2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之題型全歸納解三角形(解析版)

解三角形

【專題目錄】

技巧1：解直角三角形的五種常見類型

技巧2：求銳角三角函數(shù)值的常用方法

技巧3:“化斜為直”構(gòu)造直角三角形的方法

技巧4：構(gòu)造三角函數(shù)基本圖形解實(shí)際問題的四種數(shù)學(xué)模型

【題型】一、銳角三角函數(shù)的定義

【題型】二、利用正弦的相關(guān)知識(shí)求解

【題型】三、利用余弦的相關(guān)知識(shí)求解

【題型】四、利用正切的相關(guān)知識(shí)求解

【題型】五、特殊角的三角函數(shù)值

【題型】六、解直角三角形

【題型】七、利用解直角三角形解決實(shí)際問題

【考綱要求】

1、理解銳角三角函數(shù)的定義，會(huì)運(yùn)用銳角三角函數(shù)解直角三角形.

2,掌握特殊銳角（30。，45°,60。）的三角函數(shù)值，并會(huì)進(jìn)行計(jì)算.

3、了解直角三角形的定義，掌握邊角之間的關(guān)系，并能進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.

4.利用解直角三角形的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

【考點(diǎn)總結(jié)】一、銳角三角形函數(shù)與解直角三角形

在RtAABC中，NC為直角，則NA的銳角三角函數(shù)為（/A可換成NB）

\

定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系

正

..乙4的對(duì)邊0<sin^4<1

sinA=-----------s-in/=@sin4=cos5

弦斜邊c（/A為銳角）

銳角三角函數(shù)cosA-sin5

余

,乙4的鄰邊,b0<cosA<1

cosA=-----c-o--s--A-----sin2A+cos2A=1

弦斜邊c（/A為銳角）

,1//的對(duì)邊,a

正tanA=---------....—tanA--tanA>0

NA的鄰邊b

切(NA為銳角)

銳

角

角

、是在直角三角形中定義的，是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角

形l.sinAcosANA

形)。

函

2.sinA、cosA是一個(gè)比值(數(shù)值，無單位)。

數(shù)3.sinA、cosA的大小只與NA的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長(zhǎng)無關(guān)。

與三角函數(shù)30°45°60°

j_

解sina正

特殊角的三角函T2~T

直數(shù)值COS<7

~2~~2

角tana.1V3

在Rta/BC中，ZC=90°,NA,AB,/C的對(duì)邊分別為a,b,C.

(1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；

角(2)銳角之間的關(guān)系：N4+NB=90。；

直角三角形的邊

(3)邊角之間的關(guān)系：

形

角關(guān)系..a,b,a

sinA=-,cosA=-,tanA

ccb

,bDa,口b

sinBD=~,cosB=—,tanB=—.

ca

(1)已知一條直角邊和一個(gè)銳角(如。，//),

其解法為：/2=90。-/4c=+6=;（或6=^^）；

smAtanA

解直角三角形的(2)已知斜邊和一個(gè)銳角(如c,//),

幾種類型及解法其解法為：AB=90°-AA,a=c-smA,b=c-cosb=\jc2-a2）；

(3)已知兩直角邊a,b,

其解法為：c=\]a2+b2,

由tan/=F，得N4/8=90。-/4

b

(4)已知斜邊和一直角邊(如c,a),

其解法為：b=yjc2-a2,由sin/=@,求出NN,NB=90。-NA.

c

【考點(diǎn)總結(jié)】二、解直角三角形的應(yīng)用

、人低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角；當(dāng)從高處

XKi則低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為俯角.

仰角與俯角q

解直k

g

角三

角形克角是坡面與水平面所成的角；坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度（或

史比），常用，?表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡.

的應(yīng)

用tuna

坡角與坡度?\

/

城角

—/

【技巧歸納】

技巧1:解直角三角形的五種常見類型

【類型】一、已知兩直角邊解直角三角形

1.如圖，在比AABC中，ZC=90°,a,b,c分別為NA,ZB,NC的對(duì)邊，a=20b=6,解這個(gè)直

角三角形.

