湖南省某中學2024屆高三年級模擬數學試卷(二)

夫德?英才大聯考長郡中學2024屆模擬試卷（二）

數學

注意事項：

1；答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改

置動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試

S卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.）

1.已知集合人=(力2，-3]>0),8={0,1,2,3,4),則4仆8=

A.{0}R{1,2,3）C{0,4}D.{3,4}

2.在(右一2>的展開式中，/的系數為

A.-5R5c.-10D.10

3.設z=(l+i)為虛數單位，貝!!乏=

中

共A.-2iR2iC.-2D.0

於

4.若底面半徑為r,母線長為I的圓錐的表面積與直徑為力的球的表面積相等，則方=

I

A.5/3-1B?1C.-75-1D.痣1

9

5.已知sinA+cosB=-r,cosA-rsinB=l,則sin(A+B)=

o

qA—得C-1D-6

6.如圖，在OOACB中,E是AC的中點,F是線段BC上的一點，且BC=3BF,若公=m反+

“OF,其中加,〃€R,則m+n的值為

Al(4D4

數學試卷（長郡版）第1頁（共5頁）

7.已知數列｛a?｝為等差數列，｛瓦｝為等比數列,。4=&=4,則

A,63652^3a5B.與+frsifla+as

C.63654a3a5D?d+654肉+。5

8.設橢圓G號+看=1->0）與雙曲線。2謂一看=1（QO出>0）有相同的焦距，它們

的離心率分別為為向，橢圓G的焦點為E,B,G,G在第一象限的交點為P,若點P在直線

y=z上，且NFIPF2=90°,則4+］的值為

”優(yōu)

A.,2B.3CV2D.愿

二、選擇題（本大題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）

9.下列命題為真命題的是

—

A.若樣本數據zi，工2，工3，工4，工5，通的方差為2,則數據3xi—1,3X2—l,3x3—l,3x4—l,3xs

1,3%6T的方差為17

B.一組數據8,9,10,11,12的第80百分位數是11.5

C,用決定系數R2比較兩個模型的擬合效果時，若R2越大,則相應模型的擬合效果越好

D.以模型y=c/去擬合一組數據時，為了求出經驗回歸方程，設z=\n力求得線性回歸方程

為i=2x+0.4,則c,k的值分別是e"和2

10.已知定義在R上的偶函數八工）,其最小正周期為4,當工6［0,2］時,人工）=2，-2,則

A./（2023）=0

R/G）的值域為［-1,2］

C./（外在［4,6］上單調遞減

D./（力在［-6,6］上有8個零點

11.在三棱錐D-ABC中，平面ABCJJF?iABD,AB=AC=BC=BD=AD/

=2,則/\

A.三棱錐D-ABC的體積為1/J,，

B.點C到直線AD的距離為空/（

C.二面角B-AD-C的正切值為2

D.三棱錐D-ABC外接球的球心到平面ABO的距離為母

三、填空題（本大題共3小題,每小題3分，共15分.）

12.過橢圓。號+營=1（。>0,6>0）的右頂點與上頂點的直線斜率為一"I，則。的離心率為

數學試卷（長郡版）第2頁（共5頁）

13.函數f{x}=\sin2x-cos2x|的最小正周期為.

14.已知三位正整數〃滿足的展開式中有連續(xù)的三項的二項式系數成等差數列，則n的

最大值是.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

15.（13分）如圖，已知多面體ABC-AIiG,AA,BiB,GC均垂直于平面

ABC,ZABC=120°,AiA=4,ClC=l,AB=BC=B1B-2.

（D求證:AB】，平面AJBG；

（2）求直線AG與平面ABB1所成角的正弦值.

16.（15分）已知函數八力=無詈土與其中aCR.

（1）當a=0時,求曲線,=/（力在處的切線方程；

⑵當。＞0時，若f（z）在區(qū)間［0,a］上的最小值為上求a的值.

17.（15分）已知橢圓E中心在原點，左焦點為尸其四個頂點的連線圍成的四邊形面積

為2々.

