河北省保定市易縣中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)模擬試題理含解析

PAGE21-河北省保定市易縣中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)模擬試題理（含解析）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】【分析】先解分式不等式得或，再依據(jù)集合運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)榛?，，所以或．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的解法以及集合運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則正整數(shù)的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意可知只能為偶數(shù)，分別計(jì)算比較即可.【詳解】因?yàn)?，，所以正整?shù)的最小值為4．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.3.已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則該雙曲線(xiàn)的焦距為（）A.4 B.5 C.8 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)雙曲線(xiàn)的方程和雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程得，再依據(jù)計(jì)算即可解決.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的半焦距為，由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，可得，所以，．所以雙曲線(xiàn)的焦距為10．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的方程及性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.4.下圖是某市2024年到2024年貧困戶(hù)的戶(hù)數(shù)（單位：萬(wàn)戶(hù)）與時(shí)間的條形圖（時(shí)間的取值1，2，…，7依次對(duì)應(yīng)2024年至2024年）.若關(guān)于的線(xiàn)性回來(lái)方程為，則（）A.2.2 B.4.2 C.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)條形圖，可求出，由回來(lái)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，可求出.【詳解】本題考查線(xiàn)性回來(lái)方程.依題意，得，，所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查回來(lái)直線(xiàn)，留意回來(lái)直線(xiàn)肯定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，屬于基礎(chǔ)題.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列出每一次循環(huán)，直到計(jì)數(shù)變量滿(mǎn)意退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán)：；其次次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，退出循環(huán)，輸出的為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果，要留意在哪一步退出循環(huán)，是一道簡(jiǎn)潔題.6.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由可解除選項(xiàng)C、D；再由可解除選項(xiàng)A.【詳解】因?yàn)?，故為奇函?shù)，解除C、D；又，解除A.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)函數(shù)解析式選出函數(shù)圖象的問(wèn)題，在做這類(lèi)題時(shí)，一般要利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、特別點(diǎn)的函數(shù)值等，是一道基礎(chǔ)題.7.若，滿(mǎn)意約束條件，則的最大值為（）A.21 B.16 C.13 D.11【答案】B【解析】【分析】首先畫(huà)出可行域，確定最優(yōu)點(diǎn)，并求最大值.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，聯(lián)立解得．視察可知，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有最大值16．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型.8.《九章算術(shù)》中有一道“良馬、駑馬行程問(wèn)題”.若齊國(guó)與長(zhǎng)安相距3000里，良馬從長(zhǎng)安動(dòng)身往齊國(guó)去，駑馬從齊國(guó)動(dòng)身往長(zhǎng)安去，同一天相向而行.良馬第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，駑馬第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，則良馬和駑馬第幾日相遇（）A.第10日 B.第11日 C.第12日 D.第60日【答案】A【解析】【分析】先求出良馬和駑馬日行程的通項(xiàng)公式，列出式子，即可求解.【詳解】依題意，可知良馬第日行程為，同理，可得駑馬第日行程為，令，整理可得，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及數(shù)學(xué)文化.，關(guān)鍵點(diǎn)是對(duì)題意的翻譯，屬于簡(jiǎn)潔題目.9.已知函數(shù)，則有關(guān)函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D.的最大值為【答案】B【解析】【分析】先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)得，再依據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】由題可知．令，可得．當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，也不關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故A，C錯(cuò)誤；函數(shù)的最小正周期，故B正確；函數(shù)的最大值為1，故D錯(cuò)誤；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題.10.已知內(nèi)接于半徑為3的圓，，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，求出，即得的取值范圍.詳解】以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)，則，所以，，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查坐標(biāo)法探討平面對(duì)量的問(wèn)題，考查平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.11.已知點(diǎn)為拋物線(xiàn)上異于原點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，為的焦點(diǎn).