【類型】二、已知一直角邊和斜邊解直角三角形

2.如圖，ZACB=90°,AB=13,AC=12,ZBCM=ZBAC,求s加上BAC的值和點(diǎn)B到直線MC的距

離.

'A

MC

【類型】三.已知一直角邊和一銳角解直角三角形

3.如圖，在△ABC中，ZB=90°,ZC=30°,AB=3.

⑴求AC的長(zhǎng);

⑵求BC的長(zhǎng).

【類型】四、已知斜邊和一銳角解直角三角形

4.如圖，在R/^ABC中，ZC=90°,ZB=45°,a,b,c分別為NA,ZB,NC的對(duì)邊，c=10,解這個(gè)

【類型】五、已知非直角三角形中的邊（或角或三角函數(shù)值）解直角三角形

題型L化斜三角形為直角三角形問題（化斜為直法）

5.如圖，在aABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DCLAC,且3NBCD=：,求NA的三角函數(shù)值.

C

ADB

題型2：化解四邊形問題為解直角三角形問題

6.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)E,一/BAC=90。，NCED=45。，/DCE=30。，DE

=/，BE=2/.求CD的長(zhǎng)和四邊形ABCD的面積.

題型3：化解方程問題為解直角三角形問題

7.已知a,b,c分別是AABC中NA,ZB,NC的對(duì)邊，關(guān)于x的一元二次方程a(l-x?)+2bx+c(l+x?)

=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且3c=a+3b.

⑴判斷4ABC的形狀；

⑵求sinA+sinB的值.

參考答案

1.解：，：a=2出,b=6,

Hi兒也,ZA=30°..-.ZB=60°.

b63

2,解：:AB=13,AC=12,ZACB=90°,

.-.BC=^AB2-AC2=A/169-144=亞5.

:.sinZBAC=-=上.過點(diǎn)B作BDJ_MC于點(diǎn)D.

AB13

設(shè)點(diǎn)B到直線MC的距離為d,則BD=d.

ZBCM=ZBAC,sinZBAC=sinZBCM.

.".sinZBCM=-^~-5,

BC13

即點(diǎn)B到直線MC的距離為

3.解：(1)由題意知s%C=學(xué)，即==￡二，則AC=6.

AR,即也==L,則BC=34j.

(2)由題意知tanC=——

BC;3BC

4.解:-.ZB=45°,ZC=90°,c=10,

：.ZA=45°,a=b=5也.

5.解：如圖，過點(diǎn)D作CD的垂線交BC于點(diǎn)E.

在放4CDE中，

ir)F

■：tanZBCD=1=^,；.可設(shè)DE=x,貝l」CD=3x.

?/CDIAC,.'.DE//AC.

又?.?點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，二點(diǎn)E為BC的中點(diǎn).

.-.DE=-AC.

2

.-.AC=2DE=2x.

在知4ACD中，ZACD=90°,AC=2x,CD=3x,

.-.AD=AJAC2+CD2=44x2+9x2=標(biāo)

ACD3x3T3

A-AD-后X-13

AD413X13

3A=或3x3

AC2x2

方法技巧：本題中出現(xiàn)了打〃/BCD=；,由于NBCD所在的三角形并非直角三角形，因此應(yīng)用正切的

定義，構(gòu)造出一個(gè)與之相關(guān)的直角三角形進(jìn)行求解.

6.解：如圖，過點(diǎn)D作DHLAC于點(diǎn)H.

AD

'：ZCED=45°,DH_LEC,DE=/,

/.EH=DEcos45。=業(yè)也=1.

2

，DH=1.

又,."DCE=30。,

PH

/.HCCD==2.

sin30°

?/ZAEB=ZCED=45°,ZBAC=90°,BE=2也,

/.AB=AE=2.AC=AE+EH+HC=2+1+/=3+A/3.

「?S四邊形ABCD=；x2x(3+3)+；*1*(3+3)=31+9

方法技巧：題目中所給的有直角和30。，45。角，因此我們可以通過構(gòu)造另一個(gè)直角三角形，然后運(yùn)用

特殊角的三角函數(shù)值求出某些邊的長(zhǎng)，進(jìn)而求出四邊形的面積.

