北師大版高中數學《必修5》全部教案

北師大版高中數學必修5第一章《數列》全部教案第一課時1.1.1一、教學目標1、知識與技能：（1）理解數列及其有關概念；（2）了解數列的通項公式，并會用通項公式寫出數列的任意一項；（3）對于比較簡單的數列，會根據其前幾項寫出它的通項公式。2、過程與方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、實驗、觀察、分析、得出結論的方法進行啟發(fā)式教學；（2）發(fā)揮學生的主體作用，作好探究性學習；（3）理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生的學習積極性。3、情感態(tài)度與價值觀：（1）.通過日常生活中的大量實例，鼓勵學生動手試驗.理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生對科學的探究精神和嚴肅認真的科學態(tài)度，培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點；（2）.通過本節(jié)課的學習，體會數學來源于生活，提高數學學習的興趣.二、教學重點：數列及其有關概念，通項公式及其應用.教學難點根據一些數列的前幾項抽象、歸納數列的通項公式.三、教學方法：探究、交流、實驗、觀察、分析四、教學過程（一）、揭示課題:今天開始我們研究一個新課題．先舉一個生活中的例子：場地上堆放了一些圓鋼，最底下的一層有100根，在其上一層（稱作第二層）碼放了99根，第三層碼放了98根，依此類推，問：最多可放多少層？第57層有多少根？從第1層到第57層一共有多少根？我們不能滿足于一層層的去數，而是要但求如何去研究，找出一般規(guī)律．實際上我們要研究的是這樣的一列數象這樣排好隊的數就是我們的研究對象——數列．（二）、推進新課［合作探究］折紙問題師請同學們想一想，一張紙可以重復對折多少次？請同學們隨便取一張紙試試(學生們興趣一定很濃).生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.師你知道這是為什么嗎？我們設紙原來的厚度為1長度單位，面積為1面積單位，隨依次折的次數，它的厚度和每層紙的面積依次怎樣？生隨著對折數厚度依次為:2，4，8，16，…，256，…；①隨著對折數面積依次為,,,,…,,….生對折8次以后，紙的厚度為原來的256倍，其面積為原來的分1[]256式，再折下去太困難了.師說得很好，隨數學水平的提高，我們的思維會更加理性化.請同學們觀察上面我們列出的這一列一列的數，看它們有何共同特點？生均是一列數.生還有一定次序.師它們的共同特點：都是有一定次序的一列數.［教師精講］1.數列的定義：按一定順序排列著的一列數叫做數列.注意：（1）數列的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數列；（2）定義中并沒有規(guī)定數列中的數必須不同，因此，同一個數在數列中可以重復出現(xiàn).2.數列的項：數列中的每一個數都叫做這個數列的項.各項依次叫做這個數列的第1項(或首項)，第2項，…，第n項，….同學們能舉例說明嗎？生例如，上述例子均是數列，其中①中，“2”是這個數列的第1項(或首項)，“16”是這個數列中的第4項.為表述方便給出幾個名稱：項--------數列中的每一個數叫做這個數列的項.首項-------其中數列的第一項也稱首項.通項-------數列的第n項叫數列的通項．以上述兩個數列為例，讓學生練習指出某一個數列的首項是多少，第二項是多少，指出某一個數列的一些項的項數．由此可以看出，給定一個數列，應能夠指明第一項是多少，第二項是多少，……，每一項都是確定的，即指明項數，對應的項就確定．所以數列中的每一項與其項數有著對應關系，這與我們學過的函數有密切關系．3.數列的分類：1)根據數列項數的多少分：有窮數列：項數有限的數列.例如數列1，2，3，4，5，6是有窮數列.無窮數列：項數無限的數列.例如數列1，2，3，4，5，6…是無窮數列.2)根據數列項的大小分：遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列.遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列.常數數列：各項相等的數列.擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列.請同學們觀察：課本的六組數列，哪些是遞增數列、遞減數列、常數數列、擺動數列？生這六組數列分別是(1)遞增數列，(2)遞增數列，(3)常數數列，(4)遞減數列，(5)擺動數列，(6)1.遞增數列，2.遞減數列.4、通項公式法:如數列的通項公式為；

的通項公式為；的通項公式為；數列的通項公式具有雙重身份，它表示了數列的第項，又是這個數列中所有各項的一般表示．通項公式反映了一個數列項與項數的函數關系，給了數列的通項公式，這個數列便確定了，代入項數就可求出數列的每一項．例如，數列的通項公式，則．值得注意的是，正如一個函數未必能用解析式表示一樣，不是所有的數列都有通項公式，即便有通項公式，通項公式也未必唯一．［知識拓展］師你能說出上述數列①中的256是這數列的第多少項？能否寫出它的第n項？生256是這數列的第8項，我能寫出它的第n項，應為an=2n.［例題剖析］例1.根據下面數列{an}的通項公式，寫出前5項：(1)an=;(2)an=(-1)n·n.師由通項公式定義可知，只要將通項公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到數列的前5項.生解：(1)n=1,2,3,4,5.a1=;a2=;a3=;a4=;a5=.(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5.師好！就這樣解.例2.根據下面數列的前幾項的值，寫出數列的一個通項公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)，，，，，…；(3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；(5)2，-6，12，-20，30，-42，….師這里只給出數列的前幾項的值，哪位同學能寫出這些數列的一個通項公式？(給學生一定的思考時間)生老師，我寫好了！解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝；(3)an＝；(4)將數列變形為1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴an＝n＋；(5)將數列變形為1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，∴an＝(-1)n+1n(n＋1).師完全正確！這是由“數”給出數列的“式”的例子，解決的關鍵是要找出這列數呈現(xiàn)出的規(guī)律性的東西，然后再通過歸納寫出這個數列的通項公式.（三）、學生課堂練習：課本本節(jié)練習1、2、3、4補充題：已知數列{an}的通項公式是an=2n2-n，那么()A.30是數列{an}的一項 B.44是數列{an}的一項C.66是數列{an}的一項 D.90是數列{an}的一項分析：注意到30，44，66，90均比較小，可以寫出這個數列的前幾項，如果這前幾項中出現(xiàn)了這四個數中的某一個，則問題就可以解決了.若出現(xiàn)的數比較大，還可以用解方程求正整數解的方法加以解決.答案：C點評：看一個數A是不是數列{an}中的某一項，實質上就是看能不能找出一個非零自然數n，使得an=A.（四）、課堂小結：對于本節(jié)內容應著重掌握數列及有關定義，會根據通項公式求其任意一項，并會根據數列的前n項求一些簡單數列的通項公式。（五）、布置作業(yè)課本習題1-1A組1、2、3、4。五、教后反思：第二課時1.1.一、教學目標1、知識與技能：了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）；理解數列是一種特殊的函數；2、過程與方法：通過類比函數的思想了解數列的幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）；3、情態(tài)與價值：體會數列是一種特殊的函數；借助函數的背景和研究方法來研究有關數列的問題，可以進一步讓學生體會數學知識間的聯(lián)系，培養(yǎng)用已知去研究未知的能力。