第二章“一元一次方程”簡介

第二章“一元一次方程”簡介課程教材探究所田載今一、教科書內容和課程學習目標1.教科書內容本章繼第1章“有理數(shù)”之后，屬于《全日制義務教育數(shù)學課程標準〔試驗稿〕》中的“數(shù)與代數(shù)”領域。方程有悠久的歷史，它隨著實踐須要而產生，并且具有極其廣泛的應用。從數(shù)學科學本身看，方程是代數(shù)學的核心內容，正是對于它的探究推動了整個代數(shù)學的開展。從代數(shù)中關于方程的分類看，一元一次方程是最簡潔的代數(shù)方程，也是全部代數(shù)方程的根底。本章主要內容包括：一元一次方程及其相關概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析與解決實際問題。其中，以方程為工具分析問題、解決問題，即建立方程模型是全章的重點，同時也是難點。分析實際問題中的數(shù)量關系并用一元一次方程表示其中的相等關系，是始終貫穿于全章的主線，而對一元一次方程的有關概念和解法的探討，是在建立和運用方程這種數(shù)學模型的大背景之下進展的。列方程中蘊涵的“數(shù)學建模思想”和解方程中蘊涵的“化歸思想”，是本章始終滲透的主要數(shù)學思想。全章共包括四節(jié)2.1從算式到方程這一節(jié)分為兩個小節(jié)。2.1.1一元一次方程在小學階段，已學習了用算術方法解應用題，還學習了最簡潔的方程。本小節(jié)先通過一個詳細行程問題，引導學生嘗試如何用算術方法解決它，然后再一步一步引導學生列出含未知數(shù)的式子表示有關的量，并進一步依據(jù)相等關系列出含未知數(shù)的等式——方程。這樣支配目的在于突出方程的根本特征，引出方程的定義，并使學生相識到方程是更便利、更有力的數(shù)學工具，從算術方法到代數(shù)方法是數(shù)學的進步。算式表示用算術方法進展計算的程序，列算式是依據(jù)問題中的數(shù)量關系，算式中只能含確定數(shù)而不能含未知數(shù)。列方程也是依據(jù)問題中的數(shù)量關系〔特殊是相等關系〕，它打破了列算式時只能用確定數(shù)的限制，方程中可以依據(jù)須要含有相關的確定數(shù)和未知數(shù)，未知數(shù)進入式子是新的突破。正因如此，一般地說列方程要比列算式考慮起來更干脆、更自然，因而有更多優(yōu)越性。本小節(jié)中引出了方程、一元一次方程、方程的解等根本概念，并且對于“依據(jù)實際問題中的數(shù)量關系，設未知數(shù)，列出一元一次方程”的分析問題過程進展了歸納。2.1.2等式的性質方程是含未知數(shù)的等式，為適合初中學生學習，本章不涉及方程的同解理論，而以等式的性質作為解方程的依據(jù)。本小節(jié)通過視察、歸納引出等式的兩條性質，并干脆利用它們探討一些較簡潔的一元一次方程的解法。這將為后面幾節(jié)進一步探討較困難的一元一次方程的解法打算理論依據(jù)。

2.2從古老的代數(shù)書說起──一元一次方程的探討〔1〕本節(jié)仍舊結合一些實際問題綻開，重點探討兩方面的問題：〔1〕如何依據(jù)實際問題列方程？這是貫穿全章的中心問題?！?〕如何解方程？這節(jié)重點探討解方程中的“合并〔同類項〕”和“移項”，這樣就已經可解類型的一元一次方程。本節(jié)首先提及在數(shù)學史上對解方程頗有影響的一部著作，即生活在約780～850年間的阿拉伯數(shù)學家阿爾－花拉子米所著的《對消與復原》一書，提問“對消”與“復原”是什么意思，作為后面要探討的內容的引子。在本節(jié)內容綻開中引出“合并〔同類項〕”和“移項”。本節(jié)中用框圖形式歸納出“用一元一次方程分析和解決實際問題的根本過程”。

