2024-2025學年第一學期高二開學摸底測試卷 數(shù)學15含答案

2024新高二開學摸底考試卷數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）范圍：集合與常用邏輯用語、不等式，函數(shù)、導數(shù)，三角函數(shù)、解三角形，平面向量注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．若集合，，則（

）A． B． C． D．2．設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．如圖，在中，是上的一點，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．4．若曲線在處的切線也是曲線的切線，則（

）A． B．1 C． D．5．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．若，則（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，若存在3個零點，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，則（

）A．當時，的圖象關于對稱B．當時，在上的最大值為C．當為的一個零點時，的最小值為1D．當在上單調遞減時，的最大值為110．若定義在上的偶函數(shù)，對任意兩個不相等的實數(shù)，都有，則稱為“函數(shù)”，下列函數(shù)為“函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．11．定義：是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)的對稱中心為.則下列選項正確的有（

）A．B．的值是C．函數(shù)有一個零點D．過可以作三條直線與圖象相切三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知平面向量，，，若，，則.13．一艘游輪航行到處時看燈塔在的北偏東，距離為海里，燈塔在的北偏西，距離為海里，該游輪由沿正北方向繼續(xù)航行到處時再看燈塔在其南偏東方向，則此時燈塔位于游輪的方向用方向角作答14．若，且，則的最小值是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知平行四邊形中，，點是線段的中點.(1)求的值；(2)若，且，求的值.16．（15分）已知函數(shù).(1)若，求在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若在上恒成立，求的取值范圍.17．（15分）已知在中，的面積為．(1)求角的度數(shù)；(2)若是上的動點，且始終等于，記．當取到最小值時，求的值．18．（17分）已知，其中，.(1)若，函數(shù)的最小正周期T為，求函數(shù)的單調減區(qū)間；(2)設函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，求函數(shù)的最小正周期T，并求的解析式.19．（17分）已知函數(shù)，其中實數(shù).(1)求在處的切線方程；(2)若在上的最大值是0，求的取值范圍；(3)當時，證明：.新高二開學摸底考試卷數(shù)學·答案及評分標準一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．12345678CADABAAD二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011ACDBDBD填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.13.南偏西14.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）【詳解】（1）---------------------4分（2），，，---------------------8分，即，解得：.---------------------13分16．（15分）【詳解】（1）若，，，---------------------2分令，因為，所以，令，，---------------------6分則在上單調遞減，在上單調遞增，---------------------8分又，，，所以，，所以，；---------------------10分（2）因為在上恒成立，即在上恒成立，---------------------12分又，當且僅當，即時等號成立，所以，即的取值范圍是.---------------------15分17．（15分）【詳解】（1）設，則，又，因此，由為的內角，所以.---------------------4分（2）由（1）知，，又，則，因此，在中，由正弦定理得，即，---------------------6分在中，由正弦定理得，，---------------------13分顯然，則有，因此當時，取到最小值，此時，即，所以的值.---------------------15分18．（17分）【詳解】（1）由題，，解得，故.---------------------4分令，所以的單調減區(qū)間為.---------------------8分（2）由題，可得，，因此，，又，得.由，得.---------------------14分再將代入，即.由，解得.因此的解析式為.---------------------17分19．（17分）【詳解】（1）函數(shù)，求導得，則，而，所以函數(shù)圖象在處的切線方程為.---------------------4分（2）當時，，，當時，，當且僅當時取等號，函數(shù)在上單調遞增，無最大值；當時，由，得，函數(shù)在上單調遞增，---------------------6分，，則0不可能是在上的最大值；當時，恒成立，當且僅當時取等號，因此函數(shù)在上單調遞減，，，即0是在上的最大值，所以的取值范圍.---------------------10分（3）當時，，不等式，令函數(shù)，求導得，顯然函數(shù)在上單調遞增，而，則存在，使得，即，當時，，當時，，即函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，---------------------15分因此，所以恒成立，即成立.---------------------17分新高二開學摸底考試卷數(shù)學?全解全析（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）范圍：集合與常用邏輯用語、不等式，函數(shù)、導數(shù)，三角函數(shù)、解三角形，平面向量注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得集合，可求得.【詳解】依題得，則．故選：C.2．設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由可得，解得，所以由推得出，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3．如圖，在中，是上的一點，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量共線的推論直接計算即可.【詳解】由題意可知，，所以，又，即.因為三點共線，所以，解得.故選：D.4．若曲線在處的切線也是曲線的切線，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】求出的導數(shù)，求得切線的斜率為1，可得切線方程，再設與曲線相切的切點為，求得函數(shù)的導數(shù)，由導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，解方程可得的值，進而得到的值.【詳解】由曲線，得，在處的切線斜率為，當時，，曲線在處的，即，曲線，導數(shù)為，設切點為，則，解得，切點在切線上，即有，得.故選：A.5．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用分段函數(shù)單調性，結合一次、二次函數(shù)單調性求解即得.【詳解】由是上的增函數(shù)，得，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：B6．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先對進行化簡整理，得到，求得結果.【詳解】，所以.故選：A.7．已知函數(shù)，若存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，判斷每段的單調性，繼而列出滿足題意的不等式，結合函數(shù)單調性，即可求得答案.【詳解】由題意知時，，在上單調遞增，最小值為，時，，單調遞減，在上無最小值．則由已知需滿足，即，設，易知該函數(shù)為R上的增函數(shù)，且，從而．故選：A．8．已知函數(shù)，，若存在3個零點，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，將函數(shù)零點問題轉化為函數(shù)圖像交點問題，然后結合函數(shù)圖像，代入計算，即可求解.【詳解】令，即，則函數(shù)的零點個數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)交點的個數(shù)，做出函數(shù)與函數(shù)的圖像，如圖所示，當直線與曲線相切時，又當時，，則，則，則，即且點為，此時，因為存在3個零點，即函數(shù)與函數(shù)的圖像有3個交點，所以，解得，所以a的取值范圍是.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，則（

