2025屆高考數(shù)學(xué)試卷專項(xiàng)練習(xí)07數(shù)列含解析

數(shù)列一、單選題1．（2024·聊城市·山東聊城一中高三一模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問(wèn)各得幾何？”其意思為：“已知甲?乙?丙?丁?戊五人分5錢，甲?乙兩人所得之和與丙?丁?戊三人所得之和相同，且甲?乙?丙?丁?戊所得依次為等差數(shù)列.問(wèn)五人各得多少錢？”(“錢”是古代一種重量單位).這個(gè)問(wèn)題中戊所得為（）A．錢 B．錢 C．錢 D．錢【答案】D【解析】由題意，設(shè)丙所得為錢，公差為，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，有求，進(jìn)而求戊所得.【詳解】由甲?乙?丙?丁?戊所得依次為等差數(shù)列，設(shè)丙所得為錢，公差為，則：甲?乙?丁?戊分別的，∴由題意，，得，∴戊所得為錢.故選：D.2．（2024·山東高三專題練習(xí)）隨著我國(guó)新冠疫情防控形勢(shì)的漸漸好轉(zhuǎn)，某企業(yè)起先復(fù)工復(fù)產(chǎn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，年月份到月份的月產(chǎn)量（單位：噸）逐月增加，且各月的產(chǎn)量成等差數(shù)列，其中月份的產(chǎn)量為噸，月份的產(chǎn)量為噸，則月到月這四個(gè)月的產(chǎn)量之和為（）A．噸 B．噸 C．噸 D．噸【答案】C【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)年的產(chǎn)量為，由題意可知，數(shù)列是等差數(shù)列，則，，則月到月這四個(gè)月的產(chǎn)量之和為噸.故選：C.3．（2024·遼寧高三一模（理））某口罩廠的三個(gè)車間在一個(gè)小時(shí)內(nèi)共生產(chǎn)個(gè)口罩，在出廠前要檢查這批口罩的質(zhì)量，確定采納分層抽樣的方法進(jìn)行抽取，若從一?二?三車間抽取的口罩?jǐn)?shù)分別為且構(gòu)成等差數(shù)列，則其次車間生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)為（）個(gè).A． B． C． D．【答案】C【解析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得的關(guān)系，結(jié)合分層抽樣的定義，建立比例關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，從一?二?三車間抽取的口罩?jǐn)?shù)分別為且構(gòu)成等差數(shù)列，可得，則其次車間生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)為個(gè).故選：C.4．（2024·湖南岳陽(yáng)市·高三一模）“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題．現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將1到2024這2024個(gè)數(shù)中，能被3除余2且被5整除余2的數(shù)按從小到大的依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列全部項(xiàng)中，中間項(xiàng)的值為（）A．992 B．1022 C．1007 D．1037【答案】C【解析】由題可得，可推斷共有135項(xiàng)，且中間項(xiàng)為第68項(xiàng)，即可求出.【詳解】解：由題意可知，既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，所以是15的倍數(shù)，即，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，數(shù)列共有135項(xiàng)，因此數(shù)列中間項(xiàng)為第68項(xiàng)，且．故中間項(xiàng)的值為1007．故選：C．5．（2024·山東青島市·高三一模）在拋物線第一象限內(nèi)一點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)記為，其中，已知，為的前項(xiàng)和，若恒成立，則的最小值為（）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】D【解析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，即可得到與的關(guān)系，從而推斷出是以為公比的等比數(shù)列，再依據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，得到的范圍,即可求出.【詳解】因?yàn)椋?，，所以切線：令，，∴，，則，有．∴是以為公比的等比數(shù)列,，而，．∴恒成立,即的最小值為128.故選：D．6．（2024·廣東深圳市·高三一模）在數(shù)列中，，，若，則（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【解析】令，由可得，可得是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】令，由可得，所以，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，所以，整理可得：，解得：或（舍）故選：B.7．（2024·山東菏澤市·高三一模）在等比數(shù)列中，若則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依據(jù)的取值分類探討，得出的范圍后推斷各選項(xiàng)．【詳解】當(dāng)時(shí)，，不滿意題意;當(dāng)時(shí)，等式左邊，所以，等式右邊，不滿意題意，所以，，則中奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)．故選B.8．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)（文））已知等差數(shù)列中，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，所以．故選：C．9．（2024·山東德州市·高三一模）英國(guó)聞名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿意，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．假如函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】得到，計(jì)算，然后計(jì)算，最終可得數(shù)列為等比數(shù)列，最終依據(jù)公式計(jì)算即可.【詳解】由題可知：，所以，則兩邊取對(duì)數(shù)可得，即所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，所以故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：依據(jù)計(jì)算得到是解決本題的關(guān)鍵.10．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)（理）（文））我國(guó)古代聞名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬和駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，九日后二馬相逢.問(wèn)：齊去長(zhǎng)安多少里？（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，良馬每日行的距離以及駑馬每日行的距離均為等差數(shù)列，確定這兩個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，良馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為，其中，公差.駑馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為，其中，公差.設(shè)長(zhǎng)安至齊為里，則，即，解得.故選：A.二、多選題11．（2024·湖南衡陽(yáng)市·高三一模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若為常數(shù)，則稱數(shù)列為“祥瑞數(shù)列”.則下列數(shù)列為“祥瑞數(shù)列”的有（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】依據(jù)求和方法對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一求和驗(yàn)證即可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，，，，所以不為常數(shù)，故A不正確；對(duì)于B，由并項(xiàng)求和法知：，，，故B正確；對(duì)于C，，，，所以，故C正確；對(duì)于D，，，，所以不為常數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：BC.12．