2024年中考數(shù)學復習之題型全歸納：與圓有關的位置關系(解析版)

與圓有關的位置關系

技巧1：有關圓的位置關系的四種判斷方法

技巧2:切線的判定和性質的四種應用類型

技巧3:圓中常用的作輔助線的八種方法

【題型】一、判斷點與圓的位置關系

【題型】二、三角形外接圓的相關計算

【題型】三、確定圓的條件

【題型】四、判斷直線與圓的位置關系

【題型】五、利用切線的性質定理進行計算

【題型】六、切線性質與判定的綜合

【題型】七、利用切線長定理進行計算

【題型】八、三角形內(nèi)切圓的相關計算

【題型】九、圓內(nèi)接四邊形的相關計算

【題型】十、判斷圓與圓的位置關系

【考綱要求】

1.了解直線和圓的位置關系，并會判斷直線和圓的位置關系.

2.了解點和圓的位置關系，并會判斷點和圓的位置關系.

3.了解切線的概念，并掌握切線的判定和性質.

4.掌握三角形內(nèi)切圓的性質.

【考點總結】一、點、線與圓的位置關系

1.如果圓的半徑為匕某一點到圓心的距離為4那么：

⑴點在圓外O介廠；

(2)點在圓上

(3)點在圓內(nèi)

2.直線與圓的位置關系有三種:相離、相切和相交

位置

相離相切相交

關系

CD

圖形

公共點個數(shù)012

數(shù)量

d>rd=rd<r

關系

3.切線的性質與判定

(1)切線的性質定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

(2)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

4「切線長定理

(1)切線長：經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.

(2)定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

【技巧歸納】

技巧1：有關圓的位置關系的四種判斷方法

類型一：點與圓的位置關系

方法1定義法

1.如圖，在網(wǎng)格中(每個小正方形的邊長均為1個單位長度)選取9個格一點(格線的交點稱為格點).如果以A

為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內(nèi)，則r的取值范圍.為()

A,2也?r〈jl7B：和也

C.A17<r<5D,5<r<^/29

2.在矩形ABCD中，AB=8,BC=3近，點P在邊AB上，且BP=3AP,如果圓P是以點P為圓心，PD

的長為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）

4點B,C均在圓P外

3點B在圓P外，點C在圓P內(nèi)

C點B在圓P內(nèi)，點C在圓P外

。點B,C均在圓P內(nèi)

方法2比較法

3.。0的半徑r=5cm,圓心O到直線1的距離OD=3cm,在直線1上有P,Q,R三點，且有PD=4cm,

QD=5cm,RD=3cm,那么P,Q,R三點與。。的位置關系各是怎樣的？

類型二：直線與圓的位置關系

方法3交點個數(shù)法

4.已知直線1經(jīng)過。0上的A,B兩點，則直線1與。0的位置關系是（）

A.相切B,相交

C.相離D.無法確定

方法4距離比較法

5.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,CDLAB,BC=4cm,以點C為圓心，4為半徑畫

OC,試判斷直線BD與OC的位置關系，并說明理由.

ADB（第5題）

6.如圖，在R4ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.若以點C為圓心、R為半徑的圓與斜邊只有一個公

1B2.C

3.解：如圖，連接OR,OP,OQ.

".'PD=4cm,OD=3cm,且ODJ_1,

/.OP=^PD2+OD2=\%2+32=5{cm)=r.

.?.點P在。O上.

/QD=5cm,

..OQ=A/QD2+OD2=[52+32=A/34(CW)>5cm-r.

.?.點Q在OO外.

'.'RD=3cm,

..OR=^/RD2+OD2=^32+32=3/(。加)<5cm=r.

???點R在。O內(nèi).

4.B

5.解：直線BD與。C相交.理由如下：

.../ACB=90。，ZA=30°,

AB=2BC=8cm.

.-.AC=\/AB2-BC2=4A/3cm.

由三角形的面積公式得3ACBC=3AB-CD,

,CD=AC-BC=2^cffl

AB

C/M<4cm,

直線BD與OC相交.

6.解：本題應分兩種情況討論.一種情況是：如圖①，以C為圓心、R為半徑的圓與斜邊AB相切，過點

C作CDLAB于點D,則CD=R.由勾股定理得AB=YXHTB曰=々式矛=5.由三角形的面積公式,，得

SAABC=;ACBC=^CDAB,解得R=CD=空警=等=2.4.另一種情況是：如圖②，點A在圓內(nèi)，以點

22AB5

C為.圓心，R為半徑的-圓與斜邊AB相交于一點，那么R應滿足ACVRWBC,即3<RW4.

綜上所述，R的取值范圍為R=2.4或3vRS4.

