2024年復(fù)數(shù)知識點(diǎn)

復(fù)數(shù)知識點(diǎn)講解——備課人：李發(fā)1、復(fù)數(shù)的定義：設(shè)為方程的根，稱為虛數(shù)單位，由與實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算.便產(chǎn)生形如的數(shù)，稱為復(fù)數(shù).所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集,一般用來表達(dá).2、復(fù)數(shù)的幾種形式.⑴對任意復(fù)數(shù)，稱實(shí)部記作,稱虛部記作.稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.⑵若將作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么復(fù)數(shù)與坐標(biāo)平面唯一一種點(diǎn)相對應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一映射.因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來表達(dá)，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表達(dá)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)平面叫做復(fù)平面，其中軸稱為實(shí)軸，軸叫做虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表達(dá)實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表達(dá)純虛數(shù),點(diǎn)稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；⑶假如將作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)又對應(yīng)唯一一種向量.因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表達(dá)形式，稱為向量形式；【模相等且方向相似的向量，不管它的起點(diǎn)在哪裏，都認(rèn)為是相等的，而相等的向量表達(dá)同一復(fù)數(shù).特例：零向量的方向是任意的，其模為零.注：.】⑷此外設(shè)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，見圖15-1，連接，設(shè)，則,因此，這種形式叫做三角形式.⑸若，則稱為的輻角.若，則稱為的輻角主值，記作.稱為的模，也記作，由勾股定理知.假如用表達(dá)，則，稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式.3、復(fù)數(shù)及其有關(guān)概念：①復(fù)數(shù)——形如的數(shù)；②實(shí)數(shù)——當(dāng)時(shí)的復(fù)數(shù)，即；【】③虛數(shù)——當(dāng)時(shí)的復(fù)數(shù)；④純虛數(shù)——當(dāng)且時(shí)的復(fù)數(shù)，即.若，是純虛數(shù).⑤復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部——叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫做虛部（注意都是實(shí)數(shù)）⑥復(fù)數(shù)集——全體復(fù)數(shù)的集合，一般用字母表達(dá)即虛數(shù)不能比較大小，只有等與不等.雖然是也沒有大小.4、復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a,b）平面向量5、兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：且（其中）尤其地，.6、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算⑴復(fù)數(shù)的和：⑵復(fù)數(shù)的差：復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算：⑶復(fù)數(shù)的乘法：【復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足互換律、結(jié)合律和分派律.實(shí)數(shù)集中正整數(shù)指數(shù)的運(yùn)算律,在復(fù)數(shù)集中也仍然成立.即對有:,,.】⑷復(fù)數(shù)的除法：，分母實(shí)數(shù)化是常規(guī)措施7、⑴復(fù)數(shù)的模：若向量表達(dá)復(fù)數(shù)，則稱的模為復(fù)數(shù)的模，；積或商的模可運(yùn)用模的性質(zhì)（1），（2）⑵共軛復(fù)數(shù)：若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部是互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫互為共軛復(fù)數(shù)；尤其地，虛部不為的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)；【注：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)之差是純虛數(shù).（×）[之差也許為零，此時(shí)兩個(gè)復(fù)數(shù)是相等的]】⑶共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)或向量以實(shí)軸對稱,即，⑷共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：⑴;⑵；⑶;⑷;⑸;⑹；⑺；⑻；⑼若，則.(1)常用的結(jié)論：，，，（2）“1”的立方根的性質(zhì)：①②③④⑤（3）實(shí)系數(shù)方程虛根成對定理：實(shí)系數(shù)一元次方程的虛根成對出現(xiàn)，即若是方程的一種根，則也是一種根.（4）在實(shí)數(shù)集成立的.當(dāng)為虛數(shù)時(shí)，，因此復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程不能采用兩邊平措施.8、⑴復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：.其中是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù).由上可得：復(fù)平面內(nèi)認(rèn)為圓心，為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程：.=2\*GB2⑵曲線方程的復(fù)數(shù)形式：①表達(dá)認(rèn)為圓心，為半徑的圓的方程.②表達(dá)線段的垂直平分線的方程.③表達(dá)認(rèn)為焦點(diǎn)，長半軸長為a的橢圓的方程（若，此方程表達(dá)線段）.④表達(dá)認(rèn)為焦點(diǎn)，實(shí)半軸長為a的雙曲線方程（若，此方程表達(dá)兩條射線）.=3\*GB2⑶絕對值不等式：設(shè)是不等于零的復(fù)數(shù)，則①.左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.【】②.左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.9、兩個(gè)復(fù)數(shù)，假如不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小.⑴若為復(fù)數(shù)：當(dāng)時(shí)，則（×）[為復(fù)數(shù)，而不是實(shí)數(shù)]；：當(dāng)時(shí)，則.（√）⑵若，則是的必要不充足條件.（當(dāng)，時(shí)，上式成立）10、⑴復(fù)數(shù)的三角形式：.輻角主值：適合于的值，記作.【注：①為零時(shí)，可取內(nèi)任意值.②輻角是多值的，都相差2的整數(shù)倍.③設(shè)則.】⑵復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化：，，.⑶幾類三角式的原則形式：①；②；③；④⑷復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算：棣莫弗定理：.11、復(fù)數(shù)集中解一元二次方程：在復(fù)數(shù)集內(nèi)解有關(guān)的一元二次方程時(shí)，應(yīng)注意下述問題：=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，若，則有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；若，則有二相等實(shí)數(shù)根；若，則有二相等復(fù)數(shù)根或（為共軛復(fù)數(shù)）.=2\*GB3②當(dāng)不全為實(shí)數(shù)時(shí)，不能用方程根的狀況.=3\*GB3③不管為何復(fù)數(shù)，都可用求根公式求根，并且韋達(dá)定理也成立..注意兩種題型：⑴；⑵；虛系數(shù)一元二次方程有實(shí)根問題：不能用鑒別式法，一般用兩個(gè)復(fù)數(shù)