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形態(tài)，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有個(gè)球，其次層有個(gè)球，第三層有個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】依據(jù)示意圖，結(jié)合題意找到各層球的數(shù)量與層數(shù)的關(guān)系，可得，即可推斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由題意知：，故，∴，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，，明顯，故D錯(cuò)誤；故選：BC13．（2024·山東濱州市·高三一模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．【答案】ABD【解析】依據(jù)已知遞推公式進(jìn)行變形求解推斷AB．求出數(shù)列前幾項(xiàng)，驗(yàn)證后推斷C，求出前20項(xiàng)和可推斷D，【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以是等比?shù)列，A正確；同理，而，所以是等比數(shù)列，B正確；若，則，但，C錯(cuò)；由A是等比數(shù)列，且公比為2，因此數(shù)列仍舊是等比數(shù)列，公比為4，所以，D正確．故選：ABD．14．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,則下列說(shuō)法正確的是（）A．若則是等差數(shù)列B．若則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，且則【答案】BC【解析】由求，依據(jù)通項(xiàng)公式可推斷AB是否正確，由等差數(shù)列的性質(zhì)可推斷C，取時(shí)，結(jié)合等比數(shù)列求和公式作差比較與大小即可推斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，當(dāng)時(shí)，，不滿意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，由于滿意，所以是等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若是等差數(shù)列，則，故C正確.對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)不等式不等式，故不成立，所以D錯(cuò)誤.故選：BC15．（2024·遼寧鐵嶺市·高三一模）設(shè)數(shù)列滿意，對(duì)恒成立，則下列說(shuō)法正確的是（）．A． B．是遞增數(shù)列C． D．【答案】ABD【解析】設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)，可得在上為單調(diào)遞增函數(shù)，得出，即，由此可依次推斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】由，，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，即，即，所以，即，則，故A正確；由在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，所以是遞增數(shù)列，故B正確；∵，所以，故C錯(cuò)誤；因此，，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性得出.16．（2024·廣東廣州市·高三一模）在數(shù)學(xué)課堂上，老師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列依據(jù)同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；…；第次得到數(shù)列1，，2；…記，數(shù)列的前項(xiàng)為，則（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】依據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，找尋規(guī)律，再進(jìn)行推理運(yùn)算即可.【詳解】由題意可知，第1次得到數(shù)列1,3,2，此時(shí)第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2，此時(shí)第3次得到數(shù)列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此時(shí)第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此時(shí)第次得到數(shù)列1，，2此時(shí)所以，故A項(xiàng)正確；結(jié)合A項(xiàng)中列出的數(shù)列可得：用等比數(shù)列求和可得則又所以，故B項(xiàng)正確；由B項(xiàng)分析可知即，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題須要依據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，找尋規(guī)律，對(duì)于困難問(wèn)題，聞名數(shù)學(xué)家華羅庚指出:擅長(zhǎng)“退”，足夠的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.所以對(duì)于困難問(wèn)題我們應(yīng)當(dāng)先足夠的退到我們最簡(jiǎn)單看清晰的地方,認(rèn)透了,鉆深了,然后再上去，這就是以退為進(jìn)的思想.三、填空題17．（2024·遼寧沈陽(yáng)市·高三一模）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則______．【答案】10【解析】利用等比數(shù)列性質(zhì)，將，轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以，故答案為：.18．（2024·河北張家口市·高三一模）寫出一個(gè)公差為2且“前3項(xiàng)之和小于第3項(xiàng)”的等差數(shù)列__________．【答案】（答案不唯一）【解析】先依據(jù)前3項(xiàng)之和小于第3項(xiàng)確定一組，進(jìn)而可得.【詳解】要滿意“前3項(xiàng)之和小于第3項(xiàng)”，則，即則不妨設(shè)，則．故答案為：.19．（2024·河北唐山市·高三二模）設(shè)是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和．若，則__________．【答案】【解析】依據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，再依據(jù)等比數(shù)列的求和公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，將代入得，得，所以.故答案為：20．（2024·山東臨沂市·高三其他模擬）已知數(shù)列的首項(xiàng)，則_________．【答案】【解析】依據(jù)題意，分別求得，得出數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，結(jié)合周期性，即可求解.【詳解】由，則，以此類推可知，對(duì)隨意的，都有，即數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，因?yàn)椋?故答案為：.21．（2024·遼寧鐵嶺市·高三一模）趙先生打算通過(guò)某銀行貸款5000元，然后通過(guò)分期付款的方式還款．銀行與趙先生約定：每個(gè)月還款一次，分12次還清全部欠款，且每個(gè)月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為，則趙先生每個(gè)月所要還款的錢數(shù)為______元．（精確到元，參考數(shù)據(jù)）【答案】【解析】本題首先可設(shè)每一期所還款數(shù)為元，然后結(jié)合題意列出每期所還款本金，并依據(jù)貸款5000元列出方程，最終借助等比數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)每一期所還款數(shù)為元，因?yàn)橘J款的月利率為，所以每期所還款本金依次為、、、、，則，即，，，，小明每個(gè)月所要還款約元，故答案為：.22．（2024·廣東肇慶市·高三二模）斐波那契數(shù)列因意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在實(shí)際生活中，許多花朵（如梅花、飛燕草、萬(wàn)壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列滿意：，，則是斐波那契數(shù)列中的第___________項(xiàng).【答案】2024【解析】把1改為，然后依據(jù)遞推關(guān)系變形求解．【詳解】依題意，得，故答案為：202423．（2024·山東淄博市·高三一模）已知等比數(shù)列中，首項(xiàng)，公比是，，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則數(shù)列的