2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：旋轉(zhuǎn)與中心對(duì)稱培優(yōu)講義

考點(diǎn)直擊

i.旋轉(zhuǎn)

⑴定義

把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)0轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫作旋轉(zhuǎn)，其中點(diǎn)0叫作旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫作旋轉(zhuǎn)角.

旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度.

⑵性質(zhì)

①旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等：對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；

②對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

③對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

(3)旋轉(zhuǎn)變換的作圖

①確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度；②找出能確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；③連接圖形的關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，并按旋轉(zhuǎn)的方向分別

將它們旋轉(zhuǎn)一個(gè)角，得到此關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；④按原圖形的順序連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所得圖形就是旋轉(zhuǎn)后的圖形.

2.中心對(duì)稱

(1)中心對(duì)稱：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱，這

個(gè)點(diǎn)就是它們的對(duì)稱中心.

(2)中心對(duì)稱的性質(zhì)

①關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；

②關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分；

③關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行(或在同一直線上)且相等.

(3)中心對(duì)稱的判定：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱.

(4)中心對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫作中心對(duì)稱圖

形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心.

3.旋轉(zhuǎn)與中心對(duì)稱的應(yīng)用

⑴旋轉(zhuǎn)常見的基本圖形：

AAAD

C

注意：①圖形中出現(xiàn)等邊三角形時(shí)，通常旋轉(zhuǎn)60。；出現(xiàn)等腰直角三角形或正方形時(shí)，通常旋轉(zhuǎn)90。；出現(xiàn)線段中點(diǎn)時(shí)，通常旋

轉(zhuǎn)180。..②共端點(diǎn)或者共線的三條線段想要轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形里時(shí)，通常利用旋轉(zhuǎn)變換.

(2)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)的符號(hào)相反，即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.P，(-%，-y).

J

例IRtAABC中，已知乙C=90。,23=50。,點(diǎn)D在邊BC上,BD=2CD(如圖)把4ABC繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(a(0°<m<180°))

后，如果點(diǎn)B恰好落在初始RtAABC的邊上，那么a=.

舉一反三1如圖，把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)25。,得到△ABC,AB交AC于點(diǎn)D,AB與AE交于點(diǎn)E.已知NADC=80。，則.乙BE

Af=()

A.135°B.145°

C.155°D.165°

舉一反三2把一副三角板按如圖放置，其中乙4BC=乙DEB=90。,41=45。,4=30。,斜邊AC=BD=10,,若將三角板DEB

繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到△D'E'B,則點(diǎn)A在△。￡'8的()

A.內(nèi)部B.外部

C.邊上D.以上都有可能

如圖，△40B中，乙4。8=90°,4。=舉一反三33,BO=6,A408繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到.△4。9處，此時(shí)線段4'B與BO的交點(diǎn)E

為BO的中點(diǎn)，求線段.的長(zhǎng).

例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)的正方形OBCD,其中點(diǎn)D(2,0),點(diǎn)B在y軸上.點(diǎn)C在第一象限，以BC為

邊在正方形OBCD外作等邊△4BC,若將△4BC與正方形OBCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。,，則第2020次旋轉(zhuǎn)結(jié)

束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為()

A.(l>2+V3)B.(2+V3--1)

C.(-l--2-V3)D.(-2-V3'l)

【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)A作AE_Lx軸于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AF_LBC,B(0,2),即可得.EF=2..由等邊三角形的

性質(zhì)及勾股定理可求解AF,BF的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出前4次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而求

出第2020次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo).

舉一反三4如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中.A(0,0),B(2,0),AAPR是等腰直角三角形且.出=90。才巴△4「正繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

180。彳導(dǎo)到△BP2c，把△BPzC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。彳導(dǎo)到ACP3D,,依此類推，得到的等腰直角三角形的直角頂點(diǎn).Pzoz。的坐標(biāo)為

()

A.(4039,-l)B.(4039,1)C.(2020-QD.(2020,l)

例3如圖，在等腰直角.AABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M,N,使NMCN=45。,記AM=m,MN=n.BN=x，則以線段x,m,n為邊長(zhǎng)的三角形的

形狀是()

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.隨x,m,n的變化而改變

舉一反三5如圖，正方形ABCD中有一個(gè)內(nèi)接三角形AEF,若NEAF=45o,AB=6,EF=5,則三角形EFC的面積是一

例4如圖,E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),E到A,B,C三點(diǎn)的距離之和的最小值為V2+店,求此正方形的邊長(zhǎng).