（D求橢圓E的標準方程；

⑵過橢圓E的左焦點F作斜率存在的兩直線AB、CD分別交橢圓于A、E,C、D,且AB_L

CD,線段AB、CD的中點分別為M、N.求四邊形BCMN面積的最小值.

數學試卷（長郡版）第3頁（共5頁）

18.（17分）某學校組織數學、物理學科答題競賽活動,該學校準備了100個相同的箱子，其中第

M4=1,2,…,100）個箱子中有A個數學題,100一4個物理題.每一輪競賽活動規(guī)則如下:任選

一個箱子，依次抽取三個題目（每次取出不放回），并全部作答完畢，則該輪活動結束.若此輪

活動中,三個題目全部答對獲得一個獎品.

（D已知學生甲在每一輪活動中，都抽中了2個數學題,1個物理題，且甲答對每一個數學題的

概率為力,答對每一個物理題的概率為q.

①求學生甲第一輪活動獲得一個獎品的概率j

②已知》+q=l,學生甲理論上至少要進行多少輪活動才能獲得四個獎品？并求此時P、q

的值.

（2）若學生乙只參加一輪活動，求乙第三次抽到物理題的概率.

數學試卷（長郡版）第4頁（共5頁）

19.（17分）集合論在離散數學中有著非常重要的地位.對于非空集合A和B,定義和集A+B=

儲+6］?！?,6￡13）,用符號6（八+8）表示和集4+3內的元素個數.

（1）已知集合A="，3,5）,2,6）,C={1,2,6,工），若A+B=A+C,求工的值；

（2）記集合4={1,2,…=為C.中所有元素之

和,“GN"，求證:2+2+…+衛(wèi)V2（—-1）；

。2O-H

⑶若A與B都是由加（力）3,力￡1>|,）個整數構成的集合,且-4+8）=2加一1,證明：若按

一定順序排列，集合A與B中的元素是兩個公差相等的等差數列.

數學試卷（長郡版）第5頁（共5頁）

夫德?英才大聯考長郡中學2024屆模擬試卷(二)

數學參考答案

題號1234567891011

答案CCADACAABCDABACD

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.)

l.C2.C3.A4.D5.A6.C

7.A【解析】因為數列｛4｝為等差數列，所以。3+。5=24=8,

因為｛幾｝為等比數列，所以仇仇=國=16,

而a3a5=(8—5)。5=-a；+&s=-(處―4y+16416,所以仇仇》。3a5，故A對，C錯?；

因為七+的=8,而仇，仇可同為正數也可同為負數，

當lh，8V0時,仇+A＜%+。5，當仇，仇＞0時，仇+仇》2，仇＞=8＞。3+.，

所以q+as-A+A大小不確定，故BD錯誤.故選A.

8.A

二、選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.)

9.BCD【解析】對A：若樣本數據X\』，…，76的方差為2,則數據3百一1,3%—1，34—1，3q一1,3W一1,3々一1的

方差為32X2=18^17,故A錯誤；

對B：5X80%=4,則其第80百分位數是可口=11.5,故B正確；

對C：根據決定系數的含義知店越大，則相應模型的擬合效果越好，故C正確；

對D：以模型去擬合一組數據時，為了求出經臉回歸方程，設z=In)，

則z=lny=lnc+lne"=lnc+A_r,由題線性回歸方程為￡=2H+0.4,則Inc=0.4,A=2,故c,A的值分別是e”‘和2,

故D正確.故選BCD.

10.AB【解析】對于A,/(2023)=f(506X4-1)=/?(-1)=八1)=0,所以A正確；

對于B,當zW［0,2口時,人工)=2,一2單調遞增.

所以當工￡［0,21時,義工)的值域為［-1,21,

由于函數是偶函數.f(z)在［-2,0］上的值域也為1-1,2」，

又人才)是周期為4的周期函數，所以fQ)的值域為［一］，2］,所以B正確；

對于C,當工￡［0,2］時,/(工)=2，-2單調遞增，

又fGr)的周期是4,所以f(z)在［4,6］上單調遞增.所以C錯誤；

對于D,令f(z)=22=0,得工=1,所以/(1)=/(-1)=0,

由于fCr)的周期為4,所以/(5)=/(-5)=0,/(3)=/(-3)=0,

所以八外在［-6,6］上有6個零點，所以D錯誤，故選AB.