2.3從“買布問題說起”──一元一次方程的探討〔2〕本節(jié)接著結合一些實際問題探討一元一次方程，重點探討兩方面的問題：〔1〕如何依據(jù)實際問題列方程？這是貫穿全章的中心問題。〔2〕如何解方程？這節(jié)重點探討解方程中的“去括號”和“去分母”，這樣就可以解各種類型的一元一次方程，并歸納出一元一次方程解法的一般步驟。本節(jié)從俄羅斯文學家契訶夫的小說《家庭老師》中的一道“買布問題”，引出解方程中的“去括號”問題；又從古代埃及的紙莎草文書中的一道題，引出帶有分母的一元一次方程，進而探討用去分母的方法解這類方程。在本節(jié)中，以解一個詳細方程的過程為例，用框圖形式表示了一元一次方程解法的一般步驟。2.4再探實際問題與一元一次方程在前面已經探討過由實際問題抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步驟的根底上，本節(jié)進一步以“探究”的形式探討如何用一元一次方程解決實際問題。要探究的三個問題〔“銷售中的盈虧”“用哪種燈省錢”“球賽積分表問題”〕要比前幾節(jié)的問題困難些，問題情境與實際狀況更接近。本節(jié)的重點是建立實際問題的方程模型。通過探究活動，可以進一步體驗一元一次方程與實際的親密聯(lián)系，加強數(shù)學建模思想，造就運用一元一次方程分析和解決實際問題的實力。由于本節(jié)問題的背景和表達都比擬貼近實際，其中的有些數(shù)量關系比擬隱藏，所以在探究過程中正確地建立方程是主要難點。突破難點的關鍵是弄清問題背景，分析清晰有關數(shù)量關系，特殊是找出可以作為列方程依據(jù)的主要相等關系。2.本章學問構造圖〔1〕利用一元一次方程解決問題的根本過程〔2〕本章學問支配的前后依次3.課程學習目標

1.經驗“把實際問題抽象為數(shù)學方程”的過程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一種有效的數(shù)學模型，了解一元一次方程及其相關概念，相識從算式到方程是數(shù)學的進步。2.通過視察、歸納得出等式的性質，能利用它們探究一元一次方程的解法。3.了解解方程的根本目標〔使方程逐步轉化為x=a的形式〕，熟識解一元一次方程的一般步驟，駕馭一元一次方程的解法，體會解法中蘊涵的化歸思想。4.能夠“找出實際問題中的確定數(shù)和未知數(shù)，分析它們之間的關系，設未知數(shù)，列出方程表示問題中的等量關系”，體會建立數(shù)學模型的思想。5.通過探究實際問題與一元一次方程的關系，進一步體會利用一元一次方程解決問題的根本過程〔見上圖〕，感受數(shù)學的應用價值，提高分析問題、解決問題的實力。4.課時支配本章教學時間約需18課時，詳細安排如下〔僅供參考〕：2.1從算式到方程約4課時2.2從古老的代數(shù)書說起──一元一次方程的探討〔1〕約4課時2.3從“買布問題”說起──一元一次方程的探討〔2〕約4課時3.4再探實際問題和一元一次方程約4課時數(shù)學活動小結約2課時二、本章教科書的編寫特點

