2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何輔助線進(jìn)階訓(xùn)練-正方形的輔助線

初中幾何輔助線進(jìn)階訓(xùn)練—正方形的輔助線

一'階段一(較易)

1.感知：如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對角線AC上(不與點(diǎn)A、C重合)，連結(jié)ED,

EB,過點(diǎn)E作EFLED,交邊BC于點(diǎn)F.易知NEFC+NEDC=180。，進(jìn)而證出EB=EF.

圖②

(1)探究：如圖②，點(diǎn)E在射線CA上(不與點(diǎn)A、C重合)，連結(jié)ED、EB,過點(diǎn)E作

EF±ED,交CB的延長線于點(diǎn)F.求證：EB=EF.

(2)應(yīng)用：如圖②，若DE=2,CD=1,則四邊形EFCD的面積為.

2.(1)【閱讀理解】如圖1,h//l2,AABC的面積與ADBC的面積相等嗎？為什么？

圖1

(2)【類比探究】問題①，如圖2,在正方形ABCD的右側(cè)作等腰△CDE,CE=DE,AD=4,

連接4E,求AADE的面積.

圖2

(3)【拓展應(yīng)用】問題②，如圖3,在正方形ABCD的右側(cè)作正方形CEFG,點(diǎn)B,C,E在同一

直線上，AD=4,連接B。，BF,DF,直接寫出ABCF的面積.

AD

3.如圖，在正方形ABCD中，AB=8,F是對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、E分別在AD、CD邊上運(yùn)

動(dòng)，且保持AG=DE.連接GE、GF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，下列結(jié)論：①AGFE是等腰直

角三角形；②四邊形DGFE不可能為正方形，③GE長度的最小值為4/；④四邊形DGFE的面積

保持不變；⑤ADGE面積的最大值為8.其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③B.①③④⑤C.①③④D.③④⑤

4.綜合與實(shí)踐

小明遇到這樣一個(gè)問題，如圖1,△ABC中，AB=7,AC=5,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值

范圍.

小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個(gè)問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延

長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法，他的做法

是：如圖2,延長45到E,使連接BE,構(gòu)造ABED三△C4D,經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得

到解決

BDCAEB

圖1圖3

（1）小明證明△BED三用到的判定定理是：；（填入你選擇的選項(xiàng)字母）

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

（2）4。的取值范圍是

(3)小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點(diǎn)就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造.

參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3,在正方形ABCD中，E為力B邊的中點(diǎn)，G、F分別為AD,BC邊上的點(diǎn)，若力G=2,BF=

4,4GEF=90°,求GF的長.

5.如圖，正方形4BCD中，點(diǎn)E在BC上，連接DE,點(diǎn)尸在AB上，連接OF,4ADF=LEDF,BF=

3,CE=4,則4。的長為.

6.如圖，點(diǎn)E和W分別在正方形4BCD邊BC,AB±,4E和CW交于F,過B作14E于H,若

AW=WF,AF=2EH,WA=1,則線段卬。的長為

7.如圖，在四邊形2BCD中，AB=AD,乙BAD=LBCD=90°,ZB=80。，連接AC,貝(等于.

8.如圖1,把一個(gè)含45。角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)

和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上,連接4F,取ZF中點(diǎn)M,EF的中點(diǎn)

N,連接MD、MN.

圖1

(1)如圖1,連接AE,求證：AE=AF-,

(2)在（1）的條件下，請判斷線段與MN之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明;

(3)如圖2,將這個(gè)含45。角的直角三角板ECF的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分另U

在正方形的邊BC、DC的延長線上，其他條件不變，當(dāng)4B=3,CE=2時(shí)，求MN的長.

9.已知正方形2BCD的周長為16.E在BC邊上運(yùn)動(dòng)，DE的中點(diǎn)G,EG繞E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到EF.當(dāng)

A,C,F在同一條直線上，則CE的長為（）

164

12BRCD.

A-25-25-13

10.如圖，已知四邊形ABC。是正方形，AB=2近，點(diǎn)E為對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)E作

EF1DE,交射線BC于點(diǎn)F,以O(shè)E,EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.

