幾何動態(tài)與函數(shù)圖象問題-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（解析版）

瓜何劭宓鳥備裁囹*冏敗

題型暫誤J

學(xué)習(xí)幾何動態(tài)問題需要學(xué)生能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題并準(zhǔn)確的畫出函數(shù)圖象理解函數(shù)的性質(zhì)；

其次能利用函數(shù)的圖象及其性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題;最后提高解決實(shí)際問題的能力.函數(shù)的學(xué)習(xí)需要學(xué)生

真正理解函數(shù)的定義，熟練運(yùn)用函數(shù)的基本性質(zhì)去解相關(guān)題型.本專題主要對函數(shù)與幾何圖形結(jié)合的相關(guān)題

型的解法進(jìn)行歸納總結(jié)，所選題型為近年各省市中考真題或模擬題型.

幾何動態(tài)與函數(shù)圖象問題，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).命題方式常涉及三種題型:①分析實(shí)際問題

判斷函數(shù)圖象;②結(jié)合幾何圖形中的動點(diǎn)問題判斷函數(shù)圖象;③分析函數(shù)圖象判斷結(jié)論正誤;④根據(jù)函數(shù)性質(zhì)

判斷函數(shù)圖象.題目難度中等,屬于中考熱點(diǎn)題型.

模型01動點(diǎn)問題

動點(diǎn)問題結(jié)合的函數(shù)題型,首先需要理清是哪種動點(diǎn)移動問題，是單動點(diǎn)還是雙動點(diǎn)問題.在幾何中的動

點(diǎn)問題中，由于動點(diǎn)位置改變需要學(xué)生能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題,并能判斷出自變量與因變量,根

據(jù)變量的變化特點(diǎn)準(zhǔn)確的畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象理解函數(shù)的性質(zhì)；其次能利用函數(shù)的圖象及其性質(zhì)解

決簡單的實(shí)際問題.

模型02線動問題

線動問題的函數(shù)圖象題,該題型對于用圖象描述分段函數(shù)的實(shí)際問題，要抓住以下幾點(diǎn):①自變量變化而

函數(shù)值不變化的圖象用水平線段表示,②自變量不變化而函數(shù)值變化的圖象用鉛垂線段表示，③自變量

變化函數(shù)值也變化的增減變化情況，④函數(shù)圖象的最低點(diǎn)和最高點(diǎn).根據(jù)圖象要對圖象及其數(shù)量關(guān)系進(jìn)

行一定分析，要抓住圖象中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)及拐點(diǎn)，這些拐點(diǎn)處往往是運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變或者相互的數(shù)量關(guān)系

發(fā)生改變的地方.

模型03函數(shù)圖象判斷

函數(shù)圖象判斷該題型對于用圖象描述分段函數(shù)的實(shí)際問題，要抓住以下幾點(diǎn):①自變量變化而函數(shù)值不

變化的圖象用水平線段表示，②自變量不變化而函數(shù)值變化的圖象用鉛垂線段表示，③自變量變化函數(shù)

值也變化的增減變化情況，④函數(shù)圖象的最低點(diǎn)和最高點(diǎn).

廷結(jié)?牌型的建［

模型01動點(diǎn)問題

者I向I套I惻

動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象題本題型主要考查的是動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象,確定函數(shù)的表達(dá)式是解本題的關(guān)鍵.這類

問題需要學(xué)生具有一定的想象能力、分析能力和運(yùn)算能力及分類討論的解題思想.本題型主要是以選擇、填空

為主，具有一定的難度,是學(xué)生主要的失分題型之一.

答I題I技I巧

第一步：根據(jù)運(yùn)動判斷圖象,關(guān)鍵是判斷運(yùn)動變化的節(jié)點(diǎn)，運(yùn)動變化的節(jié)點(diǎn)往往就是函數(shù)圖象分段的節(jié)

點(diǎn)；

第二步：找到節(jié)點(diǎn)后分段研究運(yùn)動過程，列出關(guān)系式，進(jìn)而判斷圖象；

第三步：根據(jù)選項(xiàng)做出選擇；

題型三停I

［題目［j（2024?河南南陽?一模）如圖1,在4ABC中，AB=BC,6。，47于點(diǎn)D（AD>BD）.動點(diǎn)加■從A

點(diǎn)出發(fā)，沿折線AB-方向運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)C停止.設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動路程為MZVLMD的面積為“，沙與

2的函數(shù)圖象如圖2,則AC的長為（）

圖I圖2

A.6B.8C.10D.13

【答案】A

【詳解】解：由圖2知，AB+BO=2，I^,

,:AB=BC,

AB=V13,

?:AB=BC,BD±AC,

：.AC=2AD,AADB=90°,

在RtAABD中，AD2+BD2^AB?：13①，

設(shè)點(diǎn)Af到AC的距離為無，

^l\ADM=1Ao-h>

?：動點(diǎn)M從4點(diǎn)出發(fā)，沿折線AB-BO方向運(yùn)動,

當(dāng)點(diǎn)M'運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，△AMD的面積最大，即/z=BD,

由圖2知，△AMD的面積最大為3,

'-AD?BD—3,

:.AD-BD=6②,

①+2x②得，AD2+BD2+2AD?=13+2x6=25,

A(AO+BD)2=25,

AAD+BD=5(負(fù)值舍去),

.?.BD=5—AD③，

將③代入②得，AD(5-AD)=6,

AD=3或AD=2,

,：AD>BD,

：.AD=3,

2

AC=2AD=6,

故選：A.

