高等數(shù)學（9-12章）全冊配套完整課件

高等數(shù)學（9-12章）全冊配套完整課件習題課一、重積分計算的基本方法二、重積分計算的基本技巧三、重積分的應用機動目錄上頁下頁返回結束

第九章重積分的計算及應用一、重積分計算的基本方法1.選擇合適的坐標系使積分域多為坐標面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標表示簡潔或變量分離.2.選擇易計算的積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙.圖示法列不等式法(從內到外:

面、線、點)3.掌握確定積分限的方法——

累次積分法機動目錄上頁下頁返回結束練習計算積分其中D由所圍成.

P1242(3);6;7(1),(3)補充題:解答提示:(接下頁)

機動目錄上頁下頁返回結束2(3).計算二重積分其中D為圓周所圍成的閉區(qū)域.提示:

利用極坐標原式機動目錄上頁下頁返回結束P1246.

把積分化為三次積分,其中

由曲面提示:

積分域為原式及平面所圍成的閉區(qū)域.機動目錄上頁下頁返回結束P1247(1).計算積分其中是兩個球(R>0)的公共部分.提示:

由于被積函數(shù)缺x,y,原式=利用“先二后一”計算方便.機動目錄上頁下頁返回結束P1247(3).計算三重積分其中是由

xoy平面上曲線所圍成的閉區(qū)域.提示:

利用柱坐標原式繞x

軸旋轉而成的曲面與平面機動目錄上頁下頁返回結束P124補充題.計算積分其中D由所圍成

.提示:如圖所示連續(xù),所以機動目錄上頁下頁返回結束二、重積分計算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1.交換積分順序的方法2.利用對稱性或重心公式簡化計算3.消去被積函數(shù)絕對值符號練習題4.利用重積分換元公式P1231(總習題九);P1244,7(2),9解答提示:(接下頁)機動目錄上頁下頁返回結束證明:提示:

左端積分區(qū)域如圖,交換積分順序即可證得.P1244.7(2).其中是所圍成的閉區(qū)域.提示:

被積函數(shù)在對稱域上關于z

為奇函數(shù),利用對稱性可知原式為0.機動目錄上頁下頁返回結束由球面P1249.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上,要接上一個一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個的另一邊長度應為多少?提示:

建立坐標系如圖.由對稱性知由此解得問接上去的均勻矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圓心上,機動目錄上頁下頁返回結束例1.

計算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對稱性.圍成.機動目錄上頁下頁返回結束(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得機動目錄上頁下頁返回結束例2.計算二重積分其中D是由曲所圍成的平面域.解:其形心坐標為:面積為:積分區(qū)域線形心坐標機動目錄上頁下頁返回結束例3.計算二重積分在第一象限部分.解:(1)兩部分,則其中D為圓域把與D分成作輔助線機動目錄上頁下頁返回結束(2)提示:兩部分說明:若不用對稱性,需分塊積分以去掉絕對值符號.作輔助線將D分成機動目錄上頁下頁返回結束例4.如圖所示交換下列二次積分的順序:解:機動目錄上頁下頁返回結束例5.解:

在球坐標系下利用洛必達法則與導數(shù)定義,得其中機動目錄上頁下頁返回結束三、重積分的應用1.幾何方面面積(平面域或曲面域),體積,形心質量,轉動慣量,質心,引力證明某些結論等2.物理方面3.其它方面機動目錄上頁下頁返回結束例6.證明證:左端=右端機動目錄上頁下頁返回結束例7.設函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零,其中(1)討論F(t)在區(qū)間(0,+∞)內的單調性;(2)證明t>0時,(03考研)機動目錄上頁下頁返回結束解:

(1)

因為兩邊對

t

求導,得機動目錄上頁下頁返回結束(2)

問題轉化為證即證故有因此t>0時,因機動目錄上頁下頁返回結束利用“先二后一”計算.機動目錄上頁下頁返回結束例8.試計算橢球體的體積V.解法1*解法2利用三重積分換元法.令則機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)P98*21,*22(1)P1174,9,11P12410,11機動目錄上頁下頁返回結束第九章一元函數(shù)積分學多元函數(shù)積分學重積分曲線積分曲面積分重積分三、二重積分的性質第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可積性四、曲頂柱體體積的計算機動目錄上頁下頁返回結束二重積分的概念與性質

第九章解法:

類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”機動目錄上頁下頁返回結束1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點小曲頂柱體機動目錄上頁下頁返回結束4)“取極限”令機動目錄上頁下頁返回結束2.平面薄片的質量