技巧2:切線的判定和性質的四種應用類型

類型一：應用于求線段的長

1.如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的與邊BC,AC分別交于D,E兩點，過點D作DF^AC,

垂足為點F.

(1)求證：DF是的切線；

(2)若AE=4,cosA=：求DF的長.

類型二：應用于求三角函數(shù)值

2.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AEJ_BC于E,/ADC的平分線交AE于點0,以點。為圓心,

0A為半徑的圓經(jīng)過點B,交BC于另一點F.

(1)求證：CD與。0相切；

(2)若BF=24,0E=5,求ABC的值.

類型三：應用于求圓的半徑

3.如圖，已知AB為。0的直徑，AD,BD是。0的弦，BC是。0的切線，切點為B,0C//AD,BA,

CD的延長線相交于點E.

(1)求證」DC是。0的切線；

(2)若AE=1,ED=3,求。0的半徑.

類型四：應用于求圖形的面積

4.如圖，AB為。。的直徑，D為R的中點，連接0D交弦AC于點F,過點D作DE//AC,交BA的延

長線于點E.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)連接CD,若0A=AE=4,求四.邊形ACDE的面積.

'—J(第4題)

答案

L(1)證明：如圖，連接0D,作OGLAC于點G.

a

吳一廣C(第1題)

,.OB=OD,

/.ZODB=ZB,

又「AB=AC,

??.NC=ZB,

.\ZODB=ZC,

.,.OD//AC.

\DF1AC,

/.ZDFC=90°,

NQDF=ZDFC=90°,

??.DF是。O的切線.

(2)解：/OGIAE,.-.AG=jAE=2,

OA

AG2

/.OA=^^-=-=5.

cosA4

5

.-.OG=-^OA2-AG2=西.

■1-zODF=zDFG=zOGF=90°,

二四邊形OGFD為矩形,

，DF=OG=a

2.(1)證明：過點。作OGLDC,垂足為G,如圖所示.

2⑴題］

?.AD//BC,AE_LBC于E,/.OAXAD.

ZOAD=ZOGD=90°.

ZOAD=ZOGD,

在AADO和AGDO中，./ADO=/GDO,

OD=OD,

.-.△ADO^AGDO.

.-.OA=OG.

;.CD與。O相切..

(2)解：如圖，連接OF.

?.OA1BC,

.■.BE=EJ7=-BF=12.

2

在尺/ZiOEF中，OE=5,EF=12,

.■.OF=^OE2+EF2=13.

，AE=OA+OE=13+5=18.

AFa

：.tanAABC=^=~.

BE2

3.(1)證明：如圖，連接DO.

-/AD//OC,

ZDAO=ZCOB,ZADO=ZCOD.

X/OA=OD,

/DAO=/ADO.

/.ZCOD=ZCOB.

在△COD和△COB中,

..OD=OB,ZCOD=ZCOB,OC=OC,

」.△COD組△COB(&4?.

ZCDO=ZCBO.

.「BC是。O的切線,

/.ZCBO.=90°.

..ZCDO=90°.

「?CD是OO的切線.

⑵解：設。。的半徑為r,

貝(JOD=r,OE=r+l,

「CD是。。的切線,

/.ZEDO=90°.

/.ED2+OD2=OE2.

.,.32+r2=(r+I)2.

解得r=4.

.??。0的半徑為4.

4.(1)證明：:D為R的中點,

/.0D1AC.

/AC//DE,

/.0D1DE.

：DE是。O的切線.

(2)解：加圖，

???D為R的中點，

...AF=CF,

??.F為OD的中點，即OF=FD,

AF=CF,

在△AFO和4CFD中，?/AFO=/CFD,

OF=DF,

「.△AFO組△CFDB/S).

.*?SAAFO=SACFD.

??S四辿形ACDE=S/^ODE.

在用AODE中，OD=OA=AE=4,

，OE=8,

..DE=\jOE2-OD2=4也

S四邊形ACDE=SAODE=^xODxDE=^><4x4^3=8y(3.

技巧3:圓中常用的作輔助線的八種方法

類型一：作半徑，巧用同圓的半徑相等

1.如圖，兩正方形彼此相鄰，且大正方形ABCD的頂點A,D在半圓。上，頂點B,C在半圓0的直徑

上；小正方形BEFG的頂點F在半圓O上，E點在半圓0的直徑上，點G在大正方形的邊AB上.若小正

方形的邊長為4c機，求該半圓的半徑.

（第1題）

類型二：連接圓上兩點，巧用同弧所對的圓周角相等

2.如圖，圓內(nèi)接三角形ABC的外角/ACM的平分線與圓交于D點，DPLAC,垂足是P,DH1BM,垂

足為H.求證：AP=BH.