7.解：(1)將方程整理，得(c-a)x2+2bx+(a+c)=0,則

A=(2b)2-4(c-a)(a+c)=4(b2+a2-c2).

.?.方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，.??△=(),即b2+a2=c4

AABC為直角三角形.

(2)由3c=a+3b,得a=3c-3b.①

將①代入a2+b2=c2,得(3c-3b￥+b2=c2.

/.4c2-9bc+5b2=0,即(4c-5b)(c-b)=0.

4

由①可知，brc,4c=5b.b='c.②

將②代入①,得a=；c.

.,.在MaABC中，

.A.Dab347

sinA+sinB=—+—=—+—

cc555

點(diǎn)撥：解決本題的突破口是由一元二次方程根與判別式的關(guān)系得到一個(gè)關(guān)于a,b,c的等式.從解題

過程可以看出，求三角函數(shù)值時(shí)，只分析出直角三角形中三邊的比例關(guān)系即可求出其值.

技巧2：求銳角三角函數(shù)值的常用方法

【類型】一、直接用銳角三角函數(shù)的定義

1.如圖，在用AABC中，CD是斜邊AB上的中線，若CD=5,AC=6,

則tanB的值是()

T.

2.如圖，在AABC中，AD1BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan/BAD=7,求C的值.

3.如圖，直線y=$+：與X軸交于點(diǎn)A,與直線y=2x交于點(diǎn)B.求:

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo);

(2)5ZHZBAO的值.

【類型】二、利用同角或互余兩角三角函數(shù)間的關(guān)系

4,若/A為銳角，且S%A=5，則cosA的值為（）

A.1B也C也D.-

222

i7

5.若a為銳角，且cosa=三貝Us%（90。-a）的值為（）

B—

13吟

6,若a為銳角，且s加2a+co/BO。=1,貝!Ja=,

【類型】三、巧設(shè)參數(shù)

7.如圖，在放aABC中，ZB=90°,ZA=30°,以點(diǎn)A為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)D,分別以

點(diǎn)A,D為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E,連接AE,DE,則NEAD的余弦值是（）

礴432

【類型】四、利用等角來替換

8.如圖，已知在用ZXABC中，ZACB=90°,CD是斜邊AB的中線，過點(diǎn)A作AEJ_CD,AE分別與CD,

CB相交于點(diǎn)H,E且AH=2CH,求s而B的值.

參考答案

1.c

RD

2,解：/AD1BC,/.toZBAD=^.

AD

aaRD

'：tanZBAD=-,AD=12,：.-=^.：.BD=9.

4412

/.CD=BC-.BD=14-9=5.

二在山△ADC中，AC=A/AD2+CD2=122+52=13.

AC13

13

y=—x+一，

3.解：(1)解方程組22

y=2x.

x=1,

得

ly=2.

二點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2).

(2)如圖,過點(diǎn)B作BC，x軸于點(diǎn)C,則OC=1,BC=2.

ia

由QX+廣。，解得x=-3.

則A(-3,0)..'.OA=3..-.AC=4.

.-.AB="JAC2+BC2=2^5.

../nArBC22

…sinZBAG==-F=—

AB2455

即sin.ZBAO=

4.D5.B6.30°

7.B點(diǎn)撥：如圖,設(shè)BC=x.

在4△ABC中,ZB=90°,ZBAC=30°,

AB=\/3x.

根據(jù)題意，得AD=BC=x,AE=DE=AB=A/3X.

如圖，作EM_LAD于M,

則AM..=-AD=-x.

22

1

cosZEAD=-=Ala

AE岳6

故選A

8.解：「CD是斜邊AB的中線,

，CD=AD=BD.

/.ZDCB=ZB.

?/ZACD+ZDCB=90°,ZACD+ZCAH=90°,

/.ZDCB=/CAH=ZB.

在ACH中，AH=2CH,

廠CH

AC=A/5CH./.sinB=sinZCAH=~F=——.

勺5cH5

技巧3:“化斜為直”構(gòu)造直角三角形的方法

【類型】一、無直角、無等角的三角形作高

1.如圖，在aABC中，已知BC=l+3,ZB=60°,ZC=45°,求AB的長(zhǎng).