有一個平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域

D,計算該薄片的質量M.度為設D的面積為

,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個小區(qū)域相應把薄片也分為小區(qū)域.機動目錄上頁下頁返回結束2)“常代變”中任取一點3)“近似和”4)“取極限”則第

k小塊的質量機動目錄上頁下頁返回結束兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結構式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質量:機動目錄上頁下頁返回結束二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n

個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結束引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質量:如果在D上可積,也常二重積分記作這時分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標軸的直線來劃記作機動目錄上頁下頁返回結束二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D

上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.機動目錄上頁下頁返回結束三、二重積分的性質(k

為常數(shù))

為D的面積,則機動目錄上頁下頁返回結束特別,由于則5.若在D上6.設D的面積為

,則有機動目錄上頁下頁返回結束7.(二重積分的中值定理)證:

由性質6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點在閉區(qū)域D上

為D的面積,則至少存在一點使使連續(xù),因此機動目錄上頁下頁返回結束例1.

比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上機動目錄上頁下頁返回結束例2.判斷積分的正負號.解:

分積分域為則原式=猜想結果為負

但不好估計.舍去此項機動目錄上頁下頁返回結束例3.估計下列積分之值解:

D

的面積為由于積分性質5即:1.96I2D機動目錄上頁下頁返回結束8.設函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當區(qū)域關于y軸對稱,函數(shù)關于變量x有奇偶性時,仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關于x軸對稱,則則有類似結果.在第一象限部分,則有機動目錄上頁下頁返回結束四、曲頂柱體體積的計算設曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的機動目錄上頁下頁返回結束同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算機動目錄上頁下頁返回結束例4.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:

設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.二重積分的定義2.二重積分的性質(與定積分性質相似)3.曲頂柱體體積的計算二次積分法機動目錄上頁下頁返回結束被積函數(shù)相同,且非負,思考與練習解:

由它們的積分域范圍可知1.

比較下列積分值的大小關系:機動目錄上頁下頁返回結束2.

設D

是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序為()提示:因0<y<1,故故在D上有機動目錄上頁下頁返回結束3.計算解:機動目錄上頁下頁返回結束4.證明:其中D為解:

利用題中x,y

位置的對稱性,有又D的面積為1,故結論成立.機動目錄上頁下頁返回結束

P782，4，5P951(1),8第二節(jié)目錄上頁下頁返回結束作業(yè)備用題1.估計的值,其中D

為解:

被積函數(shù)D的面積的最大值的最小值機動目錄上頁下頁返回結束2.判斷的正負.解：當時，故又當時，于是機動目錄上頁下頁返回結束*三、二重積分的換元法第二節(jié)一、利用直角坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分機動目錄上頁下頁返回結束二重積分的計算法

第九章一、利用直角坐標計算二重積分且在D上連續(xù)時,由曲頂柱體體積的計算可知,若D為

X–型區(qū)域

則若D為Y–型區(qū)域則機動目錄上頁下頁返回結束當被積函數(shù)均非負在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于機動目錄上頁下頁返回結束說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則機動目錄上頁下頁返回結束例1.

計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.

將D看作X–型區(qū)域,則解法2.

將D看作Y–型區(qū)域,

則機動目錄上頁下頁返回結束例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則機動目錄上頁下頁返回結束例3.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對x

積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.機動目錄上頁下頁返回結束例4.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則機動目錄上頁下頁返回結束例5.

計算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,機動目錄上頁下頁返回結束對應有二、利用極坐標計算二重積分在極坐標系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內取點及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為機動目錄上頁下頁返回結束即機動目錄上頁下頁返回結束設則特別,對機動目錄上頁下頁返回結束若f≡1則可求得D的面積思考:

下列各圖中域D

分別與x,y軸相切于原點,試答:問

的變化范圍是什么?(1)(2)機動目錄上頁下頁返回結束例6.計算其中解:

在極坐標系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標計算.機動目錄上頁下頁返回結束注:利用例6可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當D為R2時,利用例6的結果,得①故①式成立.機動目錄上頁下頁返回結束例7.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內的)立體的體積.解:

設由對稱性可知機動目錄上頁下頁返回結束定積分換元法*三、二重積分換元法

滿足一階導數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對應的,機動目錄上頁下頁返回結束證:根據(jù)定理條件可知變換T可逆.