（第2題）

類型三：作直徑，巧用直徑所對的圓周角是直角

3.如圖，。。的半徑為R,弦AB,CD互相垂直，連接AD,BC.

⑴求證：AD2+BC2=4R2；

（2）若弦AD,BC的長是方程x2-6x+5=0的兩個根（AD>BC）,求。0的半徑及點0到AD的距離.

（第3題）

類型四：證切線時輔助線作法的應用

4.如圖，AABC內(nèi)接于。0,CA=CB,CD//AB且與0A的延長線交于點D.判斷CD與。0的位置關系,

并說明理由.

c

（第4題）

類型五：遇弦加弦心距或半徑

5.如圖，在半徑為5的。。中，AB,CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P,且AB=CD=8,則OP的長為

()

A.3B.4C.3也D.4^2

o

第5題)

、一,(第6題)

6.如圖，AB是。0的弦，OHLAB于點H,點P是優(yōu)弧上一點，若AB==23,OH=1,則/APB=________.

類型六：遇直徑巧加直徑所對的圓周角

7.如圖，在AABC中，AB=BC=2,以AB為直徑的。0分別交BC,AC于點D,E,且點D是BC的中

八占、、?

(1)求證：AABC為等邊三角形；

(2)求DE的長.

0\

百~々0(第7題)

類型七：遇切線巧作過切點的半徑

8.如圖，。0是氐AABC的外接圓，/ABC=90。，點P是圓外一點,PA切。0于點A,且PA=PB.

(1)求證：PB是OO的切線；

(2)已知PA=3,ZACB=60°,求。。的半徑.

C、一^,B(第8題)

類型八：巧添輔助線計算陰影部分的面積

9.如圖，點B,C,D都在。。上，過點C作AC//BD交0B的延長線于點A,連接CD,且NCDB=/OBD

=30°,DB=6A/5cm.

（1）求證：AC是。。的切線；

（2）求由弦CD,BD與重所圍成的陰影部分的面積（結果保留初

C4

、一/（第9題）

答案

1解：如圖，連接OA,OF.設OA=OF=rcw,AI3=acm.

Dr——

一。A"

C。BE（第1題）

伴

在R/zXOAB中，於=31+a2,

。+鄧

在放/XOEF中，d=42+I2J,

fl2分2

/.-+a2=16+16+4a+—.

44

解得ai=8,a2=-4（舍去）.

件

.r2=UJ+82=80.

.,.ri=4^/5,「2=-43（舍去）.

即該半圓的半徑為4七c九

點撥：在有關圓的計算題中，求角度或邊長時,常連接半徑構造等腰三角形或直角三角形，利用特殊

三角形的性質來解決問題.

2.證明：如圖，連接AD,BD.

匚D/"

代二^（第2題）

■.ZDAC,NDBC都是位所對的圓周角.

ZDAC=ZDBC.

.CD平分/ACM,DPIAC,DHJ_CM,

/.DP=DH.

在AADP和△BDH中，

ZDAP=ZDBH,

?ZDPA=ZDHB=90°,

DP=DH.

/.AADP^ABDH./.AP=BH.

點撥：本題通過作輔助線構造圓周角，然后利用“同弧所對的圓周角相等''得到NDAC=/DBC,為證

兩三角形全等創(chuàng)造了條件.

3.(1)證明：如圖，過點D作。0的直徑DE,連接AE,EC,AC.

〈DE是。0的直徑，

/.ZECD=ZEAD=90°.

X/CD1AB,./.EC//AB.

ZBAC=ZACE.

.,反=@.「.BC=AE.

在放△AED中,AD2+AE2=DE2,

/.AD2+BC2=4R2.

(2)解：如圖，過點。作OFLAD于點F「.?弦AD,BC的長是方程x?-6x+5=0的兩個根(AD>BC),

「.AD=5,BC=1.

由⑴知，AD2+BC2=4R2,

/.52+I2=4R2.R='m.

2

?/ZEAD=90°,OF1AD,/.OF//EA.

又「O為DE的中點，.?.OF=；AE=；BC=；,即點O到AD的距離為:

點撥：本題作出直徑DE,利用“直徑所對的圓周角是直角”構造了兩.個直角三角形，給解題帶來了方便.

4.解：CD與。0相切，理由如下：如圖，作。0的直徑CE,連接AE.

..(￡是。0的直徑，；./￡人?=90。.

ZE+ZACE=90°.

?.CA=CB,.'.ZB=ZCAB.

-/AB//CD,

ZACD=ZCAB...ZB=ZACD.

又,.?/B=/E,.'.ZACD=ZE.