例2.（2023?北京）如圖是一種軌道示意圖，其中ADC和ABC均為半圓，點(diǎn)河，A,。，N依次在同一直線

上，且4河=小.現(xiàn)有兩個(gè)機(jī)器人（看成點(diǎn)）分別從勸，N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿著軌道以大小相同的速度勻速

移動，其路線分別為MTA一。一。一N和NTC-BTATM.若移動時(shí)間為2，兩個(gè)機(jī)器人之間距離為

“，則"與2：關(guān)系的圖象大致是（）

【答案】。

【詳解】解：由題意可得:機(jī)器人（看成點(diǎn)）分別從M,N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，

設(shè)圓的半徑為R,

兩個(gè)機(jī)器人最初的距離是4M+CN+2R,

?.?兩個(gè)人機(jī)器人速度相同，

.?.分別同時(shí)到達(dá)點(diǎn)A,C,

：.兩個(gè)機(jī)器人之間的距離"越來越小，故排除A,C;

當(dāng)兩個(gè)機(jī)器人分別沿人和C-B-A移動時(shí)，此時(shí)兩個(gè)機(jī)器人之間的距離是直徑2R,保持不變,

當(dāng)機(jī)器人分別沿CTN和Af河移動時(shí)，此時(shí)兩個(gè)機(jī)器人之間的距離越來越大，故排除C,

故選：D.

模型02線動問題

者|向|森|測

線動問題的函數(shù)圖象題，根據(jù)幾何圖形的線動要對圖象及其數(shù)量關(guān)系進(jìn)行一定分析，抓住圖象中的轉(zhuǎn)折

點(diǎn)及拐點(diǎn)，這些拐點(diǎn)處往往是運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變或者相互的數(shù)量關(guān)系發(fā)生改變的地方.該題型一般以選

擇題的形式出現(xiàn)，具有一定的難度，需要學(xué)生綜合運(yùn)用幾何與函數(shù)的相關(guān)知識.

答I題I技I巧

第一步：找準(zhǔn)變量；

第二步：抓住圖象中點(diǎn)轉(zhuǎn)折點(diǎn)和拐點(diǎn)，幾何圖中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)往往是函數(shù)圖中的拐點(diǎn)；

第三步：數(shù)據(jù)分析，結(jié)合幾何與函數(shù)圖形的數(shù)據(jù)得出相應(yīng)結(jié)論；

第四步：根據(jù)題意解答；

題吧手柳

［題目①（2024?河南許昌?一模）如圖1,在電△ABC中，47=90°,ZB=30°,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)

停止，過點(diǎn)P作PQ，AB,交直角邊AC（或BC）于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為①,AAPQ的面積為如“與

7之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，當(dāng)c=5時(shí)，△APQ的面積為（）

【答案】。

【詳解】解:根據(jù)圖2知，AB=8,

當(dāng)力=5時(shí)，AP—5,BP—3,

???ZB=30°,

PQ—BPxtan30°=V3,

SAAPQ=*PXPQ=?,

故選：c.

題目畫〕（2023?海南）如圖，Rt/\ABC中，/C=90°,AB=5,BC=c，點(diǎn)。在折線ACB上運(yùn)動，過點(diǎn)。作

4B的垂線，垂足為E.設(shè)AE=，，S.=u，則沙關(guān)于，的函數(shù)圖象大致是（）

4

【答案】A

【詳解】解:如圖所示，過點(diǎn)。作DF_LAB于點(diǎn)F,

???Rt/XABC中，/C=9?！?AB=5,BC=0,

??.AC=^AB2-BC2=2V5,

.?.ta+nAA=-—CB_1

DE_LAE

tanA=DE=CF=\

ACxBC_V5X2V5

?：CF2,

AB5

：.AF=4,

當(dāng)點(diǎn)。在上時(shí)，即0V化V4時(shí)，

*,人石二x，y,

DE=-^-x,y—~^-AExDE--^-x2

2,24

當(dāng)點(diǎn)。在CB上時(shí)，即446V5時(shí)，

如圖所示，連接AD,

.：EB=AB-AE=5H%制=2

:?DE=2EB=2(5—x)

：.y=2(5—x)x=-2/+102，

綜上所述，當(dāng)0V?V4時(shí)，拋物線開口向上，當(dāng)44/V5時(shí)，拋物線開口向下,

5

故選：A.