用平行于坐標軸的直線分割區(qū)域任取其中一個小矩形,其頂點為通過變換T,在xoy

面上得到一個四邊形,其對應頂點為則機動目錄上頁下頁返回結束同理得當h,k

充分小時,曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為機動目錄上頁下頁返回結束因此面積元素的關系為從而得二重積分的換元公式:例如,

直角坐標轉化為極坐標時,機動目錄上頁下頁返回結束例8.

計算其中D是x

軸y

軸和直線所圍成的閉域.解:令則機動目錄上頁下頁返回結束例9.計算由所圍成的閉區(qū)域D

的面積S.解:令則機動目錄上頁下頁返回結束例10.

試計算橢球體解:由對稱性令則D的原象為的體積V.機動目錄上頁下頁返回結束內容小結(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則機動目錄上頁下頁返回結束則(2)一般換元公式且則極坐標系情形:若積分區(qū)域為在變換下機動目錄上頁下頁返回結束(3)計算步驟及注意事項?

畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數(shù)關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對稱性應用換元公式機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.設且求提示:交換積分順序后,x,y互換機動目錄上頁下頁返回結束2.交換積分順序提示:

積分域如圖機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)P951(2),(4);2(3),(4);5;6(2),(4);

11(2),(4);13(3),(4);14(2),(3);

15(1),(4);

*19(1);

*20(2)

第三節(jié)目錄上頁下頁返回結束解：原式備用題1.

給定改變積分的次序.機動目錄上頁下頁返回結束2.計算其中D

為由圓所圍成的及直線解：平面閉區(qū)域.機動目錄上頁下頁返回結束第三節(jié)一、三重積分的概念

二、三重積分的計算機動目錄上頁下頁返回結束三重積分

第九章一、三重積分的概念

類似二重積分解決問題的思想,采用

引例:設在空間有限閉區(qū)域內分布著某種不均勻的物質,求分布在內的物質的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質量

M.密度函數(shù)為機動目錄上頁下頁返回結束定義.

設存在,稱為體積元素,

若對作任意分割:任意取點則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標系下常寫作三重積分的性質與二重積分相似.性質:例如下列“乘中值定理.在有界閉域

上連續(xù),則存在使得V為的體積,

積和式”極限記作機動目錄上頁下頁返回結束二、三重積分的計算1.利用直角坐標計算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次積分法先假設連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體通過計算該物體的質量引出下列各計算最后,推廣到一般可積函數(shù)的積分計算.的密度函數(shù),方法:機動目錄上頁下頁返回結束方法1.投影法(“先一后二”)該物體的質量為細長柱體微元的質量為微元線密度≈記作機動目錄上頁下頁返回結束方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質量為該物體的質量為面密度≈記作機動目錄上頁下頁返回結束投影法方法3.三次積分法設區(qū)域利用投影法結果,把二重積分化成二次積分即得:機動目錄上頁下頁返回結束當被積函數(shù)在積分域上變號時,因為均為非負函數(shù)根據(jù)重積分性質仍可用前面介紹的方法計算.機動目錄上頁下頁返回結束小結:三重積分的計算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次積分”具體計算時應根據(jù)三種方法(包含12種形式)各有特點,被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇.機動目錄上頁下頁返回結束其中

為三個坐標例1.

計算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面機動目錄上頁下頁返回結束例2.

計算三重積分解:

用“先二后一”機動目錄上頁下頁返回結束2.利用柱坐標計算三重積分

就稱為點M

的柱坐標.直角坐標與柱面坐標的關系:坐標面分別為圓柱面半平面平面機動目錄上頁下頁返回結束如圖所示,在柱面坐標系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用柱面坐標表示時變量互相分離.機動目錄上頁下頁返回結束其中

為由例3.計算三重積分所圍解:

在柱面坐標系下及平面柱面成半圓柱體.機動目錄上頁下頁返回結束例4.

計算三重積分解:

在柱面坐標系下所圍成.與平面其中

由拋物面原式=機動目錄上頁下頁返回結束3.利用球坐標計算三重積分

就稱為點M

的球坐標.直角坐標與球面坐標的關系坐標面分別為球面半平面錐面機動目錄上頁下頁返回結束如圖所示,在球面坐標系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用球面坐標表示時變量互相分離.機動目錄上頁下頁返回結束例5.計算三重積分解:

在球面坐標系下所圍立體.其中

與球面機動目錄上頁下頁返回結束例6.求曲面所圍立體體積.解:

由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yoz面對稱,并與xoy面相切,故在球坐標系下所圍立體為且關于

xoz

機動目錄上頁下頁返回結束內容小結積分區(qū)域多由坐標面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標系體積元素適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系*說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對應雅可比行列式為變量可分離.圍成;機動目錄上頁下頁返回結束1.

