高考文數(shù)一輪復(fù)習(xí)課件第二章函數(shù)第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性含答案

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性總綱目錄教材研讀1.函數(shù)的奇偶性考點(diǎn)突破2.奇（偶）函數(shù)的性質(zhì)3.周期性考點(diǎn)二函數(shù)周期性的判斷與應(yīng)用考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題1.函數(shù)的奇偶性教材研讀2.奇(偶)函數(shù)的性質(zhì)(1)奇(偶)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(2)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性⑤

相同

,偶函數(shù)在關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性⑥

相反

.(3)在公共定義域內(nèi)(i)兩個(gè)奇函數(shù)的和是⑦

奇函數(shù)

,兩個(gè)奇函數(shù)的積是⑧

偶函數(shù)

.(ii)兩個(gè)偶函數(shù)的和、積都是⑨

偶函數(shù)

.(iii)一個(gè)奇函數(shù),一個(gè)偶函數(shù)的積是⑩

奇函數(shù)

.(4)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x=0處有定義,則f(0)=0.與函數(shù)奇偶性有關(guān)的結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).(2)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型,即f(x)=0,x∈D,其中定

義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集.(3)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值,取最值時(shí)的自

變量互為相反數(shù);奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù),

取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).3.周期性(1)周期函數(shù):對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義

域內(nèi)的任何值時(shí),都有f(x+T)=

f(x)

,那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中

存在一個(gè)最小

的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.有關(guān)周期函數(shù)的幾個(gè)常用結(jié)論周期函數(shù)y=f(x)滿足:(1)若f(x+a)=f(x-a),則函數(shù)的周期為2|a|;(2)若f(x+a)=-f(x),則函數(shù)的周期為2|a|;(3)若f(x+a)=-

,則函數(shù)的周期為2|a|;(4)若f(x+a)=

,則函數(shù)的周期為2|a|;(5)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a與x=b對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的周期為2|b-a|;(6)若函數(shù)f(x)的圖象既關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱,又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的周期是2|b-a|;(7)若函數(shù)f(x)的圖象既關(guān)于直線x=a對(duì)稱,又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱,則函數(shù)f(x)

的周期是4|b-a|;(8)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則其周期為2|a|;(9)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則其周期為4|a|.1.(2018北京東城期末)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是

()A.y=(x-2)2

B.y=|lnx|C.y=x·cosx

D.y=e-|x答案

D偶函數(shù)需具備:①定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②滿足f(-x)=f(x),只有

D項(xiàng)符合,故選D.D2.(2017北京朝陽(yáng)期中)下列四個(gè)函數(shù)中,在其定義域上既是奇函數(shù)又是

單調(diào)遞增函數(shù)的是

()A.y=x-1

B.y=tanxC.y=x3

D.y=-

答案

C

A.y=x-1是非奇非偶函數(shù),不符合題意.B.y=tanx是奇函數(shù),但在定義域上不是單調(diào)函數(shù),不符合題意.C.y=x3是奇函數(shù),在定義域上為增函數(shù),符合題意.D.y=-

是奇函數(shù),在定義域上不是單調(diào)函數(shù),不符合題意.故選C.C3.(2016北京東城二模)已知函數(shù)g(x)=f(x)-x是偶函數(shù),且f(3)=4,則f(-3)=

()A.-4

B.-2

C.0

D.4答案

B∵g(x)=f(x)-x是偶函數(shù),∴g(x)=g(-x).B∵g(3)=f(3)-3=4-3=1,∴g(-3)=f(-3)-(-3)=1.∴f(-3)=-2.4.(2018北京海淀期中)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當(dāng)

0<x<1時(shí),f(x)=

,則f

+f(0)=

.答案-2解析∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(0)=0,f

=-f

.∵函數(shù)f(x)的周期為2,∴f

=f

=2.∴f

+f(0)=-2.-25.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù),定義域?yàn)閇a-1,2a],則a=

,b=

.答案

;0解析因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以a-1=-2a,解得a=

.由函數(shù)f(x)=

x2+bx+b+1為偶函數(shù),結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)(圖略),易得b=0.6.(2015北京東城一模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)

=x2-4,則x>0時(shí),f(x)的解析式為

,不等式f(x)<0的解集為

.答案

f(x)=-x2+4;(-2,0)∪(2,+∞)解析當(dāng)x>0時(shí),-x<0,∴f(-x)=x2-4,又f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2+4;當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2-4<0,∴-2<x<2,∴-2<x<0;當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2+4<0,∴x<-2或x>2,∴x>2,∴不等式f(x)<0的解集為(-2,0)∪(2,+∞).考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性命題角度一函數(shù)奇偶性的判斷考點(diǎn)突破典例1(1)(2017北京西城期末)下列函數(shù)中,定義域?yàn)镽的奇函數(shù)是

()A.y=x2+1

B.y=tanxC.y=2x

D.y=x+sinx(2)(2017北京石景山一模)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是

()A.f(x)=2x-

B.f(x)=xsinxC.f(x)=excosx

D.f(x)=x2+sinx答案(1)D(2)B解析(1)A,y=x2+1是偶函數(shù),不滿足條件.B,y=tanx是奇函數(shù),但函數(shù)的

定義域不是R,不滿足條件.C,y=2x為增函數(shù),為非奇非偶函數(shù),不滿足條

件.D,y=x+sinx是R上的奇函數(shù),滿足條件,故選D.(2)四個(gè)函數(shù)的定義域均為R.對(duì)于A,易判斷是奇函數(shù);對(duì)于B,f(-x)=(-x)·

sin(-x)=x·sinx=f(x),是偶函數(shù);對(duì)于C,f(-x)=e-x·cos(-x)=e-x·cosx,既不是奇

函數(shù)也不是偶函數(shù);對(duì)于D,f(-x)=(-x)2+sin(-x)=x2-sinx,既不是奇函數(shù)也

不是偶函數(shù).方法技巧判斷函數(shù)奇偶性的常用方法(1)定義法.首先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,然后判斷f(-x)與f(x)的關(guān)