（1）CE+CG=；

（2）若四邊形DEFG的面積為5,貝！1CG=

二、階段二（一般）

11.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上，連接CE,CE的垂直平分線交BC于點(diǎn)M,交20于點(diǎn)

N,連接ME,過點(diǎn)E作EM的垂線交力。于點(diǎn)F,連接CF.下列結(jié)論：①DN+BE=CM；②FC平

分乙DFE；③"CF=45。；④AAEF的周長等于2ZB.其中結(jié)論正確的序號有()

A.①②③B.②③④C.①④D.①②③④

12.如圖，E是正方形4BCD邊力B上一點(diǎn)，連接DE,DF平分NCDE交BC于點(diǎn)F.過F作FG1DE,

垂足為G,連接4G并延長交DF延長線于點(diǎn)H,若AE=3BE=3,貝葉//=

13.已知四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)尸為射線AC上一點(diǎn)，連接CF并以CF為對角線作正方形CEFG,連

接BE,DG.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上時(shí)，求證：BE=DG；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上時(shí)，求證：CD-DF=V2BE;

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在線段AD的延長線上時(shí)，請直接寫出線段CD,DF與BE間滿足的關(guān)系式.

14.如圖，小王同學(xué)用圖1的一副七巧板拼出如圖2所示的“雄鷹”.已知正方形4BCD的對角線AC的

長為2魚，則圖2中E、F兩點(diǎn)之間的距離為.

圖1圖2

15.閱讀下面材料.

小炎遇到這個(gè)一個(gè)問題：如圖1,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，/-EAF=45°,連

接EF,貝ljEF=BE+DF,試說明理由.

小炎是這樣思考的：要想解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段相對集中，她先嘗試了

翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，最后發(fā)現(xiàn)線段AB、力。是共點(diǎn)并且相等的，于是找到解決問題的方法.她

的方法是將AABE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AADG,再利用全等的知識(shí)解決這個(gè)問題(如圖2).

參考小炎同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題:

(1)寫出小炎的推理過程；

(2)如圖3,四邊形ABCD中，AB=AD,/.BAD=90°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、上，

ZEAF=45。，若NB、ZD都不是直角，則當(dāng)NB與ND滿足于關(guān)系時(shí)，仍有

EF=BE+DF；

(3)如圖4,在△ABC中，Z.BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E均在邊BC上，且乙DAE=45。，若

BD=1,EC=2,求DE的長.

16.如圖，已知正方形力BCD的邊長為1,點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn)，將△BCM沿直線BM翻折，使得點(diǎn)C

落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)E處，聯(lián)結(jié)4E并延長交射線于點(diǎn)F,那么EF的長為

D

17.綜合與實(shí)踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出如下問題：如圖1,在正方形4BCD中，P是對角線上一

點(diǎn)，將直線PC以點(diǎn)P為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，旋轉(zhuǎn)后的直線與4。交于點(diǎn)E.求證：PC=PE.

（1）問題解決：

請你解決老師提出的問題；

（2）數(shù)學(xué)思考：

如圖2,“興趣小組”的同學(xué)將ABPC沿射線BA的方向平移到△?!/加,點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為F.連接

EF.他們認(rèn)為：EF=AF,EF14F.他們的認(rèn)識(shí)是否正確？請說明理由.

（3）創(chuàng)新探究

“創(chuàng)新小組”在“興趣小組”所提問題的基礎(chǔ)上，又提出如下新問題，請你思考并解決該問題：如圖

3,若PE垂直平分DF,AB=4,則線段DE的長度是.（直接寫出答案即可）

18.如圖，正方形ABC。的邊長為10,AG=CH=8,BG=DH=6,連結(jié)GH,則線段GH的長為

CD.10-5V2

5

19.如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作NEAF=45。，AE交BC于點(diǎn)E,AF交CD于點(diǎn)F,連

接EF.若DF=3,則BE的長為（）

C.4D.5

20.如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E,F分別為邊AB,BC的中點(diǎn)，連接AF,DE，點(diǎn)G,H分

別為DE,4F的中點(diǎn)，連接GH,貝UGH的長為（）

三'階段三（較難）

21.如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的點(diǎn)，GE±CD,GF±BC,E,F分別為垂足,

連結(jié)EF.設(shè)M,N分別是AB,BG的中點(diǎn)，EF=5,求MN的長.

22.如圖1,已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE,GC.