1.突出方程這個重點內容，將有關式的預備學問融于探討方程的過程中在很多教科書中，整式及其加減運算通常支配集中在一元一次方程之前，為一元一次方程的學習做打算。這樣做的優(yōu)點是層次清楚，“前面鋪好路后面走起來很順”；而缺乏是學生往往在學習這些預備學問時不能體會它們以后的作用，學習目的性不明確，因而影響學習效果。在本章中沒有做如上處理，而是將有關整式的內容分散地融于對方程的探討之中，不過于強調式的概念，只要它們能自然地為探討方程這條主線效勞即可，這是本章的一個特點。這樣處理的目的是突出方程這個實際應用作用明顯的內容，由于有關預備學問與方程結合得更親密了，并且不單獨予以強調，所以便于學生自然而然地承受和運用，而不感到學了沒用。在學生對整式有一些初步的相識的根底上，本套教科書在后面〔第15章〕還要支配對它們的特地探討，到那時學生對為什么學習有關式的內容就比擬簡單理解了。2.突出列方程，結合解決實際問題探討解方程列方程是本章的重點，也是難點。為突出重點，分散難點，使學生能有較多時機接觸列方程，本章把對實際問題的探討作為貫穿于全章前后的一條主線。對一元一次方程解法的探討始終是結合解決實際問題進展的，即先列出方程，然后探討如何解方程，這是本章的又一特點。教科書先結合兩個實際問題的求解過程分別探討了“合并〔同類項〕”和“移項”，并進一步通過一些例題對這兩種解方程的變形手段進展綜合練習和強化。此后教科書又在對另兩個實際問題的探討中引出解方程中的“去括號”和“去分母”，并進一步通過一些例題和練習題協(xié)助學生駕馭它們。在此根底上，教科書歸納總結出解一元一次方程的目標和一般步驟，引導學生提高對一元一次方程解法的相識。我們認為這樣處理解方程的教學符合人們對方程的相識過程，并且可以加強這章內容與實際的聯(lián)系，有助于解決局部學生總感覺列方程難的問題。3.通過加強探究性，造就分析解決問題的實力、創(chuàng)新精神和實踐意識本章的中心任務是，使學生經驗建立一元一次方程模型并應用它解決實際問題的過程，體會方程的作用，駕馭運用方程解決簡潔問題的方法，提高分析問題、解決問題的實力，增加創(chuàng)新精神和應用數(shù)學的意識。由于實際問題的類型多樣，在某些問題中數(shù)量關系不非常明顯，使得以方程為模型表示問題中的數(shù)量關系成為教學中的難點。為切實提高利用方程解決實際問題的實力，本章在內容選擇上留意加強探究性。例如，第2.4節(jié)特殊支配了“再探實際問題和一元一次方程”的內容，選擇了三個具有必須綜合性的問題〔“銷售中的盈虧”“用哪種燈省錢”“球賽積分表問題”〕，設置了假設干探究點，引導學生利用方程為工具進展具有必須深度的思索，把全章所強調的以方程為工具把實際問題模型化的思想提到新的高度。這節(jié)內容包括：估算與準確計算的比擬〔探究1〕，進展開放性的設計〔探究2〕，依據(jù)問題的實際背景進展檢驗，利用方程進展簡潔推理判定〔探究3中已滲透了反證法的思想〕。支配這節(jié)的目的在于：一方面通過更加貼近實際生活的問題，進一步突出方程這種數(shù)學模型的應用具有廣泛性和有效性；另一方面使學生能在更加貼近實際生活的問題情境中運用所學數(shù)學學問，使分析問題和解決問題的實力、創(chuàng)新精神和實踐意識在更高層次上等到提高。4.重視數(shù)學思想方法的滲透，關注數(shù)學文化本章不僅重視數(shù)學與實際的聯(lián)系，列方程和解方程的方法，而且重視數(shù)學學問中蘊涵的建模和化歸等數(shù)學思想方法的滲透。，本章所涉及的數(shù)學思想方法主要包括兩個：一個是由實際問題抽象為方程模型這一過程中蘊涵的符號化、模型化的思想；另一個是解方程的過程中蘊涵的化歸思想。雖然考慮到學生的理解實力等緣由，教科書沒有過多出現(xiàn)“數(shù)學模型”一詞，但是本章屢次以框圖形式對“利用一元一次方程解決問題的根本過程”加以歸納，意在滲透建模思想。為表達化歸思想在解方程中具有指導作用，本章中探討一元一次方程的各個步驟時，都留意點明解方程的目的，即為最終使方程變形為x=a的形式，各種步驟都是為此而實施的，即在保持方程的左右兩邊的相等關系的前提之下，使“未知”逐步轉化為“確定”。本套教科書的特色之一是，使教科書成為反映科學進步、介紹先進文化的鏡子。重視數(shù)學的科學價值，同時關注其文化內涵。通過教科書這面鏡子的反射，結合教學內容生動活潑地介紹古今數(shù)學的開展，深化淺出地反映數(shù)學的作用〔工具作用和人文教育作用〕，使學生逐步地相識數(shù)學的科學價值和人文價值，提高科學文化素養(yǎng)。本章對于數(shù)學文化予以很大關注，從數(shù)字到字母，從算式到方程，從算術到代數(shù)……這些數(shù)學史上的重大進步以及有關方程的名著《復原與對消》、埃及紙莎草文書中的問題等在教科書中都有所反映。編者盼望學生通過學習本章不僅在數(shù)學學問和實力方面得到提高，而且能夠感受到數(shù)學文化的熏陶。三、幾個值得關注的問題1.關注在前面學段的根底上開展，做好從算術到代數(shù)的過渡本章第2.1節(jié)從一個實際問題〔行程問題〕起先探討，在引出方程后提出“從算式到方程是數(shù)學的進步”。算式與方程表現(xiàn)了算術與代數(shù)解決問題的兩種不同方法。用算術方法解實際問題是前面學段中學生已經學習過的內容，它對于提高分析問題中數(shù)量關系的實力有著打根底的作用。算式表示一個計算過程，用算術方法解實際問題時，算式中只含確定數(shù)而不包含未知數(shù)；而代數(shù)中設未知數(shù)或列方程時首先須要用式子表示問題中有關的量，這些式子事實上也是算式，只是其中可能含有字母〔未知數(shù)〕。方程是依據(jù)問題中等量關系列出的等式，其中既含有確定數(shù)，又含有未知數(shù)，這是代數(shù)方程與算術算式的區(qū)分之一。由于方程中可以用未知數(shù)與確定數(shù)一起表示相關的量，所以方程的應用更為便利。這正是用字母表示數(shù)帶來的好處。從課程標準看，在前面學段中已經有關于簡潔方程的內容，學生已經對方程有初步的相識，會用方程表示簡潔情境中的數(shù)量關系，會解簡潔的方程，即對于方程的相識已經驗了入門階段，具備了必須的感性相識根底，這些根本的、樸實的相識為進一步學習方程奠定了根底。本章的內容是在前面的學習根底上的進一步開展，即對一元一次方程作更系統(tǒng)更深化的探討，所涉及的實際問題要比以前學習的問題困難些，更強調模型化思想的滲透；對方程解法的探討要更注意算理，更強調創(chuàng)設未知向確定轉化的條件以及解法中程序化的思想。了解以上的聯(lián)系與區(qū)分，有助于在本章教學中留意到應在哪些地方使學生得到新的提高。2.關注方程與實際問題的聯(lián)系，表達數(shù)學建模思想