ZACE+ZACD=90°,即OC_LDC.

又「OC為。0的半徑，；.CD與。0相切.

5.C6.60°

(第7題)

7.(1)證明：如圖，連接AD,

「AB是。。的直徑，

ZADB=90°.

?.?點D是BC的中點，

??.AD是線段BC的垂直平分線.

.-.AB=AC.

X-.AB=BC,.

.-.AB=BC=AC.

.?.△ABC為等邊三角形.

(2)解：如圖，連接BE.rAB是。。的直徑,

ZAEB=90°..-.BEXAC.

??■△ABC是等邊三角形，

，AE=EC,即E為AC的中點.

又「D是BC的中點，故DE為AABC的中位線.

.-.DE=-AB=-X2=1.

22

8.(1)證明：如圖，連接OB,-.OA=OB,

ZOAB=ZOBA.

?.PA=PB,

ZPAB=ZPBA.

ZOAB+ZPAB=ZOBA+ZPBA,

即NPAO=NPBO.

又1PA是。。的切線，PAO=90。.

ZPBO=90°..,.OB±PB.

又「OB是。0的半徑，

，PB是。。的切線.

(2)解：如圖，連接OP,

?.PA=PB,

???點P在線段AB的垂直平分線上.

?.OA=OB,

.??點O在線段AB的垂直平分線上.

.〔OP為線段AB的垂直平分線.

X-.BCIAB,

POIIBC..".ZAOP=.ZACB=60°.

由(1)知NPAO=90。.

ZAPO=30°..-.PO=2AO.

?在&△APO中，AO2+PA2=PO2,

.-.AO2+3=(2AO)2.

X-.AO>0,

.-.A0=1.

.1?OO的半徑為1.

（第9題）

9.（1）證明：如圖，連接CO,交DB于點E,.?./O=2/CDB=60。.

又ZOBE=30°,

ZBEO=180°-60°-30°=90°.

?.AC//BD,

ZACO=ZBEO=90°,BPOCXAC.

又...點C在。。上，

，AC是OO的切線.

⑵解:/OEIDB,

/.EB=^DB=3^/5cm.

2

在放Z\EOB中，/ZOBE=30°,

/.OE=-OB.

2

.EB=3A/5cm,

由勾股定理可求得OB=6cm.

/ZCDB=ZDBO,.DE=BE,NCED=/OEB,

ACDE^AOBE./.SACDE=SAOBE.

；S陰影=S扇形COB=黑加七2=6萬（。加2）

Jou

【題型講解】

【題型】一、判斷點與圓的位置關系

例1、若。/的半徑為5,圓心工的坐標是（1,2）,點尸的坐標是（5,2）,那么點尸的位置為（）

A.在04內(nèi)B.在04上C.在。/夕卜D.不能確定

【提示】先根據(jù)兩點間的距離公式計算出PA的長，然后比較PA與半徑的大小，再根據(jù)點與圓的關系的判

定方法進行判斷.

【詳解】,圓心A的坐標是（1,2）,點P的坐標是（5,2）,

AP=7（5-1）2+（2-2）2=4<5,

.,.點P在OA內(nèi)，

故選A.

例2、已知。。的半徑為5,若P0=4,則點尸與。。的位置關系是（）

A.點P在。。內(nèi)B.點P在。。上C.點尸在。。外D.無法判斷

【答案】A

【提示】已知圓0的半徑為r,點P到圓心0的距離是d,①當r>d時，點P在。0內(nèi)，②當r=d時，點P

在OO上，③當r<d時，點P在。O外，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可.

【詳解】：。。的半徑為5,若尸。=4,

??4v5,

.?.點P與。。的位置關系是點P在。O內(nèi)，

故選：A.

【題型】二、三角形外接圓的相關計算

例3、有一題目：“已知；點。為AA5C的外心，ZSOC=130°,求NN.”嘉嘉的解答為：畫AA5C以及

它的外接圓。，連接05,OC,如圖.由/8。。=2乙4=130。，得乙4=65°.而淇淇說：“嘉嘉考慮

的不周全，NZ還應有另一個不同的值.”，下列判斷正確的是（）

A.淇淇說的對，且乙4的另一個值是115。

B.淇淇說的不對，NN就得65。

C.嘉嘉求的結果不對，NN應得50。

D.兩人都不對，NN應有3個不同值

【答案】A

【提示】直接利用圓內(nèi)接四邊形的性質結合圓周角定理得出答案.

【詳解】

解：如圖所示：

-1?ZBOC=130o,

ZA=65°,

NA還應有另一個不同的值/A，與NA互補.

故NA'=180°-65°=115。.

故選：A.

