2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何輔助線(xiàn)進(jìn)階訓(xùn)練-菱形的輔助線(xiàn)

初中幾何輔助線(xiàn)進(jìn)階訓(xùn)練—菱形的輔助線(xiàn)

一'階段一(較易)

1.如圖，菱形4BCD中，AB=4,E為BC中點(diǎn)，AE1BC,AF1CD,CG||AE,CG交4F于點(diǎn)H,交

ZD于點(diǎn)G.

(1)求證：四邊形力ECG是矩形.

(2)求NC/M的度數(shù).

(3)求菱形4BCC的面積.

2.在RtAABC中，NBAC=90。，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作4F||BC交BE的延

長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.

(1)求證：ZkAEFmADEB；

(2)證明：四邊形ADCF是菱形：

(3)若AC=3,AB=4,求菱形ADCF的面積.

3.如圖，四邊形4BCD為菱形，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F,H是對(duì)角線(xiàn)BD上兩點(diǎn)，且/修=3,點(diǎn)G

在邊BC上.若四邊形EFGH是矩形，則菱形ZBCC的周長(zhǎng)為.

4.如圖1,平行四邊形Z8C。中，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是4。、CD上的點(diǎn)，連接CE、AF,ZBAF=

乙BCE,AF=CE.

DD

E

B

（圖1）

(1)求證：四邊形ABC。是菱形.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是AD中點(diǎn)時(shí)，A尸與CE交于點(diǎn)O,連接BE、BF,請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中四個(gè)三

角形，使寫(xiě)出的每個(gè)三角形的面積等于AZE。面積3倍.

5.如圖，在菱形4BCD中，AB=BD=10,點(diǎn)F為力。的中點(diǎn)，F(xiàn)E1BD于E,則EF的長(zhǎng)為

A.2V3D.5V3

6.如圖，在矩形ABCD中，AB=24,BC=12,點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)G、H在對(duì)

角線(xiàn)AC上，若四邊形EGFH是菱形.則AE的長(zhǎng)是()

A.15B.20C.6V3D.8V3

7.如圖，四邊形/BCD是平行四邊形，對(duì)角線(xiàn)AC,BD交于點(diǎn)O,AC=2AB,BE||AC,OE||AB.

(1)求證：四邊形是菱形.

(2)若4C=44，BD=8,求四邊形4BE。的面積.

8.如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)E、F分另U是48、40的中點(diǎn)，連接EF交對(duì)角線(xiàn)2C于點(diǎn)M,連接若

乙BAD=120°,AE=2,貝ijBM的長(zhǎng)為.

D

B

9.如圖，菱形ABCD中，乙4=108。，AD的垂直平分線(xiàn)交對(duì)角線(xiàn)BD于點(diǎn)P,垂足為N,連結(jié)

CP,則NBPC=

10.如圖，在口ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在BD和DB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,

且DE=BF,連接AE,CF.

（1）求證：AADE絲aCBF；

（2）試連接AF,CE.當(dāng)BD平分NABC時(shí)，四邊形AFCE是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

二'階段二（中等）

11.如圖所示，在菱形ABCD中，AB=6,ZBAD=120°,△AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱

形的邊BC、CD上滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合.當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，△CEF的

C.3V3D.

12.如圖，在矩形/BCD中，AB=24,BC=12,點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)尸在邊CD上，點(diǎn)G、”在對(duì)角線(xiàn)

ZC上，若四邊形EGFH是菱形.貝IME的長(zhǎng)是()

A.15B.20C.6V3D.8V3

13.如圖，ABWCD,點(diǎn)E,尸分別在CD上,連接EF,乙4EF、aFE的平分線(xiàn)交于點(diǎn)G,乙BEF、

ZDFE的平分線(xiàn)交于點(diǎn)H.

(1)求證：四邊形EGFH是矩形;

(2)過(guò)G作MNIIEF,分別交AB,CD于點(diǎn)M,N,過(guò)”作PQIIEF,分別交AB,CD于點(diǎn)P,Q,得

到四邊形MNQP,此時(shí)，求證四邊形MNQP是菱形.

14.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)是4,NA=60。，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，以BG為邊作菱形BEFG,其中

點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)P為FD的中點(diǎn)，連接PB.則PB=

15.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，且。。=OE.若

16.如圖，在平行四邊形ABCD中，CD=2AD,BE1AD于點(diǎn)E,F為DC的中點(diǎn)，連結(jié)

EF,BF,下列結(jié)論：①乙ABC=2乙ABF,@^DEF+AEBF=90°；③S〃茲施EBC

2sAEFB；④乙CFE=3乙DEF,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

17.口ABCD中，NBAD的平分線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E,線(xiàn)DC于點(diǎn)F

（2）若乙ABC=120°,FG//CE,FG=CE,求乙BDG.

