四川省眉山市仁壽第二中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次診斷試題文

PAGEPAGE1四川省眉山市仁壽其次中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次診斷試題文一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。1．已知集合，集合，則(CRA)∩B=A． B． C． D．2.若，則（）A． B．0 C．1 D．23．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（）A．15 B．16 C．19 D．204．己知?jiǎng)ta，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．已知非零向量滿(mǎn)意，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．6．已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成圖形的面積等于（）A． B． C． D．7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)直角邊為2的等腰直角三角形，側(cè)視圖是兩直角邊分別為2和1的直角三角形，俯視圖為一矩形，則該多面體的外接球的表面積為（）A.7πB.8πC.9π D.10π8．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬．如圖，若四棱錐P﹣ABCD為陽(yáng)馬，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E為棱PA的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AB與CE所成角的正弦值為（）A．B．C．D．9．已知函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線(xiàn)上，其中，則的最小值為（）A． B． C．2 D．410.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且，則為坐標(biāo)原點(diǎn)的面積等于（）A． B． C． D．11.已知函數(shù)，其中，其圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)滿(mǎn)意的，有，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．（k∈Z） B．（k∈Z） C．（k∈Z） D．（k∈Z）12.函數(shù)對(duì)隨意的，都有成立，則不等式的解集為（）A． B． C． D．二、填空題（每小題5分，共4小題，共20分）13.將一顆勻稱(chēng)的正方體骰子先后拋擲2次，視察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是_____.14.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)意約束條件，則的最小值是___.15.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為．16.已知點(diǎn)A，B，C，D在球O的表面上，且AB＝AC＝2，BC＝，若三棱錐A﹣BCD的體積為，球心O恰好在棱AD上，則這個(gè)球的表面積為．三、解答題（本大題共6個(gè)題，共70分）17.（本小題滿(mǎn)分12分）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）在銳角△ABC中角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，求△ABC面積的最大值．19.如圖所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面邊長(zhǎng)為，E是PC的中點(diǎn)（1）求證：PA∥平面BDE；平面PAC⊥平面BDE；（2）若∠COE＝30°，求四棱錐PABCD的體積．20.基于移動(dòng)互聯(lián)技術(shù)的共享單車(chē)被稱(chēng)為“新四大獨(dú)創(chuàng)”之一，短時(shí)間內(nèi)就風(fēng)靡全國(guó)，帶給人們新的出行體驗(yàn)，某共享單車(chē)運(yùn)營(yíng)公司的市場(chǎng)探討人員為了解公司的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)該公司最近六個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，設(shè)月份代碼為x，市場(chǎng)占有率為y（%），得結(jié)果如表年月2024.102024.112024.122024.12024.22024.3x123456y111316152021（1）視察數(shù)據(jù)看出，可用線(xiàn)性回來(lái)模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明（精確到0.001）：（2）求y關(guān)于x的線(xiàn)性回來(lái)方程，并預(yù)料該公司2024年4月份的市場(chǎng)占有率；（3）依據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)，公司確定再選購(gòu) 一批單車(chē)擴(kuò)大市場(chǎng)，現(xiàn)有選購(gòu) 成本分別為1000元/輛和800元/輛的甲，乙兩款車(chē)型報(bào)年限各不相同．考慮到公司的經(jīng)濟(jì)效益，該公司確定先對(duì)兩款單車(chē)各100輛行科學(xué)模擬測(cè)試，得到兩款單車(chē)運(yùn)用壽命表如下車(chē)型報(bào)廢年限1年2年3年4年總計(jì)甲款10304020100乙測(cè)算，平均每輛單車(chē)每年可以為公司帶來(lái)收入500元，不考慮除選購(gòu) 成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車(chē)的運(yùn)用壽命都是整數(shù)年，且用頻率估計(jì)每單車(chē)運(yùn)用壽命的概率，以每輛單車(chē)產(chǎn)生利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)．假如你是該公司的負(fù)責(zé)人，你會(huì)選擇選購(gòu) 哪款車(chē)型？參考數(shù)據(jù)： 參考公式：相關(guān)系數(shù),回來(lái)方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為,.21.（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）對(duì)隨意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，假如多做則按所做的第一題計(jì)分．22．【選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（本小題滿(mǎn)分10分）

