湖南省攸縣第三中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第五次月考試題

PAGE21-湖南省攸縣第三中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第五次月考試題考試時(shí)間：120分鐘；命題人：攸縣三中高三數(shù)學(xué)備課組留意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題(共8小題，每小題5分,共40分)1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，滿意，則（）A．1 B． C． D．53．下列命題中，正確的是（）A．的最小值是4 B．的最小值是2C．假如，，那么 D．假如，那么4．已知平面對(duì)量，若，則（）A． B． C．1 D．5．若，則三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．6．函數(shù)的部分圖像大致是（）A． B．C． D．7．惠州市某工廠10名工人某天生產(chǎn)同一類型零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，記這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則（）A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a8．已知函數(shù)f（x），則下列結(jié)論正確的是（）A．f（x）是周期函數(shù) B．f（x）是奇函數(shù)C．f（x）在（0，+∞）是增函數(shù) D．f（x）的值域?yàn)閇﹣1，+∞）二、多選題(共4小題，每小題5分,共20分)9．對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．為偶函數(shù) B．的一個(gè)周期為C．的值域?yàn)?D．在單調(diào)遞增10．下列說(shuō)法正確的是（）A．命題，的否定為，B．已知隨機(jī)變量X聽(tīng)從正態(tài)分布，若，則C．“”是“”的充要條件D．若二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，則11．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）A．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是B．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)C．D．函數(shù)有極大值，且極大值點(diǎn)12．棱長(zhǎng)為的正四面體中，以下說(shuō)法正確的是（）A．異面直線與所成的角是B．側(cè)棱與底面所成的角的余弦為C．二面角大小的余弦值為D．二面角大小的余弦值為第II卷（非選擇題）三、填空題(共4小題，每小題5分,共20分)13．下列函數(shù)中：①；②；③，其圖象僅通過(guò)向左或向右平移就能與函數(shù)的圖象重合的是______填上符合要求的函數(shù)對(duì)應(yīng)的序號(hào)14．有三個(gè)球和一個(gè)正方體，第一個(gè)球與正方體的各個(gè)面相切，其次個(gè)球與正方體的各條棱相切，第三個(gè)球過(guò)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，則這三個(gè)球的表面積之比為_(kāi)___________．15．已知數(shù)列滿意，且，則__________．16．已知，l為過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線，若l與圓O相交于A、B兩點(diǎn)，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的弦長(zhǎng)為_(kāi)_____．四、解答題(共6題，共70分)17．(10分)的角的對(duì)邊分別為，.（1）求；（2）若外接圓的半徑，求面積的最大值.18．(12分)如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC．（1）設(shè)為中點(diǎn)，證明：（2）若，與平面所成角的正弦值19．(12分)已知數(shù)列滿意,,設(shè).(1)求,,;(2)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式.20．(12分)已知向量，，，，函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.21．(12分)已知圓的方程：.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)圓過(guò)A(1，1)時(shí)，求直線被圓所截得的弦的長(zhǎng).22．(12分)（1）已知，，若，且圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求的值.（2）求函數(shù)在上的極值.參考答案1．A【解析】，,，故選A.2．A【分析】首先依據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出，求出的模即可．【詳解】解：，，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模問(wèn)題，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．D【分析】利用基本不等式和對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，以及不等式的性質(zhì)，分別對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行推斷，得到答案.【詳解】選項(xiàng)A中，若，則無(wú)最小值，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，，則函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以最小值為，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，若，則，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，假如，則，所以，所以可得.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，推斷命題是否正確，屬于簡(jiǎn)潔題.4．C【分析】由已知條件，有數(shù)量積的坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而求得【詳解】．又，即故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式，利用向量的垂直關(guān)系，并應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系，求正切值5．