北師大版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第六章立體幾何初步課件(一)

1.1構(gòu)成空間幾何體的基本元素第六章立體幾何初步課標(biāo)闡釋

1.借助幾何體,理解點(diǎn)、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素.(數(shù)學(xué)抽象)2.平面的特征性質(zhì)及其表示.(數(shù)學(xué)抽象)3.初步了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系.(幾何直觀)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識點(diǎn)撥在現(xiàn)實(shí)生活中,有很多自然現(xiàn)象值得我們深入思考,也有一些生活細(xì)節(jié)需要大家用心體會.夜晚一顆流星突然劃破長空,形成一道美麗的弧線;雨雪天氣中行駛的汽車,不時地轉(zhuǎn)動著雨刷;清晨起床后洗漱擠出的牙膏……看似風(fēng)馬牛不相及的事物,其實(shí)都包含著“點(diǎn)動成線”“線動成面”“面動成體”的數(shù)學(xué)規(guī)律.構(gòu)成空間幾何體的基本元素你找到了嗎?激趣誘思知識點(diǎn)撥一、構(gòu)成空間幾何體的基本元素空間幾何體的基本幾何元素是點(diǎn)、線(直線和曲線)、面(平面和曲面)等.名師點(diǎn)析1.我們所學(xué)的幾何體只考慮一個物體占有空間部分的形狀和大小,而不考慮其他因素.2.以長方體為例:長方體由六個面圍成,每個面都是矩形(包括它的內(nèi)部);相鄰兩個面的公共邊,叫作長方體的棱;棱和棱的公共點(diǎn),叫作長方體的頂點(diǎn).長方體有6個面、12條棱、8個頂點(diǎn).3.從運(yùn)動的角度理解點(diǎn)、線、面,“點(diǎn)動成線”“線動成面”“面動成體”.激趣誘思知識點(diǎn)撥微思考天空中飄浮的氣球是空間幾何體嗎?它是否由點(diǎn)、線、面構(gòu)成?提示氣球的內(nèi)部雖是空的,但氣球仍占有一定的空間,具有大小和形狀,因此氣球是空間幾何體,它也是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的.微練習(xí)下列不屬于構(gòu)成幾何體的基本元素的是(

)A.點(diǎn)

B.線C.曲面 D.多邊形(不含內(nèi)部的點(diǎn))解析本題考查了構(gòu)成空間幾何體的基本元素,關(guān)鍵是對概念的理解.由于一個幾何體是由點(diǎn)、線、面組成的,而線有直線和曲線之分,面有平面和曲面之分,故而只有D不屬于構(gòu)成幾何體的基本元素,故選D.答案D激趣誘思知識點(diǎn)撥二、平面1.特征:平面是空間最基本的圖形,平面是無限延展的.2.畫法:一般地,用平行四邊形表示平面,當(dāng)平面水平放置時,通常把平行四邊形的銳角畫成45°,橫邊長畫成鄰邊長的兩倍.3.命名:平面通常用希臘字母α,β,γ等來表示,也可以用表示平行四邊形頂點(diǎn)的字母表示,還可以用表示平行四邊形頂點(diǎn)的兩個相對頂點(diǎn)的字母表示.名師點(diǎn)析1.平面是只描述不定義的原始概念,它具有無限延展性,是理想的、處處平直的,因此它沒有厚度、沒有大小,也沒有面積、體積、重量等,即平面在各個項(xiàng)目上都是不可度量的.2.平面的無限延展性,使其能將空間一分為二,也正是由于它的無限延展性,可以根據(jù)我們的需要向四周延展.激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)(多選)下列說法中正確的是(

)A.平面是由空間點(diǎn)、線組成的無限集合B.平靜的太平洋面是平面C.平面就是平行四邊形D.平面多邊形和圓、橢圓都可以用來表示平面解析本題考查平面的描述性定義和平面的性質(zhì).A正確,根據(jù)平面的特征可知正確;B不正確,太平洋面即使再平靜也不是平的(因?yàn)榈厍蚴菆A的),更不可能是無限延展的;C不正確,平面是無限延展的,我們一般用平行四邊形來表示平面;D正確,它符合平面表示方法的規(guī)定.答案AD激趣誘思知識點(diǎn)撥三、空間中直線、平面的位置關(guān)系如圖,直線AB和平面A1B1C1D1沒有公共點(diǎn),即直線AB與平面A1B1C1D1平行;直線AA1和平面ABCD

中的AD,AB均垂直,可以看作AA1垂直于平面ABCD;平面ABCD和平面A1B1C1D1沒有公共點(diǎn),我們說這兩個平面是平行的;平面ABCD和平面A1ABB1反映了兩個平面相交.激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析1.在學(xué)習(xí)立體幾何的過程中,要注意與初中所學(xué)平面幾何知識進(jìn)行類比,不要照搬,因?yàn)槠矫鎺缀沃械囊恍┙Y(jié)論不能推廣到空間中.2.當(dāng)兩個平面相交時,可以像如圖那樣,把被遮擋部分畫成虛線或不畫.這樣,看起來立體感強(qiáng)一些.激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,與對角線BD1既不相交又不平行的棱有(

)A.3條

B.4條C.6條 D.8條答案C微練習(xí)2下列關(guān)于長方體ABCD-A1B1C1D1中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的說法正確的是

.(填序號)

①直線AA1與直線BB1平行;②直線AA1與平面C1D1DC相交;③直線AA1與平面ABCD垂直;④點(diǎn)A1與點(diǎn)B1到平面ABCD的距離相等.答案①③④探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測構(gòu)成幾何體的基本元素例1試指出下圖中組成各幾何體的基本元素.解(1)中幾何體有6個頂點(diǎn)、12條棱和8個面.(2)中幾何體有12個頂點(diǎn)、18條棱和8個面.(3)中幾何體有6個頂點(diǎn)、10條棱和6個面.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

點(diǎn)是最基本的元素,只有位置,沒有大小;直線沒有粗細(xì),向兩方無限延伸;平面沒有厚度,向四周無限延展.要熟記這三種基本元素的特點(diǎn).在現(xiàn)實(shí)生活中要多觀察幾何體,以便加深對構(gòu)成空間幾何體的基本元素的認(rèn)識.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,下列說法正確的有

.(填序號)

①長方體一共有8個頂點(diǎn);②線段AA1所在的直線是長方體的一條棱;③矩形ABCD所在的平面是長方體的一個面;④長方體由六個平面圍成.答案①探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測對于平面的理解例2判斷下列說法是否正確,并說明理由.(1)平面的形狀是平行四邊形;(2)圓和平面多邊形都可以表示平面;(3)若S?ABCD>S?A'B'C'D',則平面ABCD大于平面A'B'C'D'.解(1)不正確.我們常用平行四邊形表示平面,但不能說平面的形狀是平行四邊形,平面是無形狀可言的.(2)正確.通常情況下我們利用平行四邊形來表示平面,但有時根據(jù)需要也可以用圓或其他平面多邊形來表示平面.(3)不正確.因?yàn)槠矫鏌o大小可言.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