18.（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）數(shù)學(xué)小組成員小明做作業(yè)時(shí)遇到以下問(wèn)題：

A

圖1圖2圖3

（1）若四邊形ABCD是菱形，AABC=60°,點(diǎn)P是射線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右

側(cè)作等邊A/PE,如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE、CA,貝IBP與CE

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想；

（2）（類(lèi)比探究）數(shù)學(xué)小組對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步探究：

若四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P是射線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為直角邊在AP邊的右側(cè)作等

腰Rt△APE,其中^APE=90。，AP=PE.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)BD上時(shí)，小組發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E恰好在射線(xiàn)CD上，求BP與CE之

間的數(shù)量關(guān)系（過(guò)程只用說(shuō)明點(diǎn)E在線(xiàn)段CD上的情況即可）；

②如圖3,當(dāng)P是對(duì)角線(xiàn)BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，小組發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E恰好在射線(xiàn)CD上，連接

BE,若BE=6,AB=2,求ABPE的面積.

19.在菱形ABCD中，ZABC=60°,E是對(duì)角線(xiàn)AC上任意一點(diǎn)，F(xiàn)是線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且

CF=AE,連接BE,EFo

(1)如圖1,當(dāng)E是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)時(shí)，BE和EF的數(shù)量關(guān)系是________；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E不是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，其它條件不變時(shí)，請(qǐng)你判斷(1)中的結(jié)論是否成立？

若成立，請(qǐng)給予證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E是線(xiàn)段AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，其它條件不變時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立?

若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

20.如圖，菱形ABCD中，AB=4,ZABC=120°,過(guò)對(duì)角線(xiàn)AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)P分別作AD、DC

延長(zhǎng)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為E、F,則PE-PF=________o

三'階段三(較難)

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形04BC的對(duì)角線(xiàn)0B上有P,Q兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=2,已知點(diǎn)

X(2V3,0),乙40C=60。，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

T

22.在菱形力BCD中，乙4BC=60。，P是直線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，以4P為邊向右側(cè)作等邊△APE(A,P,

E按逆時(shí)針排列)，點(diǎn)E的位置隨點(diǎn)P的位置變化而變化.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BD上，且點(diǎn)E在菱形4BCD內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE,貝UBP與CE的數(shù)

量關(guān)系是,BC與CE的位置關(guān)系是；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BD上，且點(diǎn)E在菱形力BCD外部時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成

立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)BD上時(shí)，其他條件不變，連接BE,若48=2,BE=用,請(qǐng)直接寫(xiě)出△

4PE的面積.

23.如圖，在菱形/BCD中，LB=60°,M、N分別為線(xiàn)段AB、BC上的兩點(diǎn).且BM=CN,AN,

CM相交于點(diǎn)E

(1)證明：ABCM/ACAN；

(2)求乙4EM的度數(shù)；

(3)證明：AE+CEDE.

24.菱形ABCD的邊長(zhǎng)為30,AADC=120°,點(diǎn)。是對(duì)角線(xiàn)力C中點(diǎn)，M是線(xiàn)段0c上任一點(diǎn)，連接

DM,作乙DMN=120°,邊MN與直線(xiàn)AB相交于點(diǎn)N.

小南和小浦觀(guān)察以上問(wèn)題時(shí)，猜想DM=MN,老師引導(dǎo)他們用“從特殊到一般”的思想方法去嘗試

研究.

(1)【特例發(fā)現(xiàn)】

小南發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)重合時(shí)，DM與MN的長(zhǎng)度相等，為；

(2)【探究證明】

小浦認(rèn)為當(dāng)N在線(xiàn)段4B上時(shí)，均有"DM=MN”，請(qǐng)幫助完成證明.

(3)【拓展運(yùn)用】

①連結(jié)DN交4c于點(diǎn)E,求證：乙4CE+NMDC為定值.

②當(dāng)MN?+DE2=時(shí)，

452SLADE=▲.

25.小明同學(xué)學(xué)習(xí)了菱形的知識(shí)后，結(jié)合之前學(xué)習(xí)的趙爽弦圖，編了一個(gè)菱形版“趙爽弦圖如圖，

菱形48CD中，AABC=60°,四邊形EFGH是矩形，若FA=FB=2a,則矩形EFGH的面積

為.