（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(2)將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖2,連接AE和

GC.你認(rèn)為(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.

23.提出問題：如圖1,將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對角線AC上，

一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)B,另一條直角邊交邊DC于點(diǎn)E,求證：PB=PE

分析問題：學(xué)生甲：如圖1,過點(diǎn)P作PMLBC,PNXCD,垂足分別為M,N通過證明兩三角

形全等，進(jìn)而證明兩條線段相等.

學(xué)生乙：連接DP,如圖2,很容易證明PD=PB,然后再通過“等角對等邊”證明PE=PD,就可以

證明PB=PET.

解決問題：請你選擇上述一種方法給予證明.

問題延伸：如圖3,移動(dòng)三角板，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對角線AC上，一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)

B,另一條直角邊交DC的延長線于點(diǎn)E,PB=PE還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理

由.

24.如圖，已知正方形ABCD,NMAN=45。,連接CB,交AM、AN分別于點(diǎn)P、Q,求證:

CP2+BQ2=PQ2.

25.已知：如圖，正方形ABCD,BM、DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足乙MAN=

45°，連接MN.若以BM,DN,MN為三邊圍成三角形，試猜想該三角形的形狀，并證明

你的結(jié)論.

26.如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在直線BC上，連接AE.將△ABE沿AE所在直線折

疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B，，連接AB，并延長交直線DC于點(diǎn)F.

(1)當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)如圖1,證明：DF+BE=AF；

(2)當(dāng)點(diǎn)F在DC的延長線上時(shí)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在CD的延長線上時(shí)如圖3,線段DF、BE、AF

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明.

27.如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正方形

AEFG,線段EB和GD相交于點(diǎn)H.

(1)求證：EB=GD；

(2)判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)若AB=2,AG=V2,求EB的長.

28.四邊形ABCD是正方形，AC與BD,相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F是直線AD上兩動(dòng)點(diǎn)，且AE=DF,

CF所在直線與對角線BD所在直線交于點(diǎn)G,連接AG,直線AG交BE于點(diǎn)H.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E、F在線段AD上時(shí)，①求證：ZDAG=ZDCG；②猜想AG與BE的位置

關(guān)系，并加以證明;

（2）如圖2,在（1）條件下，連接HO,試說明H0平分NBHG；

（3）當(dāng)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)到如圖3所示的位置時(shí)，其它條件不變，請將圖形補(bǔ)充完整，并直接寫出

29.閱讀下面材料:

小明遇到這樣一個(gè)問題:如圖1,在邊長為a（a>2）的正方形ABCD各邊上分別截取

AE=BF=CG=DH=1,當(dāng)NAFQ=NBGM=NCHN=NDEP=45。時(shí)，求正方形MNPQ的面積.小明發(fā)現(xiàn):

分別延長QE,MF,NG,PH,交FA,GB,HC,ED的延長線于點(diǎn)R,S,T,W,可得△RQF,

ASMG,ATNH,AWPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形（如圖2）

請回答:

（1）若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形（無縫隙，不重疊），則這個(gè)新的正方形的

邊長為___________

（2）求正方形MNPQ的面積.

參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3,在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF,再分別過點(diǎn)D,E,F作BC,AC,AB的垂

線，得到等邊ARPQ,若SARPQ=號,則AD的長為.

A

圖3

30.(1)如圖1,在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且DF=BE.求證:

CE=CF；

(2汝口圖2,在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果NGCE=45。，請你利用(1)

的結(jié)論證明：GE=BE+GD；

(3)運(yùn)用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：

如圖3,在直角梯形ABCD中，AD/7BC,(BOAD),ZB=90°,AB=BC,E是AB上一點(diǎn)，且

ZDCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面積.

答案解析部分

L【答案】解：探究：二?四邊形ABCD是正方形，.?.AB=BC=CD=DA,

ZABC=ZADC=ZBCD=90°.AZACB=ZACD=45°,XVEC=EC,EDC^AEBC(SAS),

；.ED=EB,ZEDC=ZEBC,VEF±ED,.\ZDEF=90°,/EFC+NEDC=180°又

VZEBC+ZEBF=180°,AZEFB=ZEDC,AZEBF=ZEFB,AEB=EF；應(yīng)用：連接DF,

VEF=DE,ZDEF=90°,；.△DEF是等腰直角三角形，VDE=2,；.EF=2,

圖②

DF=2>/2,VZDCB=90°,CD=1,，CF=癡匚方=?，二四邊形EFCD的面積

=SADEF+SACDF=1x2x2+|xlxV7=竽.故答案為空.

