福建省龍巖市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE18-福建省龍巖市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）（考試時(shí)間：120分鐘滿分150分）留意：1.試卷共4頁，另有答題卡，解答內(nèi)容一律寫在答題卡上，否則不得分.2.作圖請(qǐng)運(yùn)用2B鉛筆，并用黑色簽字筆描畫.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求.請(qǐng)把答案填涂在答題卡上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得一元二次方程，解得集合，再依據(jù)集合的交運(yùn)算，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，解得，或，故可得，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集的求解，屬基礎(chǔ)題.2.若角終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)角度終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)，即可簡(jiǎn)單求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榻墙K邊經(jīng)過點(diǎn)，則.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查由角度終邊上的一點(diǎn)求三角函數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.3.的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和特別角的三角函數(shù)值，即可求得結(jié)果.【詳解】.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式求解三角函數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的零點(diǎn)肯定位于區(qū)間（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函數(shù)在其定義域上連續(xù)，同時(shí)可推斷f（2）＜0，f（3）＞0；從而可得解．【詳解】函數(shù)f（x）＝在其定義域上連續(xù)，f（2）＝2+2?2﹣6＝ln2﹣2＜0，f（3）＝ln3+2?3﹣6＝ln3＞0；故函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間（2，3）上，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算，熟記定理，精確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．5.下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)指對(duì)冪函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，即可簡(jiǎn)單求得.【詳解】對(duì)，其既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)，其是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；對(duì)，其是偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增，故正確；對(duì)，其是偶函數(shù)，且在區(qū)間是減函數(shù)，故錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查指對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬綜合基礎(chǔ)題.6.《九章算術(shù)》是體現(xiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出著作，其中（方田）章給出的計(jì)算弧田面積的閱歷公式為：弧田面積（弦矢矢），弧田（如圖陰影部分）由圓弧及其所對(duì)的弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦的長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)減去圓心到弦的距離，若有弧長(zhǎng)為，半徑為2的弧田，依據(jù)上述閱歷公式計(jì)算得到的弧田面積是（）A.1 B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】依據(jù)弧長(zhǎng)和半徑求出圓心角，矢，弦，即可依據(jù)公式求解.【詳解】依據(jù)弧長(zhǎng)公式，圓心角，依據(jù)勾股定理可得弦長(zhǎng)，依據(jù)題意可知矢的長(zhǎng)度為，依據(jù)公式可得弧田面積（弦矢矢）.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.7.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將數(shù)據(jù)與進(jìn)行比較即可區(qū)分大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?；，故故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，屬基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)，若，且在區(qū)間內(nèi)有最小值，無最大值，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】依據(jù)可得函數(shù)的對(duì)稱軸，再結(jié)合在區(qū)間內(nèi)有最小值，無最大值，解三角方程即可求得.【詳解】因?yàn)?，故可得是該函?shù)的對(duì)稱軸；又因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)有最小值，無最大值，故可得，即，則，解得.又，解得，故可得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由余弦型函數(shù)的性質(zhì)，求參數(shù)的值，屬基礎(chǔ)題.9.已知，那么下列命題成立的是（）A.若，是第一象限角，則B.若，是其次象限角，則C.若，是第三象限角，則D.若，是第四象限角，則【答案】D【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)線，以及特別角的三角函數(shù)值即可簡(jiǎn)單推斷.【詳解】對(duì)選項(xiàng)：令滿意，但，故錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)：令滿意，但，故錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)：令滿意，但，故錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)：畫出余弦線以及正切線如下所示：如圖所示：余弦線滿意，但其對(duì)應(yīng)正切線，則，故正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用正切線比較三角函數(shù)值的大小，屬基礎(chǔ)題.10.已知函數(shù)，，若這兩個(gè)函數(shù)圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分類探討，將問題轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題，即可簡(jiǎn)單求得參數(shù)范圍.【詳解】因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，；（1）當(dāng)，時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，要滿意題意，只需當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，等價(jià)于有兩個(gè)非正根即可.明顯，該方程的兩根為和，要滿意題意，只需且即可，即且，又，故；（2）當(dāng)，時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，要滿意題意，只需當(dāng)時(shí)，有一個(gè)根，等價(jià)于有一個(gè)非正根即可.明顯，該方程的兩根為和，則只需或即可，解得或，又，故；綜上所述：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，屬綜合中檔題.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共2小題，每小題5分，共10分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.請(qǐng)把答案填涂在答題卡上.11.將函數(shù)的圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)的圖象最小正周期為C.函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】AC【解析】【分析】先依據(jù)函數(shù)圖像的變換求得的解析式，再求其函數(shù)性質(zhì)即可.【詳解】由題可知，.因?yàn)?，故正確；因?yàn)榈闹芷跒?