模型03函數(shù)圖象判斷

者|向|森|惻

函數(shù)圖象判斷該題型對于用圖象描述分段函數(shù)的實(shí)際問題，要抓住以下幾點(diǎn):①自變量變化而函數(shù)值不

變化的圖象用水平線段表示，②自變量不變化而函數(shù)值變化的圖象用鉛垂線段表示，③自變量變化函數(shù)

值也變化的增減變化情況，④函數(shù)圖象的最低點(diǎn)和最高點(diǎn).

答I題I技I巧

第一步：一變一不變，圖象是直線；

第二步：兩個(gè)都變圖象是曲線；

第三步：同增同減口向上；

第四步：一增一減口向下；

［題型守例

題目［J］（2024.山東聊城.一模）如圖,在矩形ABCD中，A。=6cm,AB=3cm,E為矩形ABCD的邊AD上

一點(diǎn)，AE=4cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線B—E—O運(yùn)動到點(diǎn)。停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC運(yùn)動到點(diǎn)。

停止,它們的運(yùn)動速度都是0.5cm/s,現(xiàn)P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，（s）,ABPQ的面積為？/cn?,

則V關(guān)于re的函數(shù)圖象為（）

【答案】。

【詳解】解：在矩形ABCD中，AB=3cm,AD=6cm,AD〃反7,點(diǎn)后在AD上，且AB=4cm,

則在直角△4BE中，根據(jù)勾股定理得到BE=y/AB2+AE2=V42+32=5cm,

①當(dāng)0W1<10,即點(diǎn)P在線段BE上，點(diǎn)Q在線段BC上時(shí)，過點(diǎn)P作PFLBC^F,

6

E

AD

5

???AD//BC,

??.AAEB=APBF,

：.sinZFBF=sinZAEB=%,則PF=8P-sinZFBF=^-t,

BE510

...片號Q?PF=?支X和=君2,

此時(shí)，該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線在第一象限的部分；

②當(dāng)1041412,即點(diǎn)「在線段。右上，點(diǎn)口在線段8。上時(shí),此時(shí)沙=。608=3]^義3=字,此

時(shí)該函數(shù)圖象是直線的一部分；

③當(dāng)12<tW14,即點(diǎn)P在線段OE上，點(diǎn)Q在點(diǎn)。時(shí)，ABPQ的面積=；x6x3=9cm2,此時(shí)該三角形

面積保持不變；

綜上所述，。正確.

故選：C.

遮目幻（2023?吉林）如圖，矩形48co中，AB=3,BC=5,點(diǎn)P是邊上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B,。都

不重合）,現(xiàn)將△PCD沿直線PD折疊，使點(diǎn)。落到點(diǎn)F處;過點(diǎn)P作ABPF的角平分線交于點(diǎn)E,設(shè)

BP=x,BE="則下列圖象中，能表示"與，的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）

【答案】。

【詳解】由已知可知ZEPD=90°,

：.NBPE+NDPC=9Q°,

NDPC+"DC=90°,

：.ZCDP=ZBPE,

/B=/C=90°,

:.&BPE?4CDP,

：.BP:CD=BE:CP,即c:3=y:（5-4

???y=—"?5C（O<C<5）；

故選c.???

京楚?施化鈿緣

題目—(2023?湖北)如圖，在①AAB。中，點(diǎn)。為AC邊中點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，沿著D-A-B的路徑

以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動到B點(diǎn),在此過程中線段CP的長度y隨著運(yùn)動時(shí)間①的函數(shù)關(guān)系如圖2

c-^r

【答案】。

【詳解】解：?.?動點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，線段CP的長度為夕,運(yùn)動時(shí)間為①的，根據(jù)圖象可知，當(dāng)①=0時(shí)，？/=2

/.CD=2,

???點(diǎn)。為/C邊中點(diǎn),

：.AD=CD=2,CA=2CD=4,

由圖象可知，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間①=(2+Vn)s時(shí)，夕最小，即c尸最小，

根據(jù)垂線段最短，

此時(shí)CP_L4B,如下圖所示，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動的路程D4+4P=1x(2+41)=(2+41),

所以此時(shí)AP=(2+41)—AD=41,

/A=/A,AAPC=/ACB=90°,

A4APC"ACB,

?AP_AC

"AC-AB;

即11」，

4AB

解得：AB=二戶,

在Rt^ABC中，BC=y/AB2-AC2=.

故選。.

題目團(tuán)(2023?山東)如圖(1),R1A4BC中，乙4cB=90°,CD是中線，點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，沿。?。一B的方

向以Icm/s的速度運(yùn)動到點(diǎn)B.圖⑵是點(diǎn)P運(yùn)動時(shí),/\ADP的面積7/(cm2)隨時(shí)間,(s)變化的圖象，則

a的值為()

【答案】。

【詳解】解：由點(diǎn)P的運(yùn)動可知，CD=acm,BC=a+2-a=2cm，且當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，AADC的面

積為2cm2,

過點(diǎn)。作DE，AC于點(diǎn)E,

.?.]>1。?。￡=2,即人。??！辏?4,

???8是中線，乙4cB=90°,

：.AD=CD,

：.。為力。中點(diǎn)，

DE是4ABC的中位線，

DE—~^BC—1cm,

AC=4cm,

在Rt/\ABC中，由勾股定理可知,AB=V42+22=2V5cm

a—CD——V5cm,

故選：D.