(1)解:探究:

?.?四邊形ABCD是正方形，

???AB=BC=CD=DA,NABC=NADC=NBCD=90。.

???NACB=NACD=45。，

又,.?EC=EC,

.*.△EDC^AEBC(SAS),

二?ED=EB,NEDONEBC,

VEF±ED,

???ZDEF=90°,

.\ZEFC+ZEDC=180°

XVZEBC+ZEBF=180°,

.\ZEFB=ZEDC,

??.NEBF二NEFB,

???EB=EF；

(2)4+"

AD

2.【答案】解:/LADC=90°,C.EF//AD,：.SLADE=

圖2

1

SAADF9VCE=DE,EF1CD,：.DF=^CD,'??在正方形/BCD中，AD=CD=4,.\S^ADE=

SA4DF=34DXOF=3X4X2=4;【拓展應(yīng)用】問題②，如圖3,在正方形ABCD的右側(cè)作正方形

CEFG,點(diǎn)B,C,E在同一直線上，AD=4,連接BD,BF,DF,直接寫出△BDF的面積.

【答案】SABDF=8

圖3

(1)解：相等，在和ADBC中，分別作ZEl%，DF112,垂足分別為E,F.

^AEF=乙DFC=90°,

??.AE//DF.

vh//h9

???四邊形是平行四邊形，

???AE=DF.

又S>ABC—2^^'力"S^DBC=2^^DF,

S^ABC=S^DBC.

(2)解：過點(diǎn)E作1CD于點(diǎn)F,連接ZE

請將余下的求解步驟補(bǔ)充完整.

;在正方形力BCD中，^ADC=90°,

：.EF//AD,

??$△/￡)￡■=S4ADF，

VCE=DE,EF1CD,

i

:?DF=^CD,

??,在正方形/BCD中，AD=CD=4,

ii

??S&ADE=SAADF=2人0xDF=)X4x2=4；

(3)s&BDF—8

3.【答案】B

4.【答案】(1)A

(2)1<AD<6

(3)解：如圖，延長GE交CB的延長線于點(diǎn)H,

H

???四邊形2BCD是正方形，

ZX=^ABC=90°,

E為邊的中點(diǎn)，

???AE=BE,

在△瓦4G和△EB”中，

Z.A=乙EBH

AE=BE，

^AEG=乙BEH

EAG三△EBH(ASA),

AG=BH,EG=EH,

-AG=2,BF=4,

???BH=2,

；?FH=BF+BH=4+2=6,

???乙GEF=90°,

???￡.AEG+乙BEF=90°,

???乙BEH+乙BEF=Z.HEF=90°,

???FE1GH,

???EG=EH,

.?.GF=FH=6.