1.在空間幾何體中,平面是無限延展的,是理想的、絕對平直的.2.平面是抽象出來的,沒有厚度、沒有大小,因此無法度量.平面幾何中的平面圖形,如三角形、四邊形等都是有大小的,可以度量的,它們本身不是平面.3.任何一個平面都可以將空間分為兩部分,如果想從平面的一側(cè)到另一側(cè),那么必須穿過這個平面.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2下列說法正確的是(

)A.生活中的幾何體都是由平面組成的B.曲面都是有一定大小的C.直線是無限個點(diǎn)組成的,而線段是由有限個點(diǎn)組成的D.平面圖形是空間圖形的重要組成部分解析組成幾何體的面既可以是平面,也可以是曲面;曲面也可以是無限延展的;直線和線段都是由無數(shù)個點(diǎn)組成的.根據(jù)這些特點(diǎn)可以排除A,B,C.答案D探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測幾何中基本元素的位置關(guān)系例3如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1,在長方體的面與棱中,(1)與棱BC平行的棱是哪幾條?(2)與棱BC平行的平面是哪幾個?(3)與棱BC垂直的平面是哪幾個?(4)與平面BC1垂直的平面是哪幾個?解在長方體的面與棱中,(1)與棱BC平行的棱有棱B1C1,棱A1D1,棱AD.(2)與棱BC平行的平面有平面A1C1,平面AD1.(3)與棱BC垂直的平面有平面AB1,平面DC1.(4)與平面BC1垂直的平面有平面AB1,平面A1C1,平面DC1,平面AC.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

通過本例可以得到如下規(guī)律:1.平行關(guān)系(1)直線與直線的平行關(guān)系:如圖,在長方體的12條棱中,分成“長”“寬”“高”三組,其中“高”AA1,BB1,CC1,DD1相互平行;“長”AB,DC,A1B1,D1C1相互平行;“寬”AD,BC,A1D1,B1C1相互平行.(2)直線與平面的平行關(guān)系:在長方體的12條棱及表面中,若棱所在的直線與某一平面(棱不在該平面內(nèi))不相交,則二者平行.(3)平面與平面的平行關(guān)系:長方體的對面相互平行.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測2.垂直關(guān)系(1)直線與平面的垂直關(guān)系:在長方體的棱所在直線與各表面中,若直線與平面有且只有一個公共點(diǎn),則二者垂直.(2)平面與平面的垂直關(guān)系:在長方體的各表面中,若兩平面有公共點(diǎn),則二者垂直.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測延伸探究(1)本例中與棱A1D1相交的棱有哪幾條?它們與棱A1D1所成的角的度數(shù)是多少?(2)在本例長方體的12條棱中,可以用來表示面A1B與面D1C之間距離的是哪些棱長?解(1)與棱A1D1相交的棱有4條,分別是棱A1A,棱A1B1,棱D1D,棱D1C1.因?yàn)殚L方體六個面都是矩形,所以它們與棱A1D1所成的角的度數(shù)都是90°.(2)由長方體的性質(zhì)知棱A1D1,棱B1C1,棱BC,棱AD的長都可以用來表示面A1B與面D1C之間的距離.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測1.給出以下說法:①鋪得很平的一張白紙是一個平面;②一個平面的面積是6cm2;③平行四邊形是一個平面;④任何一個平面圖形都是一個平面;⑤平面多邊形和圓都可以用來表示平面.其中正確說法的個數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3解析由平面的概念知⑤正確,其余說法均錯誤.答案B探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測2.下列說法正確的是(

)A.在空間中,一個點(diǎn)運(yùn)動成直線B.在空間中,直線平行移動形成平面C.在空間中,直線繞與其相交的另一條直線轉(zhuǎn)動形成平面或錐面D.在空間中,矩形上各點(diǎn)沿同一方向移動形成長方體解析一個點(diǎn)運(yùn)動也可以成曲線,故A錯;在空間中,直線平行移動可以形成平面或曲面,故B錯;在空間中,矩形上各點(diǎn)沿鉛垂線向上(或向下)移動相同距離所形成的幾何體是長方體,故D錯.答案C探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測3.如圖是一個正方體的表面展開圖,A,B,C均為所在棱的中點(diǎn),D為正方體的頂點(diǎn).若正方體的棱長為2,求封閉折線ABCDA的長.1.2簡單多面體——棱柱、棱錐和棱臺課標(biāo)闡釋

1.通過對實(shí)物模型的觀察,歸納認(rèn)知棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系.(邏輯推理)3.能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單幾何體的結(jié)構(gòu)和有關(guān)計算.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、幾何直觀)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識點(diǎn)撥埃及金字塔始建于公元前2600年以前,共有七十多座.最大、最有名的是祖孫三代金字塔——胡夫金字塔、哈夫拉金字塔和門卡烏拉金字塔.其中,又以胡夫金字塔為最,是“世界七大奇跡”之一,現(xiàn)高136米,塔身是用230萬塊巨石堆砌而成,底面是一個近似的正方形,相當(dāng)于一座四十多層的摩天大廈.關(guān)于金字塔,至今還有諸多未解之謎.現(xiàn)在把胡夫金字塔的外形輪廓抽象成幾何體,同學(xué)們知道它是多面體中哪一類嗎?如何命名和定義該幾何體?激趣誘思知識點(diǎn)撥一、棱柱1.棱柱的定義、相關(guān)概念、分類、圖形及表示棱

柱圖形及表示定義每個多面體都有兩個面是邊數(shù)相同的多邊形,且它們所在平面都平行,其余各面是由平行四邊形圍成的.像這樣,有兩個面相互平行,其余各面都是平行四邊形,由這些面圍成的幾何體稱為棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示

如圖棱柱可記作:棱柱ABCDE-A'B'C'D'E',也可表示為棱柱AC1激趣誘思知識點(diǎn)撥棱

柱圖形及表示相關(guān)概念底面(底):兩個互相平行的面?zhèn)让?其余各面,都是平行四邊形側(cè)棱:相鄰側(cè)面的公共邊頂點(diǎn):側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)

分類①依據(jù):底面多邊形的邊數(shù)②舉例:三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四邊形)……激趣誘思知識點(diǎn)撥2.棱柱的相關(guān)性質(zhì)(1)側(cè)棱都相等;(2)兩個底面與平行于底面的截面都是全等的多邊形;(3)過不相鄰兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.名師點(diǎn)析(1)棱柱的分類(2)常見的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系