題目⑤(2。23?廣西)如圖1,點(diǎn)F從四條邊都相等的DABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿A-D-B以lcm/s的速度

勻速運(yùn)動到點(diǎn)B,圖2是點(diǎn)F運(yùn)動時(shí)，△FBC的面積貝仃!?)隨時(shí)間,(s)變化的關(guān)系圖象，則a的值為

()

圖1圖2

A.V5B.2C.D.2V5

【答案】。

【詳解】解:過點(diǎn)。作DE_LBC于點(diǎn)E

?：LJABCD的四條邊都相等，

:.AB=BC=CD=AD.

由圖象可知，點(diǎn)F由點(diǎn)A到點(diǎn)。用時(shí)為as,△FBC的面積為acm2.

:.AD—BC—a,

：.^-DE-BC=a,

：.DE—2,

當(dāng)點(diǎn)F從點(diǎn)D到點(diǎn)B時(shí)，用時(shí)為，

BD=V5,

Rt/\DEB中,

BE=YBTf-DE?=V(V5)2-22=1,

?：UABCD的四條邊都相等，

EC=a—1,DC=a

RtADEC中，

a2=22+(a—I)?,

解得:a=~|

故選：C.

顧目回（2023?江蘇）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)”是AB的中點(diǎn)，設(shè)DN=c,4V+AW=?/.已知“與

7之間的函數(shù)圖象如圖②所示，點(diǎn)E（a,2斯）是圖象上的最低點(diǎn)，那么正方形的邊長的值為（）

【答案】。

【詳解】解:如圖，連接4。交BD于點(diǎn)O,連接NC,連摟MC爻BD于點(diǎn)、N：

10

四邊形ABCD是正方形，

.?.4、。關(guān)于BD對稱，

：.NA=NC,

：.AN+MN=NC+MN,

?.?當(dāng)M、N、C共線時(shí)，y的值最小，

Ay的值最小就是的長，

：.MC=2V5,

設(shè)正方形的邊長為m,則BM=,

在Rt/\BCM中，由勾股定理得：MC?=BC2+MB2,

20=m2+,

二772=4（負(fù)值已舍），

.?.正方形的邊長為4.

故選：C.

題目回（2023-貴州）把兩個(gè)全等的等腰直角三角形透明紙片ABC、FGH如圖1放置（點(diǎn)。與點(diǎn)H重合），若

將4FGH繞點(diǎn)、C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，HG、分別交邊AB于點(diǎn)E、。（點(diǎn)。、E均不與點(diǎn)A、B重合）.設(shè)AE

=c,BD=O,在旋轉(zhuǎn)過程中，夕與①的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，則下列結(jié)論中正確的是（）

C.AD2+BE2^2DE2D.eg=8

【答案】。

【詳解】由題意可知，若點(diǎn)。與點(diǎn)4重合，則CG，AB,AE=2,

a=AB=2AE=4,故選項(xiàng)A中的結(jié)論不正確,

由AB=4可得AC=BC=2V2,

ACEA=ZB+ABCE=45°+/BCE=ADCE+ZBCE=ABCD,ZB=AA,

：./\AEC?/\BCD,

.AE_AC

.c=2應(yīng)

?,加一丁’

g/=8,故選項(xiàng)B中的結(jié)論不正確，選項(xiàng)。中的結(jié)論正確，?M

?：AE^x,BD=y,AB=4,

AD=4—g,BE=4—6,DE=力+g—4,

AD2+BE2=(4—T/)2+(4—%y=x2+y2-8x—8g+32,DE2—{x+y—4)2=x2+y2—8x—8y+2xy+16

=x2-\-y2—8x—8g+32,

??.AD2+BE2=DE?,故選項(xiàng)。中的結(jié)論不正確，

故選：O.

題目⑥(2023?北京)如圖，△48。中，/。=90°,4。=15,8。=20.點(diǎn)。從點(diǎn)力出發(fā)沿折線人—。一3

運(yùn)動到點(diǎn)8停止，過點(diǎn)。作DE，AB,垂足為E.設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動的路徑長為c,&BDE的面積為g,若y與c

的對應(yīng)關(guān)系如圖所示，則a—6的值為()