在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．

（1）為曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且滿(mǎn)意，求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（2）曲線(xiàn)上兩點(diǎn)與點(diǎn)，求面積的最大值．23．【選修4-5不等式選講】（本小題滿(mǎn)分10分）

已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最大值為，且，求的最小值．

文科數(shù)學(xué)(參考答案)1.A解：A＝{x|﹣2＜x＜3}，?RA＝{x|x≤﹣2或x≥3}，（?RA）∩B＝{x|x≥3}＝[3，+∞）．2.D解：因?yàn)?，所以，所以，所?.B設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝5，a6＝10，可得：5a1＋eq\f(5×4,2)d＝5，a1+5d＝10，解出即可得出。設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S5＝5，a6＝10，∴5a1＋eq\f(5×4,2)d＝5，a1+5d＝10，解得：a1＝－5，d＝3，則a8＝－5+7×3＝16．４.A解：∵，∴1＜b＜a，又，∴c＜b＜a．故選：A．５..B解：因?yàn)?，所?0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．６.C解：f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝lnx﹣3x，當(dāng)x＜0時(shí)，可得f（x）＝f（﹣x）＝ln（﹣x）+3x，即有x＜0時(shí)，f′（x）＝+3，則曲線(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)（﹣1．﹣3）處的切線(xiàn)斜率為3﹣1＝2，得切線(xiàn)方程為y+3＝2（x+1），令x＝0，可得y＝﹣1；令y＝0，x＝．則切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成圖形的面積為×1×＝．故選：C．７.C由三視圖可得，該幾何體為一個(gè)三棱錐，如圖三棱錐P－ABC，放在長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，2的長(zhǎng)方體中，易知外接球的直徑2R＝eq\r(22＋12＋22)＝3，故S球＝4πR2＝9π.８.Ｂ解：因?yàn)锳B∥CD，即∠ECD為所求，連接ED，則三角形CDE為直角三角形，不妨設(shè)AB＝2a，則DE＝a，EC＝3a，則sin∠ECD＝＝，故選：B．９.C解：令，，，∴，點(diǎn)在直線(xiàn)上，則，即，∵，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故選：C．１０.D解：設(shè)，，直線(xiàn)的方程為，將代入，消去可得，所以，．因?yàn)椋?，所以，則，，所以，所以，又，所以的面積．故選：D．１１.A解：已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），其圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝對(duì)稱(chēng)，對(duì)滿(mǎn)意|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝＝?，∴ω＝2．再依據(jù)其圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝對(duì)稱(chēng)，可得2×+φ＝kπ+，k∈Z．∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g（x）＝sin（2x++）＝cos2x的圖象．令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，則函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ，kπ+]，k∈Z，故選：A．12.D解：設(shè)h（x）＝f（x）﹣x3，則h'（x）＝f'（x）﹣3x2＞0，∴h（x）在R上為增函數(shù)，h（1）＝f（1）﹣13＝2024，而f（x）＜x3+2024?f（x）﹣x3＜h（1），即h（x）＜h（1），∴x＜1．故選：D．二．填空題13.依據(jù)題意可得基本領(lǐng)件數(shù)總為個(gè).點(diǎn)數(shù)和為5的基本領(lǐng)件有，，，共4個(gè).∴出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)和為5的概率為.14.解:由實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)意約束條件作出可行域如圖所示，聯(lián)立，解得B（3,1），由目標(biāo)函數(shù)z＝lny﹣lnx＝ln，而的最小值為＝，∴z的最小值是．故答案為．15.