數(shù)，xr,x2,，入“w(0,1)且西+為++xn<\,

則(1-西)(1-巧)(l-xj>l-(x1+x2+.+%)(*),我們用數(shù)學(xué)歸納法證明(*)

當(dāng)九=2時(shí)，(1一甌乂1一%2)=1-不一巧+%1%2〉1一題—工2，假設(shè)〃=左時(shí)，(*)成立，

則對于片女+1時(shí)，(1—國)(1—巧)(1—4乂1——(M+巧++4)](1—4+1)

>1-(%1+x2++4+1)，故對任意的正整數(shù)〃22,(*)成立.....10分

11

接著分兩步證明:<x0<--------------

2024!+10---------2024!+6

1

(1)

2024!+10

1

只需證：f(x0}>f(——],即—-—Lo

v0712024!+10)12024!+10)

1己“=2024!+10,-|<0<=>|-+1||-+2II-+2024|<?

\a)\a八〃)\a)

aaa1a2a2024。2024!

<=>---------------------------------->—o----------------------------------->---------

l+al+2。1+2024〃a\+al+2a1+2024aa

數(shù)學(xué)學(xué)科試題第7頁(共9頁)

卡士巾一占）甘①

由引理二和引理一可得：

+1

1+2024。

>1一匕+1++/:1-小+》+泰〉1一?，故①成立，從而,1

X。>--------15

2024!+10

分

⑵X?！次澹ブ恍枳C：而匕即/[亞片〉。

1+」一

記6，利用引理一可得：伍+1）0+2）僅+2024)>2024!+2024111+-+b

20241+6(22024

>2024!+2024!|6+^-1——--=2024!+6

(2024!j2024!+6

即f[-----------]>0，從而，x0<.......20分

1,2024!+6J2024!+6

15.最近的一次數(shù)學(xué)競賽共6道試題，每題答對得7分，答錯(cuò)（或不答）得。分.賽后某參賽代表隊(duì)獲

團(tuán)體總分161分，且統(tǒng)計(jì)分?jǐn)?shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：該隊(duì)任兩名選手至多答對兩道相同的題目，沒有三名選手都

答對兩道相同的題目.試問該隊(duì)選手至少有多少人？

解：設(shè)該隊(duì)有〃名選手，分別記為％,生，…，4