2024年高考數(shù)學(xué)(理科)試題分類匯編：概率與統(tǒng)計(jì)

2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編

概率與統(tǒng)計(jì)

選擇題:

1.（安徽卷10）.設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N（M，b；）（d〉0）和N（〃2，1）。2>0）的密度函數(shù)圖像如

圖所示。則有(A)

A.

B.<〃2，巧>a2

C.>"2,2

D.>〃2，%>a2

2.（山東卷7）在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)中，有編號(hào)為1,2,3,…，18的18名火炬手.

若從中任選3人，則選出的火炬手的編號(hào)能組成3為公差的等差數(shù)列的概率為B

(A)—(B)—

5168

(C)—(D)—

306408

3.（山東卷8）右圖是依據(jù)《山東統(tǒng)計(jì)年整2024》中的資料作成的1997年至2024年我省城鎮(zhèn)

居民百戶家庭人口數(shù)的莖葉圖.圖中左邊的數(shù)字從左到右分別表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)

的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的個(gè)位數(shù)字，從圖中可以

得到1997年至2024年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的平均數(shù)為

（A）304.6（B）303.6（C）302.6（D）301.6

4.（江西卷11）電子鐘一天顯示的時(shí)間是從00:00到23:59的每一時(shí)刻都由四個(gè)數(shù)字組成，

則一天中任一時(shí)刻的四個(gè)數(shù)字之和為23的概率為C

A.—B.-^―C.-^―D.

180288360480

5.（湖南卷4）設(shè)隨機(jī)變量自聽從正態(tài)分布^2,9）,若。6>°+1）=玳4<°-1）,則k（B）

A.1B.2C.3D.4

6.（重慶卷5）已知隨機(jī)變量？聽從正態(tài)分布M3,a2），則夕（，<3）=D

（A）-（B）-（0-（D）-

5432

7.（福建卷5）某一批花生種子，假如每1粒發(fā)牙的概率為《那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)

芽的概率是B

1696192256

A.------DR.------C.------D.------

625625625625

8.(廣東卷2)記等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S”，若,§4=20,則$6=(D)

A.16B.24C.36D.48

9.（遼寧卷7）4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取

出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（C）

123

A1Rrn

3234

二.填空題：

1.（天津卷11）一個(gè)單位共有職工200人，其中不超過45歲的有120人，超過45歲的有80

人.為了調(diào)查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個(gè)容量為25的樣本，

應(yīng)抽取超過45歲的職工人.10

2.（上海卷7）在平面直角坐標(biāo)系中，從六個(gè)點(diǎn)：A（0,0）、B（2,0）、C（l,1）、D（0,2）、E（2,2）、

3

F（3,3）中任取三個(gè)，這三點(diǎn)能構(gòu)成三角形的概率是（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

3.（上海卷9）已知總體的各個(gè)體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,&12,13.7,18.3,20,

且總體的中位數(shù)為10.5,若要使該總體的方差最小，則a、6的取值分別是10.5和10.5;

4.（江蘇卷2）一個(gè)骰子連續(xù)投2次，點(diǎn)數(shù)和為4的概率.-

----------12

5.（江蘇卷6）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的肯定值均不大于2的點(diǎn)

構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨機(jī)投一點(diǎn)，則落入E中

的概率________.—

16

6.（湖南卷15）對(duì)有〃（〃巳4）個(gè)元素的總體｛1,2,，科進(jìn)行抽樣，先將總體分成兩個(gè)子總體

｛1,2,，相｝和｛m+1,加+2,…㈤（勿是給定的正整數(shù)，且2WHW/T-2）,再從每個(gè)子總體中各隨

機(jī)抽取2個(gè)元素組成樣本.用與表示元素，和j,同時(shí)出現(xiàn)在樣本中的概率，則匕=—;全部

瑪.的和等于.,6

解答題:

1.（全國一20）.（本小題滿分12分）

（留意：在試題卷上作答無效）

已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，須要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為

患病動(dòng)物，呈陰性即沒患病.下面是兩種化驗(yàn)方法：

方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止.

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn).若結(jié)果呈陽性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然

后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn).

(I)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；

(II)J表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求自的期望.

解：(I)對(duì)于甲：

次數(shù)12345

概率0.20.20.20.20.2

對(duì)于乙:

次數(shù)234

概率0.40.40.2

0.2x0.4+0.2x0.8+0.2x1+0.2x1=0.64.

