2024年中考數(shù)學訓練：二次函數(shù)的最值

2024年中考數(shù)學專題訓練一二次函數(shù)的最值

1.已知拋物線y=/+陵一3與y軸相交于點A（O,-3）,與x軸相交于點30，。）和點C（3,O）,

直線/：?=履+2左+3經(jīng)過定點。.

⑴求。和b的值及點D的坐標；

⑵如圖1,當左=-1時，位于直線/上方的拋物線上有一點尸，過點尸作尸M〃y軸交直線/于

點/,求尸”的最大值；

⑶如圖2,連接并延長AB,將射線48繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45。后，與拋物線相交于點E,求

點E的坐標.

2.如圖，在直角坐標系中，。為原點，拋物線y=r-2x-l交y軸于點A,點2,C在此拋

物線上，其橫坐標分別為優(yōu)，3m（m>0）,連接",AC.

（1）當點B與拋物線的頂點重合，求點C的坐標.

⑵當BC與尤軸平行時，求點8與點C的縱坐標的和.

（3）設(shè)此拋物線在點B與點C之間部分（包括點B,C）的最高點與最低點的縱坐標之差為5加

(加>/),請直接寫出機的值.

3.在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)yn-gr+bx+c的圖象經(jīng)過坐標原點。和點

A(4+?,0),其中a20.

(1)當a=0時，求y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并求出當x為何值時，y有最大值，最大值是多少?

⑵當a>0時，在0WxW4范圍內(nèi)，y是否存在最大值10?若存在，求出相應(yīng)的a和x的值；

若不存在，請說明理由.

4.一條隧道的截面如圖所示，它的上部是一個以4)為直徑的半圓。，下部是一個矩形

(1)當A￡)=4米時，求隧道截面上部半圓。的面積；

(2)已知矩形ABCD相鄰兩邊之和為8米，半圓。的半徑為廠米.

①求隧道截面的面積S(m)關(guān)于半徑r(m)的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出r的取值范圍)；

②若2米WCDW3米，利用函數(shù)圖象求隧道截面的面積S的最大值.(兀取3.14,結(jié)果精確

至U0.1米)

5.如圖，在直角坐標系中，。為原點，拋物線y=f-2x-l交，軸于點A,點8,C在此

(1)當點8與拋物線的頂點重合，求點C的坐標.

⑵當BC與x軸平行時，求點B與點C的縱坐標的和.

試卷第2頁，共6頁

(3)設(shè)此拋物線在點B與點C之間部分(包括點8,C)的最高點與最低點的縱坐標之差為

5m\m>^,求加的值.

6.我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)%=%爐+偽X+9與％=為尤2+62X+C2同時滿足

而土+化+偽)2+k2-q|=0,b件瓦,則稱函數(shù)%與函數(shù)為互為“反序?qū)ΨQ”函數(shù).根據(jù)

該約定，解答下列問題：

⑴已知關(guān)于X的二次函數(shù)%=2^+x+3,寫出它的“反序?qū)ΨQ”函數(shù)，%=；

⑵對于任意非零實數(shù)L5,點P&J)與點。(s,t)(rHs)始終在關(guān)于x的函數(shù)％=/+2rx+s

的圖像上運動，函數(shù)上與％互為“反序?qū)ΨQ”函數(shù).

①函數(shù)內(nèi)的圖像是否經(jīng)過某兩個定點？若經(jīng)過某兩個定點，求出這兩個定點的坐標；否則，

請說明理由；

②若直線PQ在x軸的下方，求直線PQ與x軸間距離的最大值；

7.如圖1,拋物線y=+gx+c經(jīng)過點EQ5),(1,5),矩形ABCO的點A,。在x軸上,

B,C在拋物線上，/EBC=45°.

(1)求該拋物線的解析式；

⑵求點8,C的坐標；

⑶如圖2,垂直于0E的直線相從底邊AD出發(fā)，以每秒1cm的速度沿0E方向勻速平移，分

別交折線OC-CE,AB-BE,0E于M,N,H,當直線優(yōu)到達點E時，停止運動，連接OM,

ON,設(shè)運動時間為/秒(0<f<5),OMN的面積記為y,請用/表示y,寫出/的相應(yīng)的取

值范圍，并求y的最大值.