系.(2)圖象法.若圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)為奇函數(shù);若圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,

則函數(shù)為偶函數(shù).(3)性質(zhì)法.“奇±奇”是奇,“奇·奇”“奇÷奇”是偶;“偶±偶”是偶,

“偶·偶”“偶÷偶”是偶;“奇·偶”是奇,“奇÷偶”是奇.命題角度二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用典例2已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),函數(shù)g(x)=f(|x|),若g(lg

x)>g(1),則x的取值范圍是

()A.(0,10)

B.(10,+∞)C.

D.

∪(10,+∞)D答案

D解析∵g(x)=f(|x|),∴g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x),∴g(x)為偶函數(shù).又∵f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),∴g(x)在(-∞,0)上為減函數(shù),在(0,+∞)上為增函數(shù),當(dāng)|x|越大時(shí),g(x)越大,若g(lgx)>g(1),則|lgx|>1.∴l(xiāng)gx>1或lgx<-1,故x>10或0<x<

.故選D.方法技巧應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問(wèn)題及解題方法(1)求函數(shù)值將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解.(2)求解析式先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求解,或充

分利用奇偶性,構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組),從而得到f(x)的解析式.(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)±f(-x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式,由系

數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程(組),進(jìn)而得出參數(shù)的值.(4)畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性利用奇偶性可畫出另一對(duì)稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性.1-1

(2018北京海淀期中)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞

增的是

()A.f(x)=-x2

B.f(x)=3-xC.f(x)=ln|x|

D.f(x)=x+sinx1-1

(2018北京海淀期中)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞

增的是

()A.f(x)=-x2

B.f(x)=3-xC.f(x)=ln|x|

D.f(x)=x+sinx答案

C符合偶函數(shù)的只有A,C,函數(shù)f(x)=-x2在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故

選C.C1-2

(2015北京海淀一模)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ex,則f(-1)=

()A.

B.-

C.eD.-e答案

D∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù),∴f(-1)=-f(1)=-e.D1-3函數(shù)f(x-1)是R上的奇函數(shù),?x1,x2∈R,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0,則f(1-x)<

0的解集是()A.(-∞,0)

B.(0,+∞)C.(-∞,2)

D.(2,+∞)答案

C由于函數(shù)f(x-1)是R上的奇函數(shù),故有f(-x-1)=-f(x-1),令x=0,則

有f(-1)=-f(-1),于是有f(-1)=0.?x1,x2∈R,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,則函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,不等式f(1-x)<0

等價(jià)于f(1-x)<f(-1),則有1-x>-1,解得x<2,故選C.C典例3(1)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù),當(dāng)x∈[-2,1)時(shí),f(x)=

則f

=

()A.0

B.1

C.

D.-1(2)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x)=2x-x2,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=

.考點(diǎn)二函數(shù)周期性的判斷與應(yīng)用答案(1)D(2)1008解析(1)因?yàn)閒(x)是周期為3的周期函數(shù),所以f

=f

=f

=4×

-2=-1,故選D.(2)∵f(x+2)=f(x),∴函數(shù)f(x)的周期T=2,又當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x)=2x-x2,所以f(0)=0,f(1)=1,所以f(0)=f(2)=f(4)=…=f(2016)=0,f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2015)=1.故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=1008.規(guī)律總結(jié)判斷函數(shù)周期性的幾個(gè)常用結(jié)論若對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都有:(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0),則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),2|a|是它的一個(gè)周期;(2)f(x+a)=

(a≠0,f(x)≠0),則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),2|a|是它的一個(gè)周期;(3)f(x+a)=-

(a≠0,f(x)≠0),則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),2|a|是它的一個(gè)周期.2-1已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并且滿足f(x+2)=

,當(dāng)2≤x≤3時(shí),f(x)=x,則f(105.5)=

.答案2.5解析由f(x+2)=

得f(x+4)=f((x+2)+2)=

=

=f(x),∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù).∴f(105.5)=f(26×4+1.5)=f(1.5)=f(-2.5+4)=f(-2.5).∵f(x)為偶函數(shù),且當(dāng)2≤x≤3時(shí),f(x)=x,∴f(105.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5.2.5考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題典例4

(2016北京東城(上)期中)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),對(duì)

于任意x1,x2∈[0,+∞),

<0(x2≠x1),則

()A.f(-1)<f(-2)<f(3)

B.f(3)<f(-1)<f(-2)C.f(-2)<f(-1)<f(3)

D.f(3)<f(-2)<f(-1)答案

D解析由f(-x)=f(x)得f(x)為偶函數(shù),所以f(-2)=f(2),f(-1)=f(1),對(duì)于任意x1,x2∈[0,+∞),

<0,所以當(dāng)x≥0時(shí),f(x)為減函數(shù),所以f(3)<f(2)<f(1),即f(3)<f(-2)<f(-1),故選D.D方法技巧(1