5.【答案】竽

6.【答案】V17

7.【答案】35

8.【答案】(1)證明：???四邊形力BCD是正方形,

???Z.B=乙ADC=90°,AB=AD=BC=CD,

???△ECF是等腰直角三角形，

CE=CF,

：.BC—CE=CD—CF,

：.BE=DF,

.?.AABE三△ADF(SAS),

AE=AF；

(2)解：MD=MN,理由如下：

在RtAAOF中，點(diǎn)M是4F的中點(diǎn)，

1

MD=,4尸，

由(1)知，AE=AF,

1

MD=^AE,

???點(diǎn)M是49的中點(diǎn)，點(diǎn)N是￡7珀勺中點(diǎn)，

???MN是△力ET的中位線，

1

???MN=/凡

???MD=MN；

(3)解：如圖2,連接力巴

???四邊形2BCD是正方形，

ZB=AADC=90°,AB=AD=BC=CD=3,

???△ECF是等腰直角三角形，

CE=CF=2,

BC+CE=CD+CF=5,

BE=DF,

??.AABE三△ADF(SAS),

AE=AF,

在RtAADF中，根據(jù)勾股定理得，AF=<AD2+DF2=V32+52=V34-

由(1)知，AE=AF=V34-

???點(diǎn)M是AF的中點(diǎn)，點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，

MN是AAEF的中位線，

MN=^AE=孚

9.【答案】D

10.【答案】(1)4

(2)3或1

11.【答案】D

12.【答案】等

13.【答案】(1)證明：二?四邊形ABC。、CEFG都是正方形，

：.BC=DC,EC=GC=FG,乙BCD=乙ECG=90°,“GF=90°,AADC=90°,

:.乙BCE=Z.DCG,

：.△BCE三△DCG(SAS),

：.BE=DG；

(2)證明：如圖1,過點(diǎn)G作GH1DG交CD于H,

圖1

:.乙DGH=90°,

又乙CGF=90°,

:.乙CGF=乙DGH,

:.乙CGH=乙DGF,

:乙FDG=AADC+ACDG,乙CHG=Z.CDG+乙DGH,

，乙FDG=乙CHG,

又GC=FG,

：.△DFGHCGiAAS),

：.DF=HC,DG=HG,

-'-DH=>JDG2+HG2=立DG，

ACD-DF=CD-CH=DH=y[2DG,

又BE=DG

/.CD-DF=V2BF;

(3)解：CD+DF=yf2BE.理由如下：

如圖2,過點(diǎn)G作GH1OG交CD于H,

圖2

:.乙DGH=90°,

又乙CGF=90°,

J.Z.CGF=UGH,

:.乙CGH=乙DGF,

■:乙FDG+MDG=90°,乙CHG+MDG=90°,

：2FDG=乙CHG,

又GC=FG,

：.ADFG三△”CG(A4S),

：.DF=HC,DG=HG,

:?DH=y/DG2+HG2=V2DG,

ACD+DF=CD+CH=DH=y/2DG,

■:乙BCD=乙ECG=90°,

:?乙BCE=乙DCG,

又BC=DC,EC=GC,

C.LBCE皂△DCG(SAS),

：.BE=DG,

:?CD+DF=V2BE;

14.【答案】孚

15.【答案】(1)解：如圖所示，將△力3E繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△4DG,

??,四邊形力BCD是正方形，

???力3=ADfZ.B=^ADC=^BAD=90%

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得4E=HG,BE=DG,乙BAE=^DAG,^ADG=ZB=90°,

：.^ADC+^ADG=180°,即C、D、G三點(diǎn)共線，

9：^BAE+^DAE=90%

C.Z.DAG+Z.DAE=90°,即4￡;4G=90°,

VzEXF=45°,

：.z.GAF=45°=^EAF,

^：AF=AF,

：.LAEF工△力G尸(S力S),

：.EF=GF,

又???GF=DF+DG,DG=BE,

：.EF=BE+DF；

(2)ZB+^ADC=180°

(3)解：如圖所示，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△力CG,

???43=乙ACG,BD=CG=1,AD=AG,

*：￡.BAC=90°,

AZB+乙ACB=90°,乙BAD+LCAD=90°,

：.^CAG+乙CAD=90°,Z.ACG+/LACB=90°,BPzECG=90°,Z.DAG=90°,

VzDXE=45°,

：.^GAE=45°=^DAE,

又二力E=AE,

：.LADE工△4GE(S力S),

：.GE=DE,

在中，由勾股定理得GE=\CE2+"2=后

:?DE=GE=店.

16.【答案】爭

17.【答案】(1)解：連接P力.

?/四邊形A3CD是正方形，

：.AD=CD,^ADC=90°.

：.^ADP=乙CDP=45°.

;DP=DP.

：.AADP=△CDP.

：.AP=PC.

：.^DAP=乙DCP.

U：￡.ADC+乙EPC=90°+90°=180°,

工乙DEP+乙DCP=180°.

9：^AEP+^LDEP=180°.

：.^AEP=乙DCP=LEAP.

：.EP=AP.

：.EP=PC.

（2）解：分別連接EP,AP,FP與4D交于點(diǎn)0.

：.FP||DC.

：.^AOP=^ADC=90°.

由（1）可知，EP=PA.

：.EO=OA.

：.EF=AF.

：.^FAE=^FEA.

9：^FAE=乙PBC=45°.

J.Z.FEA=45°.

：.Z.EFA=90°.

：.EFLAF.