(II)J表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，J的期望為EJ=2x0.4+3x0.4+4x0.2=2.8.

2.(全國二18).(本小題滿分12分)

購買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)。元，若投保人在購買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可

以獲得10000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10000人購買了這種保險(xiǎn),且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立.已

知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1-0.9991°4.

(I)求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率p；

(II)設(shè)保險(xiǎn)公司開辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0,求每位

投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)(單位：元).

解：

各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立，且出險(xiǎn)的概率都是P，記投保的10000人中出險(xiǎn)的人數(shù)為

則占~3(1()4,P).

(I)記A表示事務(wù)：保險(xiǎn)公司為該險(xiǎn)種至少支付10000元賠償金，則反發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)自=0,2分

P(A)=1-P(A)

=l-P(^=0)

=1-(1-pf,

又尸⑷=1-0.999”，

故p=0.001.........................................................................................................................5分

(II)該險(xiǎn)種總收入為10000a元，支出是賠償金總額與成本的和.

支出10000^+50000,

盈利〃=10000a—(10000J+50000),

盈利的期望為Ei]=10000a-10000E^-50000,..........................9分

由4~5(1。4,10-3)知,酸=10000x10-3,

E/j^l04a-104E^-5xl04

=104?-104X104X10-3-5X104.

<=>104?-104X10-5X104^0

ci—10—50

oa'15(元).

故每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為15元........................................12分

3.(北京卷17).(本小題共13分)

甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到AB,C,。四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者.

(I)求甲、乙兩人同時(shí)參與A崗位服務(wù)的概率；

(II)求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率；

(III)設(shè)隨機(jī)變量J為這五名志愿者中參與A崗位服務(wù)的人數(shù)，求自的分布列.

解：(I)記甲、乙兩人同時(shí)參與A崗位服務(wù)為事務(wù)后入，那么，

即甲、乙兩人同時(shí)參與A崗位服務(wù)的概率是

40

(II)記甲、乙兩人同時(shí)參與同一崗位服務(wù)為事務(wù)E,那么，

所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是.

(III)隨機(jī)變量J可能取的值為1,2.事務(wù)“自=2”是指有兩人同時(shí)參與A崗位服務(wù)，

則.

3

所以pe=i)=i—PC=2)=Z，自的分布列是

413

2j_

P

44

4.(四川卷18).(本小題滿分12分)

設(shè)進(jìn)入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5,購買乙種商品的概率為0.6,且購買甲種商品

與購買乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購買商品也是相互獨(dú)立的。

(I)求進(jìn)入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；

(II)求進(jìn)入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；

(III)記&表示進(jìn)入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求&的分布列及期望。

【解】：記A表示事務(wù)：進(jìn)入商場的1位顧客購買甲種商品，

記8表示事務(wù)：進(jìn)入商場的1位顧客購買乙種商品，

記C表示事務(wù)：進(jìn)入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，

記。表示事務(wù)：進(jìn)入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種，

（I）C—A-B-\-A-B

P（C）=P（AB+AB）

=P（A）-P（B）+P（A）P（B）

=0.5x0.4+0.5x0.6

=0.5

（II）D=AB

P（D）=P（A.B）

=「（孫明

二0.5x0.4

=0.2

P（Z））=l-P（5）=0.8

（III）J5（3,0.8）,故4的分布列

0（4=0）=0.23=0.008

pg=1）=C；x0.8x0.22=0.096

P（^=2）=C^XO.82X0.2=0.384

p（J=3）=0.83=0.512

所以年=3x0.8=2.4

5.（天津卷18）（本小題滿分12分）

甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為工與p,且乙投球2次均未命中的概率

為L

16

（I）求乙投球的命中率p；

（II）求甲投球2次，至少命中1次的概率；

（III）若甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次的概率.

解：本小題主要考查隨機(jī)事務(wù)、互斥事務(wù)、相互獨(dú)立事務(wù)等概率的基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)用概率學(xué)問解決實(shí)際

問題的實(shí)力.滿分12分.

（I）解法一：設(shè)“甲投球一次命中”為事務(wù)A,“乙投球一次命中”為事務(wù)B.