【類型】二、有直角、無三角形的圖形延長(zhǎng)某些邊

2.如圖，在四邊形ABCD中，AB=2,CD=1,ZA=60°,ZD=ZB=90°,求四邊形ABCD的面積.

【類型】三、有三角函數(shù)值不能直接利用時(shí)作垂線

3.如圖，在AABC中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DCLAC,sinZBCD=1,求A的值.

ADB

【類型】四、求非直角三角形中角的三角函數(shù)值時(shí)構(gòu)造直角三角形

4.如圖，在AABC中，AB=AC=5,BC=8.若NBPC=g/BAC,求加〃NBPC的值.

參考答案

1解：如圖，過點(diǎn)A作ADLBC,垂足為點(diǎn)D.

設(shè)BD=x,在尺f^AABD中，AD=BDtanB=x-tan60°=A/5X.

在氏4ACD中，,.?/C=45°,.

ZCAD=90°-ZC=45°.

ZC=zCAD.二CD=AD=岳.

?.BC=1+^3,.■.岳+x=l+?

解得x=l,即BD=1.

cosBcos60°

BD

2.解：如圖，延長(zhǎng)BC,AD交于點(diǎn)E.

?/ZA=60°,ZB=90°,.*.ZE=30°.

在用△ABE中，BE=

tanEtan30°

在7?ZACDE中，EC=2CD=2.,

/.DE=ECcos30°=2x2=

2

四邊形他-x

SABCD=SffiAABE-SffiAECD=^AB-BE-^CDED=]x2x21

2

點(diǎn)撥：本題看似是四邊形問題，但注意到NB=90。，ZA=60°,不難想到延長(zhǎng)BC,AD交于點(diǎn)E,構(gòu)

造出直角三角形，將所求問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決.

3.解：如圖，過點(diǎn)B作BELCD,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

?.?點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，.-.AD=DB.

又NACD=NBED=90。，ZADC=ZBDE,

AACD^ABED./.CD=DE,AC=BE.

RF1

在MZ\CBE中，sinZBCE=-=A,

BC3

.-.BC=3BE.

.".CE=AJBC2-BE2=2^2BE.

.-.CD=gcE=2BE=啦AC.

.,ACD@ACC

..tanA=----=--------=

ACAC

方法點(diǎn)撥：構(gòu)造直角三角形，把所要求的量與已知量建立關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.解：如圖，過點(diǎn)A作AE_LBC于點(diǎn)E,

ZBAE=-/BAC.

2

ZBPC=ZBAE.

在放ABAE中，由勾股定理得

AE=\/AB2-BE2=,_42=3,

BF4

tanZBPC=tanZBAE=—=一

AE3

技巧4：構(gòu)造三角函數(shù)基本圖形解實(shí)際問題的四種數(shù)學(xué)模型

【類型】一、構(gòu)造一個(gè)直角三角形解實(shí)際問題

1.如圖是一輛小汽車與墻平行停放的平面示意圖，汽車靠墻一側(cè)OB與墻MN平行且距離為0.8私已知

小汽車車門寬AO為1.2機(jī)，當(dāng)車門打開角度NAOB為40。時(shí)，車門是否會(huì)碰到墻？請(qǐng)說明理由(參考數(shù)據(jù):

sin40°=0.64,cos40°~0.77,tan40°=0.84).

【類型】二、構(gòu)造形如的兩個(gè)直角三角形解實(shí)際問題

2.黔東南州某校吳老師組織九(1)班同學(xué)開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，帶領(lǐng)同學(xué)們測(cè)量學(xué)校附近一電線桿的高.已知電線

桿直立于地面上，某天在太陽(yáng)光的照射下，電線桿的影子(折線BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D處

測(cè)得電線桿頂端A的仰角為30。，在C處測(cè)得電線桿頂端A的仰角為45。，斜坡與地面成60。角，CD=4私

請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求電線桿的高(AB)(結(jié)果精確到1%，參考數(shù)據(jù)：也句.4,3句.7).