（3）4V2-4

18.【答案】B

19.【答案】A

20.【答案】C

21.【答案】解：如圖，連接AG和GC,

?.*GE±CD,GF±BC,EC±FC,

???四邊形FCEG是矩形，

??.FE=CG,

???四邊形ABCD為正方形，

???AB=BC,ZABC=ZCBG,BG=BG,

???△ABG^ACBG,

???AG二CG,

???AG=EF=5,

???M、N分別為AB和BG的中點(diǎn)，

???MN斗AG=2.5.

22.【答案】(1)AE_LGC；

證明：延長GC交AE于點(diǎn)H,

在正方形ABCD與正方形DEFG中，

AD=DC,NADE=NCDG=90。，

DE=DG,

???△ADE^ACDG,

.\Z1=Z2；

VZ2+Z3=90°,

.\Z1+Z3=9O°,

AZAHG=180°-(Z1+Z3)=180°-90°=90°,

AAEXGC.

JG

證明：延長AE和GC相交于點(diǎn)H,

在正方形ABCD和正方形DEFG中，

AD=DC,DE二DG,NADGNDCB二NB=NBAD=NEDG=90。,

.\Zl=Z2=90o-Z3；

???△ADE^ACDG,

：.Z5=Z4；

XVN5+N6=90。，Z4+Z7=180°-ZDCE=180°-90°=90°,

???N6=N7,

又,.?N6+NAEB=90。，NAEB=NCEH,

???NCEH+N7=90。，

JZEHC=90°,

AAEXGC.

23.【答案】解：證明：如圖1,???四邊形ABCD為正方形，???NBCD=90。，AC平分NBCD,

VPM±BC,PN±CD,J四邊PMCN為矩形，PM=PN,VZBPE=90°,ZBCD=90°,

.\ZPBC+ZCEP=180°,而NCEP+NPEN=180。，AZPBM=ZPEN,在△PBM和APEN中

(ZPBM=ZPEN

ZPMB=zPNE/.APBM^APEN(AAS),.\PB=PE；如圖2,連結(jié)PD,

、PM=PN

?四邊形ABCD為正方形，；.CB=CD,CA平分NBCD,

:CB=CD

：.ZBCP=ZDCP,在△CBP和△CDP中=NDCP,/.△CBP^ACDP(SAS),Z.PB=PD,

.CP=CP

ZCBP=ZCDP,VZBPE=90°,ZBCD=90°,AZPBC+ZCEP=180°,而/CEP+NPED=180。,

；.NPBC=NPED,AZPED=ZPDE,/.PD=PE,；.PB=PE；如圖3,PB=PE還成

理由如下：過點(diǎn)P作PMLBC,PN±CD,垂足分別為M,N,二?四

邊形ABCD為正方形，AZBCD=90°,AC平分/BCD,VPM±BC,PNXCD,四邊PMCN為矩

形，PM=PN,Z.ZMPN=90°,VZBPE=90°,ZBCD=90°,AZBPM+ZMPE=90°,而

(^PMB=Z.PNE

ZMEP+ZEPN=90°,ZBPM=ZEPN,在^PBM和^PEN中,PM=PN

.ZBPM=ZE

.\APBMAPEN(ASA),；.PB=PE.

24.【答案】證明：將^ABQ繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ACQS連接PQS

；.AQ，=AQ,CQ，=BQ,ZBAQ=ZCAQ,,NACQ-/ABC,

:四邊形ABCD為正方形，

AZACQr=ZABC=ZACB=45°,ZCAB=90°,

VZMAN=45°,

；.NCAP+/BAQ=45°,

.,.ZQ,AP=ZCAQ,+ZCAP=45°,

.\ZQ,AP=ZQAP,

在小Q，AP和小QAP中，

AQ=AQ

乙QAP=Z.QAP'

AP=AP

；.△Q^P^AQAP(SAS),

.\PQ=PQ,,

ZQZCP=ZACQ4NACB=90°,

在RtAQ,CP中，由勾股定理得，

Q，P2=Q，C2+CP2,

.".CP2+BQ2=PQ2.

