新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第三師圖木舒克市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

高一數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共150分。考試時(shí)間120分鐘。2.請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上。3.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，，若，則（）A.4 B. C. D.2.歐幾里得大約生活在公元前330年至公元前275年，著有《幾何原本》《光學(xué)》《曲面軌跡》《已知數(shù)》等著作.若從這4部著作中任意抽取2部，則抽到《光學(xué)》的概率為（）A. B. C. D.3.已知a，，，則（）A. B.2 C.1 D.4.已知在高考前最后一次模擬考試中，高三某班8名同學(xué)的物理成績(jī)分別為84，79，84，86，95，84，87，93，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.86，84 B.84.5，85 C.85，84 D.86.5，845.在中，，，則（）A. B.C. D.6.在長(zhǎng)方體中，與平面所成的角為，與所成的角為，則（）A. B. C. D.7.已知矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為1，將沿折起得到三棱錐，且三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O的表面上，則球O的表面積為（）A. B. C. D.8.有以下6個(gè)函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥.記事件M為“從中任取的1個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)”，事件N為“從中任取的1個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)”，事件M，N的對(duì)立事件分別為，，則（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B.的周長(zhǎng)為C. D.外接圓的面積為10.已知平面向量，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.，一定可以作為一個(gè)基底B.一定有最小值C.一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得D.若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為11.在中，，，平面，邊，在平面上的射影長(zhǎng)分別為6，8，則（）A.邊在上的射影長(zhǎng)為 B.邊在上的射影長(zhǎng)為C.B，C兩點(diǎn)在平面的同一側(cè) D.B，C兩點(diǎn)在平面的兩側(cè)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，方程的一個(gè)根為，則______.13.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)B到平面的距離為_(kāi)_____.14.如圖，在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，，B的角平分線交于點(diǎn)D，邊上的高為，邊上的高為，與相交于點(diǎn)P，與相交于點(diǎn)R，與相交于點(diǎn)Q，則______，______.（本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）已知復(fù)數(shù)，.（1）若z是純虛數(shù)，求m；（2）在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求m的取值范圍.16.（15分）某中學(xué)地理組教師團(tuán)隊(duì)研發(fā)了《聽(tīng)歌曲學(xué)地理》校本課程并對(duì)高一年級(jí)共1200名學(xué)生進(jìn)行了授課，授課結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了知識(shí)測(cè)驗(yàn)，從所有答卷中隨機(jī)抽取了100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于50分的整數(shù)）整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求a的值；（2）求樣本成績(jī)的中位數(shù)（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）；（3）若測(cè)驗(yàn)成績(jī)不低于80分的同學(xué)被定義為“地理愛(ài)好者”，試估計(jì)全年級(jí)“地理愛(ài)好者”人數(shù).17.（15分）2024年5月底，各省教育廳陸續(xù)召開(kāi)了2024年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)工作.若某市經(jīng)過(guò)初次選拔后有甲、乙、丙三名同學(xué)成功進(jìn)入決賽，在決賽環(huán)節(jié)中這三名同學(xué)同時(shí)解答一道有關(guān)組合數(shù)論的試題.已知甲同學(xué)成功解出這道題的概率是，甲、丙兩名同學(xué)都解答錯(cuò)誤的概率是，乙、丙兩名同學(xué)都成功解出的概率是，且這三名同學(xué)能否成功解出該題相互獨(dú)立.（1）求乙、丙兩名同學(xué)各自成功解出這道題的概率；（2）求這三名同學(xué)中不少于兩名同學(xué)成功解出這道題的概率.18.（17分）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，平面，M為的中點(diǎn).