26.已知，菱形ABCD(ZC<90°)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為6和8,點(diǎn)E在邊BC上，BE=1,若點(diǎn)F在

直線(xiàn)AB上，且AE=DF,則BF的長(zhǎng)為

AD

27.如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)M在CD邊上，點(diǎn)N在菱形ABCD外部，且滿(mǎn)足MN〃AD,

CM=MN,連接AN,CN,取AN的中點(diǎn)E,連接BE,AC.

(1)探究BE與AC的關(guān)系；

(2)若NABC=120。，探究線(xiàn)段BE、AD、CM所滿(mǎn)足的等量關(guān)系；

(3)若NABC=60。，M在DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，其余條件不變，CM=1,AD=3,請(qǐng)求出BE的

長(zhǎng)度.

28.如圖，菱形ABCD中，AB=12,ZBAD=60°,E為線(xiàn)段BC的中點(diǎn).若點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上的一

動(dòng)點(diǎn)，Q為線(xiàn)段AD上一動(dòng)點(diǎn)，則△PQE的周長(zhǎng)的最小值是.

29.如圖，在菱形/BCD中，^DAB=60°,E是對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，F(xiàn)是線(xiàn)段AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)且BF

DE,連接4E.

(1)如圖，若E是線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，連接EF,其他條件不變，直接寫(xiě)出線(xiàn)段AE與EF的數(shù)量關(guān)

(2)如圖，若E是線(xiàn)段BD上任意一點(diǎn)，連接EF,其他條件不變，猜想線(xiàn)段AE與EF的數(shù)量關(guān)系

是什么？并證明你的猜想;

(3)如圖，若E是線(xiàn)段DB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，其他條件不變，且NEZB=30。，菱形ABC。的周長(zhǎng)為

4V7,直接寫(xiě)出DF的長(zhǎng)度.

30.如圖，在口ABCD中，對(duì)角線(xiàn)BD的垂直平分線(xiàn)分別與AD,BC,BD相交于點(diǎn)E,F,O.

(1)求證：四邊形BEDF是菱形；

(2)在nABCD中，若AB=2.5,AD=4,有兩動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從B,D兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿

ABAE和小DFC各邊運(yùn)動(dòng)一周，即點(diǎn)P自B—A—E—B停止，點(diǎn)Q自D—F—C—D停止，點(diǎn)P運(yùn)

動(dòng)的路程是x,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程是y,當(dāng)四邊形BPDQ是平行四邊形時(shí)，則請(qǐng)直接寫(xiě)出x+y的值

為.

答案解析部分

1.【答案】(1)證明：???四邊形43CD是菱形，

???||BC,AB=BC=4,

???CG||AE,

??.四邊形ZECG是平行四邊形，

vAE1BC,

???乙AEC=乙AEB=90°,

???四邊形力ECG是矩形.

(2)解：連接ZC,如圖所示:

???E為BC中點(diǎn)，AE1BC,

:.AB=AC,

-AB=BC,

???AB=BC=AC,

???Z-B-Z-BAC-60°,

在等邊三角形4BC中，???4E1BC,

1

???/-CAE="BAC=30。，

同理乙。力9=30°,

???LEAF=乙CAE+乙CAF=30°+30°=60°,

vAEIBC,CGLAD,AD||BC,

???AE||CG,

???乙AHC=180°-LEAF=180°-60°=120°.

(3)解：vZB=60°,AAEB=90°,

AE=ABX空=4X芋=2后

二菱形/BCD的面積=BC-AE=4x2A/3=873.

2.【答案】(1)證明：：4尸||BC,

；.NAFE=NDBE,

YE是AD的中點(diǎn),

???AE=DE,

在4人日尸和^DEB中,

Z-AFE=Z-DBE

Z-FEA=乙BED

,AE=DE

：.^AEF=ADEB(AAS)；

(2)證明：由(1)知，LAFE=^DBE,

貝I」AF=DB,

VDB=DC,

???AF=CD,

U：AF||BC,

???四邊形ADCF是平行四邊形

???NBAC=90。，D是BC的中點(diǎn)，

1

-'-AD=DC=

四邊形ADCF是菱形；

(3)解：連接DF,如圖所示：

BDC

'：AF||BD,AF=BD,

四邊形ABDF是平行四邊形，

；.DF=AB=4,

?.?四邊形ADCF是菱形，

二菱形ADCF的面積=^AC-DF=|x3x4=6.