25.【答案】以BM,DN,MN為三邊圍成的三角形為直角三角形，

證明：如圖，過點(diǎn)A作AF1AN并截取AF=AN,連接BF、FM,如圖

AZ1+乙BAN=90°,Z3+ABAN=90°,

."1=Z3,

:四邊形ABCD為正方形，

；.AB=AD,乙BAD=乙ADC=乙CDQ=乙CBP=90°,

又〈BM、DN分別平分乙CBP,乙CDQ,

"PBM=乙CDN=45°,

：.^ADN=^ADC+乙CDN=90°+45°=135°,

在AABF和bADN中，

AB=AD

zl=Z3

AF=AN

：.AABF=^ADN(SAS),

：.BF=DN,MBA=乙NDA=135°,

?"FBP=180°一4FBA=180°-135°=45°,

，乙FBN=Z.FBP+乙PBM=90°,

：.AFBM為直角三角形，

：.FB2+BM2=FM2,

■:乙FAN=90°,匕MAN=45°,

Azl+Z2=/.FAM=/.MAN=45°,

在△力FM和AANM中，

'AF=AN

^FAM=/.MAN

、AM=AM

：.^AFM=^ANM(SAS),

：.FM=NM,

又,.?BF=DN,FB2+BM2=FM2,

：.DN2+BM2=MN2,

?,.以BM,DN,MN為三邊圍成的三角形為直角三角形.

26.【答案】(1)解：由折疊可得AB=AB\BE=BT,

??,四邊形ABCD是正方形，

???AB=DC=DF,NB，CE=45。，

：.BrE=BrF,

???AF=AB'+B'F,

即DF+BE=AF

（2）解：圖（2）的結(jié)論：DF+BE=AF；圖（3）的結(jié)論：BE-DF=AF.圖（2）的證明：延長

CD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,易證△ABEZ/XADG,AZBAE=

ZDAG,NAEB=NAGD,VZBAE=ZBrAE,AZBrAE=ZDAG,工NGAF=NDAE,

VCB/7AD,???NAEB=NEAD,...NAGD=NGAF,

???GF=AF,

???BE+DF=AF.圖（3）的證明：在BC上取點(diǎn)M,使BM=DF,連接AM,

易證△ABM^AADF,???NBAM=NFAD,AF=AM,丁△ABE義AB'E,

???NBAE=NEAB\，NMAE=NDAE,VAD^BE,

???NAEM=NDAE,

???NMAE=NAEM,

???ME=MA=AF,???BE-DF=AF.

27.【答案】（1）證明：在△GAD和△EAB中，ZGAD=90°+ZEAD,ZEAB=90°+ZEAD

???NGAD二NEAB,

四邊形EFGA和四邊形ABCD是正方形，

AAG=AE,AB=AD,

在△GAD和△EAB中，

AB=AD

乙EAB=乙GAD,

、AE=AG

.*.△GAD^AEAB（SAS）,

???EB=GD；

(2)解：EB±GD.

理由如下：?.?四邊形ABCD是正方形,

.?.ZDAB=90°,

.?.NAMB+NABM=90。，

又AEB2AAGD,

；.NGDA=NEBA,

ZHMD=ZAMB(對頂角相等)，

ZHDM+ZDMH=ZAMB+ZABM=90°,

ZDHM=180°-(ZHDM+ZDMH)=180°-90°=90°,

AEBXGD.

(3)解：連接AC、BD,BD與AC交于點(diǎn)O,

.四邊形ABCD是正方形,

ABDXCG,

VAB=AD=2,在RtAABD中，DB=yjAB2+AD2=2V2，

在R3AOB中，OA=OB,AB=2,由勾股定理得：2Ao2=22,

OA=V2,

即OG=OA+AG=V2+V2=2V2,

；.EB=GD=VOG2+OD2=V8+7=V10?

28.【答案】(1)①證明：?.?四邊形ABCD為正方形，

；.DA=DC,ZADB=ZCDB=45°,

在小ADG和^CDG中

'AD=CD

<NADG=/CDG，

DG=DG

.*.△ADG^ACDG(SAS),

.\ZDAG=ZDCG；

②解：AG±BE.理由如下：

:四邊形ABCD為正方形，

；.AB=DC,NBAD=NCDA=90。，

在^ABE和^DCF中

'AB=DC

<NBAE=NCDF，

AE=DF

；.△ABE^ADCF(SAS),

ZABE=ZDCF,

VZDAG=