二、教學重點：理解數列的概念，探索并掌握數列的幾種間單的表示法（列表、圖象、通項公式）。難點：了解數列是一種特殊的函數；發(fā)現(xiàn)數列規(guī)律找出可能的通項公式。三、教學方法：講授法為主四、教學過程（一）、導入新課師同學們，昨天我們學習了數列的定義，數列的通項公式的意義等內容，哪位同學能談一談什么叫數列的通項公式？生如果數列{an}的第n項與序號之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式.師你能舉例說明嗎？生如數列0，1，2，3，…的通項公式為an=n-1(n∈N*);1,1,1的通項公式為an=1(n∈N*,1≤n≤3);1,,,,…的通項公式為an=(n∈N*).教師進一步啟發(fā)上面數列an=n-1、an=與函數有什么關系？你能用圖象直觀表示這個數列嗎？由此展開本節(jié)新課。（二）新知探究1、數列與函數的關系：數列可以看作特殊的函數，項數是其自變量，項是項數所對應的函數值，數列的定義域是正整數集，或是正整數集的有限子集．于是我們研究數列就可借用函數的研究方法，用函數的觀點看待數列．［合作探究］同學們看數列2，4，8，16，…，256，…①中項與項之間的對應關系，項2481632↓↓↓↓↓序號12345你能從中得到什么啟示？生數列可以看作是一個定義域為正整數集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函數an=f(n)，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值.反過來，對于函數y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意義，那么我們可以得到一個數列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….師說的很好.如果數列{an}的第n項an與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式.［合作探究］師函數與數列的比較(由學生完成此表)：函數數列(特殊的函數)定義域R或R的子集N*或它的有限子集{1，2，…，n}解析式y(tǒng)=f(x)an=f(n)圖象點的集合一些離散的點的集合師對于函數，我們可以根據其函數解析式畫出其對應圖象，看來，數列也可根據其通項公式來畫出其對應圖象，下面同學們練習畫數列:4，5，6，7，8，9，10…;②1,,,,…③的圖象.生根據這數列的通項公式畫出數列②、③的圖象為師數列4，5，6，7，8，9，10,…②的圖象與我們學過的什么函數的圖象有關？生與我們學過的一次函數y=x+3的圖象有關.師數列1,,,,…③的圖象與我們學過的什么函數的圖象有關？生與我們學過的反比例函數的圖象有關.師這兩數列的圖象有什么特點？生其特點為：它們都是一群孤立的點.生它們都位于y軸的右側，即特點為：它們都是一群孤立的，都位于y軸的右側的點.2、數列的表示法數列可看作特殊的函數，其表示也應與函數的表示法有聯(lián)系，首先請學生回憶函數的表示法：列表法，圖象法，解析式法．相對于列表法表示一個函數，數列有這樣的表示法：用表示第一項，用表示第一項，……，用表示第項，依次寫出成為（1）列舉法:．簡記為．一個函數的直觀形式是其圖象，我們也可用圖形表示一個數列，把它稱作圖示法．（2）圖示法:啟發(fā)學生仿照函數圖象的畫法畫數列的圖形．具體方法是以項數為橫坐標，相應的項為縱坐標，即以為坐標在平面直角坐標系中做出點（以前面提到的數列為例，做出一個數列的圖象），所得的數列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數，所以這些點都在軸的右側，而點的個數取決于數列的項數．從圖象中可以直觀地看到數列的項隨項數由小到大變化而變化的趨勢．有些函數可以用解析式來表示，解析式反映了一個函數的函數值與自變量之間的數量關系，類似地有一些數列的項能用其項數的函數式表示出來，即，這個函數式叫做數列的通項公式．（3）通項公式法:如數列的通項公式為；

的通項公式為；的通項公式為；數列的通項公式具有雙重身份，它表示了數列的第項，又是這個數列中所有各項的一般表示．通項公式反映了一個數列項與項數的函數關系，給了數列的通項公式，這個數列便確定了，代入項數就可求出數列的每一項．例如，數列的通項公式，則．值得注意的是，正如一個函數未必能用解析式表示一樣，不是所有的數列都有通項公式，即便有通項公式，通項公式也未必唯一．除了以上三種表示法，某些數列相鄰的兩項（或幾項）有關系，這個關系用一個公式來表示，叫做遞推公式．（4）遞推公式法:如前面所舉的鋼管的例子，第層鋼管數與第層鋼管數的關系是，再給定，便可依次求出各項．再如數列中，，這個數列就是．像這樣，如果已知數列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系用一個公式來表示，這個公式叫做這個數列的遞推公式．遞推公式是數列所特有的表示法，它包含兩個部分，一是遞推關系，一是初始條件，二者缺一不可．可由學生舉例，以檢驗學生是否理解．（三）、例題探析例1、判斷下列無窮數列的增減性。（1）2,1,0，-1，···，3-n,···；（2）。學生探究交流，教師準對問題講評并引導學生歸納方法。【答案：（1）遞減數列；（2）遞增數列】例2、作出數列，…的圖像，并分析數列的增減性。YO12345X解析：如圖是這個數列的圖象，數列各項的值正負相間，表示數列的各點相對于橫軸上下擺動，它既不是遞增的，也不是遞減的。（四）、學生練習：課本本節(jié)練習1、2（五）、課堂小結：1、探究結論；2、數列與函數有什么關系？（六）、作業(yè)布置：習題1-1A組第5、6、7題五、教后反思：第三課時數列的概念一、教學目標1、知識與技能：了解數列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據數列的遞推公式寫出數列的前幾項；理解數列的前n項和與的關系2、過程與方法：經歷數列知識的感受及理解運用的過程。3、情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學習，體會數學來源于生活，提高數學學習的興趣。二、教學重點：根據數列的遞推公式寫出數列的前幾項教學難點理解遞推公式與通項公式的關系三、教學過程Ⅰ.課題導入[復習引入]數列及有關定義Ⅱ.講授新課數列的表示方法通項公式法如果數列的第n項與序號之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式。如數列的通項公式為；

的通項公式為；的通項公式為；圖象法啟發(fā)學生仿照函數圖象的畫法畫數列的圖形．具體方法是以項數為橫坐標，相應的項為縱坐標，即以為坐標在平面直角坐標系中做出點（以前面提到的數列為例，做出一個數列的圖象），所得的數列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數，所以這些點都在軸的右側，而點的個數取決于數列的項數．從圖象中可以直觀地看到數列的項隨項數由小到大變化而變化的趨勢．遞推公式法知識都來源于實踐，最后還要應用于生活用其來解決一些實際問題．觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數學模型．模型一：自上而下：第1層鋼管數為4；即：14＝1+3第2層鋼管數為5；即：25＝2+3第3層鋼管數為6；即：36＝3+3第4層鋼管數為7；即：47＝4+3第5層鋼管數為8；即：58＝5+3第6層鋼管數為9；即：69＝6+3第7層鋼管數為10；即：710＝7+3若用表示鋼管數，n表示層數，則可得出每一層的鋼管數為一數列，且≤n≤7）運用每一層的鋼筋數與其層數之間的對應規(guī)律建立了數列模型，運用這一關系，會很快捷地求出每一層的鋼管數這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便。讓同學們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學生尋找規(guī)律）模型二：上下層之間的關系自上而下每一層的鋼管數都比上一層鋼管數多1。即；；依此類推：（2≤n≤7）對于上述所求關系，若知其第1項，即可求出其他項，看來，這一關系也較為重要。