例4、過三點M(2,2),B(6,2),C(4,5)的圓的圓心坐標為()

rr

A.(4,—)B.(4,3)C.(5,—)D.(5,3)

66

【答案】A

【提示】根據(jù)題意，可知線段AB的線段垂直平分線為x=4,然后由C點的坐標可求得圓心的橫坐標為x=4,

然后設圓的半徑為r,則根據(jù)勾股定理可求解.

【詳解】

設圓的半徑為r,則根據(jù)勾股定理可知：

13

r2=22+(5-2-r)2,解得『二，

6

1317

因此圓心的縱坐標為5―=一，

66

17

因此圓心的坐標為(4,一).

6

故選A

【題型】三、確定圓的條件

例5、如圖，PA、必為OO的切線，切點分別為A、B,P0交N3于點C,的延長線交OO于點D.下

列結論不一定成立的是()

A.ABP/為等腰三角形B.48與尸。相互垂直平分

C.點A、B都在以R9為直徑的圓上D.PC為的邊48上的中線

【答案】B

【提示】

連接OB,0C,令M為OP中點，連接MA,MB,RtAOPB^RtAOPA,可得BP=AP,ZOPB=/OPA,

ZBOC=ZAOC,可推出△8PN為等腰三角形，可判斷A；根據(jù)4OBP與4OAP為直角三角形，OP為斜邊,

可得PM=OM=BM=AM,可判斷C；證明△OBC%/XOAC,可得PC_LAB,根據(jù)ABPA為等腰三角形，可

判斷D；無法證明4B與尸。相互垂直平分，即可得出答案.

【詳解】

解：連接OB,OC,令M為0P中點，連接MA,MB,

■.B,C為切點，

ZOBP=ZOAP=90°,

■,OA=OB,OP=OP,

/.RtAOPB^RtAOPA,

.".BP=AP,ZOPB=ZOPA,ZBOC=ZAOC,

.??△2P/為等腰三角形，故A正確；

?.?△OBP與AOAP為直角三角形，OP為斜邊，

.".PM=OM=BM=AM

.?.點A、B都在以R9為直徑的圓上，故C正確;

?.ZBOC=ZAOC,OB=OA,OC=OC,

.-.△OBC^AOAC,

ZOCB=ZOCA=90°,

.".PCIAB,

?「△BPA為等腰三角形，

為△8P4的邊43上的中線，故D正確；

無法證明AB與PD相互垂直平分，

故選：B.

例6、如圖，已知尸4必是。。的兩條切線，A,2為切點，線段0P交。。于點給出下列四種說法:

①PA=PB；②OP14B；③四邊形。4Ps有外接圓；④〃是外接圓的圓心，其中正確說法的個

B

A.1B.2C,3D,4

【答案】C

【提示】由切線長定理判斷①，結合等腰三角形的性質判斷②，利用切線的性質與直角三角形的斜邊上的

中線等于斜邊的一半，判斷③，利用反證法判斷④.

【詳解】

解：如圖，7尸4可是的兩條切線，

:.PA=PB,ZAPO=乙BPO,故①正確，

'：PA=PB,ZAPO=ABPO,

POiAB,故②正確，

尸4可是。。的兩條切線，

NOAP=ZOBP=90°,

取0P的中點。，連接

則20=；0尸=50,

所以：以。為圓心，勿為半徑作圓，則氏0,P,4共圓，故③正確,

M是外接圓的圓心，

：.MO=MA=MP=AO,

AAOM=60°,

與題干提供的條件不符，故④錯誤,

綜上：正確的說法是3個，

故選C.

【題型】四、判斷直線與圓的位置關系

4

例7、如圖，R"BC中,ZC=90°,AB=5,cosA=~,以點2為圓心，廠為半徑作03,當廠=3

時，08與ZC的位置關系是（）

B.相切C.相交D.無法確定

【答案】B

4

【提示】根據(jù)比AA8C中，ZC=90°,cosA^-,求出AC的值，再根據(jù)勾股定理求出BC的值，比

較BC與半徑r的大小，即可得出QB與AC的位置關系.

【詳解】

4

解：；R~BC中,ZC=90°,cosA=-,

AC4

.,.cosA=------=—

AB5

VAB=5,

.-.AC=4

■■^C=ylBC2-AC~=3

當r=3時，與/C的位置關系是：相切

故選：B

【題型】五、利用切線的性質定理進行計算

例8、如圖，48是。。的弦，4C與。。相切于點4連接。4,OB,若/。=130。，則的度數(shù)是

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】B

【提示】利用切線的性質及等腰三角形的性質求出/O/C及NO/8即可解決問題.