激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1下列說法正確的是(

)A.四棱柱是平行六面體B.直平行六面體是長方體C.長方體的六個面都是矩形D.底面是矩形的四棱柱是長方體解析底面是平行四邊形的四棱柱才是平行六面體,選項(xiàng)A錯誤;底面是矩形的直平行六面體才是長方體,選項(xiàng)B錯誤;底面是矩形的直四棱柱才是長方體,選項(xiàng)D錯誤;由長方體特征知選項(xiàng)C正確.答案C激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)2棱柱的側(cè)棱(

)A.相交于一點(diǎn)B.平行但不相等C.平行且相等D.可能平行也可能相交于一點(diǎn)答案C激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)3如圖所示的幾何體是(

)A.五棱錐

B.五棱臺C.五棱柱

D.五面體答案C激趣誘思知識點(diǎn)撥二、棱錐1.棱錐的定義、相關(guān)概念、分類、圖形及表示.棱

錐圖形及表示定義有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的幾何體叫作棱錐用表示頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示

如圖棱錐可記作:棱錐S-ABCDEF,也可表示為棱錐S-AD激趣誘思知識點(diǎn)撥棱

錐圖形及表示相關(guān)概念底面(底):多邊形面.側(cè)面:有公共頂點(diǎn)的各個三角形面.側(cè)棱:相鄰兩個側(cè)面的公共邊.頂點(diǎn):各個側(cè)面的公共點(diǎn).高:頂點(diǎn)到底面的距離

分類①依據(jù):底面多邊形的邊數(shù).②舉例:三棱錐(底面是三角形)、四棱錐(底面是四邊形)……激趣誘思知識點(diǎn)撥2.正棱錐:底面是正多邊形,且它的頂點(diǎn)在過底面中心且與底面垂直的直線上,側(cè)面都是全等的等腰三角形,這樣等腰三角形底邊的高都相等,稱為正棱錐的斜高.名師點(diǎn)析1.棱錐的側(cè)面均是三角形,但每個面均是三角形的幾何體不一定是棱錐.如圖所示,正八面體就不是棱錐.2.正棱錐的性質(zhì)(1)各側(cè)棱相等,底面是正多邊形;(2)棱錐的高、斜高和斜高在底面上的投影組成一個直角三角形,棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的投影也組成一個直角三角形.激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1在如圖所示的長方體中,由OA,OB,OD和OC所構(gòu)成的幾何體是(

)A.三棱錐B.四棱錐C.三棱柱D.四棱柱答案B激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)2下面圖形中,為棱錐的是(

)A.①③

B.①③④C.①②④

D.①②解析根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征可以判斷,①②是棱錐,③不是棱錐,④是棱錐.故選C.答案C激趣誘思知識點(diǎn)撥三、棱臺1.棱臺的定義、相關(guān)概念、分類、圖形及表示.棱

臺圖形及表示定義用一個平行于底面的平面去截棱錐,截面與底面之間的部分稱為棱臺用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示

如圖棱臺可記作:棱臺ABC-A'B'C',也可表示棱臺AC激趣誘思知識點(diǎn)撥棱

臺圖形及表示相關(guān)概念上底面:原棱錐的截面下底面:原棱錐的底面?zhèn)让?其余各面?zhèn)壤?相鄰兩個側(cè)面的公共邊高:上底面、下底面之間的距離

分類①依據(jù):由幾棱錐截得②舉例:三棱臺(由三棱錐截得)、四棱臺(由四棱錐截得)……激趣誘思知識點(diǎn)撥2.正棱臺由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.正棱臺各側(cè)面都是全等的等腰梯形,這些等腰梯形的高稱為正棱臺的斜高.歸納總結(jié)棱柱、棱錐、棱臺的性質(zhì)比較性質(zhì)棱柱棱錐棱臺側(cè)棱相互平行且相等相交于同一點(diǎn)延長線交于同一點(diǎn)側(cè)面平行四邊形三角形梯形平行于底面的截面與兩個底面是全等的多邊形與底面是相似的多邊形與兩個底面是相似的多邊形過不相鄰兩側(cè)棱的截面平行四邊形三角形梯形激趣誘思知識點(diǎn)撥微判斷判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”).(1)有兩個面互相平行,其余各面都是梯形的多面體是棱臺.(

)(2)棱臺的各條側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn).(

)(3)底面是正多邊形的棱臺是正棱臺.(

)答案(1)×

(2)√

(3)×激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)下列幾何體中,

是棱柱,

是棱錐,

是棱臺(僅填相應(yīng)序號).

解析結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺的定義可知①③④是棱柱,⑥是棱錐,⑤是棱臺.答案①③④

⑥

⑤探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測棱柱、棱錐、棱臺的有關(guān)概念例1(1)下列關(guān)于棱柱的說法,正確的序號是

.

①所有的面都是平行四邊形;②每一個面都不會是三角形;③兩底面平行,并且各側(cè)棱也平行;④被平面截成的兩部分可以都是棱柱.(2)下列說法正確的序號是

.

①棱錐的側(cè)面不一定是三角形;②棱錐的各側(cè)棱長一定相等;③棱臺的各側(cè)棱的延長線相交于同一點(diǎn);④有兩個面互相平行且相似,其余各面都是梯形,則此幾何體是棱臺.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測解析(1)①錯誤,棱柱的底面不一定是平行四邊形.②錯誤,棱柱的底面可以是三角形.③正確,由棱柱的定義易知該說法正確.④正確,棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱,所以說法正確的序號是③④.(2)棱錐的側(cè)面是有公共頂點(diǎn)的三角形,但是各側(cè)棱不一定相等,故①②不正確;棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的,故各個側(cè)棱的延長線一定交于一點(diǎn),③正確;棱臺的各條側(cè)棱必須交于一點(diǎn),故④不正確.答案(1)③④

(2)③探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱有兩個主要結(jié)構(gòu)特征:一是有兩個面互相平行,二是各側(cè)棱都平行,各側(cè)面都是平行四邊形.(2)棱錐有兩個主要結(jié)構(gòu)特征:一是有一個面是多邊形,二是其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形.(3)棱臺的上、下底面平行且相似,各側(cè)棱延長線相交于同一點(diǎn).探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法,其中說法正確的序號是

.

①棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形;②由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐;③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.解析①正確,棱臺的側(cè)面一定是梯形,而不是平行四邊形;②正確,由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐;③錯誤,如圖所示的四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.答案①②探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測正棱錐、正棱臺中的計算問題例2正三棱錐的底面邊長為3,側(cè)棱長為2,求正三棱錐的高.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

1.正棱錐中直角三角形的應(yīng)用已知正棱錐如圖(以正四棱錐為例),其高為PO,底面為正方形,作PE⊥CD于點(diǎn)E,則PE為斜高.(1)斜高、側(cè)棱為直角三角形兩條邊,如圖中Rt△PEC;(2)斜高、高為直角三角形兩條邊,如圖中Rt△POE;(3)側(cè)棱、高為直角三角形兩條邊,如圖中Rt△POC.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測2.正棱臺中直角梯形的應(yīng)用已知正棱臺如圖(以正四棱臺為例),O1,O分別為上底面與下底面中心,作O1E1⊥B1C1于點(diǎn)E1,OE⊥BC于點(diǎn)E,則E1E為斜高.(1)斜高、側(cè)棱為直角梯形兩條邊,如圖中梯形E1ECC1;(2)斜高、高為直角梯形兩條邊,如圖中梯形O1E1EO;(3)高、側(cè)棱為直角梯形兩條邊,如圖中梯形O1OCC1.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2已知正四棱臺的上底面、下底面的面積分別為4,16,一側(cè)面面積為12,分別求該棱臺的斜高、高、側(cè)棱長.解如圖,設(shè)O',O分別為上底面、下底面的中心,即OO'為正四棱臺的高,E,F分別為B'C',BC的中點(diǎn),所以EF⊥B'C',即EF為斜高.由上底面面積為4,上底面為正方形,可得B'C'=2.同理可得,BC=4.因?yàn)樗倪呅蜝CC'B'的面積為12,所以

×(2+4)·EF=12,所以EF=4.過點(diǎn)B'作B'H⊥BC交BC于點(diǎn)H,則BH=BF-B'E=2-1=1,B'H=EF=4.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測多面體表面距離最短問題例3如圖,在三棱錐V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,過點(diǎn)A作截面△AEF,求△AEF周長的最小值.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測解將三棱錐沿側(cè)棱VA剪開,并將其側(cè)面展開平鋪在一個平面上,如圖,線段AA1的長為所求△AEF周長的最小值.因?yàn)椤螦VB=∠A1VC=∠BVC=30°,所以∠AVA1=90°.又VA=VA1=4,所以AA1=4,所以△AEF周長的最小值為4.反思感悟

本題是多面體表面上兩點(diǎn)間的最短距離問題,常常要?dú)w結(jié)為求平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題.解決此類問題的方法就是先把多面體側(cè)面展開,再用平面幾何的知識來求解.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測延伸探究如圖,在以O(shè)為頂點(diǎn)的三棱錐中,過點(diǎn)O的三條棱,任意兩條棱的夾角都是30°,在一條棱上有A,B兩點(diǎn),OA=4,OB=3,以A,B為端點(diǎn)用一條繩子緊繞三棱錐的側(cè)面一周,求此繩在A,B之間的最短繩長.解作出三棱錐的側(cè)面展開圖,如圖.A,B兩點(diǎn)之間的最短繩長就是線段AB的長度.由題知,OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=5,即此繩在A,B之間最短的繩長為5.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測1.下面多面體中,是棱柱的有(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解析根據(jù)棱柱的定義進(jìn)行判定知,這4個圖都滿足棱柱的條件.答案D探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測2.下列說法中,正確的是(

)A.有一個底面為多邊形,其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的幾何體是棱錐B.用一個平面去截棱錐,棱錐底面與截面之間的部分是棱臺C.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形,而底面不是平行四邊形D.棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形解析B錯,截面與底面平行時才能得棱臺;C錯,棱柱底面可能是平行四邊形;D錯,棱柱側(cè)面的平行四邊形不一定全等,如長方體.答案A探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測3.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則在正方體表面上,從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C1的最短距離為

.

解析將側(cè)面ABB1A1與上底面A1B1C1D1展開在同一平面上,連接AC1,則線段AC1的長即為所求.如圖,AC1=2.答案2探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測1.3簡單旋轉(zhuǎn)體——球、圓柱、圓錐和圓臺課標(biāo)闡釋

1.了解球、圓柱、圓錐、圓臺的定義.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握球、圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征,并能在幾何體中進(jìn)行相關(guān)的計算.(幾何直觀、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.了解簡單組合體的概念及結(jié)構(gòu)特征.(幾何直觀)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識點(diǎn)撥素描是藝術(shù)類考生必須掌握的基本功之一,素描如果按表現(xiàn)內(nèi)容可分為靜物、動物、風(fēng)景、人像等,其中幾何體的素描就屬于靜物素描的范疇.要畫好素描靜物,必須打好石膏幾何體這個基礎(chǔ),其中空間想象能力是必不可少的.下圖是一位考生的素描作品,它是組合體,你能從中找出兩個旋轉(zhuǎn)體嗎?是怎樣旋轉(zhuǎn)而成的?這兩個旋轉(zhuǎn)體互相交叉的部分形狀如何?激趣誘思知識點(diǎn)撥一、球1.球的定義、相關(guān)概念、圖形及表示

球及相關(guān)概念圖形及表示定義以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將半圓旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為球面,球面所圍成的幾何體稱為球體,簡稱球用表示球心的字母表示

圖中的球記作:球O相關(guān)概念球心:半圓的圓心稱為球心半徑:連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段稱為球的半徑直徑:連接球面上兩點(diǎn)并且過球心的線段稱為球的直徑激趣誘思知識點(diǎn)撥2.球的相關(guān)性質(zhì)(1)球面上所有的點(diǎn)到球心的距離都等于球的半徑.(2)用任何一個平面去截球面,得到的截面都是圓,其中過球心的平面截球面得到的半徑最大,等于球的半徑.微拓展(1)球的大圓:球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓.(2)球的小圓:球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓.(3)兩點(diǎn)的球面距離:在球面上,兩點(diǎn)之間的最短距離,就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度,把這個弧長叫作兩點(diǎn)的球面距離.激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)一條直線被一個半徑為13的球截得的線段長為24,則球心到直線的距離為(

)A.13

B.12

C.5

D.24答案C激趣誘思知識點(diǎn)撥二、圓柱、圓錐、圓臺的定義及結(jié)構(gòu)特征1.定義激趣誘思知識點(diǎn)撥2.相關(guān)概念(1)高:在旋轉(zhuǎn)軸上的這條邊的長度.(2)底面:垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面.(3)側(cè)面:不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面.(4)母線:繞軸旋轉(zhuǎn)的邊.3.圖形表示激趣誘思知識點(diǎn)撥微判斷判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”).(1)直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐.(

)(2)圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺.(

)(3)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體是一圓柱.(

)答案(1)×

(2)√

(3)×激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周,所得的幾何體包括(

)A.一個圓臺、兩個圓錐B.兩個圓柱、一個圓錐C.兩個圓臺、一個圓柱 D.一個圓柱、兩個圓錐解析圖①是一個等腰梯形,CD為較長的底邊,以CD邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為一個組合體,如圖②,包括一個圓柱、兩個圓錐.答案D激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析