（1）若平面與平面的交線為l，證明：.（2）證明：平面平面.（3）若，，求二面角的正切值.19.（17分）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）若，，求角C；（2）若為銳角三角形，設(shè)，求的取值范圍.高一數(shù)學(xué)試卷參考答案1.A因?yàn)?，所以，解?2.A將著作《幾何原本》《光學(xué)》《曲面軌跡》《已知數(shù)》分別記為“幾”“光”“曲”“數(shù)”，則從這4部著作中任意抽取2部的所有情況有（幾，光），（幾，曲），（幾，數(shù)），（光，曲），（光，數(shù)），（曲，數(shù)），共6種，抽到《光學(xué)》的情況有（幾，光），（光，曲），（光，數(shù)），共3種，所以抽到《光學(xué)》的概率為.3.D因?yàn)椋?，所以解?.D將樣本數(shù)據(jù)按升序排列為79，84，84，84，86，87，93，95，可得平均數(shù)，因?yàn)?4出現(xiàn)了三次，所以眾數(shù)為84，故選D.5.C.6.B如圖，連接，因?yàn)槠矫?，所以，由直線與平面所成角的定義知，.又，所以由異面直線所成角的定義知，在中，可知.7.B由外接球的定義可知外接球球心到三棱錐四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.記矩形中心為O，由矩形的性質(zhì)知點(diǎn)O在翻折過(guò)程中到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即其為外接球球心，對(duì)角線的一半即為外接球半徑，則.8.C由題可知，①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，②是奇函數(shù)，③是奇函數(shù)，④是偶函數(shù)，⑤是非奇非偶函數(shù)，⑥是非奇非偶函數(shù).所以，，，A錯(cuò)誤.，，，B錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，C正確.，，D錯(cuò)誤.9.ABD由，得，解得或（舍去），所以的周長(zhǎng)為，A正確，B正確.因?yàn)椋?，解得，C錯(cuò)誤.設(shè)外接圓的半徑為R，因?yàn)?，所以，外接圓的面積為，D正確.10.BCD對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，不能作為平面向量的一個(gè)基底，A錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)?，所以，B正確.對(duì)于C，由，得，解得，C正確.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，D正確.11.BD設(shè)B，C在平面上的射影分別為，，因?yàn)椋?，且邊，在平面上的射影長(zhǎng)分別為6，8，所以，.當(dāng)B，C在的同一側(cè)時(shí)，在上的射影，此時(shí)，A，C錯(cuò)誤；當(dāng)B，C在的兩側(cè)時(shí)，在上的射影，滿足，B，D正確.12.因?yàn)榈囊粋€(gè)根為，所以方程的另一個(gè)根為，結(jié)合韋達(dá)定理可得.13.設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h，由，得，解得.14.60°；在直角三角形中，由于是角平分線，，所以.在直角三角形中，，所以，所以是正三角形.在直角三角形中，，，所以，又，所以是等腰三角形，且底角，.由余弦定理得，所以，即.在直角三角形中，.在直角三角形中，由，得，所以，.15.解：（1）因?yàn)閦是純虛數(shù)，所以……3分所以解得.……6分（2）因?yàn)閦對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，所以……10分所以解得m的取值范圍是.……13分16.解：（1）由題意得，解得.……5分（2），中位數(shù)在這一組.……6分設(shè)中位數(shù)的估計(jì)值為x，則，解得，即樣本成績(jī)的中位數(shù)約為81.4.……10分（3）全年級(jí)“地理愛(ài)好者”約有人.……15分17.解：設(shè)甲、乙、丙三名同學(xué)各自成功解出該道題分別為事件A，B，C.……1分（1）因?yàn)?，所?……2分又，所以，即.……5分又，所以，即乙、丙兩名同學(xué)各自成功解出這道題的概率分別為和.……7分（2）設(shè)這三名同學(xué)中不少于兩名同學(xué)成功解出這道題為事件D，……8分則……11分，……14分所以這三名同學(xué)中不少于兩名同學(xué)成功解出這道題的概率為.……15分18.（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所?因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?……2分又因?yàn)槠矫?，平面與平面的交線為l，所以.……4分（2）證明：因?yàn)榈酌媸橇庑危?……5分又因?yàn)槠矫?，平面，所?……7分又，，平面，所以平面.……8分因?yàn)槠矫?，所以平面平?……9分（3）解：設(shè)與交于點(diǎn)O，連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，連接.因?yàn)镸為的中點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，所以.……10分因?yàn)槠矫?，平面，所以，則.……11分因?yàn)槠矫嫫矫?，為兩個(gè)平面的交線，所以平面.……12分又平面，所以.因?yàn)?，，，平面，所以平?……14分又平面，所以，則為二面角的平面角.……15分因?yàn)槠矫?，且，所以，，所以，?……16分因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以在中，，即二面角的正切值?……17分19.解：（1）（法一）由得，代入，得，即，……1分即.……2分由正弦定理得，即，……3分即，所以.……4分因?yàn)椋?，，…?分