定義：遞推公式：如果已知數列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前n項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式遞推公式也是給出數列的一種方法。如下數字排列的一個數列：3，5，8，13，21，34，55，89遞推公式為：數列可看作特殊的函數，其表示也應與函數的表示法有聯(lián)系，首先請學生回憶函數的表示法：列表法，圖象法，解析式法．相對于列表法表示一個函數，數列有這樣的表示法：用表示第一項，用表示第一項，……，用表示第項，依次寫出成為4、列表法．簡記為．[范例講解]例3設數列滿足寫出這個數列的前五項。解：分析：題中已給出的第1項即，遞推公式：解：據題意可知：，[補充例題]例4已知，寫出前5項，并猜想．法一：，觀察可得法二：由∴即∴∴Ⅲ.課堂練習：課本P36練習2[補充練習]1．根據各個數列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式(1)＝0,＝＋(2n－1)(n∈N)；(2)＝1,＝(n∈N)；(3)＝3,＝3－2(n∈N).解：(1)＝0,＝1,＝4,＝9,＝16,∴＝(n－1);(2)＝1,＝,＝,＝,＝,∴＝;(3)＝3＝1+2,＝7＝1+2,＝19＝1+2,＝55＝1+2,＝163＝1+2,∴＝1＋2·3;Ⅳ.課時小結：本節(jié)課學習了以下內容：1．遞推公式及其用法；2．通項公式反映的是項與項數之間的關系，而遞推公式反映的是相鄰兩項（或n項）之間的關系.3．an的定義及與n之間的關系Ⅴ.課后作業(yè)：習題2.1A組的第4、6題作業(yè)：P9第4題四、教后反思：第四課時§1.2.1一、教學目標1．知識與技能:通過實例，理解等差數列的概念；探索并掌握等差數列的通項公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數列的等差關系并能用有關知識解決相應的問題；體會等差數列與一次函數的關系。2.過程與方法:讓學生對日常生活中實際問題分析，引導學生通過觀察，推導，歸納抽象出等差數列的概念；由學生建立等差數列模型用相關知識解決一些簡單的問題，進行等差數列通項公式應用的實踐操作并在操作過程中，通過類比函數概念、性質、表達式得到對等差數列相應問題的研究。3．情態(tài)與價值:培養(yǎng)學生觀察、歸納的能力，培養(yǎng)學生的應用意識。二、教學重點：理解等差數列的概念及其性質，探索并掌握等差數列的通項公式；會用公式解決一些簡單的問題，體會等差數列與一次函數之間的聯(lián)系。教學難點：概括通項公式推導過程中體現(xiàn)出的數學思想方法。三、學法：引導學生首先從四個現(xiàn)實問題（數數問題、座位問題、鞋號問題、儲蓄問題）概括出數組特點并抽象出等差數列的概念；接著就等差數列的特點，推導出等差數列的通項公式；可以用多種方法對等差數列的通項公式進行推導。四、教學過程（一）、創(chuàng)設情景上節(jié)課我們學習了數列。在日常生活中，人口增長、鞋號問題、教育貸款、存款利息等等這些大家以后會接觸得比較多的實際計算問題，都需要用到有關數列的知識來解決。今天我們就先學習一類特殊的數列。（二）新知探究(Ⅰ)、引導觀察數列：0，5，10，15，20，……①；48，53，58，63②18，15.5，13，10.5，8，5.5③；10072，10144，10216，10288，10360④看這些數列有什么共同特點呢？（由學生討論、分析）引導學生觀察相鄰兩項間的關系，得到：對于數列①，從第2項起，每一項與前一項的差都等于5；對于數列②，從第2項起，每一項與前一項的差都等于5；對于數列③，從第2項起，每一項與前一項的差都等于-2.5；對于數列④，從第2項起，每一項與前一項的差都等于72；由學生歸納和概括出，以上四個數列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數（即：每個都具有相鄰兩項差為同一個常數的特點）。等差數列的概念:對于以上幾組數列我們稱它們?yōu)榈炔顢盗?。請同學們根據我們剛才分析等差數列的特征，嘗試著給等差數列下個定義：等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列。這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上四組等差數列，它們的公差依次是5，5，-2.5，72。(Ⅱ)、得出等差數列的定義：注意：從第二項起，后一項減去前一項的差等于同一個常數。1．名稱：等差數列，首項，公差；2．若則該數列為常數列；3．尋求等差數列的通項公式：由此歸納為當時（成立）注意:1等差數列的通項公式是關于的一次函數；2如果通項公式是關于的一次函數，則該數列成等差數列；證明：若它是以為首項，為公差的AP。3公式中若則數列遞增，則數列遞減；4圖象：一條直線上的一群孤立點得出通項公式：以為首項，d為公差的等差數列的通項公式為：；知等差數列的首項和公差d，那么這個等差數列的通項就可以表示。選講：除此之外，還可以用迭加法和迭代法推導等差數列的通項公式：（迭加法）：是等差數列，所以……兩邊分別相加得所以（迭代法）：是等差數列，則有：……所以（三）、例題講解：注意在中，，，四數中已知三個可以求出另一個。例1、（課本）判斷下面數列是否為等差數列.例2、已知數列首項與公差,求通項公式.例3、（此題可以看成應用題）已知數列的其中幾項,求其余各項例4、已知數列其中兩項,求通項公式.關于等差中項：如果成AP則證明：設公差為，則∴例5、在1與7之間順次插入三個數使這五個數成等差數列，求此數列。解一：∵∴是-1與7的等差中項∴又是-1與3的等差中項∴又是1與7的等差中項∴解二：設∴∴所求的數列為-1，1，3，5，7例6、已知是等差數列圖像上的兩點.求這個數列的通項公式;畫出這個數列的圖像;判斷這個數列的單調性.(解略)例7、一個木制梯形架的上、下兩底邊分別為33，75，把梯形的兩腰各6等分，用平行木條連接各對應分點，構成梯形架的各級，試計算梯形架中間各級的寬度。分析：記梯形架自上而下各級寬度所構成的數列為，則由梯形中位線的性質，易知每相鄰三項均成等差數列，從而成等差數列。解略（五）、小結：等差數列的定義、通項公式、等差中項（六）、練習:P13練習1、2、3（七）、作業(yè)：習題1——2A組5、6、7五、教后反思：第五課時§1.2.2一、教學目標1、知識與技能：（1）明確等差中項的概念；（2）進一步熟練掌握等差數列的通項公式及推導公式，能通過通項公式與圖象認識等差數列的性質；（3）能用圖象與通項公式的關系解決某些問題。2、過程與方法：（1）通過等差數列的圖象的應用，進一步滲透數形結合思想、函數思想；通過等差數列通項公式的運用，滲透方程思想；（2）發(fā)揮學生的主體作用，講練相結合，作好探究性學習；（3）理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生的學習積極性。3、情感態(tài)度與價值觀（1）通過對等差數列的研究，使學生明確等差數列與一般數列的內在聯(lián)系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點；（2）通過體驗等差數列的性質的奧秘，激發(fā)學生的學習興趣。二、教學重點等差數列的定義、通項公式、性質的理解與應用。教學難點等差數列的性質的應用、靈活應用等差數列的定義及性質解決一些相關問題。三、教學方法：探究歸納，講練結合四、教學過程（一）、導入新課師同學們，上一節(jié)課我們學習了等差數列的定義，等差數列的通項公式，哪位同學能回憶一下什么樣的數列叫等差數列？生我回答，一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，即an-an-1=d(n≥2，n∈N*)，這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差(通常用字母“d”表示).師對，我再找同學說一說等差數列{an}的通項公式的內容是什么？生1等差數列{an}的通項公式應是an=a1+(n-1)d.生2等差數列{an}還有兩種通項公式：an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q是常數).師好！剛才兩位同學說得很好，由上面的兩個公式我們還可以得到下面幾種計算公差d的公式：①d=an-an-1；②；③.你能理解與記憶它們嗎？生3公式②與③記憶規(guī)律是項的值的差比上項數之間的差(下標之差).