將用三次積分表示,其中

由所提示:思考與練習六個平面圍成,機動目錄上頁下頁返回結束2.設計算提示:利用對稱性原式=奇函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束3.

設由錐面和球面所圍成,計算提示:利用對稱性用球坐標機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)P1061(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);10(2);11(1),(4)第四節(jié)目錄上頁下頁返回結束備用題

1.

計算所圍成.其中由分析：若用“先二后一”,則有計算較繁!采用“三次積分”較好.機動目錄上頁下頁返回結束所圍,故可思考:若被積函數(shù)為f(y)時,如何計算簡便?表為解:機動目錄上頁下頁返回結束2.計算其中解:利用對稱性機動目錄上頁下頁返回結束第四節(jié)一、立體體積二、曲面的面積三、物體的質心四、物體的轉動慣量五、物體的引力機動目錄上頁下頁返回結束重積分的應用

第九章1.能用重積分解決的實際問題的特點所求量是對區(qū)域具有可加性

從定積分定義出發(fā)建立積分式

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量3.解題要點

畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、定出積分限、計算要簡便2.用重積分解決問題的方法機動目錄上頁下頁返回結束一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為機動目錄上頁下頁返回結束任一點的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:

曲面的切平面方程為它與曲面的交線在

xoy

面上的投影為(記所圍域為D)在點例1.求曲面機動目錄上頁下頁返回結束例2.求半徑為a

的球面與半頂角為

的內接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為則立體體積為機動目錄上頁下頁返回結束二、曲面的面積設光滑曲面則面積A可看成曲面上各點處小切平面的面積dA無限積累而成.設它在D

上的投影為d

,(稱為面積元素)則機動目錄上頁下頁返回結束故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即機動目錄上頁下頁返回結束若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且機動目錄上頁下頁返回結束例3.計算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影為則出的面積A.機動目錄上頁下頁返回結束例4.計算半徑為a的球的表面積.解:設球面方程為球面面積元素為方法2利用直角坐標方程.(見書P109)方法1利用球坐標方程.機動目錄上頁下頁返回結束三、物體的質心設空間有n個質點,其質量分別由力學知,該質點系的質心坐標設物體占有空間域

,有連續(xù)密度函數(shù)則公式,分別位于為為即:采用“大化小,常代變,近似和,取極限”可導出其質心機動目錄上頁下頁返回結束將

分成

n

小塊,將第k塊看作質量集中于點例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質心坐標就近似該物體的質心坐標.的質點,即得此質點在第k塊上任取一點機動目錄上頁下頁返回結束同理可得則得形心坐標：機動目錄上頁下頁返回結束若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(A

為D

的面積)得D

的形心坐標:則它的質心坐標為其面密度—對x

軸的

靜矩—對y

軸的

靜矩機動目錄上頁下頁返回結束例5.求位于兩圓和的質心.

解:

利用對稱性可知而之間均勻薄片機動目錄上頁下頁返回結束例6.一個煉鋼爐為旋轉體形,剖面壁線的方程為內儲有高為

h

的均質鋼液,解:利用對稱性可知質心在z

軸上，采用柱坐標,則爐壁方程為因此故自重,求它的質心.若爐不計爐體的其坐標為機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束四、物體的轉動慣量設物體占有空間區(qū)域

,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對z軸的轉動慣量:對z軸的轉動慣量為因質點系的轉動慣量等于各質點的轉動慣量之和,故連續(xù)體的轉動慣量可用積分計算.機動目錄上頁下頁返回結束類似可得:對x

軸的轉動慣量對y

軸的轉動慣量對原點的轉動慣量機動目錄上頁下頁返回結束如果物體是平面薄片,面密度為則轉動慣量的表達式是二重積分.機動目錄上頁下頁返回結束例7.求半徑為a的均勻半圓薄片對其直徑解:建立坐標系如圖,半圓薄片的質量的轉動慣量.機動目錄上頁下頁返回結束解:

取球心為原點,z軸為l

軸,則球體的質量例8.求均勻球體對于過球心的一條軸

l

的轉動慣量.設球所占域為(用球坐標)機動目錄上頁下頁返回結束

G

為引力常數(shù)五、物體的引力設物體占有空間區(qū)域

,物體對位于原點的單位質量質點的引力利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標軸上的投影分別為機動目錄上頁下頁返回結束對xoy面上的平面薄片D,它對原點處的單位質量質點的引力分量為機動目錄上頁下頁返回結束例9.設面密度為μ,半徑為R的圓形薄片求它對位于點解:由對稱性知引力處的單位質量質點的引力.。機動目錄上頁下頁返回結束例10.求半徑R的均勻球對位于的單位質量質點的引力.解:

利用對稱性知引力分量點機動目錄上頁下頁返回結束為球的質量機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)P96

7，10,17P116

1，3，6,11,13,14習題課目錄上頁下頁返回結束(t

為時間)的雪堆在融化過程中,其側面滿足方程設長度單位為厘米,時間單位為小時,設有一高度為已知體積減少的速率與側面積成正比(比例系數(shù)0.9),問高度為130cm

的雪堆全部融化需要多少小時?(2001考研)機動目錄上頁下頁返回結束備用題提示:記雪堆體積為V,側面積為S,則(用極坐標)機動目錄上頁下頁返回結束由題意知令得(小時)因此高度為130cm的雪堆全部融化所需的時間為100小時.機動目錄上頁下頁返回結束*第五節(jié)一、被積函數(shù)含參變量的積分二、積分限含參變量的積分機動目錄上頁下頁返回結束含參變量的積分

第九章一、被積函數(shù)含參變量的積分上的連續(xù)函數(shù),則積分確定了一個定義在[a,b]上的函數(shù),記作x

稱為參變量,上式稱為含參變量的積分.含參積分的性質定理1.(連續(xù)性)

上連續(xù),則由①確定的含參積分在[a,b]上連續(xù).—連續(xù)性,可積性,可微性:①機動目錄上頁下頁返回結束證:在閉區(qū)域R上連續(xù),所以一致連續(xù),即只要就有就有這說明機動目錄上頁下頁返回結束定理1表明,定義在閉矩形域上的連續(xù)函數(shù),其極限運算與積分運算的順序是可交換的.同理可證,續(xù),則含參變量的積分機動目錄上頁下頁返回結束由連續(xù)性定理易得下述可積性定理:定理2.(可積性)上連續(xù),同樣,推論:在定理2的條件下,累次積分可交換求積順序,即機動目錄上頁下頁返回結束定理3.(可微性)都在證:

令函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結束因上式左邊的變上限積分可導,因此右邊且有此定理說明,被積函數(shù)及其偏導數(shù)在閉矩形域上連續(xù)時,求導與求積運算是可以交換順序的.機動目錄上頁下頁返回結束例1.解:由被積函數(shù)的特點想到積分:機動目錄上頁下頁返回結束例2.解:考慮含參變量t

的積分所確定的函數(shù)顯然,由于機動目錄上頁下頁返回結束故因此得機動目錄上頁下頁返回結束二、積分限含參變量的積分在實際問題中,常遇到積分限含參變量的情形,例如,為定義在區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),則也是參變量x

的函數(shù),其定義域為[a,b].利用前面的定理可推出這種含參積分的性質.機動目錄上頁下頁返回結束定理4.(連續(xù)性)上連續(xù),則函數(shù)證:令則由于被積函數(shù)在矩形域上連續(xù),由定理1知,上述積分確定的函數(shù)定理5.(可微性)都在中的可微函數(shù),則證:令機動目錄上頁下頁返回結束利用復合函數(shù)求導法則及變限積分求導,得機動目錄上頁下頁返回結束例3.解:機動目錄上頁下頁返回結束例4.分小時,函數(shù)的n

階導數(shù)存在,且證:令

在原點的某個閉矩形鄰域內連續(xù),由定理5可得機動目錄上頁下頁返回結束即同理于是作業(yè)

(*習題9-5)P1231(2),(3);2(2),(4);3;4(1);5(1)習題課目錄上頁下頁返回結束第十章積分學定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間域平面域空間域曲線積分曲線域曲面域曲線積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質二、對弧長的曲線積分的計算法機動目錄上頁下頁返回結束對弧長的曲線積分

第十章一、對弧長的曲線積分的概念與性質假設曲線形細長構件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”

可得為計算此構件的質量,1.引例:

曲線形構件的質量采用機動目錄上頁下頁返回結束設

是空間中一條有限長的光滑曲線,義在

上的一個有界函數(shù),都存在,

上對弧長的曲線積分,記作若通過對

的任意分割局部的任意取點,2.定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，

稱為積分弧段.曲線形構件的質量和對機動目錄上頁下頁返回結束如果L是xoy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對弧長的曲線積分為機動目錄上頁下頁返回結束思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!