我們生活在一個豐富多彩的世界，其中存在大量問題涉及數(shù)量關系的分析，這為學習“一元一次方程”供應了大量的現(xiàn)實素材。在本章教科書中，實際問題情境貫穿于始終，對方程解法的探討也是在解決實際問題的過程中進展的，“列方程”在本章中占有突出地位，全章教科書遵照探討實際問題的線索而綻開。在本章的教學和學習中，要充分留意方程的現(xiàn)實背景，通過大量豐富的實際問題，反映出方程來自實際又效勞于實際，加強對于方程是解決現(xiàn)實問題的一種重要數(shù)學模型的相識。鑒于本章的學習對象是七年級學生，教科書的表達力求通俗易懂，在正文中幸免過多干脆運用“數(shù)學模型”等詞，而是通過詳細例子反復強調方程在解決實際問題中的工具作用，事實上這就是在滲透建立數(shù)學模型的思想。設未知數(shù)、列方程是本章中用數(shù)學模型表示和解決實際問題的關鍵步驟，而正確地理解問題情境，分析其中的相等關系是設未知數(shù)、列方程的根底。在本章的教學和學習中，可以從多角度進展思索，借助圖形、表格、式子等進展分析，找尋等量關系，檢驗方程的合理性。老師還可以結合實際狀況選擇更貼近學生生活的各種問題，引導學生用一元一次方程分析和解決它們。利用一元一次方程解決問題的根本過程〔見前面的圖〕，在本章中反復出現(xiàn)并且逐步細化，這有助于從整體上相識一元一次方程與實際問題的關系，請留意在教學中不斷強化對它的相識。3.關注方程這條主線，帶動相關預備學問的學習