A.54B.52C.50D.48

【答案】B

【詳解】解：當(dāng)2=10時(shí)，由題意可知，

AD=10,CD=5,

在Rt^CDB中，由勾股定理得BD?=Clf+BC2^52+202=425,

設(shè)AE=z,BE=25—z,

BE?=(z-25)2=Z2-5QZ+625,

在Rt/XADE中，由勾股定理得DE?=AL)2-AE2^100-z2,

在Rt^DEB中，由勾股定理得3加=DE-+BE2,

即425=100-Z2+Z2-50Z+625,

解得z=6,

DE=6,BE=19,

a=SAB°E="^~X19X8=76,

當(dāng)，=25時(shí)，由題意可知，CD=BD=10,

設(shè)BE=q,AE=25—q,

AE2=(25-q)2=625-50q+q2,

在Rt^CDA中，由勾股定理得AD2=AC2+CD2=152+102=325,

在Rt^BDE中由勾股定理得DB2=BD2-BE2=100-/,

Rt^DEA中，由勾股定理得AC>2=DE2+AE'2,

即325=100-Q2+625-50q+q2,

解得q—8,

DE—6,

b-SABDE=/義6X8=24,

a-b=76—24=52.

12

c

D

B

A

故選：B.

題目叵〕（2023?上海）如圖，△48。中，/力CB=90°,乙4=30°,48=16,點(diǎn)P是斜邊AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)

P作PQ,AB,垂足為P,交邊AC（或邊CB）于點(diǎn)Q,設(shè)AP=c,A4PQ的面積為？/,則夕與加之間的函數(shù)

圖象大致是（）

【答案】。

【詳解】解：???乙4cB=90°,乙4=30°,AB=16,

：.ZB=6Q°,BC=^-AB=8,

/BCD=30°,

：.BD=^-BC=4.,

：.AD=AB—BD=12.

如圖1,當(dāng)0&4DW12時(shí)，

AP—x,PQ—AF*tan30°=,

o

._1V3_V3

X--x2;

如圖2:當(dāng)12VrrW16時(shí)，BP=AB—AP=16—c,

PQ=BF?tan60°=V3（16—x）,

：.y--^-x-V3（16—t）——^-X2+8V3X,

：.該函數(shù)圖象前半部分是拋物線開口向上，后半部分也為拋物線開口向下,

故選D

cc

圖1圖2

題目回（2023?廣西）如圖，矩形ABC。中，3,BC=5,點(diǎn)P是8。邊上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C

重合），現(xiàn)將中。。沿直線PO折疊，使點(diǎn)。落下點(diǎn)。1處;作ZBPG的平分線交于點(diǎn)E.設(shè)BP=%,

班;二"那么g關(guān)于力的函數(shù)圖象大致應(yīng)為（）

B.

馨

D.

【答案】。

【詳解】由翻折的性質(zhì)得，ACPD=ACfPD,

???PE平分NBPG,

???4BPE=/C]PE,

：./BPE+/CPD=9U°,

vZC=90°,

???/CPO+NPZX7=90°,

???4BPE=/PDC,

又???ZB=ZC=90°,

：?/\PCD?gBP,

.BE=PB

''~PC~~CD'

???函數(shù)圖象為。選項(xiàng)圖象.

故選c.

題目10（2023.內(nèi)蒙古）如圖1,點(diǎn)P從等邊三角形ABC的頂點(diǎn)人出發(fā)，沿直線運(yùn)動到三角形內(nèi)部一點(diǎn)，再從

該點(diǎn)沿直線運(yùn)動到頂點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為處暮■=",如圖2所示為點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)g隨加變化的函數(shù)

JO

關(guān)系圖象,則等邊三角形ABC的邊長是（）

圖1圖2

A.2V3B.4C.6D.4^/3

【答案】A

【詳解】如圖，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動到三角形內(nèi)部一點(diǎn)O,再從點(diǎn)。沿直線運(yùn)動到頂點(diǎn)B,

A

結(jié)合圖象可知，當(dāng)點(diǎn)p在4。上運(yùn)動時(shí)，緇=i,

：.PB=PC,AO=2,

又△ABC為等邊三角形，

ABAC=60°,AB=AC,

AAPB空AAPC（SSS）,

ZBAO=ZCAO=30°,

當(dāng)點(diǎn)P在。B上運(yùn)動時(shí)，可知點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)的路程為4,

.?.03=2,即40=03=2,

ZBAO=ZABO=30°,

過點(diǎn)。作OD，垂足為。，

AD=BD,則AD=AO-cos30°=V3,

AB=AD+BD=2V3,

即等邊三角形ABC的邊長為2聰.

故選：A.

直目電（2023?杭州）如圖1,點(diǎn)P從等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動到三角形內(nèi)部一點(diǎn)，再從

該點(diǎn)沿直線運(yùn)動到頂點(diǎn)B.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為以修="圖2是點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)y隨c變化的關(guān)系圖象，

JTO

則等邊三角形ABC的邊長為（）

15

4P)

D.2V3

【答案】A

【詳解】解:如圖，令點(diǎn)P從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動到三角形內(nèi)部一點(diǎn)O,再從點(diǎn)。沿直線運(yùn)動到頂點(diǎn)B.