四種常見簡單旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)比較

類型球圓

柱圓

錐圓

臺底面形狀無兩個底面是互相平行且半徑相等的圓圓兩個底面是互相平行且半徑不相等的圓母線無互相平行且長度相等相交于頂點(diǎn)且長度相等延長線交于一點(diǎn)且長度相等平行于底面的截面形狀無與兩個底面半徑相等的圓與底面半徑不相等的圓與兩個底面半徑不相等的圓過軸的截面的形狀圓矩形等腰三角形等腰梯形激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)2如圖所示的幾何體是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的(

)解析圖中所給的幾何體是由上部的圓錐和下部的圓臺組合而成的,故所求平面圖形的上部是直角三角形,下部為直角梯形構(gòu)成.答案D探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征例1判斷下列各說法是否正確.(1)用一個平面去截圓錐,得到一個圓錐和圓臺;(2)一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體是圓臺;(3)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面,圓錐的軸截面是等腰三角形,圓臺的軸截面是等腰梯形;(4)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測解(1)錯.只有在平面平行于圓錐底面時,才能將圓錐截為一個圓錐和一個圓臺.(2)錯.直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體,如圖所示.(3)正確.(4)錯.應(yīng)為球面.反思感悟

準(zhǔn)確理解旋轉(zhuǎn)體的定義,在此基礎(chǔ)上掌握各旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì),才能更好地把握它們的結(jié)構(gòu)特征,以作出準(zhǔn)確的判斷.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1給出下列說法:①經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面;②圓臺的任意兩條母線的延長線,可能相交,也可能不相交;③圓柱上底面圓上任一點(diǎn)與下底面圓上任一點(diǎn)的連線都是圓柱的母線.其中說法正確的是

.(填序號)

解析①正確,如圖所示,經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面;②不正確,圓臺的母線延長后必相交于一點(diǎn);③不正確,由圓柱母線的定義知,圓柱的母線應(yīng)平行于軸.答案①探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測球的截面問題例2已知半徑為25cm的球的一個截面的面積是49πcm2,則球心到這個截面的距離為

.

解析設(shè)球的半徑為R,截面圓的半徑為r,球心到截面的距離為d.因?yàn)镾截=πr2=49π,所以r=7

cm,即球心到這個截面的距離為24

cm.答案24cm反思感悟

設(shè)球的截面圓上一點(diǎn)A,球心為O,截面圓心為O1,則△AO1O是以O(shè)1為直角頂點(diǎn)的直角三角形,解答球的截面問題時,常用該直角三角形或者用過球心和截面圓心的軸截面求解.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2半徑是13cm的球面上有A,B,C三點(diǎn),并且AB=BC=CA=12cm,試求球心到經(jīng)過這三點(diǎn)的截面的距離.解設(shè)截面圓的圓心為O1,球的球心為O,則OO1即為球心到截面的距離,又O1是正三角形ABC的外心,所以球心到經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的截面的距離為11

cm.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測圓柱、圓錐、圓臺中的有關(guān)計算例3如圖,用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐,截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16,截去的圓錐的母線長是3cm,求圓臺O'O的母線長.解設(shè)圓臺的母線長為l

cm,由截得圓臺上、下底面面積之比為1∶16,可設(shè)截得圓臺的上、下底面的半徑分別為r

cm,4r

cm.過軸SO作截面,如圖.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測延伸探究本例中若圓臺的上底面半徑為1cm,其他條件不變,試求圓臺的高.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測1.下列選項(xiàng)中的三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周,能得到如下圖中的幾何體的是(

)答案B探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測2.一正方體內(nèi)接于一個球,經(jīng)過球心作一個截面,則截面的可能圖形為

.(只填寫序號)

解析當(dāng)截面平行于正方體的一個側(cè)面時得①圖;當(dāng)截面過正方體的體對角線時得③圖;當(dāng)截面不平行于任何側(cè)面也不過體對角線時得②圖.答案①②③探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測3.若一個圓錐的軸截面是等邊三角形,其面積為,則這個圓錐的母線長為

.

答案2探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測4.湖面上浮著一個球,湖水結(jié)冰后,將球取出,冰上留下一個直徑為24cm,深為8cm的空穴,則球的半徑為

cm.

解析設(shè)球的半徑為R

cm,由題意知,截面圓的半徑r=12

cm,截面圓圓心與球心的距離d=(R-8)cm,由R2=r2+d2,得R2=144+(R-8)2,即208-16R=0,解得R=13

cm.答案13§2直觀圖課標(biāo)闡釋

1.掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.(幾何直觀)2.會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺、球以及簡單組合體的直觀圖.(幾何直觀)3.能根據(jù)直觀圖還原出原圖形并能進(jìn)行相關(guān)的長度、面積等計算.(邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識點(diǎn)撥皮影戲,舊稱“影子戲”或“燈影戲”,是一種用燈光照射獸皮或紙板做成的人物剪影以表演故事的民間戲劇.表演時,藝人們在白色幕布后面,一邊操縱戲曲人物,一邊用當(dāng)?shù)亓餍械那{(diào)唱述故事,同時配以打擊樂器和弦樂,具有濃厚的鄉(xiāng)土氣息.千百年來,這門古老的藝術(shù),伴隨著祖祖輩輩的人們,度過了許多歡樂的時光.那么皮影戲中的這個“影”是什么投影?畫幾何體的直觀圖與皮影戲中形成的“影”原理一樣嗎?激趣誘思知識點(diǎn)撥斜二測畫法1.水平放置的平面圖形直觀圖的畫法(1)在已知圖形中建立平面直角坐標(biāo)系xOy,畫直觀圖時,它們分別對應(yīng)x'軸和y'軸,兩軸相交于點(diǎn)O',使∠x'O'y'=45°.(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x'軸或y'軸的線段.(3)已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變;平行于y軸的線段,長度為原來的一半.(4)連線并擦去輔助線

x'軸和y'軸,便獲得水平放置的直觀圖.激趣誘思知識點(diǎn)撥微判斷判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”).(1)用斜二測畫法畫水平放置的∠A時,若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸,且∠A=90°,則在直觀圖中,∠A=45°.(

)(2)用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時,平行的線段在直觀圖中仍平行,且長度不變.(

)(3)在斜二測畫法中平行于y軸的線段在直觀圖中長度保持不變.(

)答案(1)×

(2)×

(3)×激趣誘思知識點(diǎn)撥2.多面體的直觀圖的畫法(1)在已知的空間圖形中取水平平面和互相垂直的軸Ox,Oy;再取Oz軸,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°.(2)畫直觀圖時,把Ox,Oy,Oz畫成對應(yīng)的O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'=45°(或135°),∠x'O'z'=90°.x'O'y'所確定的平面表示水平平面.(3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x'軸、y'軸或z'軸的線段.(4)已知圖形中平行于x軸和z軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變;平行于y軸的線段長度為原來的一半.(5)擦去輔助線,并將被遮線畫成虛線.激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析斜二測畫法中的建系原則在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系,理論上在任何位置建立坐標(biāo)系都可以,但實(shí)際作圖時,一般建立特殊的直角坐標(biāo)系,盡量運(yùn)用原有直線或圖形的對稱直線為坐標(biāo)軸,圖形的對稱點(diǎn)為原點(diǎn)或利用原有互相垂直的直線為坐標(biāo)軸等.激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1已知在平面直角坐標(biāo)系中,一個平面圖形上的一條線段AB的實(shí)際長度為4cm,若AB∥x軸,則畫出直觀圖后對應(yīng)線段A'B'=

cm,若AB∥y軸,則畫出直觀圖后對應(yīng)線段A'B'=

cm.