對弧長的曲線積分要求ds0,但定積分中dx

可能為負.3.性質（k為常數(shù))(

由組成)(l為曲線弧

的長度)機動目錄上頁下頁返回結束二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路:計算定積分轉化定理:且上的連續(xù)函數(shù),證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分根據(jù)定義機動目錄上頁下頁返回結束點設各分點對應參數(shù)為對應參數(shù)為則機動目錄上頁下頁返回結束說明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計算公式相當于“換元法”.因此機動目錄上頁下頁返回結束如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標形式:則推廣:

設空間曲線弧的參數(shù)方程為則機動目錄上頁下頁返回結束例1.

計算其中L是拋物線與點

B(1,1)之間的一段弧.解:上點O(0,0)機動目錄上頁下頁返回結束例2.計算半徑為R,中心角為的圓弧L

對于它的對稱軸的轉動慣量I(設線密度

=1).解:

建立坐標系如圖,則機動目錄上頁下頁返回結束例3.計算其中L為雙紐線解:

在極坐標系下它在第一象限部分為利用對稱性,得機動目錄上頁下頁返回結束例4.計算曲線積分

其中

為螺旋的一段弧.解:

線機動目錄上頁下頁返回結束例5.

計算其中

為球面被平面所截的圓周.解:由對稱性可知機動目錄上頁下頁返回結束思考:例5中

改為計算解:

令,則圓

的形心在原點,故,如何機動目錄上頁下頁返回結束例6.計算其中為球面解:化為參數(shù)方程則機動目錄上頁下頁返回結束例7.有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對原點處單位質量質點的引力.機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.定義2.性質(l

曲線弧

的長度)機動目錄上頁下頁返回結束3.計算?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.已知橢圓周長為a,求提示:原式=利用對稱性分析:機動目錄上頁下頁返回結束2.

設均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關于z

軸的轉動慣量(2)求它的質心.解:

設其密度為

ρ(常數(shù)).(2)L的質量而(1)機動目錄上頁下頁返回結束故重心坐標為作業(yè)P1313(3),(4),(6),(7)5第二節(jié)目錄上頁下頁返回結束備用題1.

設

C

是由極坐標系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求提示:

分段積分機動目錄上頁下頁返回結束2.

L為球面面的交線,求其形心.在第一卦限與三個坐標解:

如圖所示,交線長度為由對稱性,形心坐標為機動目錄上頁下頁返回結束第二節(jié)一、對坐標的曲線積分的概念與性質二、對坐標的曲線積分的計算法三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系機動目錄上頁下頁返回結束對坐標的曲線積分

第十章一、對坐標的曲線積分的概念與性質1.

引例:

變力沿曲線所作的功.設一質點受如下變力作用在xoy

平面內從點A沿光滑曲線弧L

移動到點B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.機動目錄上頁下頁返回結束1)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F

沿則用有向線段上任取一點在機動目錄上頁下頁返回結束3)“近似和”4)“取極限”(其中

為n

個小弧段的最大長度)機動目錄上頁下頁返回結束2.定義.設

L

為xoy

平面內從A到B的一條有向光滑弧,若對L的任意分割和在局部弧段上任意取點,都存在,在有向曲線弧L上對坐標的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L

稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數(shù),在L上定義了一個向量函數(shù)極限記作機動目錄上頁下頁返回結束若

為空間曲線弧,記稱為對x的曲線積分;稱為對y的曲線積分.若記,對坐標的曲線積分也可寫作類似地,機動目錄上頁下頁返回結束3.性質(1)若L

可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則

定積分是第二類曲線積分的特例.說明:

對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!機動目錄上頁下頁返回結束二、對坐標的曲線積分的計算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),證明:

下面先證存在,且有機動目錄上頁下頁返回結束對應參數(shù)設分點根據(jù)定義由于對應參數(shù)因為L為光滑弧,同理可證機動目錄上頁下頁返回結束特別是,如果L

的方程為則對空間光滑曲線弧

:類似有定理目錄上頁下頁返回結束例1.計算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數(shù),則解法2取y

為參數(shù),則從點的一段.機動目錄上頁下頁返回結束例2.計算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點的上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點

B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則機動目錄上頁下頁返回結束例3.計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式機動目錄上頁下頁返回結束例4.設在力場作用下,質點由沿

移動到解:(1)(2)

的參數(shù)方程為試求力場對質點所作的功.其中

為機動目錄上頁下頁返回結束例5.求其中從

z

軸正向看為順時針方向.解:取的參數(shù)方程機動目錄上頁下頁返回結束三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設有向光滑弧L

以弧長為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系機動目錄上頁下頁返回結束類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記A

在t

上的投影為機動目錄上頁下頁返回結束二者夾角為

例6.設曲線段L

的長度為s,證明續(xù),證:設說明:

上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連機動目錄上頁下頁返回結束例7.將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周機動目錄上頁下頁返回結束1.定義2.性質(1)L可分成k

條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內容小結機動目錄上頁下頁返回結束3.計算?對有向光滑弧?