結(jié)合圖象可知，當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動時(shí)，修=1,

,￡O

PB=PC,AO=2V3,

又△ABC為等邊三角形，

ABAC=60°,AB=AC,

△APB空△APC(SSS),

ABAO=ACAO,

A/R4O=/C4O=30°,

當(dāng)點(diǎn)P在OB上運(yùn)動時(shí)，可知點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)的路程為4V3,

OB=2V3,即AO=OB=2V3,

/LBAO=AABO=30°,

過點(diǎn)。作。。LAB,

AD=BD,則AD=AO-cos30°=3,

/.AB=AD+BD=6,

即：等邊三角形ABC的邊長為6,

故選：A.

,C4=CB,直線Z經(jīng)過點(diǎn)A且垂直于AB.現(xiàn)將直線Z以

lcm/s的速度向右勻速平移,直至到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動,直線I與邊AB交于點(diǎn)A1,與邊47（或CB）交于

點(diǎn)N.設(shè)直線Z移動的時(shí)間是Ns）,A4AW的面積為."（cm?）,,若"關(guān)于C的函數(shù)圖象如圖2所示，則

圖1圖2

A.16cmB.17cmC.18cmD.20cm

【答案】。

【詳解】解:過。作CDLAB于。，如圖，

由函數(shù)圖像知，當(dāng)直線,與CD重合時(shí)，y的值最大為6,

此時(shí)入河=人。=4,^AD-CD=&,

:.CD=3,

?：AC=BC,CD_LAB,

：.AB=2AD=8,

由勾股定理得：AC=y/AD2+CD2=5,

：.△ABC的周長為AC+BC+AB=2AC+AB=18（cm）,

故選：C.

圖1

題目0（2024.河南安陽.一模）如圖1,用A4BC中，點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，沿折線C—B—A勻速運(yùn)動，連接

AP,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動距離為,，AP的長為如V關(guān)于/的函數(shù)圖象如圖2所示,則當(dāng)點(diǎn)P為B。的中點(diǎn)時(shí),

AP的長為（）

【答案】B

【詳解】解：因?yàn)镻點(diǎn)是從。點(diǎn)出發(fā)的，。為初始點(diǎn)，

觀察圖象劣=0時(shí)沙=4,則AC=4,P從。向B移動的過程中，AP是不斷增加的,

17

而P從石向A移動的過程中，4P是不斷減少的，

因此轉(zhuǎn)折點(diǎn)為B點(diǎn)、，P運(yùn)動到_8點(diǎn)時(shí)，即力=Q時(shí)，BC=PC=Q，此時(shí)g=a+2,

即AP=AB=a+2,AC=4,BC=a,AB=a+2,

VZC=9O°,

由勾股定理得：（a+2）2=42+a2,

解得：Q=3,

???AB=5fBC=3f

當(dāng)點(diǎn)P為8。中點(diǎn)時(shí)，CP=y,

：.AP^^AC2+CP2^

故選：B.

題目§（2024.四川廣元.二模）如圖,在梯形A3CD中，/3=90°,A3=4,CD=3,AD=46,點(diǎn)P,E

分別為對角線AC和邊BC上的動點(diǎn)，連接PE.點(diǎn)P在CA上以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C

運(yùn)動到點(diǎn)在這個(gè)過程中始終保持PELBC.設(shè)△CPE的面積為夕,則沙與點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間2的函數(shù)

關(guān)系圖象大致可以表示為（）

【答案】D

【詳解】解:如圖所示，過點(diǎn)人作AF_LCD,交。。的延長線于點(diǎn)F,

則四邊形ABCD是矩形,

18

???CD=3,AB=4

.-.CF=AB=4,FZ)=1,

???

??.CB=AF=^AD2-FD2=3

在Rt/XABC中，40=A/AB2+BC2=5,

**?SAABC=*BC=~^"X3X4=6

???點(diǎn)P在。4上以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)4,

???04力45

?：PE_LBC

：.PEAB

：.ACPE-ACAB

?S"CE_(CP,=(_t_V—t2

99

S^ACB~yCA)~y5)~25

.?”裊2(049)

當(dāng)力=1時(shí)，夕=條=0.24

觀察函數(shù)圖象，只有。選項(xiàng)符合題意，

故選：。.

題目回(2024?河南信陽?一模)如圖1,已知口ABCD的邊長AB為4g，/B=30°,5。于點(diǎn)E.現(xiàn)將

△ABE沿方向以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動,運(yùn)動的△ABE與口ABCD重疊部分的面積S與運(yùn)動

時(shí)間t的函數(shù)圖象如圖2,則當(dāng)力為9時(shí)，S的值是()

【答案】。

【詳解】解：?.?AB為4g，乙8=30°,4E_LB。于點(diǎn)E.