答案4

2激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)2用斜二測畫法畫長、寬、高分別為2cm、1.5cm、1cm的長方體ABCD-A'B'C'D'的直觀圖.解(1)畫軸.如圖,畫x軸、y軸、z軸,三軸相交于點(diǎn)O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.激趣誘思知識點(diǎn)撥(2)畫底面.以點(diǎn)O為中點(diǎn),在x軸上取線段MN,使MN=2

cm;在y軸上取線段PQ,使PQ=0.75

cm.分別過點(diǎn)M和N作y軸的平行線,過點(diǎn)P和Q作x軸的平行線,設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A,B,C,D,四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD.(3)畫側(cè)棱.過A,B,C,D各點(diǎn)分別作z軸的平行線,并在這些平行線上分別截取1

cm長的線段AA',BB',CC',DD'.(4)成圖.順次連接A',B',C',D',并加以整理(去掉輔助線,將被遮擋的部分改為虛線),就得到長方體的直觀圖.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測畫水平放置的平面圖形的直觀圖例1如圖,畫出水平放置的等腰梯形的直觀圖.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測畫法(1)如圖,取AB所在直線為x軸,AB中點(diǎn)O為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,畫對應(yīng)的坐標(biāo)系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.(2)以點(diǎn)O'為中點(diǎn)在x'軸上取A'B'=AB,在y'軸上取O'E'=OE,以E'為中點(diǎn)畫C'D'∥x'軸,并使C'D'=CD.(3)連接B'C',D'A',所得的四邊形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

畫水平放置的平面圖形的直觀圖的技巧1.在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時,選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵,一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,以便于畫點(diǎn).2.畫平面圖形的直觀圖,首先畫與坐標(biāo)軸平行的線段(平行性不變),與坐標(biāo)軸不平行的線段通過與坐標(biāo)軸平行的線段確定它的兩個端點(diǎn),然后連接成線段.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測延伸探究把本例圖形換成右圖,試畫出該圖的直觀圖.解(1)在已知的直角梯形ABCD中,以底邊AB所在直線為x軸,垂直于AB的腰AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.如圖①.(2)畫相應(yīng)的x'軸和y'軸,使∠x'O'y'=45°,在x'軸上取O'B'=AB,在y'軸上取O'D'=AD,過D'作x'軸的平行線l,在l上沿x'軸正方向取點(diǎn)C'使得D'C'=DC.如圖②.(3)連接B'C',所得四邊形O'B'C'D'就是直角梯形ABCD的直觀圖.如圖③.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測畫空間幾何體的直觀圖例2畫出底面邊長為1.2cm的正方形、側(cè)棱均相等且高為1.5cm的四棱錐的直觀圖.畫法(1)畫軸.畫x'軸、y'軸、z'軸,使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°,如圖①所示.(2)畫底面.以O(shè)'為中心在x'軸上截取線段EF,使EF=1.2

cm,在y'軸上截取線段GH,使GH=0.6

cm.分別過E,F作y'軸的平行線,過G,H作x'軸的平行線,則交點(diǎn)分別為A,B,C,D,即四邊形ABCD為底面正方形的直觀圖.(3)畫高.在z'軸上截取OP,使OP=1.5

cm.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(4)成圖.順次連接PA,PB,PC,PD,并擦去輔助線,將被遮住的部分改為虛線,得四棱錐的直觀圖,如圖②所示.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

1.畫空間幾何體的直觀圖時,一般是先按照畫平面圖形直觀圖的方法與步驟,畫出其底面的直觀圖,再在z軸上確定該幾何體的頂點(diǎn)或另一個底面的直觀圖所需坐標(biāo)系的原點(diǎn),從而作出另一個底面的直觀圖,最后得到整個幾何體的直觀圖.2.對于臺體、柱體等有上底面的幾何體,在作上底面的直觀圖時,可先作出高線,在上底面所在的平面內(nèi)再建一個兩軸分別與下底面中的坐標(biāo)系中的兩軸平行的坐標(biāo)系,最后作出表示相應(yīng)等量的線段并連接.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1用斜二測畫法畫出底面為正方形的四棱臺的直觀圖,其中上、下底面邊長分別為2,3,高為2.畫法(1)畫軸.畫x軸、y軸、z軸,三軸相交于點(diǎn)O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)畫下底面.以O(shè)為中心,在x軸上取線段MN,使MN=3,在y軸上取線段PQ,使PQ=1.5.分別過點(diǎn)M和點(diǎn)N作y軸的平行線,過點(diǎn)P和點(diǎn)Q作x軸的平行線,則交點(diǎn)分別為A,B,C,D,即四邊形ABCD為四棱臺的下底面.(3)畫上底面.在z軸上取一點(diǎn)O',使OO'=2,以O(shè)'為原點(diǎn)畫直線a和直線b,使直線a∥x軸,直線b∥y軸,在平面aO'b內(nèi)以O(shè)'為中心畫水平放置的邊長為2的正方形的直觀圖A'B'C'D'.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(4)連線.被遮擋的線畫成虛線(如圖①),擦去輔助線并整理就得到四棱臺的直觀圖(如圖②).探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測直觀圖的還原與計算例3(1)在如圖所示的直觀圖中,A'B'∥y'軸,B'C'∥A'D'∥x'軸,且B'C'≠A'D',則其對應(yīng)的平面圖形ABCD是(

)A.任意梯形B.直角梯形C.任意四邊形D.平行四邊形(2)已知等邊三角形ABC的直觀圖△A'B'C'的面積為,則等邊三角形ABC的面積是

.

探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測解析(1)由直觀圖的畫法,可知原四邊形ABCD為直角梯形.(2)按照斜二測畫法的規(guī)則,把如圖①所示的等邊三角形ABC的直觀圖△A'B'C'還原為如圖②所示的等邊三角形ABC,探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

1.借助水平放置的平面圖形的直觀圖還原成原來的實(shí)際圖形,其作法就是逆用斜二測畫法,也就是使平行于x'軸的線段的長度不變,而平行于y'軸的線段的長度變?yōu)樵瓉淼?倍,還原時要抓住關(guān)鍵點(diǎn)和關(guān)鍵線段.2.平面多邊形與其直觀圖面積間關(guān)系:一個平面多邊形的面積為S原,斜二測畫法得到直觀圖的面積為S直,則有S直=探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2如圖是一個四邊形的直觀圖,則其原圖形的面積為

.