由題意得Q_P（B））2=（1-/?）2=—

16

解得或5乙（舍去），所以乙投球的命中率為3士.

44

解法二：設(shè)設(shè)“甲投球一次命中”為事務(wù)A,“乙投球一次命中”為事務(wù)B.

由題意得，于是或（舍去），故.

3

所以乙投球的命中率為二.

4

（II）解法一：由題設(shè)和（I）知.

故甲投球2次至少命中1次的概率為

解法二：

由題設(shè)和（I）知

故甲投球2次至少命中1次的概率為C；P（A）P（A）+P（A）P（A）=|

（III）由題設(shè)和（I）知，P（A）=g,pR）=g,P（5）=；,P@）=；

甲、乙兩人各投球2次，共命中2次有三種狀況：甲、乙兩人各中一次；甲中兩次，乙兩次均不中；甲兩

次均不中，乙中2次。概率分別為

所以甲、乙兩人各投兩次，共命中2次的概率為.

6.（安徽卷19）.（本小題滿分12分）

為防止風(fēng)沙危害，某地確定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物。某人一次種植了n株沙柳，各株沙

柳成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p,設(shè)J為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望EJ=3,標(biāo)準(zhǔn)差席為好。

（I）求n,p的值并寫出自的分布列;

（II）若有3株或3株以上的沙柳未成活，則須要補(bǔ)種，求須要補(bǔ)種沙柳的概率

解：（1）由=帆=3,（琥了=叨（1一p）=5,得，

從而

J的分布列為

40123456

1615201561

P

64646464646464

（2）記”須要補(bǔ)種沙柳”為事務(wù)A,則P（A）=PC<3）,得

..1+6+15+2021?n/A\-In/?c、-i15+6+121

P（A）=------------------=——，或P（A）=1-P（<^>3）=1---------------=—

64326432

7.（山東卷18）（本小題滿分12分）

甲乙兩隊(duì)參與奧運(yùn)學(xué)問競賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分,

2

答錯(cuò)得零分。假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為一，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為且各人正確與否相互

3

之間沒有影響用e表示甲隊(duì)的總得分.

(I)求隨機(jī)變量e分布列和數(shù)學(xué)期望；

(II)用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事務(wù)，用8表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這

一事務(wù)，求尸(AB).

(I)解法一：由題意知，e的可能取值為0,1,2,3,且

71?9?

P(￡=0)=C°3X(l--)3=—,P(￡=1)=C13X-X(1--)2=-,

22333

P(￡=2)=C3X(1)X(1-|)=|,P(e=3)=C3x(1)=$.

所以e的分布列為

￡0123

1248

P

279927

e的數(shù)學(xué)期望為

cl,2c4c8c

Ee=0x----l-lx—+2x—+3x——=2.

279927

解法二：依據(jù)題設(shè)可知

因此e的分布列為

=k)=C3kX(力上X(1_力2d=c%x—,^=0,1,2,3.

22

因?yàn)?8(3,1),所以Ee=3x-=2

(II)解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”這一事務(wù)，用。表示“甲得3分乙得0分”這一事務(wù)，所

以A8=CU￡),且C、?；コ?，又

n…,2,八2、「21112121「

P(C)=C23x(—)-X(1——)x—X—X—+—X—X—+—X—X—

33L332332332_

10

一產(chǎn)

尸―審拈x器等

由互斥事務(wù)的概率公式得

1043434

P(AB)=P(Q+P(D)=-+-=-=--

解法二:用Ak表示“甲隊(duì)得4分“這一事務(wù)，用&.表示“己隊(duì)得女分”這一事務(wù)，仁0,1,2,3由于事務(wù)43瓦,&2以

為互斥事務(wù)，故事

P(AB)=P(A3BO□A26尸尸(A35O)+P(A2BI).

2111,22111,2

（―）X（fX-）+C~3—^-x（一乂力"|--XC2x—）

332233232232

=_34

-243,

8.（江西卷18）.（本小題滿分12分）

某柑桔基地因冰雪災(zāi)難，使得果林嚴(yán)峻受損，為此有關(guān)專家提出兩種挽救果林的方案，每種方案都需分兩

年實(shí)施；若實(shí)施方案一，預(yù)料當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量復(fù)原到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、

0.3、0.4；其次年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5.若實(shí)施方案二，

預(yù)料當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；其次年可以使柑

桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的L2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6.實(shí)施每種方案，其次年與第一年相互獨(dú)立。

令"i=1,2）表示方案i實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù).