AE—2V3,

：.BE=y/AB2-AE2=6,

由運(yùn)動的△4BE與UABCD重疊部分的面積S與運(yùn)動時(shí)間力的函數(shù)圖象得：

當(dāng)運(yùn)動到6時(shí)，重疊部分的面積一直不變，

CE=6,

/.BC=12,

由函數(shù)圖象得：當(dāng)運(yùn)動時(shí)間力>6時(shí)，為二次函數(shù)，且在t=6時(shí)達(dá)到最大值，對稱軸為直線t=6,

二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(0,0),

設(shè)二次函數(shù)的解析式為S=at(i—12)(4>6),

將點(diǎn)（6,6，^）代入得：a=-,

b

S=—t（t-12）（t>6）,

當(dāng)土為9時(shí)，S=

故選：C.

^■J3（2023?廣西）如圖，在電A4BC中，乙4GB=90°,乙4=30°,AB=4，Wcm,CD，AB,垂足為點(diǎn)。，

動點(diǎn)M從點(diǎn)、A出發(fā)沿AB方向以V3cm/s的速度勻速運(yùn)動到點(diǎn)B,同時(shí)動點(diǎn)N從點(diǎn)。出發(fā)沿射線方向

以lcm/s的速度勻速運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)“停止運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)N也隨之停止，連接MN,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為力s,△MVD的

面積為Scn^,則下列圖象能大致反映s與力之間函數(shù)關(guān)系的是（）

【答案】B

【詳解】解：???/ACB=90°,ZA=3O°,AB=4V3,

ZB=60°,BC=yAB=2a，AC=V3BC=6,

?：CD_LAB,

.?.8=白。=3,AD=向2=3用,BD*BC=M,

：.當(dāng)初在A。上時(shí)，0<t<3,

MD=AM-AD=3V3-V3t,DN=DC+CN=3+t,

當(dāng)M在BD上時(shí)，3<t<4,

MD^AD-AM^V3t-3V3,

：.S=^MD-DN=-1-(V3i-3V3)(3+i)=乎,???

故選：B.

題目J］（2023?遼寧）如圖，矩形ABCD中，AB=8cm,A。=12cm,AC與BD交于點(diǎn)O,河是BC的中點(diǎn).

P、Q兩點(diǎn)沿著B一。一。方向分別從點(diǎn)B、點(diǎn)河同時(shí)出發(fā)，并都以lcm/s的速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)。點(diǎn)

時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動.在P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動的過程中,與△OPQ的面積隨時(shí)間t變化的圖象最接近的是

【答案】B

【詳解】解：：矩形ABCD中，48=8cm,AD=12cm,AC與BD交于點(diǎn)O,

.?.點(diǎn)。到BC的距離=：AB=4,到CD的距離=：AD=6,

?.?點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

：.CM=^-BC=6,

.?.點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)。的時(shí)間為6+1=6s,

點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)。的時(shí)間為12+1=12s,

點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D的時(shí)間為（6+8）+1=14s,

①0<t<6時(shí)，點(diǎn)P、Q都在BC上，PQ=6,

△OPQ的面積=1■x6x4=12;

②6c力《12時(shí)，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在CD上，

CP=12—t,CQ=力-6,

SAOPQ=Sbcop+SACOQ-SAPCQ，

=~~x(12-1)x4+]x(t-6)x6—~~x(12-1)x(t-6),

=yi2-8?+42,

-y(i-8)2+10,

③12<tW14時(shí)，PQ=6,

△OPQ的面積=5x6x6=18;

縱觀各選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)圖形符合.

故選：B.

題目可（2024.山東淄博.一模）如圖1,點(diǎn)P從△46。的頂點(diǎn)B出發(fā)，沿石一。-4勻速運(yùn)動到點(diǎn)A,圖2是

點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，線段的長度"隨時(shí)間力變化的關(guān)系圖象，其中曲線部分為軸對稱圖形，M為最低點(diǎn)，則

△48。的面積是（

A

H

A.6B.9C.12D.15

【答案】。

【詳解】解：由圖得，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)。和店A處時(shí)，BP長都是5,即BC=94=5,

當(dāng)BP最短時(shí)，即垂直AC時(shí)長為4,

?:BC=5,BP=4,

：.PC=NBB—BP=3,

■：BC=BA,BP±AC,

：.CP=AP=3,

：.AC=6,

S》BC=54c,BP=]x6x4=12.

故選：C.

題目N（2023?山東）如圖，在母△AB。中，48=10力5m4=1~,/水汨=90°,過點(diǎn)。向AB作垂線，垂

22

足為。.直線小,九垂直于AB,直線小分別與AB,AC相交于點(diǎn)M,N,直線n分別與相交于點(diǎn)P、

Q.直線小從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以lcm/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動,到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動；同時(shí)，直線九從點(diǎn)

B出發(fā)，沿方向以相同的速度向點(diǎn)。運(yùn)動,到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動.若運(yùn)動過程中直線小、九及4ABC

圍成的多邊形MNCQP的面積是沙(cn?)，直線小的運(yùn)動時(shí)間是Ms)，則？/與c之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致