解析由四邊形的直觀圖可知,原四邊形是直角梯形,其上、下底長分別為2,3,高為6,故其面積為

×6=15.答案15探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測1.(多選)關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖,以下說法不正確的是(

)A.等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B.正方形的直觀圖為平行四邊形C.梯形的直觀圖不是梯形D.正三角形的直觀圖一定為等腰三角形解析由斜二測畫法規(guī)則可知,等腰三角形的直觀圖不是等腰三角形,故A錯誤;正方形的直觀圖為平行四邊形,故B正確;梯形的直觀圖依舊是梯形,故C錯誤;正三角形的直觀圖不是等腰三角形,故D錯誤.答案ACD探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測2.下面每個選項(xiàng)的2個邊長為1的正三角形ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是(

)解析可分別畫出各組圖形的直觀圖,觀察可得結(jié)論.答案C探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測3.①三角形的直觀圖是三角形;②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形;③正方形的直觀圖是正方形;④菱形的直觀圖是菱形.以上結(jié)論中,利用斜二測畫法可得到的是

.(填序號)

解析斜二測畫法得到的圖形與原圖形中的線線相交、線線平行關(guān)系不會改變,因此三角形的直觀圖是三角形,平行四邊形的直觀圖是平行四邊形.答案①②探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測4.水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示,已知A'C'=3,B'C'=2,則AB邊上的中線的實(shí)際長度為

.

解析由直觀圖知,原平面圖形為直角三角形,且AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4,則

,所以AB邊上的中線長為2.5.答案2.53.1空間圖形基本位置關(guān)系的認(rèn)識

3.2刻畫空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的公理(一)課標(biāo)闡釋

1.通過長方體這一常見的幾何體,體會點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.(幾何直觀)2.會用數(shù)學(xué)符號表示點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)3.掌握平面的基本性質(zhì)(3個基本事實(shí)和3個推論),并能應(yīng)用其解決點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷和共點(diǎn)、共線、共面等問題的證明.(邏輯推理)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識點(diǎn)撥聯(lián)合國總部廣場萬國宮大門對面矗立著一把巨大的三條腿的椅子.這把椅子是瑞士日內(nèi)瓦藝術(shù)家丹尼爾·伯塞特的雕塑作品,是1997年國際殘聯(lián)為了呼吁人們關(guān)注戰(zhàn)爭中地雷對平民造成的傷害而建立的紀(jì)念雕塑,象征人類因觸雷而殘缺的肢體,但仍然頑強(qiáng)地、有尊嚴(yán)地站立著.伯塞特在設(shè)計時,將椅座的位置向上提升,突出長長的椅腿,同時,將椅背設(shè)計成弧線形,使整個椅子有微微上翹的感覺,顯示它“傷殘的尊嚴(yán)”.現(xiàn)在斷腿長椅已經(jīng)成為日內(nèi)瓦的標(biāo)志性建筑了.伯塞特的作品給予了我們精神的洗禮,同時也蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)中的抽象美,思考一下:(1)若要確定一個平面,兩個點(diǎn)可以嗎?三個點(diǎn)呢?(2)兩個平面能否只有一個交點(diǎn)?激趣誘思知識點(diǎn)撥一、點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系

激趣誘思知識點(diǎn)撥激趣誘思知識點(diǎn)撥激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析1.在用符號語言表示點(diǎn)、線、面的關(guān)系時,要分清是屬于元素和集合的關(guān)系,還是集合之間的關(guān)系,一般點(diǎn)看成元素,線和面看成點(diǎn)的集合.2.直線與平面平行和直線與平面相交統(tǒng)稱為直線在平面外,即3.點(diǎn)、線的位置關(guān)系用圖示表示時可以用平面襯托,線面或面面位置關(guān)系的圖示表示時要注意線的虛實(shí),被遮擋的要畫成虛線或不畫.激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1把下列符號敘述所對應(yīng)的圖形的字母編號填在題后橫線上.(1)A?α,a?α

.

(2)α∩β=a,P?α,且P?β

.

(3)a∩α=A

.

(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O

.

答案(1)C

(2)D

(3)A

(4)B激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)2用符號語言表示下列語句,并畫出圖形.(1)三個平面α,β,γ交于一點(diǎn)P,且平面α與平面β交于PA,平面α與平面γ交于PB,平面β與平面γ交于PC;(2)平面ABD與平面BCD相交于BD,平面ABC與平面ADC相交于AC.激趣誘思知識點(diǎn)撥解(1)符號語言:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.圖形表示如圖①.(2)符號語言:平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.圖形表示如圖②.激趣誘思知識點(diǎn)撥二、平面的基本性質(zhì)及其推論1.平面的基本性質(zhì)激趣誘思知識點(diǎn)撥激趣誘思知識點(diǎn)撥2.三個推論

激趣誘思知識點(diǎn)撥微思考兩個不重合的平面可能存在有限個公共點(diǎn)嗎?提示不能.要么沒有公共點(diǎn),要么有無數(shù)個公共點(diǎn).微判斷判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”).(1)兩個不重合的平面只能把空間分成四個部分.(

)(2)兩個平面α,β有一個公共點(diǎn)A,就說α,β相交于A點(diǎn),記作α∩β=A.(

)(3)空間不同的三點(diǎn)確定一個平面.(

)(4)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.(

)答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測圖形語言、文字語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)換例1(1)若點(diǎn)A在直線b上,b在平面β內(nèi),則點(diǎn)A,直線b,平面β之間的關(guān)系用符號可以記作

.