11.ACD【解析】如圖，取AB的中點G,連接DG,0G,因為平面ABC_L平面ABD,且平面ABCQ平面ABD=AB,

OGC平面ABC,所以CG_L平面ABD.因為CG=2xg=悟，所以VI＞,Wc=ySA?UID?OG=yXyX2X2X^X

伍=1.故A正確；

取AD的中點E,連接BE,取AE的中點F,連接FG,CF,

因為F,G分別為AE,AB中點，則FG//BE,所以FG1.AD.因為OG_L平面ABD,ADU平面ABD,所以OG±AD,

數學參考答案(長郡版)一1

又ocnFG=G,CG,FGU平面CFG,所以AD1平面CFG,則AD±CF,則點C到直線AD的距離為CF=

7CG2+FG2=-^./CFG為二面角B-AD-C的平面角.tanZCFG=^=2,B錯誤.C正確；

設△ABD.ZXABC的外心分別為M.K,則GKJ_A8,又平面ABDJ_平面ABC,所以GK_L平面ABD.設三枝維D-

ABC外接球的球心為O,則OK_L平面ABC,OMJ_平面ABD,所以四邊形OMGK為矩形，則OM=GK=1CG=

岸.故三棱維D-ABC外接球的球心到平面ABD的距離為喙，D正確.故選ACD.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.卷13.-5■

04

14.959【解析】設連續(xù)的三項的二項式系數為C；',C；，C，(Kr<n-l,WeN,),

由2c：=CTi+C中得〃2一(4「+1)"+4/—2=0,

解御〃=”+1±2'8r+9①，因為，，為正整數,所以8r+9應為奇完全平方數，

設8r?+9=(24+1)216寸)，可得4r=2￥+2左一4,代入①，

解得“=?+1>—2或〃=狀一2,所以三位整數”的最大值為959.

四、解答題(本大題共5小題，共77分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步碟.)

15.【解析】(1)由人8=2,441=4,88I=2*入_148,88_1_48得48|=41|=2々，

所以A|Bj+AB；=AAf,即有AB,J_A|B,.

由BC=2,BB1=2,CCi=1,CG_LBC得B?G=75,

由AB=BC=2,NABC=12O°得AC=2倍，

由CGLAC,得AG=G,所以AB?+B|G=AC?,即有AB,J_B|G，

又ABiDB1c=B，因此ABi_L平面AB1cl......................................

(2)［方法一］：向量法

設直線AC,與平面ABB,所成的角為Q.

如圖建系.由(1)可知焉=(0,24,1),前=(1,禽.0),麗=(0,0.2).

設平面ABB1的法向量

由『號。'即f+同8可取戶(-伍,1,0),

In?BBi=0,〔2N=0,

年”?qI/Tk\IIAC?n|-/39

所以sm0=Icos(AQ,〃〉I=}.----;-=

IAGI?InIr1Q

因此，直線AG與平面ABB1所成的角的正弦值是嚕...............................................13分

［方法二］定義法+等積法

設直線AG與平面ABB1所成角為小點儲到平面ABB距離為“(下同).因為GC〃平面ABB，所以點C到平面

ABB,的距離等于點G到平面ABBi的距離.由條件易得，點C到平面ABBi的距離等于點C到直線AB的距離，

而點C到直線A3的距離為痣,所以d=JI.故疝13=條=理=*等...............................13分

Aa71313

16.【解析】(1)當a=0時，/(6=5,則/(1)=：,/("=2尹，所以

所以曲線y=f(?r)在處的切線方程為：y—1),即n-e?=0?.............................................6分

(2)，(才)=—"2+(<+2)］一2〃_(力一2)(1—a)

令/(1)=0?解得z=2或N=a,.........................................................................................................................8分

當0Va<2,R￡［0,a］時,/Cr)40,則八外在［0,切上單調遞減.

所以〃z)m=f(a)=/=2,則a=l,符合題意；......................................................10分

數學參考答案(長郡版)一2

當a>2,zG［0,21時,/Cr）WO,則/Cr）在［0,2］上單調遞減.