【詳解】解：?.ZC與。。相切于點4

:.AC_LOA,

：.AOAC=90°,

:OA=OB,

:.AOAB=AOBA.

：/O=130°,

：.ABAC=AOAC-/045=90?！?5。=65°.

故選:B.

例9、如圖，AB是。。的切線，4切點，連接OA,OB,若NB=2。。,則N/QB的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【提示】根據(jù)切線的性質可得N0L45=90°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出NAOB.

【詳解】?「AB是。。的切線

AOAB=90°

4B=20°

ZAOB=180°-ZOAB-Z5=70°

故選D.

例10、如圖，。。是等邊的內(nèi)切圓，分別切/及BC,/C于點及F,D,P是方不上一點，貝IJ/EPF

的度數(shù)是（）

A.65°B.60°C.58°D.50°

【答案】B

【提示】連接OE,OF,求出/EOF的度數(shù)即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接OE,OF.

???。0是AABC的內(nèi)切圓，E,F是切點，

.".OE1AB,OF1BC,

ZOEB=ZOFB=90°,

???AABC是等邊三角形，

ZB=60°,

ZEOF=120°,

ZEPF=yZEOF=60°,

故選：B.

例H、如圖，△ABC內(nèi)接于圓，ZACB=90°,過點。的切線交N5的延長線于點RZP=28°,則

/CAB=()

A.62°B,31°C,28°D,56°

【答案】B

【提示】連接OC,根據(jù)切線的性質得出NOCP=90。，再由NP=28。得出NCOP,最后根據(jù)外角的性質得出

ZCAB.

【詳解】解：連接OC,

??,CP與圓O相切，

.-.OC1CP,

?.ZACB=90°,

.'.AB為直徑，

?../P=28°,

ZCOP=180°-90o-28o=62°,

而OC=OA,

OCA=ZOAC=2ZCAB=ZCOP,

即NCAB=31。,

故選B.

例12、如圖，尸4可分別與OO相切于48兩點，ZP=72°,則NC=()

A.108°B.72°C.54°D.36°

【答案】C

【提示】

連接OA、OB,根據(jù)切線的性質定理，結合四邊形AOBP的內(nèi)角和為360。，即可推出/AOB的度數(shù)，然后

根據(jù)圓周角定理，即可推出NC的度數(shù).

【詳解】

解：連接OA、OB,

,直線PA、PB分別與。0相切于點A、B,

.'.OA1PA,OB1PB,

..?/P=72°,

ZAOB=108°,

,；C是。。上一點，

ZACB=54°.

故選：C.

【題型】六、切線性質與判定的綜合

例13、如圖，48為OO的直徑，點。是。。上一點，CD與。。相切于點C,過點/作4DLDC,連接/C,

BC.

(1)求證：/C是ND48的角平分線;

(2)若/。=2,AB=3,求NC的長.

D

【答案】(1)見解析；(2)V6

【提示】

(1)連接OC,根據(jù)切線的性質可得NOCD=90。，再根據(jù)和半徑線段即可證明/C是ND43的

角平分線；

(2)利用圓周角定理得到N/C3=90。，再證明Rt^/DCsRt^NCB,對應邊成比例即可求出/C的長.

【詳解】

解：⑴證明：連接。C,如圖，

D

「CD與。。相切于點C,

ZOCD=90°,

：.AACD+^ACO=90°,

■：ADLDC,

：.AADC=90°,

：.AACD+^DAC=90°,

AACO=ADAC,

：OA=OC,

：.AOAC=AOCA,

ADAC=AOAC,

.?./C是的角平分線;

(2)?二48是。。的直徑，

ZT4C5=90O,

:"D=ZACB=90°,

■：ADAC=ABAC,

.?.Rt"DCsRtz\NC8,

ADAC

AC-AB'

:.AC2=AD?AB=2X3=6,

■.AC=V6

例14、如圖，在△ABC中，AB=AC,以48為直徑的OO與BC相交于點。，過點。作OO的切線交

ZC于點E.

(1)求證：DELAC；

(2)若。O的半徑為5,8。=16,求。E的長.

【答案】(1)見詳解；(2)4.8.

【提示】

(1)連接OD,由AB=AC,OB=OD,貝l]/B=/ODB=/C,則OD//AC,由DE為切線，即可得到結論成

立；

(2)連接AD,則有ADLBC,得到BD=CD=8,求出AD=6,利用三角形的面積公式，即可求出DE的長

度.