）A．當時，的圖象關于對稱B．當時，在上的最大值為C．當為的一個零點時，的最小值為1D．當在上單調遞減時，的最大值為1【答案】ACD【分析】根據(jù)三角函數(shù)性質分別判斷余弦函數(shù)的對稱軸，余弦函數(shù)的值域與最值，余弦函數(shù)的單調性，余弦函數(shù)的零點對選項逐一判定即可．【詳解】時，，因為，所以關于對稱，故A正確；時，由可得，根據(jù)余弦函數(shù)的單調性可知的最大值為，故B錯誤；若，則，，所以，，且，所以的最小值為1，故C正確；因為在上單調遞減，且，根據(jù)余弦函數(shù)的單調性可知的單調遞減區(qū)間為：，，，，所以，，所以，故D正確．故選：ACD．10．若定義在上的偶函數(shù)，對任意兩個不相等的實數(shù)，都有，則稱為“函數(shù)”，下列函數(shù)為“函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】通過分析可得“函數(shù)”滿足兩個條件，即是定義域為的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，然后再對各選項進行判斷.【詳解】根據(jù)題意，對任意兩個不相等的實數(shù)，都有，變形可得，即．若，則，可得，即在上為增函數(shù)．又為偶函數(shù)，在上為減函數(shù)．對于選項，易知在上單調遞減，在上單調遞增，不符合題意．對于選項，函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)．，當時，在上為增函數(shù)，符合題意．對于選項，函數(shù)的定義域為，不符合題意．對于選項D，易知的定義域為，且為偶函數(shù)．易知當時，單調遞增，符合題意．故選：BD.11．定義：是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)的對稱中心為.則下列選項正確的有（

）A．B．的值是C．函數(shù)有一個零點D．過可以作三條直線與圖象相切【答案】BD【分析】求出函數(shù)的一階導數(shù)，二階導數(shù)，令，依題意可得且，即可求出、的值，從而判斷A，根據(jù)對稱性得到，利用倒序相加法判斷B，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的極值，結合零點存在性定理判斷C，設切點為，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，判斷關于的方程的根的個數(shù)即可判斷D.【詳解】由，所以，，令，得，由函數(shù)的對稱中心為，所以且，解得，故A錯誤；因為的對稱中心為，即，令,則，所以，所以，故B正確；因為，則，所以當時，，當或時，，所以函數(shù)在，上單調遞減，在上單調遞增，因此函數(shù)的極大值為，極小值為；又，即，，所以在和上存在零點，所以函數(shù)有三個零點，故C錯誤；設切點為，則切線方程為，又切線過，則，化簡得，令，則，當或時，，單調遞增，當時，，單調遞減，而，，，，所以有3個零點，即方程有3個不等實根，所以過可以作三條直線與圖象相切，故D正確.故選：BD填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知平面向量，，，若，，則.【答案】【分析】根據(jù)向量平行和垂直的坐標表示得出參數(shù)計算即可.【詳解】因為，所以,因為，所以,所以.故答案為：.13．一艘游輪航行到處時看燈塔在的北偏東，距離為海里，燈塔在的北偏西，距離為海里，該游輪由沿正北方向繼續(xù)航行到處時再看燈塔在其南偏東方向，則此時燈塔位于游輪的方向用方向角作答【答案】南偏西【分析】由正弦定理得到，由余弦定理得，從而由正弦定理得到，結合，得到，得到答案.【詳解】如圖，在中，，

由正弦定理得，解得，在中，由余弦定理得，因為，所以解得，由正弦定理得，解得，故或，因為，故為銳角，所以，此時燈塔位于游輪的南偏西方向．故答案為：南偏西14．若，且，則的最小值是．【答案】【分析】由題意可借助、表示出，從而消去，再計算化簡后結合基本不等式計算即可得.【詳解】由，則，即，當且僅當，即時，等號成立.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）15．已知平行四邊形中，，點是線段的中點.(1)求的值；(2)若，且，求的值.【詳解】（1）（2），，，，即，解得：.16．已知函數(shù).(1)若，求在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若在上恒成立，求的取值范圍.【詳解】（1）若，，，令，因為，所以，令，，則在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，所以，，所以，；（2）因為在上恒成立，即在上恒