［合作探究］探究內容：如果我們在數a與數b中間插入一個數A，使三個數a，A，b成等差數列，那么數A應滿足什么樣的條件呢？師本題在這里要求的是什么?生當然是要用a，b來表示數A.師對，但你能根據什么知識求?如何求?誰能回答?生由定義可得A-a=b-A，即.反之，若，則A-a=b-A,由此可以得a,A,b成等差數列.（二）、推進新課我們來給出等差中項的概念：若a，A，b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項.根據我們前面的探究不難發(fā)現(xiàn)，在一個等差數列中，從第2項起，每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等差中項.如數列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3與7的等差中項，也是1和9的等差中項.9是7和11的等差中項，也是5和13的等差中項.［方法引導］等差中項及其應用問題的解法關鍵在于抓住a，A，b成等差數列2A=a+b，以促成將等差數列轉化為目標量間的等量關系或直接由a，A，b間的關系證得a，A，b成等差數列［合作探究］師在等差數列{an}中，d為公差，若m,n,p,q∈N*且m+n=p+q，那么這些項與項之間有何種等量關系呢？生我得到了一種關系am+an=ap+aq.師能把你的發(fā)現(xiàn)過程說一下嗎？生受等差中項的啟發(fā)，我發(fā)現(xiàn)a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7.從而可得在一等差數列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.師你所得的這關系是歸納出來的，歸納有利于發(fā)現(xiàn)，這很好，但歸納不能算是證明！我們是否可以對這歸納的結論加以證明呢？生我能給出證明，只要運用通項公式加以轉化即可.設首項為a1，則am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)dap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d因為我們有m+n=p+q,所以上面兩式的右邊相等，所以am+an=ap+aq.師好極了！由此我們的一個重要結論得到了證明：在等差數列{an}的各項中，與首末兩項等距離的兩項的和等于首末兩項的和.另外，在等差數列中，若m+n=p+q,則上面兩式的右邊相等，所以am+an=ap+aq.同樣地，我們還有：若m+n=2p,則am+an=2ap.這也是等差中項的內容.師注意：由am+an=ap+aq推不出m+n=p+q，同學們可舉例說明嗎?生我舉常數列就可以說明了.師舉得好!這說明在等差數列中，am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要不充分條件.［例題剖析］【例1】在等差數列{an}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9.師在等差數列中通常如何求一個數列的某項？生1在通常情況下是先求其通項公式，再根據通項公式來求這一項.生2而要求通項公式，必須知道這個數列中的至少一項和公差，或者知道這個數列的任意兩項(知道任意兩項就知道公差，這在前面已研究過了).生3本題中，只已知一項和另一個雙項關系式，想到從這雙項關系式入手……師好，我們下面來解，請一個同學來解一解，誰來解？生4因為{an}是等差數列，所以a1+a6=a4+a3=9a3=9-a4=9-7=2,所以可得d=a4-a3=7-2=5.又因為a9=a4+(9-4)d=7+5×5=32，所以我們求出了a3=2，a9=32.【例2】(課本例2)某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4千米(不含4千米)計費10元.如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0師本題是一道實際應用題，它所涉及到的是什么知識方面的數學問題？生這個實際應用題可化歸為等差數列問題來解決.師為什么？生根據題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數列來進行計算車費.師這個等差數列的首項和公差分別是多少?生分別是11.2，1.2.師好，大家計算一下本題的結果是多少?生需要支付車費23.2元.(教師按課本例題的解答示范格式)評述：本例是等差數列用于解決實際問題的一個簡單應用，做此題的目的是讓大家學會從實際問題中抽象出等差數列的模型，用等差數列知識解決實際問題.（三）、課堂練習1.在等差數列{an}中，(1)若a5=a,a10=b,求a15.解：由等差數列{an}知2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a.(2)若a3+a8=m,求a5+a6.解：等差數列{an}中，a5+a6=a3+a8=m.(3)若a5=6,a8=15,求a14.解：由等差數列{an}得a8=a5+(8-5)d,即15=6+3d,所以d=3.從而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33.(4)已知a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80，求a11+a12+…+a15的值.解：等差數列{an}中，因為6+6=11+1,7+7=12+2,……所以2a6=a1+a11,2a7=a2+a12,……從而(a11+a12+…+a15)+(a1+a2+…+a5)=2(a6+a7+…+a10),因此有(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130.2.讓學生完成課本練習2、3、4。教師對學生的完成情況作出小結與評價。［方法引導］此類問題的解題的關鍵在于靈活地運用等差數列的性質，因此，首先要熟練掌握等差數列的性質，其次要注意各基本量之間的關系及其它們的取值范圍.（四）、課堂小結師通過今天的學習，你學到了什么知識?有何體會？生通過今天的學習,明確等差中項的概念;進一步熟練掌握等差數列的通項公式及其性質.(讓學生自己來總結，將所學的知識,結合獲取知識的過程與方法，進行回顧與反思，從而達到三維目標的整合,培養(yǎng)學生的概括能力和語言表達能力)（五）、布置作業(yè)課本習題1-2A組9，B組1預習內容：課本下節(jié)內容；預習提綱：①等差數列的前n項和公式；②等差數列前n項和的簡單應用。五、教后反思：第六課時§1.2.3一、教學目標：1、知識與技能：掌握等差數列前n項和公式及其獲取思路；會用等差數列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題。2、過程與方法：通過公式的推導和公式的運用，使學生體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規(guī)律，初步形成認識問題、解決問題的一般思路和方法；通過公式推導的過程教學，對學生進行思維靈活性與廣闊性的訓練，發(fā)展學生的思維水平。3、情感態(tài)度與價值觀：通過公式的推導過程，展現(xiàn)數學中的對稱美，通過生動具體的現(xiàn)實問題，令人著迷的數學史，激發(fā)學生探究的興趣，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數學的心理體驗，產生熱愛數學的情感。二、教學重點等差數列的前n項和公式的理解、推導及應用。教學難點靈活應用等差數列前n項和公式解決一些簡單的有關問題。三、教學方法：探究歸納，講練結合四、教學過程導入新課教師出示投影膠片1：印度泰姬陵(TajMahal)是世界七大建筑奇跡之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的經典之作，這個古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑風格，是印度伊斯蘭教文化的象征.陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕.傳說當時陵寢中有一個等邊三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層(如下圖)，奢華之程度，可見一斑.