【答案】A

【詳解】解：①△ABC中，乙4cB=90°,過點(diǎn)。向AB作垂線，

：.^CDB=90°,

：.ZA+Z.ACD=90°,/BCD+NACD=90°,

NA=/BCD,

同理/3=/ACD

3

VAB=10cm,sinA=^-,

5

BC=AB-sinA=6,

在RtAABC中，運(yùn)用勾股定理得AC=8,

?：^-AB-CD=AC-BC,：.CD=2,

由sinA=3得：cosA=—,tanA=3,

553

當(dāng)OVcV學(xué)時(shí)，AM=BP=a,

5

由tanA=4,tanB=g得：MN--7-x,QP—^-x,AD—,

344355

/.MD——----x,DP———x,

55

QP+co)

y=S^}MNCQP^MN+CD)-MD+-1(-DP

=i(T+—2)++=—1F+24;

當(dāng)號WrcV書時(shí)，

55

3,2432

y=y(MV+CD)-MD=三了"T~x

32,384

=一資+方

（一翁/+24（0V/V普）

：.y={:QC41C二，根據(jù)函數(shù)解析式判斷人選項(xiàng)符合題意,

l-F+<-管《」〈豹

故選：A.

窺目可（2024.山東聊城?一模）如圖，在△ABC中，48=10,BC=6,AC=8,點(diǎn)P為線段4B上的動點(diǎn)，以

每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)力向點(diǎn)B移動,到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止.過點(diǎn)P作PNLAC于點(diǎn)河，作PNL

BC于點(diǎn)N,連結(jié)MN,線段MN的長度"與點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)圖象最低

點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

【詳解】解:連接CP,如圖,

BC2+AC2=36+64=100,AB2=100,

BC2+AC2^AB2,

：./ACS=90°,

?：PM±AC,PN±BC,

：.4PMe=4PNC=4MCN=90°,

四邊形MPNC為矩形，

:.MN=CP,

?.?點(diǎn)P為線段AB上的動點(diǎn)，由于垂線段最短，

當(dāng)CP_LAB時(shí)，CP取得最小值，即？/=AW取最小值,

過點(diǎn)。作CP_LAB于點(diǎn)P,

24

??ZAGB=90°,CP-LAB,

??ZAPC=ZACB=90°,

又ZA=ZA,

??/XACP-/XABC,

.ACCP^AP

'~AB~^C~^C9

,8_CP_AP

*l0

?.CP=卷,AP=^~,

oo

當(dāng)t—時(shí)，g取最小值為普*,

55

\函數(shù)圖象最低點(diǎn)E的坐標(biāo)為噂會，

故答案為：（當(dāng),卷）.

\557

題目也如圖①，在菱形ABCD中，/。=120°,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線AC上一動點(diǎn)，設(shè)PC的長

①②

【答案

【詳解】圖像上最低點(diǎn)表示的意義為y=PB+PE最小，

???菱形ABCD,

.?.B、。關(guān)于AC對稱，

連接DE交AC于P,此時(shí)沙=PB+PE最小，最小值為DE長度,

?.F=0即點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，g=6,

??.BC+CE=6,

25

?.?點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

:.BC=4,CE=2.

連接BD

?/菱形ABCD,/ADC=120°,

/.AD=AB=CD=BC=4：,/BCD=60°,AACB=AACD=30°,

：.ZXADB是等邊三角形，

?.?點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

：.DE±AB,NCDE=301BE=CE=^BC=2,

：.DE=V42-22=2V3,即9=2V3.

cosAACB=,

.?"=2+乎=￥，即，=竽，

圖像上最低點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（竽,26），

故答案為：(竽,2

題目紅(2024?山東棗莊?一模)如圖1,在AABC中，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)。運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，設(shè)c表示

線段AP的長，g表示線段的長，g與冗之間的關(guān)系如圖2所示，則館一九=.

【答案】通

【詳解】解：由圖2知：當(dāng)/=0,P和A重合，則AB=2,

當(dāng)力=1,g最小，最小值為打，此時(shí)BP_LAB,AP—1,

n=A/22—I2=V3,

當(dāng)力=4時(shí)，P和B重合，則BC—m,

m—V(V3)2+(4—I)2=2A/3,

-n—2A/3—V3=A/3,

故答案為：，

題目包如圖1,在平行四邊形ABC。中，/B=60°,3C=2AB,動點(diǎn)P從點(diǎn)人出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速

度沿線段4B運(yùn)動到點(diǎn)8停止，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位的速度沿折線B—C—。運(yùn)動到

點(diǎn)。停止.圖2是點(diǎn)P、Q運(yùn)動時(shí)，△BPQ的面積S與運(yùn)動時(shí)間t函數(shù)關(guān)系的圖象，則a的值是.

?M

【詳解】解：由題圖2得，t=6時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動，

.?.點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位速度從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B用了6秒,

AB=1x6=6,

.?.BC=2AB=2X6=12,

由點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動可知，AP=t,BP=6—t,

當(dāng)點(diǎn)Q在上時(shí)，即0WCV3時(shí)，BQ=4t,

過點(diǎn)P作PMA.BC丈BC于M,

AD

7

BMQCV