A

【類型】三、構(gòu)造形如“NA”的兩個(gè)直角三角形解實(shí)際問題

3.如圖，學(xué)校的實(shí)驗(yàn)樓對(duì)面是一幢教學(xué)樓，小敏在實(shí)驗(yàn)樓的窗口＜2測(cè)得教學(xué)樓頂部D的仰角為18。，教學(xué)

樓底部B的俯角為20。，量得實(shí)驗(yàn)樓與教學(xué)樓之間的距離AB=30m.

(1)求/BCD的度數(shù).

⑵求教學(xué)樓的高BD(結(jié)果精確到0.1%,參考數(shù)據(jù)：320%0.36,tan18°~0.32).

【類型】四、構(gòu)造形如”的兩個(gè)直角三角形解實(shí)際問題

4.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量一棟五層居民樓CD的高度.該樓底層為車庫(kù)，高2.5〃?；上面五層居住,

每層高度相等.測(cè)角儀支架離地L5小，在A處測(cè)得五樓頂部點(diǎn)D的仰角為60。，在B處測(cè)得四樓頂部點(diǎn)E

的仰角為30。，AB=14m.求居民樓的高度（結(jié)果精確到0.1小，參考數(shù)據(jù)：每1.73）.

D

□、

□

□M

60。入43涓八

~C,

2.5mI-I-1.5m

CAB

參考答案

1解：如圖，過點(diǎn)A作AC,OB,垂足為點(diǎn)C,

在加△ACO中，ZAOC=40°,AO=1.2m,

/.AC=AOsinZAOC~0.64x1,2=0.768(加).

?.?汽車靠墻一側(cè)OB與墻MN.平行且距離為0.8m,

車門不會(huì)碰到墻.

2.解：延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,作DHLBG于點(diǎn)H,如圖所示.

在用ZXDHC中，ZDCH=60°,CD=4m,

則CH=CDcosZDCH=Axcos60°=2(w,)>

DH=CD-si"/DCH=4*s%60°=2\5(m).

?.DH,1BG,又易知NG=30。,

.cDH23,,、

..H14G=-------=----------=6(m).

tanGtan30°

CG=CH+HG=2+6=8(冽).

設(shè)AB=xm,

/ABIBG,ZG=30°,ZBCA=45°,

/.BC=xm,BG=AB=—=m.

tanGtan30°

,「BG-BC=CG,

.'.^3x-x=8.

解得x-ll.

答：電線桿的高約為11加

3.解：(1)如圖,過點(diǎn)C作CELBD于點(diǎn)E,則有/DCE=18。，ZBCE=20°,

D

mm

mm

mm

mm

AB

ZBCD=ZDCE+ZBCE=180+20°=38°.

(2)由題意得，CE=AB=30m,

在J?rACBE中，BE=CEtan20°,

在RtACDE中，DE=CE-tan18°,

/.教學(xué)樓的高BD=BE+DE=CEtan20°+CE-tan18°~20.4(m).

答：教學(xué)樓的高約為20.4九

4.解：設(shè)每層樓高為XM,由題意得MC=MC-CC=2.5-L5=1(M),

貝ljDC=(5x+l)m,EC=(4x+l)m.

在此△DCA，中，ZDAV=60°,

.CA，=DC=*5x+i)..

tan6003

在心△ECB，中，ZEBV=30°,

EC，

.CB，==3(4x+i)m.

tan30°

,.AB=CE-C'A，=AB,

.'.^3(4x+l)-；(5x+1)=14.

解得x-3.18.

/.DC=DC'+CC=5x+1+1.5=18.4(⑼.

答：居民樓的高度約為18.4冽.

【題型講解】

【題型】一、銳角三角函數(shù)的定義

例1、在中，乙4=90°,AB=6,BC=1Q,那么下列結(jié)論正確的是（）

c44.34

A.tanC=—B.cotC=—C,sinC——D.cosC=—

3545

【答案】D

【分析】

先根據(jù)勾股定理解出AB,再逐項(xiàng)根據(jù)三角函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】

根據(jù)勾股定理可得：AC=^BC2-AB1=8，

廠AB3AC4.八AB3AC4

則tanC=-----==一；cotC=-----=—；sinC==—:cosC=------=—；

AC4AB3BC5BC5

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查銳角三角函數(shù)的定義，熟悉基本定義是解題關(guān)鍵.