【詳解】

解：連接OD,如圖:

A

,.AB=AC,

.?.ZB=ZC,

,.OB=OD,

/.ZB=ZODB,

/.ZB=ZODB=ZC,

.-.OD//AC,

/DE是切線，

/.OD1DE,

?.AC_LDE；

(2)連接AD,如(1)圖，

:AB為直徑，AB=AC,

：AD是等腰三角形ABC的高，也是中線，

:.CD=BD=-BC=-X16=8,ZADC=90°,

22

「AB=AC=2x5=10,

由勾股定理，得：AD=7102-82=6,

VSMCD=1x8x6=1xl0xD^,

：?！?4.8；

【題型】七、利用切線長定理進行計算

例15、如圖，P為。。外一點，PA、PB分別切。。于A、B兩點，若尸4=3,貝1」尸3=()

A.2B.3C,4D,5

【答案】B

【提示】根據(jù)切線長定理即可得到答案.

【詳解】因為PA和PB與相切，根據(jù)切線長定理，所以PA=PB=3,故選B.

例16、如圖，PA、PB為圓0的切線，切點分別為A、B,P0交AB于點C,P0的延長線交圓0于點D,

下列結論不一定成立的是（）

A.PA=PBB.ZBPD=ZAPDC.AB±PDD.AB平分PD

【答案】D

【提示】先根據(jù)切線長定理得到PA=PB,ZAPD=ZBPD；再根據(jù)等腰三角形的性質得OPLAB,根據(jù)菱

形的性質，只有當AD//PB,BD-PA時，AB平分PD,由此可判斷D不一定成立.

【詳解】rPA,PB是OO的切線,

.-.PA=PB,所以A成立；

ZBPD=ZAPD,所以B成立；

-AB1PD,所以C成立；

■."PA,PB是OO的切線，

.'.ABXPD,且AC=BC,

只有當AD//PB,BD//PA時，AB平分PD,所以D不一定成立,

故選D.

【題型】八、三角形內(nèi)切圓的相關計算

例17、如圖，AABC的內(nèi)切圓OO與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F,且AB=5,BC=13,CA=

12,則陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是（)

A.4B.6.25C.7.5D.9

【提示】先利用勾股定理判斷AABC為直角三角形，且NBAC=90。，繼而證明四邊形AEOF為正方形，設

OO的半徑為r,利用面積法求出r的值即可求得答案.

【詳解】:AB=5,BC=13,CA=12,

.-.AB2+AC2=BC2,

.1△ABC為直角三角形，且NBAC=90。，

?「OO為AABC內(nèi)切圓，

ZAFO=ZAEO=90°,且AE=AF,

，四邊形AEOF為正方形，

設。0的半徑為r,

.".OE=OF=r,

S四邊形AEOF=T2,

連接AO,BO,CO,

=

SAABCSAAOB+SAAOC+SABOC,

:.+AC+BC)r=^AB-AC,

.*.r=2,

??S四邊形AEOF=r2=4,

故選A.

例18、如圖，ZU3C內(nèi)心為/,連接應并延長交AA8C的外接圓于。，則線段。/與。8的關系是（）

B

D

A.DI=DBB.DI>DBC.DI<DBD.不確定

【答案】A

【提示】

連接8/,如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質得N1=N2,Z5=Z6,再根據(jù)圓周角定理得到N3=N1,然后

利用三角形外角性質和角度的代換證明Z4=ZDBI,從而可判斷。/=.

【詳解】

連接3/,如圖，

D

內(nèi)心為/,

Zl=Z2,Z5=Z6,

</Z3=Z1,

Z3=Z2,

,.,Z4=Z2+Z6=Z3+Z5.

即N4=ZDBI,

:.DI=DB.

故選A.

【題型】九、圓內(nèi)接四邊形的相關計算

例19、如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于。0,AB=CD,/為訪中點，ZBDC=60°,則N/D8等于（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【提示】

根據(jù)48=CD,/為訪中點求出NCBD=NADB=NABD,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質得到

ZABC+ZADC=180°,即可求出答案.

【詳解】

/為防中點，

-AB=AD^

：.ZADB=ZABD,AB=AD,

.AB=CD,

ZCBD=ZADB=ZABD,

,四邊形/BCD內(nèi)接于。O,

ZABC+ZADC=180°,

.?.3ZADB+60o=180°,

乙4DB=40。,

故選：A.

例20、如圖，48為O。的直徑，點C,點。是。。上的兩點，連接C4,CD,AD.若/CAB=40。，則//OC

【答案】B

【提示】

連接8C,如圖，利用圓周角定理得到N/C8=90。，則NB=50。，然后利用圓的內(nèi)接四邊形的性質求NADC

的度數(shù).

【詳解】

解：如圖，連接2C,

D

為。。的直徑,

：.AACB=90°i

:.AB=90°-ZCAB=90°-40°=50°,

,//B+/ADC=180°,

/./ADC=180°-50°=130°.