對有向光滑弧機動目錄上頁下頁返回結束4.兩類曲線積分的聯(lián)系?

對空間有向光滑弧

:機動目錄上頁下頁返回結束原點O

的距離成正比,思考與練習1.設一個質點在處受恒指向原點,沿橢圓此質點由點沿逆時針移動到提示:(解見P139例5)F

的大小與M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若題中F的方向改為與OM垂直且與

y

軸夾銳角,則機動目錄上頁下頁返回結束2.

已知為折線ABCOA(如圖),計算提示:機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)P1413(2),(4),(6),(7);

4;5;7;8第三節(jié)目錄上頁下頁返回結束備用題

1.解:線移動到向坐標原點,其大小與作用點到xoy

面的距離成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一質點在力場F

作用下由點機動目錄上頁下頁返回結束2.

設曲線C為曲面與曲面從ox

軸正向看去為逆時針方向,(1)寫出曲線C

的參數(shù)方程;(2)計算曲線積分解:(1)機動目錄上頁下頁返回結束(2)原式=令利用“偶倍奇零”機動目錄上頁下頁返回結束第三節(jié)一、格林公式

二、平面上曲線積分與路徑無關的等價條件機動目錄上頁下頁返回結束格林公式及其應用

第十章區(qū)域D分類單連通區(qū)域(無“洞”區(qū)域)多連通區(qū)域(有“洞”區(qū)域)域D邊界L的正向:域的內部靠左定理1.

設區(qū)域D

是由分段光滑正向曲線L圍成,則有(格林公式)函數(shù)在D上具有連續(xù)一階偏導數(shù),或一、格林公式機動目錄上頁下頁返回結束證明:1)若D既是X-型區(qū)域,又是

Y-

型區(qū)域,且則定理1目錄上頁下頁返回結束即同理可證①②①、②兩式相加得:定理1目錄上頁下頁返回結束2)若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割為有限個上述形式的區(qū)域,如圖證畢定理1目錄上頁下頁返回結束推論:正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積格林公式例如,橢圓所圍面積定理1目錄上頁下頁返回結束例1.設L是一條分段光滑的閉曲線,證明證:

令則利用格林公式,得機動目錄上頁下頁返回結束例2.

計算其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點的三角形閉域.解:

令,則利用格林公式,有機動目錄上頁下頁返回結束例3.

計算其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解:

令設L所圍區(qū)域為D,由格林公式知機動目錄上頁下頁返回結束在D內作圓周取逆時針方向,,對區(qū)域應用格記L和

lˉ

所圍的區(qū)域為林公式,得機動目錄上頁下頁返回結束二、平面上曲線積分與路徑無關的等價條件定理2.

設D是單連通域

,在D內具有一階連續(xù)偏導數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內每一點都有與路徑無關,只與起止點有關.函數(shù)則以下四個條件等價:在D內是某一函數(shù)的全微分,即機動目錄上頁下頁返回結束說明:

積分與路徑無關時,曲線積分可記為證明(1)(2)設為D內任意兩條由A到B

的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(1))定理2目錄上頁下頁返回結束證明(2)(3)在D內取定點因曲線積分則同理可證因此有和任一點B(x,y),與路徑無關,有函數(shù)定理2目錄上頁下頁返回結束證明

(3)(4)設存在函數(shù)

u(x,y)使得則P,Q在D內具有連續(xù)的偏導數(shù),從而在D內每一點都有定理2目錄上頁下頁返回結束證明

(4)(1)設L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖),利用格林公式,得所圍區(qū)域為證畢定理2目錄上頁下頁返回結束說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內則2)求曲線積分時,可利用格林公式簡化計算,3)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域D內的原函數(shù):及動點或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點1)計算曲線積分時,可選擇方便的積分路徑;定理2目錄上頁下頁返回結束例4.

計算其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L

所圍原式圓周區(qū)域為D,

則機動目錄上頁下頁返回結束例5.