從數(shù)學學科內部來看，整式及其運算〔加減法〕是一元一次方程的預備學問；而從應用的角度來看，一元一次方程要比整式用得更普遍、更干脆。本套教科書不像過去很多數(shù)學教科書那樣先支配整式，然后再支配一元一次方程，而是將與一元一次方程相關的整式學問分散于本章之中，對它們采納“夠用即可”的處理方式，回避了一些概念〔代數(shù)式、同類項等〕，結合方程的探討通過例子說明了一些相關運算〔合并含未知數(shù)的項、去括號等〕，而將對整式系統(tǒng)深化的探討留待后面章節(jié)完成。前面已經說過這樣處理的主要目的是為了突出重點，適當精簡整合教學內容，加強應用意識。這樣處理與“先特地支配整式預備學問，后支配方程”的做法各有優(yōu)缺點，請在教學實踐中對它們進展比擬和檢驗，以便進一步尋求更符合教學實際的處理方案。在本章的教學中，盼望能夠了解教科書的上述改變及其用意，時刻關注教學重點，留意抓住方程這條主線，削枝強干，突出圍繞一元一次方程的探討，帶動有關預備學問的學習。特殊要把握好本章中所含有的整式學問的深度和廣度，不作過多的補充和引申，以免喧賓奪主沖淡主題。4.關注造就學習的主動性和探究性課程改革的目的之一是促進學習方式的轉變，加強學習的主動性和探究性。本章內容涉及大量的實際問題，豐富多彩的問題情境和解決實際問題的歡樂更簡單激起學生對數(shù)學的愛好。在本章的教學中，應留意引導學生從身邊的問題探究起，主動收集找尋“現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的”學習材料，并更多地進展數(shù)學活動和相互溝通，在主動學習、探究學習的過程中獲得學問，造就實力，體會數(shù)學思想方法。在本章的教科書中，支配了很多可供應學生主動進展探究的內容，其中既涉及列方程又涉及解方程，例如2.4節(jié)“再探實際問題與一元一次方程”就是為提高分析和解決問題的實力而支配的探究性內容，本章的“數(shù)學活動”及“拓廣探究”欄目下的習題等也設置了許多探究性問題，采納什么方式進展這些內容的教學是須要關注的問題。詳細教學方式可能會因時因地因人而易，但是各種方式都應留意鼓舞學生踴躍探究，當學生在探究過程中遇到困難時，老師應啟發(fā)誘導，設計必要的鋪墊，讓學生在經過自己的努力來克制困難的過程中體驗如何進展探究活動，而不要替代他們思索，不要過早給出答案。應鼓舞探究多種不同的分析問題和解決問題的方法，使探究過程活潑起來，在這樣的氣氛中可以更好地激發(fā)學生踴躍思維，得到更大收獲。對于解方程過程中較困難的計算，可以提倡學生運用計算機〔器〕等計算工具采納敏捷方式完成。5.關注數(shù)學思想方法的教學和學習前面已經說過，本章所涉及的數(shù)學思想方法主要包括兩個：一個是由實際問題抽象為方程模型這一過程中蘊涵的模型化〔包括符號化〕的思想；另一個是解方程的過程中蘊涵的化歸思想。在本章的教學和學習中，不能僅僅著眼于個別題目的詳細解題過程，而應關注對以上思想方法的滲透和領悟，從整體上相識問題的本質。數(shù)學思想方法是通過數(shù)學學問的載體來表達的，對于它們的相識須要一個較長的過程，既須要教科書的滲透反映，也須要老師的點撥，最終還須要學生自身的感受和理解。數(shù)學思想方法對一個人的影響往往要大于詳細的數(shù)學學問，例如對解方程的本質有比擬透徹的相識，就簡單主動地探究詳細方程的解法，這遠比死記硬背方程的解法步驟的效果要好。因此，我們須要關注數(shù)學思想方法的教學和學習，盼望老師在如何深化淺出地進展這方面的教學上不斷探究。

6.關注根底學問和根本技能，適當加強練習穩(wěn)固

本章內容包括一元一次方程的概念、解法和應用。一元一次方程是最根本的代數(shù)方程，對它的理解和駕馭對于后續(xù)學習〔其他的方程以及不等式、函數(shù)等〕具有重要的根底作用。因此，教學和學習中應留意打好根底。由于本章教科書是以分析解決實際問題為線索綻開的，很多根底學問隱含于分析解決問題的過程之中，如缺乏對這些根底內容的分析歸納，可能會對它們有所無視，所以在教學和學習中應留意對它們進展歸