若，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，以、為基底表示向量即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入直線(xiàn)斜率公式求出直線(xiàn)OM的斜率表達(dá)式，再利用基本不等式即可求得范圍.【詳解】設(shè)，明顯，由題意，則，可得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題、向量的線(xiàn)性運(yùn)算及坐標(biāo)表示、基本不等式求和的最小值，屬于較難題.12.若函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】由題意可得，在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，也等價(jià)于直線(xiàn)與的圖像在內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以只需利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的極值、最值和單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)圖像可得結(jié)果.【詳解】解：由題意，令，可得.函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則需在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，也等價(jià)于直線(xiàn)與的圖像在內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn).令，則.令，可得在區(qū)間上為減函數(shù)，且.所以當(dāng)時(shí)，，故，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故，在上為減函數(shù)，所以.又，，所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)極值、單調(diào)性，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，考查了轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.二、填空題：13.若圓臺(tái)的母線(xiàn)與高的夾角為，且上、下底面半徑之差為2，則該圓臺(tái)的高為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】若設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，圓臺(tái)高為，則由題意可得，，從而可求出圓臺(tái)的高.【詳解】設(shè)上、下底面半徑分別為，，圓臺(tái)高為，依據(jù)軸截面可知，即，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓臺(tái)的幾何特征，圓臺(tái)中的上、下底面半徑與高的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.14.甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為，他們每次射擊是否擊中目標(biāo)互不影響，則甲恰好比乙多擊中目標(biāo)1次的概率為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】事務(wù)“甲恰好比乙多擊中目標(biāo)1次”可拆成三個(gè)互斥事務(wù)：甲擊中1次乙擊中0次，甲擊中2次乙擊中1次，甲擊中3次乙擊中2次，然后可計(jì)算概率．【詳解】甲恰好比乙多擊中目標(biāo)1次分為甲擊中1次乙擊中0次，甲擊中2次乙擊中1次，甲擊中3次乙擊中2次三種情形，其概率.故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查相互獨(dú)立事務(wù)的概率，考查互斥事務(wù)的概率公式，解題關(guān)鍵是把事務(wù)拆成三個(gè)互斥事務(wù)的和．這樣可通過(guò)概率公式計(jì)算概率．15.設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，則_________.【答案】4或0【解析】【分析】由，得，從而得，然后得或，進(jìn)而求出公比和通項(xiàng)，即可得結(jié)果.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，由，得，即，所以.若，則，此時(shí)；若，則，此時(shí).所以或.故答案為：4或0【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了分類(lèi)思想和計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.16.已知大、小兩個(gè)球外切，且兩球與一個(gè)正四面體的三條側(cè)棱都相切，記大球、小球的半徑分別為，，則的值為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為，大球球心、小球球心分別為，，取底面的中心為，連接，，先作，易知，再作，則，可得出，，又，進(jìn)而得出和的關(guān)系，最終求出的值即可.【詳解】如圖所示，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為，大球球心、小球球心分別為，，取底面的中心為，連接，，可知，都在正四面體的高上，因?yàn)榇笄蚺c三條側(cè)棱都相切，作，易知，又因?yàn)樾∏蚺c三條側(cè)棱相切，且與大球外切，作，則，因?yàn)?，，所以，所以，，又，所以，所?【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體與球的相切問(wèn)題，考查邏輯思維實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，考查空間想象實(shí)力，屬于?？碱}.三、解答題：17.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊角互化得，再結(jié)合內(nèi)角和定理與正弦的和角公式化簡(jiǎn)得，即可解決.（2）結(jié)合（1）與余弦定理得，再用面積公式求解即可.【詳解】（1）由，及正弦定理得.又，所以，即.因?yàn)?，所?所以.因?yàn)?，所?（2）由（1）知，.由余弦定理得.所以.所以.所以的面積.【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理解解三角形，考查運(yùn)算實(shí)力，是基礎(chǔ)題.18.如圖，四棱錐中，，，.（1）求證：平面；（2）若，且，平面平面，，求直線(xiàn)與平面所成的角.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）取線(xiàn)段的靠近的三等分點(diǎn)為，連接，，則，所以且，再結(jié)合已知可證得四邊形為平行四邊形，從而有，然后利用線(xiàn)面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）取中點(diǎn)為，連接，過(guò)作交于，可證得直線(xiàn)，，兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，分別以射線(xiàn)，，的方向?yàn)椋?，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求直線(xiàn)與平面所成的角.【詳解】（1）如圖，取線(xiàn)段的靠近的三等分點(diǎn)為，連接，.則，所以且.又且,所以四邊形為平行四邊形.所以.