【題型】二、利用正弦的相關(guān)知識(shí)求解

例2、如圖，在RtaACB中，ZC=90°,sinB=0.5,若NC=6,則5C的長(zhǎng)為（）

A.8B.12C.673D.1273

【答案】C

【提示】利用正弦的定義得出AB的長(zhǎng)，再用勾股定理求出BC.

AT

【詳解】解:VsinB=——=0.5,

AB

/.AB=2AC,

/AC=6,

/.AB=12,

-BC=^AB2-AC2=6A/3,

故選C.

【題型】三、利用余弦的相關(guān)知識(shí)求解

3

例3、在放AA8c中，乙C=90°,如果ZC=3,cosZ=—,那么45的長(zhǎng)為（）

一4

9,25

A.—B.4C.5D.—

44

【答案】B

【分析】

根據(jù)cosA=--=即可得出AB的值

AB4

【詳解】

解：在RtZxABC中，ZC=90°,AC=3,

?AC3

又：cosAA=-----=—,

AB4

.'.AB=4

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

【題型】四、利用正切的相關(guān)知識(shí)求解

例4、如圖，在△ABC中，ZC=90°,設(shè)AB,/C所對(duì)的邊分別為a,b,c,貝4（)

csinSC.a=btanBD.b=ctanS

【答案】B

【提示】根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，即可解決問題.

【詳解】?.《1△ABC中，ZC=90°,乙4、DB、NC所對(duì)的邊分別為a、b、c

sinB=—,即6=csinB,則A選項(xiàng)不成立，B選項(xiàng)成立

c

tan8=2,即6=atanB,則C、D選項(xiàng)均不成立

a

故選：B.

【題型】五、特殊角的三角函數(shù)值

例5、如圖，等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于0O,則40:45=()

A.2VL3B.血：百C.V3：V2D.73:272

【答案】B

【提示】過點(diǎn)0作(W，,ONLAD,設(shè)圓的半徑為r,根據(jù)垂徑定理可得AOBM與AODN是直角

三角形，根據(jù)三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可得到結(jié)果.

【詳解】如圖，過點(diǎn)0作(Wi,ONLAD,設(shè)圓的半徑為r,

.?.△OBM與aODN是直角三角形，OD=OB=r,

?等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于0(9,

..Z0BM=30°，/辦=ZZZ7V=45°,

g?

■■DV=GD?tan45°=-r-W=6cos30°=-r■

22

AD=2Z3V=yfir>BC=>

AD:AB=V2r:板=收:百.

故答案選B.

【題型】六、解直角三角形

例6、比薩斜塔是意大利的著名建筑，其示意圖如圖所示.設(shè)塔頂中心點(diǎn)為點(diǎn)8,塔身中心線48與垂直中

心線/C的夾角為乙4,過點(diǎn)3向垂直中心線NC引垂線，垂足為點(diǎn)Z>.通過測(cè)量可得45、BD、4D的

長(zhǎng)度，利用測(cè)量所得的數(shù)據(jù)計(jì)算NN的三角函數(shù)值，進(jìn)而可求NN的大小.下列關(guān)系式正確的是（）

A.sin八也,AB,AD.“AD

B.cosA=---C.tanA=---D.sin^4=---

ABADBDAB

【提示】確定NZ所在的直角三角形，找出直角，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求解;

【詳解】由題可知，AABD是直角三角形，ABDA=90°,

.“BD,AD,BD

sinA-...cos7i=---,tanA----

ABABAD

二.選項(xiàng)B、C、D都是錯(cuò)誤的，

故答案選A.