故選：B.

例21、如圖，已知四邊形/BCD內(nèi)接于。。，/ABC=7。。,則/4D。的度數(shù)是（)

A.70°B.110°C,130°D,140°

【答案】B

【提示】

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補計算即可.

【詳解】

?.?四邊形Z5CZ）內(nèi)接于。。，Z^C=70°,

/.N4ZXM80。-/450180。-70°=110°,

故選：B.

【題型】十、判斷圓與圓的位置關系

例22、已知OA與OB外切，0c與。A、OB都內(nèi)切，且AB=5,AC=6,BC=7,那么。C的半徑長是

)

A.11B.10C.9D.8

【提示】

通過外切、內(nèi)切的性質，列出方程組求解.

【詳解】

設。A的半徑為X,OB的半徑為Y,OC的半徑為Z.

'X+Y=5fZ=9

?Z—X=6解得?X=3

z-r=7[r=2

故選c

例23、如果兩個圓的圓心距為3,其中一個圓的半徑長為4,另一個圓的半徑長大于1,那么這兩個圓的位

置關系不可能是（）

A.內(nèi)含B.內(nèi)切C.外切D.相交

【答案】C

【提示】

首先利用一個圓的半徑為4,另一個圓的半徑大于1來求得兩圓的半徑之差的范圍，然后根據(jù)圓心距d與兩

半徑的關系判斷即可.

【詳解】

解：?.,一個圓的半徑7?為4,另一個圓的半徑r大于1,

.'.R-r<4-1,R+r>5

即：R-r<3,

,圓心距為3,

：兩圓不可能外切，

故選：C.

與圓有關的位置關系（達標訓練）

一、單選題

1.圖，在平面直角坐標系中，以河（3,5）為圓心，48為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于4C兩點,

則tan//CM的值是（）

【答案】C

【分析】設切點為D,連接MD,過點C作CELMD于點E,可知兒軸，從而ACIIMD,AACM=ACME,

根據(jù)M的坐標求出ME的長，利用正切的定義進行計算即可.

【詳解】圖，設切點為。，連接過點。作CELMD于點及

軸,

:.ACHMD,

：.AACM=ACME,

■：M(3,5)即〃D=A/C=5,0D=CE=3,

ME=y]MC2-CE2=,52-32=4,

CF3

tanAACM=tanACME

ME4

故選：C.

【點睛】本題考查了切線的性質，圓的性質，勾股定理及解直角三角形，熟練掌握切線的性質是解題的關

鍵.

2.如圖，已知。。上三點4B、C,連接A8、AC,OB、OC,切線8。交。C的延長線于點D,NN=25。,

則/。的度數(shù)為（）

A

A.20°B,30°C,40°D,50°

【答案】C

【分析】根據(jù)切線的性質得/。8。=90。，再根據(jù)圓周角定理得到/6OC=50。，然后利用互余計算出的

度數(shù).

【詳解】解：1力。為切線，

：.OBLBD,

:.AOBD=90°,

■：ZBOC=2Z^=2x25°=50°,

ZZ）=90°-Z50￡>=90°-50°=40°.

故選：C.

【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了圓周角定理.

3.如圖，的內(nèi)接四邊形4BCD中，ZD=50°,則為（）

A.140°B,130°C,120°D,100°

【答案】B

【分析】直接利用圓內(nèi)接四邊形的性質求解.

【詳解】解：?.?四邊形/BCD為O。的內(nèi)接四邊形，

ZS+ZD=180°,

AD=50°,

Z5=180°-ZZ）=180o-50o=130o.

故選：B.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質.掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵.

4.如圖，四邊形N8CD是。。的內(nèi)接四邊形，點E為邊CD上任意一點（不與點C,點。重合），連接AB,

若//=60。，則即的度數(shù)可以是（）.

A.110°B,115°C,120°D,125°

【答案】D

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，可求出NC的度數(shù)，然后利用三角形的外角可得即可

解答.

【詳解】解：,??四邊形/BCD是。。的內(nèi)接四邊形，

Z^+ZC=180°,

ZA=60°,

ZC=180°-ZA=120°,

ADEB是△￡）色的一個外角，

ADEB>AC,

二/?！?的度數(shù)可能是：125。，

故選：D.

【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補是解題的關鍵.

5.如圖，。。的直徑N8與弦/C的夾角為25。，過點C的切線PC與4B的延長線交于尸，則N尸的度數(shù)為

（）°，

A

A.25B.30C.35D.40

【答案】D

【分析】連接。C,證明NOC尸=90。，利用NC4尸=25。，求出NCOP=50。，即可求出NP=90。-50。=