，故錯(cuò)誤；因?yàn)?，故可得，故正確；因?yàn)檎泻瘮?shù)不是軸對(duì)稱函數(shù)，故錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的變換以及正切型函數(shù)的性質(zhì)，屬綜合基礎(chǔ)題.12.函數(shù)的定義域?yàn)镽，且與都為偶函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.為偶函數(shù)C.為奇函數(shù) D.為周期函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，即可簡(jiǎn)單求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，故可得，①又是偶函數(shù)，故可得，②由①可得：；由②可得；故可得，則，故可得是周期為的周期函數(shù)，故正確；又因?yàn)榫鶠榕己瘮?shù)，故可得是偶函數(shù)，故正確；故也偶函數(shù).綜上所述，正確的選項(xiàng)有.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期性和對(duì)稱性的判定，屬綜合基礎(chǔ)題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則________.【答案】.【解析】【分析】先計(jì)算，再計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，故可?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的函數(shù)值，涉及指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.14.，，則________.【答案】.【解析】【分析】利用，將已知代數(shù)式轉(zhuǎn)化為的方程，即可求解.【詳解】因?yàn)?，整理得，解得或，因?yàn)?，故可得，?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由同角三角函數(shù)關(guān)系，求正切值，屬基礎(chǔ)題.15.函數(shù)部分圖象如圖所示，若，且，，滿意，則________，此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間是________.【答案】(1)..(2)..【解析】【分析】依據(jù)，，即可解得，再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷?，且故可得，因?yàn)?，故可得，則可得又因?yàn)?，故可得，則可得解得，則.令，故可得.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查由正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)值以及正弦型三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，屬中檔題.16.已知是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)隨意都有，則________.【答案】.【解析】【分析】令，為常數(shù)，解方程即可簡(jiǎn)單求得.【詳解】由題可令，為常數(shù)，滿意函數(shù)為偶函數(shù)，則，則原式等價(jià)于，整理得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，屬中檔題；本題中采納的方法是作選擇題的奇妙方法，也可用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行探討.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知，.（1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用倍角公式即可簡(jiǎn)單求得結(jié)果；（2）先求得，再依據(jù)余弦的差角公式即可簡(jiǎn)單求得.【詳解】（1）由得：（2），，..又，，【點(diǎn)睛】本題考查余弦的倍角公式，以及利用余弦的差角公式解決給值求值的問題，屬綜合基礎(chǔ)題.18.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）當(dāng)，時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）求解指數(shù)不等式，即可求得，依據(jù)集合的運(yùn)算，即可簡(jiǎn)單求得結(jié)果；（2）依據(jù)集合之間的包含關(guān)系，即可簡(jiǎn)單求得參數(shù)范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.或..（2），由，，，，，m的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，以及由集合之間的關(guān)系求參數(shù)的范圍，涉及指數(shù)不等式的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.19.已知.（1）求的值；（2）若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間是單調(diào)函數(shù)，求的全部可能取值..【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）利用降冪擴(kuò)角公式以及協(xié)助角公式，即可簡(jiǎn)單化簡(jiǎn)，則函數(shù)值可得；（2）依據(jù)對(duì)稱中心，即可簡(jiǎn)單求得的初步范圍，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可對(duì)進(jìn)行取舍.【詳解】（1）（2）圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，，又在是單調(diào)函數(shù)，（為的最小正周期）即，，經(jīng)檢驗(yàn)，1合題意.綜上所述：或【點(diǎn)睛】本題考查利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，以及依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的值，屬綜合中檔題.20.一片森林原來面積為a，安排每年砍伐一些樹，每年砍伐且使森林面積每年比上一年削減的百分比相同，當(dāng)砍伐到原面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是20年.為愛護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的﹐已知到今年為止，森林剩余面積為.（1）求每年砍伐面積的百分比；（2）該森林今后最多還能砍伐多少年？【答案】（1）；（2）今后最多還能砍30年.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，列出關(guān)于砍伐面積的百分比的方程，即可簡(jiǎn)單求得；（2）依據(jù)題意，列出不等式，求解指數(shù)不等式即可簡(jiǎn)單求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)每年砍伐面積的百分比為則即，解得：.（2）設(shè)從今年起先，最多可以砍年，依題意得即，可得，，解得今后最多還能砍30年.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，涉及指數(shù)不等式的求解，屬綜合中檔題.21.已知函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中a為常數(shù).（1）求a的值；（2）設(shè)的定義域?yàn)镸，的定義域?yàn)镹，對(duì)隨意的，是否總存在，使得，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)即可簡(jiǎn)單求得參數(shù)值；（2）依據(jù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的值域，依據(jù)值域之間的包含關(guān)系，即可簡(jiǎn)單證明.【詳解】（1）依題得，即即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.（2）由（1）得，令在上遞增.又在上遞增，在上遞增.又.，的值域?yàn)?，的值域?yàn)?.所以對(duì)隨意，總存在，使得.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值，以及依據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域，涉及三角函數(shù)值域的求解，屬綜合中檔題.22.已知函數(shù).（1）推斷的單調(diào)性并寫出證明過程；（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.【答案】（1）在R上遞增，證明見解析；（2）或.【解析】【分析】（1）先推斷函數(shù)的奇偶性，再依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，作差比較大小即可求證明；（2）依據(jù)（1）中所求單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)問題，利用之間的關(guān)系進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問題即可求得.【詳解】（1）在R上遞增.證明：，恒成立