（1）.寫出八女的分布列；

（2）.實(shí)施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？

（3）.不管哪種方案，假如實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)料可帶來效益10萬元；兩年后柑桔

產(chǎn)量恰好達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)料可帶來效益15萬元；柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)料可帶來效益20萬元；問

實(shí)施哪種方案所帶來的平均效益更大？

解：（1）。的全部取值為0.8、0.9、1.0、1.125、1.25

2的全部取值為0.8、0.96、1.0、1.2、1.44,

幺的分布列分別為：

0.80.91.01.1251.25

P0.20.150.350.150.15

20.80.961.01.21.44

P0.30.20.180.240.08

（2）令A(yù)、B分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量這一事務(wù),

尸（4）=0.15+0.15=0.3,

尸（5）=0.24+0.08=0.32

可見，方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大

（3）令小表示方案，所帶來的效益，則

小101520

P0.350.350.3

〃2101520

P0.50.180.32

所以Eq=14.75,E%=14.1

可見，方案一所帶來的平均效益更大。

9.（湖北卷17）.（本小題滿分12分）

袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上”號(hào)的有"個(gè)（"=1,2,3,4）.現(xiàn)從袋中任取一

球.自表示所取球的標(biāo)號(hào).

（I）求J的分布列，期望和方差；

（II）若r/=瑟+b,Erj=1,Dri=11,試求a,b的值.

解：本小題主要考查概率、隨機(jī)變量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的運(yùn)算實(shí)力.（滿分12分）

解：（I）自的分布列為：

<01234

1131

P

22010205

AE￡=0x-+lx—+2x—+3x—+4x-=1.5.

22010205

^=(0-1.5)2X-+(1-1.5)2X—+(2-1.5)2X—+(3-1.5)2X—+(4-1.5)2X-=2.75.(II)由

22010205

Dv\=a2DL,,得02*2.75=11,即〃=+2又Er|=aE：+員所以

當(dāng)a=2時(shí),由1=2X1.5+6,得b=-2;

當(dāng)。=-2時(shí)，由l=-2XL5+b,得6=4.

或即為所求.

10.（湖南卷16）.（本小題滿分12分）

甲、乙、丙三人參與了一家公司的聘請(qǐng)面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試

合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)每人面試合格的概率都

是,，且面試是否合格互不影響.求：

2

（I）至少有1人面試合格的概率；

（II）簽約人數(shù)J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解：用A,B,C分別表示事務(wù)甲、乙、丙面試合格.由題意知A,B,C相互獨(dú)立,

且尸(A)=P(B)=P(C)

2

(I)至少有1人面試合格的概率是

_______17

1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-(-)3=-.

(II)己的可能取值為0,1,2,3.

pg=0)=P(ABC)+P(ABQ+P(ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

p化=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

--1

p化=2)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

8

P化=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=：

o

所以，自的分布列是

0123

3311

P8888

3311

自的期望修。、+1、+2、+3、"

11.(陜西卷18).(本小題滿分12分)

某射擊測試規(guī)則為：每人最多射擊3次，擊中目標(biāo)即終止射擊，第i次擊中目標(biāo)得(7=1,2,3)分，3次

均未擊中目標(biāo)得。分.已知某射手每次擊中目標(biāo)的概率為0.8,其各次射擊結(jié)果互不影響.

(I)求該射手恰好射擊兩次的概率；

(II)該射手的得分記為求隨機(jī)變量自的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解：(I)設(shè)該射手第，次擊中目標(biāo)的事務(wù)為4。=1,2,3),則尸(4)=08尸(4)=02,

=尸(%)尸(A)=0.2x0.8=0.16.

(II)J可能取的值為0,1,2,3.

J的分布列為

40123

P0.0080.0320.160.8

E￡=0X0.008+1X0.032+2X0.16+3X0.8-2.752.

12.（重慶卷18）（本小題滿分13分，（I）小問5分，（II）小問8分.）

甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球競賽：第一局由甲、乙參與而丙輪空，以后每一局由前一局的獲

勝者與輪空者進(jìn)行競賽，而前一局的失敗者輪空.競賽按這種規(guī)則始終進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6

局時(shí)停止.設(shè)在每局中參賽者輸贏的概率均為,且各局輸贏相互獨(dú)立.求：

2

（I）打滿3局競賽還未停止的概率；

（II）競賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)J的分別列與期望Eg.