你知道這個圖案中一共有多少顆寶石嗎？(這問題賦予了課堂人文歷史的氣息，縮短了數學與現(xiàn)實之間的距離，引領學生步入探討高斯算法的階段)生只要計算出1+2+3+…+100的結果就是這些寶石的總數.師對，問題轉化為求這100個數的和.怎樣求這100個數的和呢？這里還有一段故事.教師出示投影膠片2：高斯是偉大的數學家、天文學家，高斯十歲時，有一次老師出了一道題目，老師說：“現(xiàn)在給大家出道題目：1+2+…100=?”過了兩分鐘，正當大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦樂乎時，高斯站起來回答說：“1+2+3+…+100=5050.”教師問：“你是如何算出答案的？”高斯回答說：因為1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50=5050.師這個故事告訴我們什么信息？高斯是采用了什么方法來巧妙地計算出來的呢？生高斯用的是首尾配對相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50個101，所以1+2+3+…+100=50×101=5050.師對，高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個數可以分為50組，第一個數與最后一個數一組，第二個數與倒數第二個數一組，第三個數與倒數第三個數一組，…，每組數的和均相等，都等于101，50個101就等于5050了.高斯算法將加法問題轉化為乘法運算，迅速準確得到了結果。作為數學王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考，所以他能從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西.師問：數列1，2，3，…，100是什么數列？而求這一百個數的和1+2+3+…+100相當于什么？生這個數列是等差數列，1+2+3+…+100這個式子實質上是求這數列的前100項的和.師對，這節(jié)課我們就來研究等差數列的前n項的和的問題.（二）、推進新課［合作探究］師我們再回到前面的印度泰姬陵的陵寢中的等邊三角形圖案中，在圖中我們取下第1層到第21層，得到右圖，則圖中第1層到第21層一共有多少顆寶石呢?生這是求“1+2+3+…+21”奇數個項的和的問題，高斯的方法不能用了.要是偶數項的數求和就好首尾配成對了.師高斯的這種“首尾配對”的算法還得分奇、偶個項的情況求和，適用于偶數個項，我們是否有簡單的方法來解決這個問題呢?生有!我用幾何的方法，將這個全等三角形倒置，與原圖補成平行四邊形.平行四邊形中的每行寶石的個數均為22個，共21行.則三角形中的寶石個數就是.師妙得很!這種方法不需分奇、偶個項的情況就可以求和，真是太好了!我將他的幾何法寫成式子就是：1+2+3+…+21，21+20+19+…+1，對齊相加(其中下第二行的式子與第一行的式子恰好是倒序)這實質上就是我們數學中一種求和的重要方法——“倒序相加法”.現(xiàn)在我將求和問題一般化：(1)求1到n的正整數之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：這問題在前面思路的引導下可由學生輕松解決)(2)如何求等差數列{an}的前n項的和Sn?生1對于問題(2)，我這樣來求：因為Sn=a1+a2+a3+…+an，Sn=an+an-1+…+a2+a1，再將兩式相加，因為有等差數列的通項的性質：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，所以.(Ⅰ)生2對于問題(2)，我是這樣來求的：因為Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+［a1+(n-1)×d］，所以Sn=na1+［1+2+3+…+(n-1)］d=na1+d,即Sn=na1+d.(Ⅱ)［教師精講］兩位同學的推導過程都很精彩，一位同學是用“倒序相加法”，后一位同學用的是基本量來轉化為用我們前面求得的結論，并且我們得到了等差數列前n項求和的兩種不同的公式.這兩種求和公式都很重要,都稱為等差數列的前n項和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的，我們可以發(fā)現(xiàn)，它可與梯形面積公式(上底+下底)×高÷2相類比，這里的上底是等差數列的首項a1，下底是第n項an，高是項數n,有利于我們的記憶.［方法引導］師如果已知等差數列的首項a1，項數為n，第n項為an，則求這數列的前n項和用公式(Ⅰ)來進行，若已知首項a1，項數為n，公差d，則求這數列的前n項和用公式(Ⅱ)來進行.引導學生總結：這些公式中出現(xiàn)了幾個量？生每個公式中都是5個量.師如果我們用方程思想去看這兩個求和公式，你會有何種想法?生已知其中的三個變量，可利用構造方程或方程組求另外兩個變量(知三求二).師當公差d≠0時，等差數列{an}的前n項和Sn可表示為n的不含常數項的二次函數，且這二次函數的二次項系數的2倍就是公差.［知識應用］【例1】(直接代公式)計算：(1)1+2+3+…+n；(2)1+3+5+…+(2n-1)；(3)2+4+6+…+2n；(4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.(讓學生迅速熟悉公式，即用基本量觀點認識公式)請同學們先完成(1)～(3)，并請一位同學回答.生(1)1+2+3+…+n=；(2)1+3+5+…+(2n-1)==n2；(3)2+4+6+…+2n==n(n+1).師第(4)小題數列共有幾項？是否為等差數列？能否直接運用Sn公式求解？若不能，那應如何解答？(小組討論后，讓學生發(fā)言解答)生(4)中的數列共有2n項，不是等差數列，但把正項和負項分開，可看成兩個等差數列，所以原式=[1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n.生上題雖然不是等差數列，但有一個規(guī)律，兩項結合都為-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n.師很好！在解題時我們應仔細觀察，尋找規(guī)律，往往會尋找到好的方法.注意在運用求和公式時，要看清等差數列的項數，否則會引起錯解.【例2】（課本例1)分析：這是一道實際應用題目，同學們先認真閱讀此題，理解題意.你能發(fā)現(xiàn)其中的一些有用信息嗎?生由題意我發(fā)現(xiàn)了等差數列的模型，這個等差數列的首項是500，記為a1，公差為50，記為d，而從2001年到2010年應為十年，所以這個等差數列的項數為10.再用公式就可以算出來了.師這位同學說得很對，下面我們來完成此題的解答.(按課本解答示范格式)【例3】(課本例2)已知一個等差數列的前10項的和是310，前20項的和是1220，由此可以確定求其前n項和的公式嗎？分析：若要確定其前n項求和公式，則必須確定什么？生必須要確定首項a1與公差d.師首項與公差現(xiàn)在都未知，那么應如何來確定？生由已知條件，我們已知了這個等差數列中的S10與S20，于是可從中獲得兩個關于a1和d的關系式，組成方程組便可從中求得.(解答見課本)師通過上面例題3我們發(fā)現(xiàn)了在以上兩個公式中，有5個變量.已知三個變量，可利用構造方程或方程組求另外兩個變量(知三求二).運用方程思想來解決問題.［合作探究］師請同學們閱讀課本例3，閱讀后我們來互相進行交流.(給出一定的時間讓學生對本題加以理解)師本題是給出了一個數列的前n項和的式子，來判斷它是否是等差數列.解題的出發(fā)點是什么?生從所給的和的公式出發(fā)去求出通項.師對的，通項與前n項的和公式有何種關系?生當n=1時，a1=S1，而當n＞1時，an=Sn-Sn-1.師回答的真好!由Sn的定義可知，當n=1時，S1=a1；當n≥2時，an=Sn-Sn-1，即an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n≥2).這種已知數列的Sn來確定數列通項的方法對任意數列都是可行的.本題用這方法求出的通項an=2n-，我們從中知它是等差數列，這時當n=1也是滿足的，但是不是所有已知Sn求an的問題都能使n=1時，an=Sn-Sn-1滿足呢?請同學們再來探究一下課本第51頁的探究問題.