B【解析】【分析】利用指數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可推斷出大小關(guān)系.【詳解】解：，，，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6．A【解析】分析：利用函數(shù)的奇偶性，解除選項(xiàng)，再由函數(shù)在內(nèi)的函數(shù)值為正實(shí)數(shù)，從而得出結(jié)論.詳解：，，為偶函數(shù)，故解除B、D，又當(dāng)，函數(shù)值為正實(shí)數(shù)，故選：A.點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，推斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，推斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的改變趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的周期性，推斷圖象的循環(huán)往復(fù)；(5)從函數(shù)的特征點(diǎn)，解除不合要求的圖象．7．D【分析】依據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式即可推斷函數(shù)的性質(zhì)，留意運(yùn)用定義和常見(jiàn)函數(shù)的性質(zhì)．【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)具備周期性，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)不具備周期性，故A錯(cuò)誤；若，，則，且，即函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，綜上，，即的值域?yàn)?，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性和單調(diào)性、周期性及函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．8．D【分析】依據(jù)平均數(shù)的求法，全部數(shù)據(jù)的和除以總個(gè)數(shù)即可，中位數(shù)求法是從大到小排列后，最中間一個(gè)或兩數(shù)的平均數(shù)，眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的即是眾數(shù)，依據(jù)以上方法可以確定出眾數(shù)與中位數(shù)．【詳解】平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，則，故選：D．9．ABC【分析】利用奇偶性的定義以及周期的定義推斷A，B選項(xiàng)；利用換元法以及正弦函數(shù)的單調(diào)性推斷C選項(xiàng)；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性推斷方法推斷D選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；，則函數(shù)的一個(gè)周期為，故B正確；令，則，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故C正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，由于，則函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；故選：ABC【點(diǎn)睛】本題主要考查了推斷函數(shù)的奇偶性，周期性，求函數(shù)值域，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.10．BD【分析】對(duì)于A，由命題的否定方法進(jìn)行推斷即可；對(duì)于B，由正態(tài)分布和特征進(jìn)行推斷；對(duì)于C，由充要條件的推斷方法進(jìn)行推斷即可；對(duì)于D，由二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】解：對(duì)于A，命題，的否定為，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于隨機(jī)變量X聽(tīng)從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，所以當(dāng)，可得，所以B正確；對(duì)于C，由可得，而當(dāng)時(shí)，不成立，當(dāng)可得，從而可得，所以“”是“”的必要不充分條件，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的通項(xiàng)公式為，令，得，所以，得，所以D正確故選：BD【點(diǎn)睛】此題考查命題的否定、正態(tài)分布、不等式的性質(zhì)的應(yīng)用、二項(xiàng)式定理等學(xué)問(wèn)，屬于中檔題11．AD【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程判定A；令，由單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)的判定可得存在，使得，即，從而得到函數(shù)的單調(diào)性與極值判定D；由在區(qū)間上單調(diào)遞減，結(jié)合推斷C；由函數(shù)零點(diǎn)判定定理得到當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，在上無(wú)零點(diǎn)推斷B．【詳解】由，得，則，∴函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，即函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，故A正確；令，，則在上是單調(diào)遞減的，又，由零點(diǎn)存在性定理可得：∴存在，使得，即，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)有極大值，且極大值點(diǎn)，故D正確；由在上單調(diào)遞減，∴，故C錯(cuò)誤；∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，利用零點(diǎn)存在性定理可知：在有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則在上無(wú)零點(diǎn)，即只有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤．故選：AD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)，極值以及切線方程問(wèn)題，考查了零點(diǎn)存在性定理.屬于中檔題.12．ABC【分析】對(duì)于A：取的中點(diǎn)，連接、，作于點(diǎn)，即可證得平面，可得，即可推斷選項(xiàng)A；對(duì)于B：因?yàn)槠矫妫傻?