3.【答案】12

4.【答案】(1)解：如圖1,

D

E

B

（圖1）

???平行四邊形力BCD中，乙DAB=LDCB

9：^BAF=乙BCE,

：.￡.DAF=乙DCE

^DAF=乙DCE

U：\AADF=乙CDE,

IAF=CE

/.△ADF=△CDE,

：.AD=CD,

又?平行四邊形ABC。中，AD=BC,CD=AB,

；.AD=CD=BC=AB,

四邊形ABCO是菱形；

（2）解：連接DO,如圖，

（圖2）

如圖2,符合條件的三角形有：△4DF,△CDE,AAEB,△CBF,

理由如下：

在（1）已證得：AADF三ACDE,則有NDFA=NDEC,DE=DF,ZDAF=ZDCE,

ZAEO=180°-ZDEC=180°-ZDFA=ZCFO,

?.?根據(jù)（1）中證得平行四邊形ABCD是菱形，且E、F是AD、DC中點(diǎn)，

；.AD=DC,

；.AE=ED=DF=FC,

VZEOA=ZFOC,

.*.△AEO^ACFO,

.EO=OF,AO=OC,

ADO^ACDO,△EDO^AFDO,

VAAEO與^DOE同高等底，

?XAEO=SADEO，

?,^LAEO-SADEO-S&ODF=SAFOC，

*，s&ADF=3sA4E0，

；.△ADF滿(mǎn)足條件，

根據(jù)全等的性質(zhì)可知△DEC滿(mǎn)足條件，

'：AD||BC,DE=AE,

?.DE=S4AEB，

；.△AEB滿(mǎn)足條件，

'：AB||DC,DF=FC,

,?SAADF=SABCF，

；.△BCF滿(mǎn)足條件，

則滿(mǎn)足條件的三角形有：4ADF,ACDE,XAEB,△CBF.

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】(1)證明：?.?BEII4C,0E||AB,

四邊形ABEO是平行四邊形.

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AC=2A0.

"：AC=2AB,

：.A0=AB,

四邊形ABEO是菱形.

(2)解：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

-"-AO=^AC=2V5,OB=^BD=4.

如圖，連接AE交OB于點(diǎn)M.

由(1)知，四邊形ABEO是菱形，

：.AE,OB互相垂直平分，

1

OM=^0B=2，

-'-AM=7A。2-0M2=V20-4=4，

：.AE=8,

四邊形ABE0的面積=^AE-0B=|x8x4=16.

8.【答案】V13

9.【答案】72

10.【答案】(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

AD=CB,AD||BC,

Z.ADB=Z-CBD,

??.Z.ADE=Z.CBF,

'AD=CB

在/力DE和/CBF中，-Z.ADE=乙CBF,

、DE=BF

.?.AADE=△CBF(SAS).

(2)解：當(dāng)BD平分乙4BC時(shí)，四邊形2FCE是菱形.

理由：如圖,連接AF,CE,

???BD平分乙ABC,

???Z.ABD=Z-CBD,

???四邊形Z3CD是平行四邊形,

???OA=OC,OB=0D,AD||BC,

??.Z.ADB=Z-CBD,

???Z.ABD=Z.ADB,

:.AB—AD,

???平行四邊形ZBCD是菱形，

???AC1BD,

???AC1EF,

???DE-BF,

???OE=OF.

又???OA=OC,

???四邊形ZFCE是平行四邊形，

vAC1EF,

???四邊形ZFCE是菱形.

".【答案】D

12.【答案】A

13.【答案】⑴證明：：EH平分/BEF,FH平分NDFE,AZFEH=jzBFF,ZEFH=jZDFE,

,：AB||CD,：.ZBEF+ZDFE=180°,AZFEH+ZEFH=1xl80°=90°,AZEHF=90°,同理可

得：ZEGF=90°,：EG平分NAEF,EH平分NBEF,AZGEF=j^AEF,ZFEH=|ZBEF,\?點(diǎn)

A、E、B在同一條直線(xiàn)上，AZFEG+ZFEH=1xl80°=90°,即NGEH=90。，二四邊形EGFH是

矩形.