生1這題中當n=1時，S1=a1=p+q+r；當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2pn-p+q，由n=1代入的結果為p+q，要使n=1時也適合，必須有r=0.生2當r=0時，這個數列是等差數列，當r≠0時，這個數列不是等差數列.生3這里的p≠0也是必要的，若p=0，則當n≥2時，an=Sn-Sn-1=q+r，則變?yōu)槌盗辛?，r≠0也還是等差數列.師如果一個數列的前n項和公式是常數項為0，且是關于n的二次型函數，則這個數列一定是等差數列，從而使我們能從數列的前n項和公式的結構特征上來認識等差數列.實質上等差數列的兩個求和公式中皆無常數項.（三）、課堂練習：等差數列-10，-6，-2，2，…前多少項的和是54？(學生板演)解：設題中的等差數列為{an}，前n項和為Sn,則a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,由公式可得-10n+×4=54.解之,得n1=9,n2=-3(舍去).所以等差數列-10，-6，-2，2…前9項的和是54.(教師對學生的解答給出評價)（四）、課堂小結：師同學們，本節(jié)課我們學習了哪些數學內容?生①等差數列的前n項和公式1：,②等差數列的前n項和公式2：.師通過等差數列的前n項和公式內容的學習，我們從中體會到哪些數學的思想方法?生①通過等差數列的前n項和公式的推導我們了解了數學中一種求和的重要方法——“倒序相加法”。②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三個變量，可利用構造方程或方程組求另外兩個變量.師本節(jié)課我們通過探究還得到了等差數列的性質中的什么內容?生如果一個數列的前n項和公式中的常數項為0，且是關于n的二次型函數，則這個數列一定是等差數列，否則這個數列就不是等差數列，從而使我們能從數列的前n項和公式的結構特征上來認識等差數列.（五）、布置作業(yè)：課本習題1-2A組11、12、13B組3五、教學反思：第七課時§1.2.一、教學目標1、知識與技能：（1）進一步熟練掌握等差數列的通項公式和前n項和公式；（2）了解等差數列的一些性質，并會用它們解決一些相關問題；（3）會利用等差數列通項公式與前n項和的公式研究Sn的最值。2、過程與方法：（1）經歷公式應用的過程，形成認識問題、解決問題的一般思路和方法；（2）學會其常用的數學方法和體現(xiàn)出的數學思想，促進學生的思維水平的發(fā)展。3、情感態(tài)度與價值觀：通過有關內容在實際生活中的應用，使學生再一次感受數學源于生活，又服務于生活的實用性，引導學生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并數學地解決問題。二、教學重點熟練掌握等差數列的求和公式.教學難點靈活應用求和公式解決問題.三、教學方法：探究歸納，講練結合四、教學過程（一）、導入新課師首先回憶一下上一節(jié)課所學主要內容.生我們上一節(jié)課學習了等差數列的前n項和的兩個公式：(1)；(2).師對，我們上一節(jié)課學習了等差數列的前n項和的公式，了解等差數列的一些性質.學會了求和問題的一些方法，本節(jié)課我們繼續(xù)圍繞等差數列的前n項和的公式的內容來進一步學習與探究.（二）、推進新課［合作探究］師本節(jié)課的第一個內容是來研究一下等差數列的前n項和的公式的函數表示，請同學們將求和公式寫成關于n的函數形式.生我將等差數列{an}的前n項和的公式整理、變形得到：n.(*)師很好!我們能否說(*)式是關于n的二次函數呢?生1能，(*)式就是關于n的二次函數.生2不能，(*)式不一定是關于n的二次函數.師為什么?生2若等差數列的公差為0，即d=0時，(*)式實際是關于n的一次函數!只有當d≠0時，(*)式才是關于n的二次函數.師說得很好!等差數列{an}的前n項和的公式可以是關于n的一次函數或二次函數.我來問一下：這函數有什么特征?生它一定不含常數項，即常數項為0.生它的二次項系數是公差的一半.……師對的，等差數列{an}的前n項和為不含常數項的一次函數或二次函數.問：若一數列的前n項和為n的一次函數或二次函數，則這數列一定是等差數列嗎?生不一定，還要求不含常數項才能確保是等差數列.師說的在理.同學們能畫出(*)式表示的函數圖象或描述一下它的圖象特征嗎?生當d=0時，(*)式是關于n的一次函數，所以它的圖象是位于一條直線上的離散的點列，當d≠0時，(*)式是n的二次函數，它的圖象是在二次函數的圖象上的一群孤立的點.這些點的坐標為(n,Sn)(n=1，2，3，…).師說得很精辟.［例題剖析］【例】(課本例4)分析:等差數列{an}的前n項和公式可以寫成，所以Sn可以看成函數(x∈N*)當x=n時的函數值.另一方面，容易知道Sn關于n的圖象是一條拋物線上的點.因此我們可以利用二次函數來求n的值.(解答見課本第52頁)師我們能否換一個角度再來思考一下這個問題呢？請同學們說出這個數列的首項和公差.生它的首項為5，公差為.師對，它的首項為正數，公差小于零，因而這個數列是個單調遞減數列，當這數列的項出現(xiàn)負數時，則它的前n項的和一定會開始減小，在這樣的情況下，同學們是否會產生新的解題思路呢？生老師，我有一種解法：先求出它的通項，求得結果是an=a1+(n-1)d=.我令≤0，得到了n≥8，這樣我就可以知道a8=0，而a9＜0.從而便可以發(fā)現(xiàn)S7=S8，從第9項和Sn開始減小，由于a8=0對數列的和不產生影響，所以就可以說這個等差數列的前7項或8項的和最大.師說得非常好!這說明我們可以通過研究它的通項取值的正負情況來研究數列的和的變化情況.［方法引導］師受剛才這位同學的新解法的啟發(fā)，我們大家一起來歸納一下這種解法的規(guī)律①當等差數列{an}的首項大于零，公差小于零時，它的前n項的和有怎樣的最值?可通過什么來求達到最值時的n的值?生Sn有最大值，可通過求得n的值.師②當等差數列{an}的首項不大于零，公差大于零時，它的前n項的和有怎樣的最值?可通過什么來求達到最值時的n的值?生Sn有最小值，可以通過求得n的值.［教師精講］好!有了這種方法再結合前面的函數性質的方法，我們求等差數列的前n項的和的最值問題就有法可依了.主要有兩種：(1)利用an取值的正負情況來研究數列的和的變化情況；(2)利用Sn：由利用二次函數求得Sn取最值時n的值.（三）、課堂練習：請同學們做下面的一道練習：已知：an=1024+lg21-n(lg2=0.3010)n∈*.問多少項之和為最大？前多少項之和的絕對值最??？(讓一位學生上黑板去板演)解：1°+13401＜n＜3403.所以n=3402.2°Sn=1024n+(-lg2)，當Sn=0或Sn趨近于0時其和絕對值最小，令Sn=0，即1024+(-lg2)=0,得n=+1≈6804.99.因為n∈N*，所以有n=6805.(教師可根據學生的解答情況和解題過程中出現(xiàn)的問題進行點評)［合作探究］師我們大家再一起來看這樣一個問題：全體正奇數排成下表：1357911131517192123252729…………此表的構成規(guī)律是：第n行恰有n個連續(xù)奇數;從第二行起，每一行第一個數與上一行最后一個數是相鄰奇數，問2005是第幾行的第幾個數?師此題是數表問題，近年來這類問題如一顆“明珠”頻頻出現(xiàn)在數學競賽和高考中，成為出題專家們的“新寵”，值得我們探索.請同學們根據此表的構成規(guī)律，將自己的發(fā)現(xiàn)告訴我.生1我發(fā)現(xiàn)這數表n行共有1+2+3+…+n個數，即n行共有個奇數.師很好!要想知道2005是第幾行的第幾個數，必須先研究第n行的構成規(guī)律.生2根據生1的發(fā)現(xiàn)，就可得到第n行的最后一個數是2×-1=n2+n-1.生3我得到第n行的第一個數是(n2+n-1)-2(n-1)=n2-n+1.師現(xiàn)在我們對第n行已經非常了解了，那么這問題也就好解決了，誰來求求看?生4我設n2-n+1≤2005≤n2+n-1，解這不等式組便可求出n=45，n2-n+1=1981.再設2005是第45行中的第m個數，則由2005=1981+(m-1)×2，解得m=13.因此，2005是此表中的第45行中的第13個數.師很好!由這解法可以看出，只要我們研究出了第n行的構成規(guī)律，則可由此展開我們的思路.從整體上把握等差數列的性質，是迅速解答本題的關鍵.（四）、課堂小結：本節(jié)課我們學習并探究了等差數列的前n項和的哪些內容?