工6（2,臼時，/（力>0,則/（工）在（2,0上單調遞增.

所以/（l）$=〃2）=三=十，則a=4-e<2,不合題意；..............................................12分

當a=2,zW［0,2］時則/Cr）在［0,2］上單調遞減，

所以/（工心可⑵二/#多不合題意；

綜上,a=l...............................................................................15分

17.【解析】（1）根據題意設橢圓E的標準方程為，+￡=l,a>6>0,

由已知得,十X2aX2〃=2&.即ab=4i,由c=1可得,/—&=1,

聯立解得,a=&,6=l,故橢圓E的標準方程為寫+;/=1.........................................4分

⑵設直線AB.CD的斜率分別為3-牛，且A、B、C、D的坐標分別為5），（x2?。?，“），5，”），

設四邊形BCMN面積為S,又F（—1,0）,則直線AB為：y=*z+l）,直線CD為：,=一十（工+1）.

產々（工+1）,

聯立,得（2公+1）/+4嚴］+（2公-2）=0,

后+丁=1

（,一4Az

Xi-rX2—2/+j，

知了工是該方程兩根，所以4,....8分

2公一2

則|AB|二廳用為一亞人用不繆魯二?^；“）...........................................10分

同理也|=2舉"）=喑捍..............................................................］］分

7乙7+?1?R十乙

所以S=[|BM|?\CN\=vlAB|?|CD|_272(^4-1)2-(公+1)(公+]>

LO-8(2/+1)*—一+2-(2(+1)(>+2)

去+2公+11，氏2\11---——V--14/業(yè)人一—1.由工、

射,一2公+5公+2—2（12紀+5萬+2）-2［2（公+/）+5］》2（12X2+5）~9?（當&一士1時1M取等）

所以四邊形BCMN面積的最小值為卷.................................................................15分

18.【解析】①記“學生甲第一輪活動獲得一個獎品”為事件A,則P（A）="q............................4分

②學生甲在每一輪活動中獲得一個獎品的概率為P=p2q=p2（l-p）=~p3+p2,

令人工）=一/+/,工6［0」1,/（1）=-3/+22=一3工（工一年），

OO

當0Vx<仔時,小工）>0,當件Vx<l時JGOVO,

JJ

所以/Cr）在101］上單調遞增，在［等,1］上單調遞減—2=/（等）=/,

教學參考答案（長郡版）一3

即興z?=q時,「3=一(()'+(()得.

學生甲在”輪活動中獲得獎品的個數￡?B5,P),由(“P)m=4,知”=27.

91

故理論上至少要進行27輪游戲，此時;>=告，q=T*.........................................................................................10分

VO

(2)設選出的是第k個箱子，連續(xù)三次取出題目的方法數為100X(100-1)X(100-2).

設數學題為M,物理題為W,第三次取出的是物理題W有如下四種情形：

(W,W,W)取法數為(100—萬)(100一4一1)(100—4—2),

取法數為k(10Q-k)(.10()-k-l),

(M,W,W)取法數為鼠100—幻(100一左一1),

取法數為k(k-l)(.100-k),

從而，第三次取出的是物理題的種數為

(100-Jt)(100-)t-l)(100-A-2)+jt(100-jfe)(100-)t-l)+^(100-)t)(100-jt-l)4-j6(A-l)(100-A)=(100-

1)(100—2)(100-?,

則在第k個箱子中第三次取出的是物理題的概率為》”=端心.

而選到第目個箱子的概率為志，

故所求的概率為P'=￡?’.焉立嘴九襦=表第10。_不=點方=當患=懸..........17分

19?【解析】(1)由題:A+B={2,3,4,5,6,7,9,11}‘...................................................................................................2分

所以1+工,3十七5+1￡A+B且1片1,2,6,

從而l+<r=5,3+<r=7,5+<r=9,故工=4................................................................................................5分

(2)若三前用WA■歷i遇,CB,,使“+>/?力=詢+后,其中力恁，力小€{1，2,?,?用),

則/(九一，2)=，2一小，...............................