【題型】七、利用解直角三角形解決實(shí)際問題

例7、如圖，小明利用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大橋主架在水面以上的高度48,在觀測(cè)點(diǎn)。處測(cè)得大橋主架頂

端/的仰角為30。，測(cè)得大橋主架與水面交匯點(diǎn)3的俯角為14°,觀測(cè)點(diǎn)與大橋主架的水平距離。以為60

米，且Z2垂直于橋面.（點(diǎn)4民在同一平面內(nèi)）

（1）求大橋主架在橋面以上的高度4W；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）求大橋主架在水面以上的高度（結(jié)果精確到1米）

（參考數(shù)據(jù)sin14°。0.24,cos14°80.97,tanl4°80.25,73）

【答案】⑴大橋主架在橋面以上的高度4W為20百米；⑵大橋主架在水面以上的高度N3約為50米.

【提示】

(1)在RtAACM中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AM的長(zhǎng)度.

(2)在Rt^BCM中，求出BM的長(zhǎng)度，再求出AB的長(zhǎng)度即可.

【詳解】

解：(1)Q48垂直于橋面

ZAMC=ZBMC=90°

在中，CM=60,ZACM=30°

??AM

.tan乙4cAz=-----

CM

巧

AM=tan30°-CM=6Qx—=2073（米）

3

答：大橋主架在橋面以上的高度AM為20G米.

B水面

（2）在RtZiBMC中，CM=6Q,ZBCM=14°

..fMB

.tanZBCM=-----

CM

MB=tanl4°-CM=60x0,25工15

'：AB=AM+MB

^5=15+2073-50（米）

答：大橋主架在水面以上的高度AB約為50米.

解三角形(達(dá)標(biāo)訓(xùn)練)

一、單選題

1.如圖，在次△NBC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,將繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△48'C',使點(diǎn)C'

落在AB邊上，連結(jié)區(qū)8',則COS/83C'的值為（）

.3n4V5?2A/5

5555

【答案】C

【分析】在必△48C中，由勾股定理可得43=5.根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得=/C=3,CP=CB=4,C3=2.利

用勾股定理可求出28‘，從而求出cosZB'BC'.

【詳解】解：在瓦△/BC中，

AB=y)AC2+BC2=5,

由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得/C'=/C=3,CB=CB=4,

：.C'B=AB-AC'=2,

BB'=^C'B'2+C'B2=2y/5,

./R"_CB_2_V5

..cos4BBC-------------產(chǎn)-------.

BB'2#>5

故答案為：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2.2sin45。的值等于（）

A.旦B.心C.1D.V2

23

【答案】D

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可得解.

【詳解】解:2sin45°=2x—=V2.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，表示一條跳臺(tái)滑雪賽道，在點(diǎn)/處測(cè)得起點(diǎn)8的仰角為35。，底端點(diǎn)C與頂端點(diǎn)3的距離為

50米，則賽道的長(zhǎng)度為（）米.

5050

50cos35°D.

sin35°cos35°

【答案】C

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)即可解決問題.

【詳解】解：在放zx/BC中,

2^=35°,5。=50米,

sin35°=——

AB

50

：.AB=（米）.

sin35°

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的意義是解決本題的關(guān)鍵.

4.2tan30。的值等于（）

A.V3B,亟C.—]_

D.

322

【答案】B

【分析】tan30o=立，代入式子即可.

3

【詳解】tan30°=3，

3

則2tan30°=38,

3

故選B.

【點(diǎn)睛】本體考查了銳角三角函數(shù)值相關(guān)計(jì)算，比較簡(jiǎn)單，熟練掌握特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，點(diǎn)/為N4邊上的任意一點(diǎn)，作ZC15C于點(diǎn)C,CD1/5于點(diǎn)。，下列用線段比表示tan。的值,

錯(cuò)誤的是（）

A

B

CDACCDAD

A.----D.-----

BDBCAC-------------------------CD

【答案】C

【分析】根據(jù)/CLBC,CDLAB,可得N/+Na=90°Z^CD+Z^=90°,從而得//CD=Na,再根據(jù)正

切的定義，即可求解.