（2）證明：如圖，延長(zhǎng)EH交CD于點(diǎn)O,延長(zhǎng)FG交AB與點(diǎn)R,

\'MN||EF||PQ,MP||NQ,四邊形MNQP為平行四邊形./.MN=PQ,VZPEO=ZFEO,

ZPEO=ZFOE,.\ZFOE=ZFEO,.\EF=FO,由（1）知四邊形EGFH是矩形，:*乙EHF=

90°,GH=EF,；.FH_LEO,，HE=HO,VZEHP=ZOHQ,ZEPH=ZOQH,：.AEHP=△

OHQ,:.HP=HQ=如（2,同理可得GM=GN=^MN,：MN=PQ,/.GM=HP,'：GM||HP,

，四邊形MGHP為平行四邊形，，GH=MP,'：MN||EF,ME||NF,二四邊形MEFN為平行四邊

形，；.MN=EF,：GH=EF,GH=MP,AMN=MP,又?四邊形MNQP為平行四邊形，二平行四

邊形MNQP為菱形.

14.【答案】V7

15.【答案】Z

16.【答案】D

17.【答案】(1)證明：VAF平分乙BAD,

???Z-BAE=Z-DAE,

又AB//BC,

???Z-CEF=Z.DAF,

vAB//CD,

???乙CFE=乙BAE,

?，?Z-CEF=Z.CFE,

??.CE=CF；

(2)解：連接EG,CG,如圖所示：

???Z.ECF=Z.ABC=120°,乙BAC=60°,

??.Z.DAF=30°,

vFG//CE,FG=CE,

???四邊形ECFG是平行四邊形，

???CE=CF,

???四邊形ECFG為菱形，

???(CFG=60°,Z.CFE=30°=^DAF,乙ECG=ZFCG=60°,△CFG為等邊三角形，

??.CG=GF,乙BCG=乙DFG=60°,AD=FD=BC,

(FD=BC

在ADGF和ABGC中，zDFG=zBCG=60°，

(GF=CG

.-.ADGF名ABGC(SAS),

：?BG=DG,Z-BGC=Z-DGF,

???乙BGD=乙CGF=60°,

???ABDG為等邊三角形，

乙BDG=60°.

18.【答案】(1)解：BP=CE,理由如下:

?.?四邊形ABCD是菱形，

；.AB=BC,

XVZABC=60°,

.,.△ABC是等邊三角形，

；.AB=AC,ZBAE=60°,

又「△PAE是等邊三角形，

；.AP=AE,ZPAE=60°,

ZBAP+ZPAC=ZEAC+ZPAC,

，NBAP=NEAC,

△ABP^ACE(SAS)

；.BP=CE；

c

Mi

（2）解：①CE=V^BP,理由如下:

如圖，連接AC,

.\ZABC=90o,AB=BC,ZABD=ZACE=ZBAC=45°,

：.AC2=AB2+BC2=2AB2,

'.AC=42AB，

VAAPE為等腰直角三角形，ZAPE=90°,

ZPAE=45°,

ZBAP+ZPAC=ZEAC+ZPAC,

.\ZBAP=ZCAE,

；.△BAPs/XCAE,

,CE_AC^_pz

CE=V2BP

②連接AC交BD于F,過(guò)點(diǎn)E作EGLBD于G,

?四邊形ABCD是正方形，AB=2,

：.BC=AB=2,ZABD=ZBAC=45°,ZAFB=ZAFD=90°,

-,-AF=BF=^AC=*AB=V2

ZFAP+ZAFP=90°,

又「△APE是等腰直角三角形，

；.AP=EP,ZAPE=90°,

ZAPF+ZEPG=90°,

ZFAP=ZEPF,

XVZAFP=ZEGP=90°,

AFP^APGE(AAS),

；.PG=AF=四,EG=FP

設(shè)FP=GE=x,則BG=BF+FP+PG2V2+x

'：BG2+EG2=BE2,

2

??(2V2+x)+%2=62，

解得x=4—V2(負(fù)值舍去)，

BP-V2+x=4f

-1-1

:*S〉BPE=?EG=專(zhuān)x4x(4-傳8-2V2.

19.【答案】(1)BE=EF

(2)解：成立，理由如下：

過(guò)E作EG〃:BF,

,/△ABC是等邊三角形，

△AGE是等邊三角形，

???AE=GE,

AGE=CF,

ZBGE=180°-ZAGE=120°=ZECF,

TAB=AC,

???AB-AG=AC-AE,

???BG=EC,

.*.△BGE^AECF(SAS),

二?BE=EF；

(3)解決：成立，理由如下:

D

G

過(guò)E作EG〃:BF,

△ABC是等邊三角形，

.?.△AGE是等邊三角形，

；.GE=GE,

；.GE=CF,

VZBGE=ZECF=60°,

VAB=AC,

.\AG-AB=AE-AC,

；.BG=EC,

BGE^AECF(SAS),

；.BE=EF.