生1我們學會了利用等差數列通項公式與前n項和的公式研究Sn的最值的方法：①利用an：當an＞0，d＜0，前n項和有最大值.可由an≥0，且an+1≤0，求得n的值；當an≤0，d＞0，前n項和有最小值.可由an≤0，且an+1≥0，求得n的值.②利用Sn：由Sn=n2+(a1-)n利用二次函數求得Sn取最值時n的值.生2我們還對等差數列中的數表問題的常規(guī)解法作了探究，學習了從整體上把握等差數列的性質來解決問題的數學思想方法.師本節(jié)課我們在熟練掌握等差數列的通項公式和前n項和公式的基礎上，進一步去了解了等差數列的一些性質，并會用它們解決一些相關問題.學會了一些常用的數學方法和數學思想，從而使我們從等差數列的前n項和公式的結構特征上來更深刻地認識等差數列.（五）、布置作業(yè)課本習題1-2A組14、15B組4預習提綱：①什么是等比數列？②等比數列的通項公式如何求？五、教學反思：第八課時§1.3.1等比數列一、教學目標：1、知識與技能：⑴了解現(xiàn)實生活中存在著一類特殊的數列；⑵理解等比數列的概念，探索并掌握等比數列的通項公式；⑶能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數列的等比關系，并能用有關的知識解決相應的實際問題；⑷體會等比數列與指數函數的關系。2、過程與方法：⑴采用觀察、思考、類比、歸納、探究、得出結論的方法進行教學；⑵發(fā)揮學生的主體作用，作好探究性活動；⑶.密切聯(lián)系實際，激發(fā)學生學習的積極性。3、情感態(tài)度與價值觀：⑴通過生活中的大量實例，鼓勵學生積極思考，激發(fā)學生對知識的探究精神和嚴肅認真的科學態(tài)度，培養(yǎng)學生的類比、歸納的能力；⑵通過對有關實際問題的解決，體現(xiàn)數學與實際生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學生學習的興趣。二、教學重點1.等比數列的概念；2.等比數列的通項公式。教學難點1.在具體問題中抽象出數列的模型和數列的等比關系；2.等比數列與指數函數的關系.三、教學方法：探究歸納，講練結合四、教學過程（一）、導入新課：師現(xiàn)實生活中，有許多成倍增長的實例.如，將一張報紙對折、對折、再對折、…，對折了三次，手中的報紙的層數就成了8層，對折了5次就成了32層.你能舉出類似的例子嗎？生一粒種子繁殖出第二代120粒種子，用第二代的120粒種子可以繁殖出第三代120×120粒種子，用第三代的120×120粒種子可以繁殖出第四代120×120×120粒種子，…師非常好的一個例子！現(xiàn)實生活中，我們會遇到許多這類的事例.教師出示多媒體課件一：某種細胞分裂的模型.師細胞分裂的個數也是與我們上述提出的問題類似的實例.細胞分裂有什么規(guī)律，將每次分裂后細胞的個數寫成一個數列，你能寫出這個數列嗎？生通過觀察和畫草圖，發(fā)現(xiàn)細胞分裂的規(guī)律，并記錄每次分裂所得到的細胞數，從而得到每次細胞分裂所得到的細胞數組成下面的數列：1，2，4，8，…①教師出示投影膠片1：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”師這是《莊子·天下篇》中的一個論述，能解釋這個論述的含義嗎？生思考、討論，用現(xiàn)代語言敘述.師(用現(xiàn)代語言敘述后)如果把“一尺之棰”看成單位“1”，那么得到的數列是什么樣的呢？生發(fā)現(xiàn)等比關系，寫出一個無窮等比數列：1，，，，，…②教師出示投影膠片2：計算機病毒傳播問題.一種計算機病毒，可以查找計算機中的地址簿，通過郵件進行傳播.如果把病毒制造者發(fā)送病毒稱為第一輪，郵件接收者發(fā)送病毒稱為第二輪，依此類推.假設每一輪每一臺計算機都感染20臺計算機,那么在不重復的情況下,這種病毒感染的計算機數構成一個什么樣的數列呢?師(讀題后)這種病毒每一輪傳播的計算機數構成的數列是怎樣的呢？引導學生發(fā)現(xiàn)“病毒制造者發(fā)送病毒稱為第一輪”“每一輪感染20臺計算機”中蘊涵的等比關系.生發(fā)現(xiàn)等比關系，寫出一個無窮等比數列：1，20，202，203，204，…③教師出示多媒體課件二：銀行存款利息問題.師介紹“復利”的背景：“復利”是我國現(xiàn)行定期儲蓄中的一種支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息，也就是通常說的“利滾利”.我國現(xiàn)行定期儲蓄中的自動轉存業(yè)務實際上就是按復利支付利息的.給出計算本利和的公式：本利和=本金×(1+本金)n，這里n為存期.生列出5年內各年末的本利和，并說明計算過程.師生合作討論得出“時間”“年初本金”“年末本利和”三個量之間的對應關系，并寫出：各年末本利和(單位：元)組成了下面數列：10000×1.0198，10000×1.01982，10000×1.01983，10000×1.01984，10000×1.01985.④師回憶數列的等差關系和等差數列的定義，觀察上面的數列①②③④，說說它們有什么共同特點？師引導學生類比等差關系和等差數列的概念，發(fā)現(xiàn)等比關系.引入課題：板書課題等比數列的概念及通項公式（二）、推進新課［合作探究］師從上面的數列①②③④中我們發(fā)現(xiàn)了它們的共同特點是：具有等比關系.如果我們將具有這樣特點的數列稱之為等比數列，那么你能給等比數列下一個什么樣的定義呢？生回憶等差數列的定義，并進行類比，說出：一般地，如果把一個數列，從第2項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列。［教師精講］師同學們概括得很好，這就是等比數列(geometricsequence)的定義.有些書籍把等比數列的英文縮寫記作G.P.(GeometricProgression).我們今后也常用G.P.這個縮寫表示等比數列.定義中的這個常數叫做等比數列的公比(commonratio)，公比通常用字母q表示(q≠0).請同學們想一想，為什么q≠0呢？生獨立思考、合作交流、自主探究.師假設q=0，數列的第二項就應該是0，那么作第一項后面的任一項與它的前一項的比時就出現(xiàn)什么了呢？生分母為0了.師對了，問題就出在這里了，所以，必須q≠0.師那么，等比數列的首項能不能為0呢？生等比數列的首項不能為0.師是的，等比數列的首項和公比都不能為0，等比數列中的任一項都不會是0.［合作探究］師類比等差中項的概念，請同學們自己給出等比中項的概念.生如果在a與b中間插入一個數G，使a、G、b成等比數列，那么G叫做a、b的等比中項.師想一想，這時a、b的符號有什么特點呢？你能用a、b表示G嗎？生一起探究,a、b是同號的，G=±，G2=ab.師觀察學生所得到的a、b、G的關系式，并給予肯定.補充練習：與等差數列一樣，等比數列也具有一定的對稱性，對于等差數列來說，與數列中任一項等距離的兩項之和等于該項的2倍，即an-k+an+k=2an.對于等比數列來說，有什么類似的性質呢？生獨立探究，得出：等比數列有類似的性質：an-k·an+k=an2.［合作探究］探究：(1)一個數列a1,a2,a3,…,an,…(a1≠0)是等差數列，同時還能不能是等比數列呢？(2)寫出兩個首項為1的等比數列的前5項，比較這兩個數列是否相同？寫出兩個公比為2的等比數列的前5項，比較這兩個數列是否相同？(3)任一項an及公比q相同，則這兩個數列相同嗎？(4)任意兩項am、an相同，這兩個數列相同嗎？(5)若兩個等比數列相同，需要什么條件？師引導學生探究，并給出(1)的答案，（2)(3)(4)可留給學生回答.生探究并分組討論上述問題的解答辦法，并交流(1)的解答.［教師精講］概括總結對上述問題的探究，得出：(1)中，既是等差數列又是等比數列的數列是存在的，每一個非零常數列都是公差為0，公比為1的既是等差數列又是等比數列的數列.概括學生對(2)(3)(4)的解答.(2)中，首項為1，而公比不同的等比數列是不會相同的；公比為2，而首項不同的等比數列也是不會相同的.(3)中，是指兩個數列中的任一對應項與公比都相同，可得出這兩個數列相同；(4)中，是指兩個數列中的任意兩個對應項都相同，可以得出這兩個數列相同；(5)中，結論是：若兩個數列相同，需要“首項和公比都相同”.(探究的目的是為了說明首項和公比是決定一個等比數列的必要條件；為等比數列的通項公式的推導做準備)［合作探究］師回顧等差數列的通項公式的推導過程，你能推導出等比數列的通項公式嗎？