解：令人,凡,Q分別表示甲、乙、丙在第4局中獲勝.

（I）由獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生與互斥事務(wù)至少有一個(gè)發(fā)生的概率公式知，打滿3局比

賽還未停止的概率為

p（A。?—）+P（5CA）=5+最=；

（II）己的全部可能值為2,3,4,5,6,且

P化=2）=P（A4）+PCB.）=*+

11

P化=3）=p（AC2c3）+P（4C2c3）=1+

一-

-4-

231

1-1

一+

一--

pe=4)=P(AlC2B3B4)+P(4C2AA4)=48

224

Pe=5)=P(AC244A)+p(5cB5)=55,

22lo

p(&=6)=P(AC2334c5)+P(B1C2A3B4C5)=^+^=^,

故有分布列

23456

P11111

2481616

1111147

從而石］=2x—+3x—+4x—+5x—+6x—=—（局）.

248161616

13.（福建卷20）（本小題滿分12分）

某項(xiàng)考試按科目A、科目8依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成果合格時(shí)，才可接著參與科

目B的考試.已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，兩個(gè)科目成果均合格方可獲得證

2

書.現(xiàn)某人參與這項(xiàng)考試，科目A每次考試成果合格的概率均為一，科目8每次考試

3

成果合格的概率均為L.假設(shè)各次考試成果合格與否均互不影響.

2

（I）求他不須要補(bǔ)考就可獲得證書的概率;

（II）在這項(xiàng)考試過程中，假設(shè)他不放棄全部的考試機(jī)會(huì)，記他參與考試的次數(shù)為自，求己的數(shù)學(xué)期

望E&.

本小題主要考查概率的基本學(xué)問與分類思想,考查運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問分析問題/解愉問題的實(shí)力.滿分12分.

解:設(shè)“科目/第一次考試合格”為事務(wù)4“科目/補(bǔ)考合格”為事務(wù)4；“科目6第一次考試合格”

為事務(wù)8”科目6補(bǔ)考合格”為事務(wù)8.

（I）不須要補(bǔ)考就獲得證書的事務(wù)為4?尻留意到4與笈相互獨(dú)立，

則p（Aij=p（A）xP（4）=g><；=J

答：該考生不須要補(bǔ)考就獲得證書的概率為

3

（II）由已知得，J=2,3,4,留意到各事務(wù)之間的獨(dú)立性與互斥性，可得

2七=2）=尸（4?4）+尸（可過）

2111114

=—X-----1——X—=——I——=——.

3233399

PC=3）=尸（A?瓦?4）+P（A?瓦?瓦）+尸（即4?員）

2112111211114

=—X—X——I——X—X——1-—X—X—=——I-------1--=—,

3223223326693

—?=4）=尸苗?瓦?與）+.瓦.瓦）

12111211111

=—X—X—X——1-—X—X—X—=1=—,

3322332218189

4418

故EJ=2x—+3x—+4x—=—.

9993

Q

答：該考生參與考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為？.

3

14.（廣東卷17）.（本小題滿分13分）

隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品

4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元.設(shè)

1件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）為

（1）求自的分布列；（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤（即J的數(shù)學(xué)期望）；

（3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1%,一等品率提高為70%.假如此時(shí)要求1

件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？

【解析】J的全部可能取值有6,2,1,-2；,

4

,=-2）=——=0.02

200

故J的分布列為:

621-2

P0.630.250.10.02

⑵心=6x0.63+2x025+1x0.1+(—2)x0.02=4.34

(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x,則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤為

E(x)=6x0.7+2x(1—0.7—0.01—x)+(-2)x0.01=4.76-x(0<x<0,29)

依題意，E(x)>4.73,即4.76-124.73,解得0.03所以三等品率最多為3%

15.(浙江卷19)(本題14分)一個(gè)袋中有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球。已知從袋中隨意摸出1

27

個(gè)球，得到黑球的概率是一；從袋中隨意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是一。

59

(I)若袋中共有10個(gè)球，

(i)求白球的個(gè)數(shù)；

(ii)從