【詳解】解：-：ACiBC,CDLAB,

：.ZACB=ZBDC=ZADC=^°,

：.AA+^a=90°ZACD+ZA=90°,

ZACD=Z.a,

ACCD陋

/.tana=,tan<7=,tana.=tanZ.ACD=,

BCBDCD

二選項(xiàng)A、B、D正確，不符合題意；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正切值，余角的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，銳角的正切值等于它的對(duì)邊與

鄰邊的比值是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.北京冬奧會(huì)雪上項(xiàng)目競(jìng)賽場(chǎng)地“首鋼滑雪大跳臺(tái)”巧妙地融入了敦煌壁畫“飛天”元素.如圖，賽道剖面圖

的一部分可抽象為線段N8,已知坡45的長(zhǎng)為30m,坡角約為42。，則坡48的鉛直高度47約為

m.(參考數(shù)據(jù)：sin42°=0.67,cos42°=0.74,tan42°=0.90)

【答案】20.1

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義計(jì)算，得到答案.

【詳解】解：在瓦△488中，AABH=42°,AB=30m,

AH

-：sin^ABH=——,

AB

：.AH=AB?smAABH~3QxO.61=2O.l（m）,

故答案為：20.1.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問題，掌握坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義

是解題的關(guān)鍵.

7.如圖斜坡的坡比為1:2,豎直高度8c為1米，則該斜坡的水平寬度/C為米.

【答案】2

【分析】根據(jù)坡比的定義和正切三角函數(shù)計(jì)算求值即可；

【詳解】解：.??斜坡48的坡比為1:2,

BC1

.'.tanZA=---=—,

AC2

：BC=\米，

:.AC=2米，

故答案為：2；

【點(diǎn)睛】本題考查了坡角、坡度（坡比）：坡面與水平面的夾角叫做坡角，坡面的鉛直高度和水平寬度的比

叫做坡度，即坡角的正切；掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

三、解答題

8.某校自開展課后延時(shí)服務(wù)以來，組建了許多興趣小組，小明參加了數(shù)學(xué)興趣小組，在課外活動(dòng)中他們帶

著測(cè)角儀和皮尺到室外開展實(shí)踐活動(dòng)，當(dāng)他們走到一個(gè)平臺(tái)上時(shí)，發(fā)現(xiàn)不遠(yuǎn)處有一棵大樹，如圖所示，小

明在平臺(tái)底部的點(diǎn)。處測(cè)得大樹的頂部3的仰角為60。,在平臺(tái)上的點(diǎn)E處測(cè)得大樹的頂部的仰角為30°.測(cè)

量可知平臺(tái)的縱截面為矩形DCFE,?！?2米，DC=20米，求大樹N3的高.（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：

V2=1.41,73=1.73,V6x2.45）

【分析】延長(zhǎng)即交N8于點(diǎn)G,設(shè)為x,利用三角函數(shù)解直角三角形用x表示出EG、NC,根據(jù)CD=EG

-/C列出方程求出x即可.

【詳解】延長(zhǎng)所交于點(diǎn)G,如圖，

設(shè)A8=x米，貝l]2G=/2-2=(x-2)米，

在.RtABGE中，EG=(AB-2)+tan/8￡G=-^|^=百*一2),

tan30

A

在RtABAC中CA=AB^tanZACB=—=—x,

tan6003

貝I]CD=EGAC=百(x-2)-gx=20,

解得：x=10V3+3=20.

答：大樹48的高約為20米.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

解三角形(提升測(cè)評(píng))

一、單選題

1.在△45。中，//=90。，若tan5=0.75,則cosC的值為()

A.0.5B.0.6C.0.8D.—

2

【分析】根據(jù)tarR的值，把邊長(zhǎng)設(shè)為北牝勾股定理求出5C邊，再利用三角函數(shù)的定義求解

cosC.

【詳解】在后△45C中，ZA=90°,

4c3

tanB=-----=0.75=—,

AB4

設(shè)ZC=3%,AB=4t,貝IJBC=5%,

AC

故，cosC=——=-=0.8.

BC5t

故選c.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的計(jì)算、勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在ANBC中，NC=90。,cosA=g,AC=4日則25長(zhǎng)為（）

A.4B.8C.873D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)余弦的定義即可求解.

【詳解】解：ZC=90°,cos^=—,y4C=4V3,

2

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了已知余弦求邊長(zhǎng)，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在中，AC=BC,分別以點(diǎn)/、。為圓心，大于〈/C的長(zhǎng)為半徑作弧，