，結(jié)合，可得平面，即可知即為直線與底面所成的角，求出的長(zhǎng)，即可推斷選項(xiàng)B；對(duì)于C：取中點(diǎn)，連接、，則，，所以即為二面角的平面角，在中利用余弦定理即可推斷選項(xiàng)C；對(duì)于D：由選項(xiàng)C可知，二面角大小的余弦值為，即可推斷選項(xiàng)D；【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A：取的中點(diǎn)，連接、，作于點(diǎn)，因?yàn)椋?，，因?yàn)椋云矫?，又平面，所以，所以異面直線與所成的角是，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，所以即為直線與底面所成的角，，所以故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，所以，，所以即為二面角的平面角，在中，，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：由于正四面體的對(duì)稱性可知二面角大小的余弦值等于二面角大小的余弦值，所以二面角大小的余弦值為，故選項(xiàng)D不正確；故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求異面直線所成的角，考查了線面角以及二面角，屬于中檔題.13．：①②【分析】利用誘導(dǎo)公式，依據(jù)的圖象的改變規(guī)律，得出結(jié)論.【詳解】的圖象向左平移個(gè)單位，可得到，故①符合要求.的圖象向右平移個(gè)單位，可得到，故②符合要求.對(duì)于③，無(wú)論向左還是向右，縱坐標(biāo)不變，故不符合條件.故答案為：①②【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，還考查了理解辨析的實(shí)力，屬于中檔題.14．1︰2︰3．【分析】設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)，求出內(nèi)切球的半徑，與棱相切的球的半徑，外接球的半徑，然后求出三個(gè)球的表面積，即可得到結(jié)果．【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則內(nèi)切球的半徑為棱長(zhǎng)的一半，為1；與棱相切的球的半徑就是正方體中相對(duì)棱的距離，也就是面對(duì)角線的長(zhǎng)的一半，為；外接球的半徑為體對(duì)角線的一半，為.所以這三個(gè)球的表面積之比為：故答案為【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查球與正方體的關(guān)系，內(nèi)切球、外接球的關(guān)系，考查空間想象實(shí)力，求出三個(gè)球的半徑是解題的關(guān)鍵．15．【解析】由已知得，則是公比為的等比數(shù)列，，則，故答案為.16．【分析】先設(shè)直線l的方程為：，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離，再利用勾股定理得到，再利用的面積公式求出，令，利用基本不等式求出的最大值，此時(shí)，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，直線l的斜率肯定存在，設(shè)為，又l過(guò)點(diǎn)，則直線l的方程為：，圓心到直線l的距離，由圓的半徑為，則弦長(zhǎng)，則的面積為：，令，則，所以，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；所以，此時(shí)，則的弦長(zhǎng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓的弦長(zhǎng)的求法：幾何法：設(shè)圓的半徑為，弦心距為，弦長(zhǎng)為，則；代數(shù)法：設(shè)弦所在的直線與圓相交于兩點(diǎn)，可列方程組，消去后得到關(guān)于的一元二次方程，從而求得，則弦長(zhǎng).17．（1）（2）【解析】【分析】（1）（方法一）由余弦定理的推論，求出，代入已知條件，即可求出的值，即可確定的度數(shù)；（方法二）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，依據(jù)不為0，求出的值，即可確定的度數(shù)；（2）利用由正弦定理以、三角形內(nèi)角和以及兩角和差公式可得,的面積,然后再依據(jù)角的范圍即可求出結(jié)果.【詳解】（1）（方法一）由余弦定理，，得，所以.（方法二）由正弦定理，，得，所以，所以.（2）由正弦定理，，的面積，，所以，面積的最大值為.【點(diǎn)睛】此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，嫻熟駕馭定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）由線面垂直可證明PA⊥CD，結(jié)合PC⊥CD，即可證明CD⊥平面PAC，再依據(jù)線面垂直的定義，即可證明結(jié)果；（2）依據(jù)題中所給數(shù)據(jù)關(guān)系和勾股定理即可求出，再依據(jù)等體積法，即可求出A到平面的距離為，再依據(jù)與平面所成角的正弦值，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．又PC⊥CD，PA∩PC=P，PA?平面PAC，PC?平面PAC，∴CD⊥平面PAC．又為中點(diǎn)，所以平面PAC，所以；（2）設(shè)，過(guò)C作CK垂直AD于K點(diǎn)，因?yàn)锳B=BC=1，AB⊥BC所以在直角三角形ABC中，，在直角三角形PAC中，；又AD∥BC，AB⊥BC，所以；所以在直角三角形CKD中，;在直角三角形PAD中，，由（1）可知三角形PCD為直角三角形所以，即，所以；所以設(shè)A到平面的距離為又所以所以所以所以與平面所成角的正弦值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定定理，以及等體積法在求點(diǎn)到平面距離中的應(yīng)用，屬于中檔題.19．(1),,；(2)證明見(jiàn)詳解，，.【分析】（1）依據(jù)遞推公式，賦值求解即可；（2）利用定義，求證為定值即可，由數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得和.【詳解】（1）由條件可得，將代入得，，而，所以.將代入得，所以.從而，，.（2）由條件可得，即，，又，所以是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，.因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推關(guān)系求數(shù)列某項(xiàng)的值，以及利用數(shù)列定義證明等比數(shù)列，及求通項(xiàng)公式，是數(shù)列綜合基礎(chǔ)題.20．（1）；（2）【分析】（1）利用平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，及三角函數(shù)的恒等變換，可得，由圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離，可求出的周期，再結(jié)合公式，可求