解：取橢圓的右焦點(diǎn)F'，連接QF'，PF'，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，可得四邊形PFQF'為平行四邊形，則|PF'|＝|QF|，∠FPF'＝π﹣∠PFQ＝180°﹣90°＝90°，|PF|＝3|QF|，而|PF|+|PF'|＝2a，所以|PF'|＝，所以|PF|＝，在RT△PFF'中，，解得：e＝，故答案為：．16.解：如圖，由題意可知球心O為AD的中點(diǎn)，由AB＝AC＝2，BC＝可得△CAB為直角三角形，BC的中點(diǎn)M即為其外接圓圓心，∴OM⊥平面CAB，且D到平面CAB的距離為2OM，∴VA﹣BCD＝＝，∴OM＝，在直角三角形OMB中，r＝OB＝OM＝2，∴＝16π，故答案為16π．三、解答題（本大題共6個(gè)題，共70分）17．解：（1）因?yàn)?，所?相減得，2分所以，所以.又，解得，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即的通項(xiàng)公式為.6分（2）由（1）可得.8分所以.12分18.解：（1）f（x）＝cos2x﹣2cos2（x+）+1＝cos2x﹣cos2（x+）＝cos2x﹣cos（2x+）＝cos2x﹣cos2x+sin2x＝cos2x+sin2x＝sin（2x+）， 3分 3分則由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z． 3分 6分（2）若f（）＝1，則sin（2×+）＝sin（A+）＝1，∵A是銳角，∴A+＝，得A＝． 2分 8分∵a＝1，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即1＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，∴bc≤1，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等號(hào)， 2分 10分則三角形的面積S＝bcsinA≤＝，即三角形面積的最大值為． 2分 12分19.【詳解】解：（1）證明：連接OE，如圖所示．∵O、E分別為AC、PC的中點(diǎn)，∴OE∥PA．∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE； 3分 3分∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC．又BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE； 3分 6分（2）若∠COE＝30°，取OC中點(diǎn)F，連接EF．由上可得OF＝OC＝AC＝a，∴EF＝OF?tan30°＝a，∴OP＝2EF＝a．∴VP﹣ABCD＝×a2×a＝a3． 6分 12分20.解：（1）由參考數(shù)據(jù)可得，接近1，∴y與x之間具有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，可用線(xiàn)性回來(lái)模型進(jìn)行擬合； 4分 4分（2）∵，，．，∴y關(guān)于x的線(xiàn)性回來(lái)方程為．2024年4月份代碼x＝7，代入線(xiàn)性回來(lái)方程得，于是2024年4月份的市場(chǎng)占有率預(yù)報(bào)值為23%； 4分 8分（3）用頻率估計(jì)概率，甲款單車(chē)的利潤(rùn)X的分布列為X﹣50005001000P0.10.30.40.2E（X）＝﹣500×0.1+0×0.3+500×0.4+1000×0.2＝350（元）．乙款單車(chē)的利潤(rùn)Y的分布列為Y﹣3002007001200P0.150.40.350.1E（Y）＝﹣300×0.15+200×0.4+700×0.35+1200×0.1＝400（元）．以每輛單車(chē)產(chǎn)生利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，故應(yīng)選擇乙款車(chē)型． 4分 12分21.解：（Ⅰ）x＞0f（x）＝﹣x+lnx+1，∴ 2分 2分令f'（x）＞0，得0＜x＜1；令f'（x）＜0，得x＞1；∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）， 2分 4分（Ⅱ）不等式ax+lnx+1≤ex恒成立，等價(jià)于在（0，+∞）恒成立，令，， 2分 6分令h（x）＝（x﹣1）ex+lnx，x＞0，， 2分 8分所以h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，而h（1）＝0，所以x∈（0，1）時(shí)，h（x）＜0，即g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＞0，即g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；所以在x＝1處g（x）取得最小值g（1）＝e﹣1所以a≤e﹣1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤e﹣1}． 4分 12分（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，假如多做則按所做的第一題計(jì)分．22．【選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（本小題滿(mǎn)分10分）

解：（1）設(shè)的極坐標(biāo)為（），的極坐標(biāo)為（）．…1分

由題設(shè)知，．

由， ……3分

得，

所以的極