答案A∈b,b?β,A∈β探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(2)用符號表示下列語句,并畫出圖形.①點(diǎn)A在平面α內(nèi)但在平面β外;②直線a經(jīng)過平面α內(nèi)一點(diǎn)A,α外一點(diǎn)B;③直線a在平面α內(nèi),也在平面β內(nèi).解①A∈α,A?β.(如圖①)②a∩α=A,B?α,B∈a.(如圖②)③α∩β=a.(如圖③)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測反思感悟

三種語言轉(zhuǎn)換方法:用文字語言、符號語言表示一個圖形時,首先仔細(xì)觀察圖形有幾個平面、幾條直線及相互之間的位置關(guān)系,試著用文字語言表示,再用符號語言表示.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1用符號表示下列語句,并畫出圖形.(1)平面α與β相交于直線l,直線a與α,β分別相交于點(diǎn)A,B.(2)點(diǎn)A,B在平面α內(nèi),直線a與平面α交于點(diǎn)C,點(diǎn)C不在直線AB上.解(1)用符號表示α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如圖.(2)用符號表示A∈α,B∈α,a∩α=C,C?AB,如圖.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測證明點(diǎn)、線共面例2證明:兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線共面.解已知:如圖所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求證:直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).證明:(方法一)納入平面法因?yàn)閘1∩l2=A,所以l1和l2確定一個平面α.因?yàn)閘2∩l3=B,所以B∈l2.又l2?α,所以B∈α.同理可證C∈α.因?yàn)锽∈l3,C∈l3,所以l3?α.所以直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(方法二)輔助平面法因?yàn)閘1∩l2=A,所以l1,l2確定一個平面α.因?yàn)閘2∩l3=B,所以l2,l3確定一個平面β.因?yàn)锳∈l2,l2?α,所以A∈α.因?yàn)锳∈l2,l2?β,所以A∈β.同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共線的三個點(diǎn)A,B,C既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi).所以平面α和β重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測反思感悟

證明點(diǎn)、線共面問題的理論依據(jù)是基本事實(shí)1和基本事實(shí)2,常用方法有:(1)先由部分點(diǎn)、線確定一個面,再證其余的點(diǎn)、線都在這個平面內(nèi),即用“納入平面法”;(2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個平面α,其余點(diǎn)、線確定另一個平面β,再證平面α與β重合,即用“輔助平面法”;(3)假設(shè)不共面,結(jié)合題設(shè)推出矛盾,用“反證法”.注意:在遇到文字?jǐn)⑹龅慕Y(jié)論時,一定要先根據(jù)題意畫出圖形,結(jié)合圖形寫出已知與求證,再證明.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測延伸探究把本例中的“不過同一點(diǎn)”刪掉呢?這三條直線是否共面?解①不一定共面.若三條直線兩兩相交,且過同一個點(diǎn).這三條直線在同一個平面內(nèi)相交,如圖.這三條直線不共面.如圖.②若三條直線兩兩相交,且不過同一個點(diǎn),由本例可知,這三條直線共面.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測證明點(diǎn)共線例3已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如圖.求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測證明(證法一)因?yàn)锳B∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.又AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.所以由基本事實(shí)3可知點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上,同理可證Q,R也在平面ABC與平面α的交線上,所以P,Q,R三點(diǎn)共線.(證法二)因?yàn)锳P∩AR=A,所以直線AP與直線AR確定平面APR.又AB∩α=P,AC∩α=R,所以平面APR∩平面α=PR.因?yàn)锽∈平面APR,C∈平面APR,所以BC?平面APR.因?yàn)镼∈BC,所以Q∈平面APR.又Q∈α,所以Q∈PR,所以P,Q,R三點(diǎn)共線.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測反思感悟

點(diǎn)共線:證明多點(diǎn)共線通常利用基本事實(shí)3,即兩相交平面交線的唯一性,通過證明點(diǎn)分別在兩個平面內(nèi),證明點(diǎn)在相交平面的交線上;也可先選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,再證明其他點(diǎn)也在其上.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)A1C∩平面ABC1D1=E.則B,E,D1三點(diǎn)的關(guān)系為

.(填“共線”或“不共線”)

探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測解析如圖所示,連接A1B,BD1,CD1.因?yàn)锳1C∩平面ABC1D1=E,所以E∈A1C,E∈平面ABC1D1.因?yàn)锳1C?平面A1BCD1,所以E∈平面A1BCD1.因?yàn)槠矫鍭1BCD1∩平面ABC1D1=BD1,所以E∈BD1,所以B,E,D1三點(diǎn)共線.答案共線探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測證明線共點(diǎn)例4如圖所示,三個平面α,β,γ兩兩相交于三條直線,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直線a和b不平行,求證:a,b,c三條直線必過同一點(diǎn).證明因?yàn)棣痢搔?b,β∩γ=a,所以a?γ,b?γ.因?yàn)橹本€a和b不平行,所以a,b必相交.如圖所示,設(shè)a∩b=P,則P∈a,P∈b.因?yàn)閍?β,b?α,所以P∈β,P∈α.又α∩β=c,所以P∈c,即交線c經(jīng)過點(diǎn)P.所以a,b,c三條直線必過同一點(diǎn).探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測反思感悟

證明三線共點(diǎn)常用的方法是先說明兩條直線共面且相交于一點(diǎn),再說明這個點(diǎn)在以另一條直線為交線的兩個平面內(nèi),即該點(diǎn)在另一條直線上,則可得三線共點(diǎn).探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB和CB上的點(diǎn),G,H分別是CD和AD上的點(diǎn),且四邊形EFGH為梯形,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.求證:EH,BD,FG三條直線相交于同一點(diǎn).探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測證明延長EH,FG,不妨設(shè)EH∩FG=O,因?yàn)镠G∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH,所以EH,FG共面,且與FG不平行.因?yàn)镺∈EH,EH?平面ABD,所以O(shè)∈平面ABD,因?yàn)镺∈FG,FG?平面BCD,所以O(shè)∈平面BCD.因?yàn)槠矫鍭BD∩平面BCD=BD,所以O(shè)∈BD,所以EH,BD,FG三條直線相交于同一點(diǎn)O.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測1.如果點(diǎn)A在直線a上,而直線a在平面α內(nèi),點(diǎn)B在平面α內(nèi),則可以表示為(

)A.A?a,a?α,B∈α B.A∈a,a?α,B∈αC.A?a,a∈α,B?α D.A∈a,a∈α,B∈α解析點(diǎn)A在直線a上,而直線a在平面α內(nèi),點(diǎn)B在平面α內(nèi),表示為A∈a,a?α,B∈α.答案B探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測2.如圖,已知D,E是△ABC的邊AC,BC上的點(diǎn),平面α經(jīng)過D,E兩點(diǎn),若直線AB與平面α的交點(diǎn)是P,則點(diǎn)P與直線DE的位置關(guān)系是

.

解析因?yàn)镻∈AB,AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈DE.答案P∈DE探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測3.若l1∥l2,l3與l1,l2分別相交于點(diǎn)C,B.求證:l1,l2,l3在同一平面內(nèi).證明因?yàn)閘1∥l2,所以l1,l2確定一個平面記為α.因?yàn)閘1∩l3=C,所以C∈l1.因?yàn)閘1?α,所以C∈α.因?yàn)閘2∩l3=B,所以B∈l2.因?yàn)閘2?α,所以B∈α.因?yàn)锽∈l3,C∈l3,所以l3?α,即l1,l2,l3在同一平面內(nèi).4.1直線與平面平行課標(biāo)闡釋

1.理解直線與平面平行的性質(zhì)定理的含義,并能用圖形語言、文字語言、符號語言進(jìn)行描述.(幾何直觀、數(shù)學(xué)抽象)2.理解直線與平面平