例5已知：在Rt△4BC中,AB=BC,在RtA4DE中,AD=DE.連接EC,取EC的中點(diǎn)M,連接DM和BM.

(1)若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖L探索BM,DM的關(guān)系并給予證明.

(2)如果將圖1中的.A4DE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45。的角，如圖2,那么⑴中的結(jié)論是否仍成立?如果不成立，請(qǐng)舉出反例；

如果成立，請(qǐng)給予證明.

圖1圖2

舉一反三6如圖1,已知A4BC是等腰直角三角形，ZBAC=90。,,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).作正方形DEFG,使點(diǎn)A,C分別在DG和D

E、上，連接AE,BG.

圖2

⑴試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你得到的結(jié)論.

⑵將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于（0。,小于或等于360。）,，如圖2,通過觀察或測(cè)量等方法判斷⑴

中的結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由.

（3）若BC=DE=2,,在⑵的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE為最大值時(shí),求AF的值

過關(guān)檢測(cè)

4|基礎(chǔ)夯實(shí)

1如圖，已知菱形OABC的頂點(diǎn)O（O,O）,B（2,2）,若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45。,則第60秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的

坐標(biāo)為（）

A.(l,-l)B.(-l,-l)

C.(V2-0)O,(0--V2)

2把一副三角板按如圖1放置,其中NACB=NDEC=90o,/A=45o,ND=30。,斜邊AB=6,DC=7把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

15。得到八DiCEi（如圖2）上匕時(shí)AB與CD1交于點(diǎn)O，則線段ADi的長(zhǎng)為（）

X.3V2B.5C.4D.V31

3.如圖,P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),PA:PB:PC=1:2:3以B點(diǎn)為中心將△BPC按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△BP'A的位置.則NAPB二

()

A.120°

B.135°

C.150°

D.125°

4.如圖,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,5),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3),C點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,3),D點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,-1).小明發(fā)現(xiàn):線段AB與線段CD存在一種特殊關(guān)

系，即其中一條線段繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度可以得到另一條線段，你認(rèn)為這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是一

5.如圖,△ABC中，ZBAC=115。,NACB=25。把△ABC以AC為對(duì)稱軸作對(duì)稱變換得^ADC,又把△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)55°

6(1)如圖1,在4ABC中,BA=BC,D,E是AC邊上的兩點(diǎn),且滿足NDBE甘乙43c00<乙CBE<］乙43。以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將

△BEC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到^BEA(點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E處)，連接DE,求證:DE'=DE.

(2)如圖2,在△ABC中,BA=BC,ZABC=90°,D,E是AC邊上的兩點(diǎn)，且滿足乙DBE=^ABC,0°<NCBE<45。.求證:DE2=

AD2+EC2.

能力拓展

7.如圖，在正方形ABCD和正方形DEFG中，點(diǎn)G在CD上,DE=2,將正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,得到正方形DEFG,此

時(shí)點(diǎn)G在AC上作G'llCD于點(diǎn)I,作E'HIBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接CE』(J(CE'+CG'=()

/1.V2+V6B.V3+1

C.V3+V2D.V3+V6

8.如圖,P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且P到三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的距離分別為3,4,5,則4ABC的面積為()

49+竽

8.9+等

C.18+25V3

P.18+—

2

9.如圖1所示，將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD和一個(gè)長(zhǎng)為2、寬為1的長(zhǎng)方形CEFD拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形ABEF.現(xiàn)

將小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CEFD.旋轉(zhuǎn)角為a.

⑴當(dāng)點(diǎn)D”恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角a的值；

(2)如圖2,G為BC中點(diǎn)，且(0°<a<90。,求證：GD'=E'D;

⑶小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中,△DCD與△CBD能否全等?若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角a的值；若不能說明理由.

圖1

舄方綜合創(chuàng)新

10把一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形分割成面積相等的四部分，使得在其中的一部分內(nèi)存在三個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個(gè)邊

長(zhǎng)大于1的正三角形，滿足上述性質(zhì)的分割()

A.是不存在的

B.恰有一種

C.有有限多種，但不只是一種

D.有無窮多種

11如圖.在正方形ABCD中,M是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，若48=VX,則MD+2MC的最小值是_____此時(shí)NBMC=度.

12如圖,邊長(zhǎng)為1的正△AiBiCi的中心為O,將正△AiBiCi繞中心O旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2，使得A2B21BxQ.則兩三角形的

公共部分(即