8.某公司銷售一種產(chǎn)品，經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)月銷售量y(萬件)與月份彳(月)的關(guān)系如下表所示，

每件產(chǎn)品的利潤Z（元）與月份X（月）滿足關(guān)系式z=-x+20（l<x<12,且X為整數(shù)）.

X123456789101112

y283236404448525252525252

（1）請你根據(jù)表格分別求出當14x47和8WxW12（x為整數(shù)）時，銷售量y（萬件）與月份x

（月）的關(guān)系式；

（2）求當x為何值時，月利潤。（萬元）有最大值，最大值為多少？

（3）求該公司月利潤不少于660萬元的月份是哪幾個月？

9.己知拋物線y=ax?-2ax+c的圖象經(jīng)過點（-1,0）,（0,3）.

（1）求這個二次函數(shù)的表達式.

（2）當-2V時，函數(shù)的最大值為加，最小值為"，若"=9,求f的取值范圍.

10.“厚德樓”、“博文樓”分別是某校兩棟教學樓的名字，“厚德”出自《周易大傳》：天行健，

君子以自強不息；地勢坤，君子以厚德載物.“博文”出自《論語》：“君子博學于文，約之以

禮.博學乃華夏古今治學之基礎(chǔ)."我們不妨約定：在平面直角坐標系中，橫，縱坐標相等

的點稱為“厚德點”，橫，縱坐標互為相反數(shù)的點稱為“博文點”.把函數(shù)圖象至少經(jīng)過一個“厚

德點”和一個“博文點”的函數(shù)稱為“厚德博文函數(shù)”.

（1）函數(shù)y=3x-2是一個“厚德博文函數(shù)”，求出該函數(shù)圖象上的“厚德點”和“博文點”：

⑵已知二次函數(shù)y=a（x-/z）2+左圖象可以由二次函數(shù)y=-%2平移得到，二次函數(shù)

y=a（無-/7丫+左的頂點就是一個“厚德點”，并且該函數(shù)圖象還經(jīng)過一個“博文點”P（3,m）,

求該二次函數(shù)的解析式；

（3）已知二次函數(shù)y=2（x-cy+d（c,1為常數(shù)，cwO）圖象的頂點為與y軸交于點N,

經(jīng)過點M,N的直線/上存在無數(shù)個“厚德點”.當m—lWxWm,函數(shù)y=2（x-cp+d有最

小值，35，求機的值.

11.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)丁=0?+區(qū)一4（。彳0）的圖像與x軸交于

4（4,0）,5（-1,0）兩點，與y軸交于點C.

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(1)求二次函數(shù)的解析式;

⑵點P是直線AC下方拋物線上的一個動點，連接AP、AC、BP、BC,線段AC與BP交

于點Q,設(shè)△PA。的面積為百，△BC。的面積為S2,當S-S2取最大值時，求點P的

坐標；

(3)當-1W尤<〃?時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差是一個定值，請直接寫出機的取值范

圍.

12.已知二次函數(shù)y=(x—a)(x—3a)(a為實數(shù)，a>0).

(1)求該二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標(用含a的代數(shù)式表示).

(2)設(shè)二次函數(shù)在3a+2時的最大值為p,最小值為分p-q=16,求a的值.

13.已知拋物線y=-尤2+a+c與x軸交于對稱軸為直線x=l,頂點為點P

⑵是否存在以AM為底邊的等腰△ADM,若存在，求點。的坐標；若不存在，請說理由;

⑶過動點尸作x軸的平行線交拋物線于點E,作y軸平行線交x軸于點G,過點E作EFLx

軸，垂足為點R當四邊形PEFG周長最大時，求點P的坐標.

14.綜合應(yīng)用.

已知拋物線>=/+法+3與無軸交于4(2,0),3(4,0)兩點，與>軸交于點C,點P是拋物

線上一動點.

(2)如圖1,當點P是第一象限內(nèi)且在BC上方的動點，連接AP,交BC于點。，若DP=3AD,

求點尸的坐標；

(3)如圖2,若點尸在直線BC下方的拋物線上，過點P作尸。，8。，垂足為Q,求2CQ+PQ

的最大值.

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15.如圖，直線/：y=x+6與坐標軸分別交于點A,C,拋物線L：y=ax-2X+c經(jīng)過點5(2,0)

和點C,其頂點為對稱軸與x軸交于點“，點尸是拋物線乙上的一點，設(shè)點尸的橫坐標

為tn.

(1)求拋物線L的解析式，并經(jīng)過計算判斷拋物線