生推導等比數列的通項公式.［方法引導］師讓學生與等差數列的推導過程類比，并引導學生采用不完全歸納法得出等比數列的通項公式.具體的，設等比數列{an}首項為a1，公比為q，根據等比數列的定義，我們有：a2=a1q,a3=a2q=a1q2,…,an=an-1q=a1qn-1，即an=a1qn-1.師根據等比數列的定義，我們還可以寫出,進而有an=an-1q=an-2q2=an-3q3=…=a1qn-1.亦得an=a1qn-1.師觀察一下上式，每一道式子里，項的下標與q的指數，你能發(fā)現(xiàn)有什么共同的特征嗎？生把an看成anq0，那么，每一道式子里，項的下標與q的指數的和都是n.師非常正確，這里不僅給出了一個由an倒推到an與a1，q的關系，從而得出通項公式的過程，而且其中還蘊含了等比數列的基本性質，在后面我們研究等比數列的基本性質時將會再提到這組關系式.師請同學們圍繞根據等比數列的定義寫出的式子,再思考.如果我們把上面的式子改寫成.那么我們就有了n-1個等式，將這n-1個等式兩邊分別乘到一起(疊乘)，得到的結果是,于是，得an=a1qn-1.師這不又是一個推導等比數列通項公式的方法嗎？師在上述方法中，前兩種方法采用的是不完全歸納法，嚴格的，還需給出證明.第三種方法沒有涉及不完全歸納法，是一個完美的推導過程，不再需要證明.師讓學生說出公式中首項a1和公比q的限制條件.生a1，q都不能為0.［知識拓展］師前面實例中也有“細胞分裂”“計算機病毒傳播”“復利計算”的練習和習題，那里是用什么方法解決問題的呢？教師出示多媒體課件三：前面實例中關于“細胞分裂”“計算機病毒傳播”“復利計算”的練習或習題.某種儲蓄按復利計算成本利息，若本金為a元，每期利率為r，設存期是x,本利和為y元.（1）寫出本利和y隨存期x變化的函數關系式；（2）如果存入本金1000元，每期利率為2.25%，試計算5期后的本利和.師前面實例中關于“細胞分裂”“計算機病毒傳播”“復利計算”的問題是用函數的知識和方法解決問題的.生比較兩種方法，思考它們的異同.［教師精講］通過用不同的數學知識解決類似的數學問題，從中發(fā)現(xiàn)等比數列和指數函數可以聯(lián)系起來.(1)在同一平面直角坐標系中，畫出通項公式為an=2n-1的數列的圖象和函數y=2x-1的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？(2)在同一平面直角坐標系中，畫出通項公式為的數列的圖象和函數y=()x-1的圖象，你又發(fā)現(xiàn)了什么？生借助信息技術或用描點作圖畫出上述兩組圖象，然后交流、討論、歸納出二者之間的關系.師出示多媒體課件四：借助信息技術作出的上述兩組圖象.觀察它們之間的關系，得出結論：等比數列是特殊的指數函數，等比數列的圖象是一些孤立的點.師請同學們從定義、通項公式、與函數的聯(lián)系3個角度類比等差數列與等比數列，并填充下列表格：等差數列等比數列定義從第二項起，每一項與它前一項的差都是同一個常數從第二項起，每一項與它前一項的比都是同一個常數首項、公差(公比)取值有無限制沒有任何限制首項、公比都不能為0通項公式an=a1+(n-1)dan=a1qn-1相應圖象的特點直線y=a1+(x-1)d上孤立的點函數y=a1qx-1圖象上孤立的點［例題剖析］【例1】某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年，剩留的這種物質是原來的84％，這種物質的半衰期為多長(精確到1年)？師從中能抽象出一個數列的模型，并且該數列具有等比關系.【例2】根據右圖中的框圖，寫出所打印數列的前5項，并建立數列的遞推公式，這個數列是等比數列嗎？師將打印出來的數依次記為a1(即A)，a2，a3，….可知a1=1;a2=a1×;a3=a2×.于是，可得遞推公式.由于，因此，這個數列是等比數列.生算出這個數列的各項，求出這個數列的通項公式.（三）、練習：1.一個等比數列的第3項和第4項分別是12和18，求它的第1項和第2項.師啟發(fā)、引導學生列方程求未知量.生探究、交流、列式、求解.2.課本練習1第1、2題。（四）、課堂小結：本節(jié)學習了如下內容：1.等比數列的定義；2.等比數列的通項公式；3.等比數列與指數函數的聯(lián)系。（五）、布置作業(yè)：課本習題1-3A組第1、2、3、4五、教學反思：第九課時§1.3.2一、教學目標：1、知識與技能：⑴了解等比數列更多的性質；⑵能將學過的知識和思想方法運用于對等比數列性質的進一步思考和有關等比數列的實際問題的解決中；⑶能在生活實際的問題情境中，抽象出等比數列關系，并能用有關的知識解決相應的實際問題。2、過程與方法：⑴繼續(xù)采用觀察、思考、類比、歸納、探究、得出結論的方法進行教學；⑵對生活實際中的問題采用合作交流的方法，發(fā)揮學生的主體作用，引導學生探究問題的解決方法，經歷解決問題的全過程；⑶當好學生學習的合作者的角色。3、情感態(tài)度與價值觀：⑴通過對等比數列更多性質的探究，培養(yǎng)學生的良好的思維品質和思維習慣，激發(fā)學生對知識的探究精神和嚴肅認真的科學態(tài)度，培養(yǎng)學生的類比、歸納的能力；⑵通過生活實際中有關問題的分析和解決，培養(yǎng)學生認識社會、了解社會的意識，更多地知道數學的社會價值和應用價值。二、教學重點1.探究等比數列更多的性質；2.解決生活實際中的等比數列的問題。教學難點滲透重要的數學思想。三、教學方法：探究歸納，講練結合四、教學過程（一）、導入新課師教材中練習第3題、第4題，請學生課外進行活動探究，現(xiàn)在請同學們把你們的探究結果展示一下.生由學習小組匯報探究結果.師對各組的匯報給予評價.師出示多媒體幻燈片一：第3題、第4題詳細解答：第3題解答：(1)將數列{an}的前k項去掉，剩余的數列為ak+1，ak+2,….令bi=ak+i,i=1,2,…,則數列ak+1,ak+2,…,可視為b1,b2，….因為(i≥1),所以，{bn}是等比數列，即ak+1，ak+2,…是等比數列.(2){an}中每隔10項取出一項組成的數列是a1,a11,a21，…,則(k≥1).所以數列a1,a11,a21,…是以a1為首項，q10為公比的等比數列.猜想：在數列{an}中每隔m(m是一個正整數)取出一項，組成一個新數列，這個數列是以a1為首項、qm為公比的等比數列.

本題可以讓學生認識到，等比數列中下標為等差數列的子數列也構成等比數列，可以讓學生再探究幾種由原等比數列構成的新等比數列的方法.第4題解答：(1)設{an}的公比是q，則a52=(a1q4)2=a12q8,而a3·a7=a1q2·a1q6=a12q8,所以a52=a3·a7.同理,a52=a1·a9.(2)用上面的方法不難證明an2=an-1·an+1(n＞1).由此得出，an是an-1和an+1的等比中項，同理可證an2=an-k·an+k(n＞k＞0).an是an-k和an+k的等比中項(n＞k＞0).師和等差數列一樣，等比數列中蘊涵著許多的性質，如果我們想知道的更多，就要對它作進一步的探究.（二）、推進新課［合作探究］師出示投影膠片1例題1(教材B組第3題)就任一等差數列{an}，計算a7+a10，a8+a9和a10+a40，a20+a30，你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律，能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用一般化的推廣嗎？從等差數列和函數之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題.在等比數列中會有怎樣的類似結論？師注意題目中“就任一等差數列{an}”，你打算用一個什么樣的等差數列來計算？生用等差數列1，2，3，…師很好，這個數列最便于計算，那么發(fā)現(xiàn)了什么樣的一般規(guī)律呢？生在等差數列{an}中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N*)，則ak+as=ap+aq.師題目要我們“從等差數列與函數之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題”，如何做？生思考、討論、交流.師出示多媒體課件一：等差數列與函數之間的聯(lián)系.［教師精講］師從等差數列與函數之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題：由等差數列{an}的圖