又平面，平面，所以平面.（2）如圖，取中點(diǎn)為，連接，過(guò)作交于.因?yàn)槠矫嫫矫妫?，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，平面.所以直線(xiàn)，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以射線(xiàn)，，的方向?yàn)?，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則取，得.所以，所以直線(xiàn)與平面所成的角為45°.【點(diǎn)睛】此題考查了線(xiàn)面平行的證明，求直線(xiàn)與平面所成的角，考查了空間想象實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.19.某精密儀器生產(chǎn)車(chē)間每天生產(chǎn)個(gè)零件，質(zhì)檢員小張每天都會(huì)隨機(jī)地從中抽取50個(gè)零件進(jìn)行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對(duì)其余全部零件進(jìn)行檢查．依據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和閱歷，這些零件的長(zhǎng)度聽(tīng)從正態(tài)分布（單位：微米），且相互獨(dú)立．若零件的長(zhǎng)度滿(mǎn)意，則認(rèn)為該零件是合格的，否則該零件不合格．（1）假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為，求及的數(shù)學(xué)期望；（2）小張某天恰好從50個(gè)零件中檢查出2個(gè)不合格的零件，若以此頻率作為當(dāng)天生產(chǎn)零件的不合格率．已知檢查一個(gè)零件的成本為10元，而每個(gè)不合格零件流入市場(chǎng)帶來(lái)的損失為260元．假設(shè)充分大，為了使損失盡量小，小張是否須要檢查其余全部零件，試說(shuō)明理由．附：若隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，則．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）須要，見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由零件的長(zhǎng)度聽(tīng)從正態(tài)分布且相互獨(dú)立,零件的長(zhǎng)度滿(mǎn)意即為合格,則每一個(gè)零件的長(zhǎng)度合格的概率為,滿(mǎn)意二項(xiàng)分布,利用補(bǔ)集的思想求得,再依據(jù)公式求得；（2）由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時(shí)損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可推斷.【詳解】（1）,由于滿(mǎn)意二項(xiàng)分布,故.（2）由題意可知不合格率為,若不檢查,損失的期望為；若檢查,成本為,由于,當(dāng)充分大時(shí),,所以為了使損失盡量小,小張須要檢查其余全部零件.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用,考查二項(xiàng)分布的期望,考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用,考查分析實(shí)力與數(shù)據(jù)處理實(shí)力.20.已知中心在原點(diǎn)的橢圓的左焦點(diǎn)為，與軸正半軸交點(diǎn)為，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為、的兩條直線(xiàn)分別交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)、.證明：當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】分析】（1）在中，計(jì)算出的值，可得出的值，進(jìn)而可得出的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線(xiàn)的方程為，將該直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，依據(jù)已知條件得出，利用韋達(dá)定理和斜率公式化簡(jiǎn)得出與所滿(mǎn)意的關(guān)系式，代入直線(xiàn)的方程，即可得出直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）在中，，，，，，，，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題不妨設(shè)，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立，消去化簡(jiǎn)得，且，，，，，∴代入，化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得，，，，直線(xiàn)，因此，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.21.已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，求的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）求解出導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理說(shuō)明在上存在唯一的零點(diǎn)即可；（2）依據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，推斷出的單調(diào)性，從而可確定，利用以及的單調(diào)性，可確定出之間的關(guān)系，從而的值可求.【詳解】（1）證明：∵，∴.∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，令，，則在上單調(diào)遞減，，故.令，則所以函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn).（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.函數(shù)在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.∴.由（*）式得.∴，明顯是方程的解.又∵是單調(diào)遞減函數(shù)，方程有且僅有唯一的解，把代入（*）式，得，∴，即所求實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到推斷函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及依據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)，難度較難.（1）推斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行推斷；（2）函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問(wèn)題，可通過(guò)“設(shè)而不求”的思想進(jìn)行分析.22.在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與交于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，的垂直平分線(xiàn)交于、.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.（1）求的直角坐標(biāo)方程與點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）