四川省成都市外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

成都外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年度下期期末考試高二數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．2．本堂考試120分鐘，滿分150分．3．答題前，考生務(wù)必先將自己姓名、學(xué)號(hào)填寫在答題卡上，并使用2B鉛筆填涂．4．考試結(jié)束后，將答題卡交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B． C． D．2．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A． B． C． D．3．關(guān)于線性回歸的描述，有下列命題：①回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心； ②相關(guān)系數(shù)r越大，線性相關(guān)程度越強(qiáng)；③決定系數(shù)越接近1擬合效果越好； ④隨機(jī)誤差平方和越小，擬合效果越好．其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．44．設(shè)，，，則有（）A． B． C． D．5．在空間直角坐標(biāo)系中，，，，，三角形ABC重心為G，則點(diǎn)P到直線AG的距離為（）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)，拋物線上有一點(diǎn)，則的最小值是（）A．10 B．8 C．5 D．47．有5名大學(xué)生到成都市的三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每名大學(xué)生至多被一個(gè)學(xué)校錄用，每個(gè)學(xué)校至少錄用其中一人，則不同的錄用情況種數(shù)是（）A．390 B．150 C．90 D．4208．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，右支上一點(diǎn)P滿足，直線l平分，過點(diǎn)，作直線l的垂線，垂足分別為A，B．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）A． B． C． D．10二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有錯(cuò)選的得0分．9．若“，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值可以為（）A．8 B．7 C．6 D．510．我國5G技術(shù)研發(fā)試驗(yàn)在2016~2018年進(jìn)行，分為5G關(guān)鍵技術(shù)試驗(yàn)、5G技術(shù)方案驗(yàn)證和5G系統(tǒng)驗(yàn)證三個(gè)階段．2020年初以來，5G技術(shù)在我國已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，5G手機(jī)的銷量也逐漸上升．某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了2022年5個(gè)月5G手機(jī)的實(shí)際銷量，如下表所示：月份2022年1月2022年2月2022年3月2022年4月2022年5月月份編號(hào)x12345銷量y（部）5096a185227若y與x線性相關(guān)，且求得回歸直線方程為，則下列說法正確的是（）A． B．y與x的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)C．y與x正相關(guān) D．2022年7月該手機(jī)商城的5G手機(jī)銷量約為365部11．已知定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A． B．C．函數(shù)為R上的偶函數(shù) D．函數(shù)為周期函數(shù)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為__________．13．若，則的值為__________．14．若數(shù)列滿足，（，d為常數(shù)），則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列．已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且，則的最大值為__________．四、解答題：共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)向量，，，．（1）求函數(shù)的最小值；（2）若，，，求的面積．16．（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，，，平面PAB，，E、F分別是棱PB、PC的中點(diǎn)．（1）證明：平面ACE；（2）求平面ACE與平面PAD的夾角的正弦值．17．（本小題滿分15分）某校為了解本校學(xué)生課間進(jìn)行體育活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取了50名男生和50名女生，通過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：50名女生中有10人課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)，50名男生中有20人課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)．（1）請(qǐng)補(bǔ)全列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷性別與課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)是否有關(guān)聯(lián)；性別體育活動(dòng)合計(jì)課間不經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)男女合計(jì)（2）以樣本的頻率作為概率的值，在全校的男生中任取4人，記其中課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)的人數(shù)為X﹐求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中．18．（本小題滿分17分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)別為，，離心率為，過點(diǎn)的動(dòng)直線l交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，且l不與x軸垂直，的周長(zhǎng)為，直線與E交于另一點(diǎn)C，直線與E交于另一點(diǎn)D，點(diǎn)P為橢圓E的下頂點(diǎn)，如圖．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn)．19．（本小題滿分17分）定義運(yùn)算：，已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)的最大值為0，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：；（3）證明：．成都外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年度下期期末考試高二數(shù)學(xué)試卷參考答案：1．A【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出共輒復(fù)數(shù)，再求模即可．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，故C正確．故選：A．2．D【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)遞增遞減區(qū)間即得．【詳解】由求導(dǎo)得，，則當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：D．3．C【分析】根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)，相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)及隨機(jī)誤差平方和的意義判斷各項(xiàng)的正誤即可．【詳解】對(duì)于①，回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，故①正確；對(duì)于②，相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，線性相關(guān)性越強(qiáng)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，決定系數(shù)R越接近1擬合效果越好，故③正確；對(duì)于④，隨機(jī)誤差平方和越小，擬合效果越好，故④正確．故選：C．4．C【分析】利用二倍角公式及兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【詳解】，，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故．故選：C．5．B【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，，，，，三角形ABC重心為G，所以，，，所以在上的投影為：，所以點(diǎn)P到直線AG的距離為：．故選：B．6．B【分析】結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算和焦半徑公式，轉(zhuǎn)化，再利用數(shù)形結(jié)合求最值．