20.【答案】2V3

21.【答案】(2日，2)

22.【答案】(1)BP±CE；CE1BC

(2)解：(1)中結(jié)論仍然成立，理由如下:

如圖，連接AC,

二.△ABC,△AC。為等邊三角形，

在ATlBP和AACE中，AB=AC,AP=AE,

又；乙BAP=Z.BAC+Z.CAP=60°+Z.CAP,Z.CAE=Z.EAP+/.CAP=60°+Z.CAP

：.^BAP=乙CAE,

C.^ABPACE(SAS),

：.BP=CE,Z.ACE=匕ABD=30°,

設(shè)CE與4O交于點(diǎn)H,

同理可得乙4CD=2(ACH=60°,

：.CELAD,

又丁力。||BC,

：.CELBC.

(3)或7巡

4

23.【答案】(1)證明：???四邊形/BCD是菱形，

???AB=BC=CD=AD,

???乙B=60°,

:AACD,△力3c是等邊三角形，

??.BC=AC,Z.B=乙ACN=60°,

SABCM^OA。力N中，

BC=AC

Z-B=乙ACN,

、BM=CN

??.△BCM會(huì)△C4N(S4S).

(2)解：???△BCMACAN,

???乙BCM=乙CAN,

???Z.AEM=^ACE+2LEAC=AACE+乙BCM=60°.

(3)證明：如圖，作。G14V于G,DHtMC,交MC的延長(zhǎng)線(xiàn)于

???乙AEC=120°,

???乙DGE=/"=90°,

???乙GEH+乙GDH=180°,

???乙GDH=^ADC=60°,

???乙4DG=乙CDH,

在△DGA和中，

^DGA=^H=90°

^ADG=乙CDH,

、DA=DC

：^DGA^LDHC{AAS},

.?.DG=DH,

vDGLAN,DHLMC,

???乙DEG=乙DEH,

???DE平分乙4EC,

即4GED=60°,

在RtZkDEG中，v/_EDG=30°,

DE=2EG,

在△DEG和△DE”中，

ZDEG=乙DEH

(DGE=(H，

DE=DE

ADEG^ADEH(AAS),

???EG=EH,

MDGA義ADHC,

???GA=CH,

???EA+EC=EG+AG+EH-CH=2EG=DE,

即E4+EC=ED.

24.【答案】(1)C；30

(2)證明：如圖2中，過(guò)點(diǎn)M作ME14。于點(diǎn)E,MF14B于點(diǎn)F.

NFB

圖2

???四邊形力BCD是菱形,

???力M平分4DAB,CD11AB,

???乙DAB+^ADC=180°,

???Z.ADC=120°,

???Z-DAB=60。，

vMELAD,MFLAB,

???ME=MF,^MEA=^MFA=90°,

???乙EMF=120°,

???乙DMN=120°,

??.Z.EMF=乙DMN,

???乙DME=乙NMF,

???(MED=乙MFN=90°,

???MD=MN

(3)解：①證明：如圖3中，

MN=MD,乙DMN=120°,

???Z.MDN=30°,

^ADC=120°,

AADE+NCDM=120°-30°=90°=定值.

@22573-225

25.【答案】8g-12

26.【答案】，或6

27.【答案】(1)解：BE垂直平分AC,

理由如下：如圖1,連接CE,

圖1

?.?四邊形ABCD是菱形，

；.AB=BC,ZACD=|ZBCD,ZADC+ZBCD=180°,

VAD^MN,

???NADC=NDMN,

VCM=MN,

?,.NMCN=NMNC,

JNDMN=NMCN+NMNC=2NMCN=ZADC,

VZADC+ZBCD=180°,

J1ZADC+lNBCD=90。，

JNMCN+NACD=900=NACN,

???點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，NACN=90。，

???AE=CE,

,.?AE=CE,AB=BC,

ABE垂直平分AC；

（2）解：BE=1AD+|CM；

理由如下：如圖2,設(shè)BE與AC交于點(diǎn)O,

圖2

??,四邊形ABCD是菱形，NABC=120。，

???AD=BC=AB,

VAB=BC,BE垂直平分AC,

???NABO=NCBO=60。，ZBOC=90°,AO=CO,

???NBCA=30。，

/.BO=1BC=1AD,

???AO=OC,點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，

AEO=|CN,

,.?CM=CN,NMCNqNADC=60。，

???CM=CN,

「?BE=BO+OE=1AD+|CM；

(3)解：如圖3