驗證是某個函數(shù)的全微分,并求出這個函數(shù).證:

設則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。機動目錄上頁下頁返回結束例6.

驗證在右半平面(x>0)內存在原函數(shù),并求出它.證:

令則由定理2

可知存在原函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束或機動目錄上頁下頁返回結束例7.設質點在力場作用下沿曲線L:由移動到求力場所作的功W解:令則有可見,在不含原點的單連通區(qū)域內積分與路徑無關.機動目錄上頁下頁返回結束思考:積分路徑是否可以取取圓弧為什么？注意,本題只在不含原點的單連通區(qū)域內積分與路徑無關!機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.格林公式2.等價條件在

D

內與路徑無關.在

D

內有對D

內任意閉曲線L有在D

內有設P,Q

在D

內具有一階連續(xù)偏導數(shù),則有機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.設且都取正向,問下列計算是否正確?提示:機動目錄上頁下頁返回結束2.設提示:作業(yè)P1532(1);3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)第四節(jié)目錄上頁下頁返回結束

備用題1.

設

C

為沿從點依逆時針的半圓,計算解:

添加輔助線如圖,利用格林公式.原式=到點機動目錄上頁下頁返回結束2.

質點M沿著以AB為直徑的半圓,從A(1,2)運動到點B(3,4),到原點的距離,解:

由圖知故所求功為銳角,其方向垂直于OM,且與y

軸正向夾角為求變力F

對質點M

所作的功.(90考研)

F

的大小等于點M在此過程中受力F作用,機動目錄上頁下頁返回結束第四節(jié)一、對面積的曲面積分的概念與性質二、對面積的曲面積分的計算法機動目錄上頁下頁返回結束對面積的曲面積分

第十章一、對面積的曲面積分的概念與性質引例:設曲面形構件具有連續(xù)面密度類似求平面薄板質量的思想,采用可得求質

“大化小,常代變,近似和,求極限”

的方法,量M.其中,

表示n

小塊曲面的直徑的最大值(曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者).機動目錄上頁下頁返回結束定義:設為光滑曲面,“乘積和式極限”都存在,的曲面積分其中f(x,y,z)叫做被積據(jù)此定義,曲面形構件的質量為曲面面積為f(x,y,z)是定義在上的一個有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對做任意分割和局部區(qū)域任意取點,則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面上對面積函數(shù),

叫做積分曲面.機動目錄上頁下頁返回結束則對面積的曲面積分存在.?對積分域的可加性.則有?線性性質.在光滑曲面

上連續(xù),對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質類似.?積分的存在性.若是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面機動目錄上頁下頁返回結束定理:

設有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù),存在,且有二、對面積的曲面積分的計算法

則曲面積分證明:由定義知機動目錄上頁下頁返回結束而(光滑)機動目錄上頁下頁返回結束說明:可有類似的公式.1)如果曲面方程為2)若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS的表達式,也可將對面積的曲面積分轉化為對參數(shù)的二重積分.(見本節(jié)后面的例4,例5)機動目錄上頁下頁返回結束例1.

計算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:機動目錄上頁下頁返回結束思考:若是球面被平行平面z=±h

截出的上下兩部分,則機動目錄上頁下頁返回結束例2.

計算其中

是由平面坐標面所圍成的四面體的表面.解:

設上的部分,則與

原式=分別表示

在平面機動目錄上頁下頁返回結束例3.

設計算解:

錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分,它在xoy面上的投影域為則機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束思考:

若例3中被積函數(shù)改為計算結果如何?例4.

求半徑為R

的均勻半球殼

的重心.解:

設的方程為利用對稱性可知重心的坐標而用球坐標思考題:

例3是否可用球面坐標計算

?例3目錄上頁下頁返回結束例5.計算解:取球面坐標系,則機動目錄上頁下頁返回結束例6.計算其中

是球面利用對稱性可知解:

顯然球心為半徑為利用重心公式機動目錄上頁下頁返回結束例7.計算其中

是介于平面之間的圓柱面分析:

若將曲面分為前后(或左右)則解:

取曲面面積元素兩片,則計算較繁.機動目錄上頁下頁返回結束例8.

求橢圓柱面位于xoy

面上方及平面

z=y

下方那部分柱面

的側面積S.解:取機動目錄上頁下頁返回結束例9.

設有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星,距地面高度

h=36000km,機動目錄上頁下頁返回結束運行的角速度與地球自轉角速度相同,試計算該通訊衛(wèi)星的覆