【詳解】已知拋物線上有一點(diǎn)，則，即．又，故在拋物線的外部，則，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則，故．由于，當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線（P在A，F(xiàn)之間）時(shí)，取到最小值，則的最小值為．故選：B．7．A【分析】根據(jù)錄用的人數(shù)，結(jié)合組合和排列的定義分類討論進(jìn)行求解即可．【詳解】若5人中有且僅有3人被錄用，滿足條件的錄用情況有種，若5人中有且僅有4人被錄用，滿足條件的錄用情況有種，若5人都被錄用，滿足條件的錄用情況有種，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得符合要求的不同的錄用情況種數(shù)是390．故選：A．8．D【分析】根據(jù)給定條件，求出，結(jié)合幾何圖形及雙曲線定義可得的面積得解．【詳解】由雙曲線的離心率為，得，解得，令直線交的延長(zhǎng)線交于Q，直線交于N，則，，由PA平分，且，得，則，，，顯然A，B分別為線段，的中點(diǎn)，而O是的中點(diǎn)，于是，，，即，，所以的面積．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求出面積的關(guān)鍵是作出點(diǎn)Q，借助幾何圖形的特征，結(jié)合雙曲線定義求得．9．ABC【分析】根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成即在恒成立，令，利用其單調(diào)性，求出的最大值，即可求解．【詳解】因?yàn)椤?，”為假命題，所以，恒成立，即在恒成立，所以且．令，易知在上是增函數(shù)，所以，所以．故選：ABC．10．AC【分析】對(duì)A，根據(jù)樣本中心在回歸直線上即可求解；對(duì)B，從表格數(shù)據(jù)看，y隨x的增大而增大，即可判斷；對(duì)C，因?yàn)閥與x正相關(guān)，所以y與x的相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，故可判斷；對(duì)D，將月份編號(hào)代入到回歸直線即可求解判斷．【詳解】對(duì)A，，，因?yàn)辄c(diǎn)在回歸直線上，所以，解得，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)C，從表格數(shù)據(jù)看，y隨x的增大而增大，所以y與x正相關(guān)，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)B，因?yàn)閥與x正相關(guān)，所以y與x的相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)D，2022年7月對(duì)應(yīng)的月份編號(hào)，當(dāng)時(shí)，，所以2022年7月該手機(jī)商城的5G手機(jī)銷量約為320部，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．11．AD【分析】首先利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，結(jié)合關(guān)系式的變換得到函數(shù)周期判斷B，利用特殊值代入判斷A，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性結(jié)合關(guān)系式和偶函數(shù)定義判斷C，根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式和單調(diào)性判斷D．【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，故函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，為奇函數(shù)，，函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，對(duì)于D，，，故2是函數(shù)的周期，函數(shù)為周期函數(shù)，故D正確；對(duì)于A，，令，，故，又，故A正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上遞增，函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，故函數(shù)在上遞減，故函數(shù)在上遞增，所以，故函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤，故選：AD．【點(diǎn)睛】抽象函數(shù)的判斷一般會(huì)從函數(shù)奇偶性、周期性和對(duì)稱性的定義推得相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)；12．【詳解】由，得，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以集合是集合的真子集，所以（不同時(shí)取等號(hào)），解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故答案為：．13．128【詳解】令，得．14．2【分析】根據(jù)調(diào)和數(shù)列，可得為等差數(shù)列，即可根據(jù)等差數(shù)列求和公式得，進(jìn)而利用不等式即可求解．【詳解】數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，故，所以為等差數(shù)列，由，所以，故，所以，故，故，由于．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為2．故答案為：2．15．【詳解】（1）．因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，有最小值．（2）因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)椋裕烧叶ɡ?，，所以，．又因?yàn)?，所以，得，由余弦定理有：，所以．所以?6．【詳解】（1）如圖所示，連接EF．因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱PB，PC的中點(diǎn)，所以，．因?yàn)?，，所以，，所以四邊形ADFE是平行四邊形，則．因?yàn)槠矫鍭CE，平面ACE，所以平面ACE．（2）因?yàn)槠矫鍼AB，PA、平面PAB，所以，，又因?yàn)?，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題中數(shù)據(jù)可得，，，，．設(shè)平面ACE的法向量為，則令，得．因?yàn)?，，，所以平面PAD．平面PAD的一個(gè)法向量為．設(shè)平面ACE與平面PAD的夾角為，則．故，即平面ACE與平面PAD的夾角的正弦值為．17．【詳解】（1）依題意，列出列聯(lián)表如下：課間不經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)合計(jì)男302050女401050合計(jì)7030100零假設(shè)為：性別與課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)相互獨(dú)立，即性別與課間是否經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)無關(guān)，因?yàn)?，根?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為性別與課間是否經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05．（2）由題意得，經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)者的頻率為，所以在本校中隨機(jī)抽取1人為經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)者的概率為，由題意得，則，，可得，，，，，X的分布列為：X01234PX的數(shù)學(xué)期望為，X的方差為．18．【分析】（1）利用橢圓的第一定義和離心率，求解橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，，，的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理得到點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程，根據(jù)對(duì)稱性，如果直線CD過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)在x軸上，即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)；【詳解】（1）由橢圓定義可知，，所以的周長(zhǎng)為，所以，又因?yàn)闄E圓離心率為，所以，所以，又，所以橢圓的方程：．（2）（?。┰O(shè)點(diǎn)，，，，則直線的方程為，則，由得，，所以，因?yàn)椋?，所以，故，又，同理，，，由A，，B三點(diǎn)共線，得，所以，直線CD的方程為，由對(duì)稱性可知，如果直線CD過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)在x軸上，令得，，故直線CD過定點(diǎn)．19．【分析】（1）求導(dǎo)后，分類討論單調(diào)性，進(jìn)而得到最值，求出a的值即可；（2）條件等價(jià)于有兩個(gè)不等的正根，結(jié)合判別式非負(fù)，以及韋達(dá)定理求出a的范圍，要證，即證，令求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，證明結(jié)論．（