2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章函數(shù)應(yīng)用5.2實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)模型5.2.2用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題一課一練含解析北師大版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE1第五章函數(shù)應(yīng)用§2實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)模型2.2用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題學(xué)問(wèn)點(diǎn)1實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)建模1.☉%17￥2***6%☉(2024·臨川一中月考)某水果批發(fā)市場(chǎng)規(guī)定,批發(fā)蘋(píng)果不少于100kg時(shí),批發(fā)價(jià)為每千克2.5元,小王攜帶現(xiàn)金3000元到市場(chǎng)選購(gòu) 蘋(píng)果,并以每千克2.5元買進(jìn),假如購(gòu)買的蘋(píng)果為xkg,小王付款后的剩余現(xiàn)金為y元,則y與x之間的函數(shù)解析式為()。A.y=3000-2.5x(100≤x≤1200)B.y=3000-2.5x(100<x<1200)C.y=3000-2.5x(0<x<1200)D.y=3000-2.5x(0≤x≤1200)答案：A解析：本題為一次函數(shù)模型,留意定義域。因?yàn)?000÷2.5=1200,所以100≤x≤1200,故選A。2.☉%90￥@￥8#2%☉(2024·信陽(yáng)聯(lián)考)細(xì)菌繁殖時(shí),細(xì)菌數(shù)隨時(shí)間成倍增長(zhǎng)。若試驗(yàn)起先時(shí)有300個(gè)細(xì)菌,以后的細(xì)菌數(shù)如下表所示:x/h0123細(xì)菌數(shù)30060012002400據(jù)此表可推想試驗(yàn)起先前2h的細(xì)菌數(shù)為()。A.75 B.100 C.150 D.200答案：A解析：由表中數(shù)據(jù)視察可得細(xì)菌數(shù)y與時(shí)間x的關(guān)系式為y=300×2x(x∈Z)。當(dāng)x=-2時(shí),y=300×2-2=75。故選A。3.☉%#45@52*@%☉(2024·濟(jì)南一中期中月考)甲用1000元人民幣購(gòu)買了一手股票,隨即他將這手股票賣給乙,獲利10%,而后乙又將這手股票返賣給甲,但乙損失了10%,最終甲按乙賣給甲的價(jià)格九折將這手股票賣給了乙,在上述股票交易中()。A.甲剛好盈虧平衡 B.甲盈利1元C.甲盈利9元 D.甲虧本1.1元答案：B解析：因?yàn)榧椎谝淮钨u給乙時(shí)獲利10%,所以此時(shí)價(jià)格為1100元,甲獲利1100-1000=100(元)。因?yàn)橐曳蒂u給甲時(shí)損失10%,所以此時(shí)價(jià)格為1100×0.9=990(元)。甲再賣給乙時(shí)九折,所以此時(shí)價(jià)格為990×0.9=891(元),甲損失990-891=99(元)。所以甲共計(jì)獲利100-99=1(元)。故選B。4.☉%￥0#7#64#%☉把物體放在冷空氣中冷卻,假如物體原來(lái)的溫度是T1(℃),空氣的溫度是T0(℃),經(jīng)過(guò)t分鐘后物體的溫度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)·e-0.25t求得。把溫度是90℃的物體,放在10℃的空氣中冷卻t分鐘后,物體的溫度是50℃,那么t的值約等于(參考數(shù)據(jù):ln3≈1.099,ln2≈0.693)()。A.1.78 B.2.77 C.2.89 D.4.40答案：B解析：由題意可知50=10+(90-10)e-0.25t,整理得e-0.25t=12,即-0.25t=ln12=-ln2≈-0.693,解得t≈2.77。故選5.☉%9￥@4*34#%☉(北京高考)依據(jù)統(tǒng)計(jì),一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位:分鐘)為f(x)=cx(x<A),cA(x≥A)(A,c為常數(shù))。已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘,組裝第AA.75,25 B.75,16C.60,25 D.60,16答案：D解析：由條件可知,x≥A時(shí)所用的時(shí)間為常數(shù),所以組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)必定滿意第一個(gè)分段函數(shù),即f(4)=c4=30?c=60,f(A)=60A=15,所以A=16。故選6.☉%@8##562￥%☉(2024·深圳中學(xué)期中)麋鹿是國(guó)家一級(jí)愛(ài)護(hù)動(dòng)物,位于江蘇省中部黃海之濱的江蘇大豐麋鹿國(guó)家級(jí)自然愛(ài)護(hù)區(qū)成立于1986年,第一年(即1986年)只有麋鹿100頭,由于科學(xué)的人工培育,這種當(dāng)時(shí)面臨滅亡的動(dòng)物的數(shù)量y(頭)與時(shí)間x(年)的關(guān)系可以近似地由關(guān)系式y(tǒng)=alog2(x+1)表示,則2024年它們的數(shù)量會(huì)發(fā)展到()。A.400 B.500 C.600 D.800答案：B解析：將x=1,y=100代入y=alog2(x+1),得100=alog2(1+1),解得a=100。所以y=100log2(x+1),所以2024年的數(shù)量約為y=100log2(31+1)=100log232=500。故選B。學(xué)問(wèn)點(diǎn)2利用函數(shù)決策實(shí)際問(wèn)題7.☉%￥6￥03￥#3%☉(2024·大慶一中高一月考)目前全國(guó)新冠肺炎疫情形勢(shì)日趨好轉(zhuǎn),為在復(fù)學(xué)之前有序做好學(xué)校新冠肺炎疫情防控工作,確保廣闊師生的身體健康和生命平安,某學(xué)校對(duì)教室采納藥熏消毒法進(jìn)行消毒。已知藥物釋放過(guò)程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時(shí)間t(h)成正比;藥物釋放完畢后,y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=116t-a(a為常數(shù)),如圖5-2-2-1,依據(jù)圖中圖5-2-2-1(1)從藥物釋放起先,每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式為;

答案：y=10解析：藥物釋放過(guò)程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時(shí)間t(h)成正比,則設(shè)函數(shù)為y=kx(k≠0),將點(diǎn)(0.1,1)代入可得k=10,則y=10t;將點(diǎn)(0.1,1)代入y=116t-a,得a=1(2)據(jù)測(cè)定,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25mg以下時(shí),學(xué)生方可進(jìn)教室,那么從藥物釋放起先,至少須要經(jīng)過(guò)h后,學(xué)生才能回到教室。

答案：0.6解析：令116t-110<0.25=11612,8.☉%@@￥#6308%☉(2024·荊州中學(xué)期中)某工程由A,B,C,D四道工序組成,完成它們需用時(shí)間依次為2,5,x,4天。四道工序的先后依次及相互關(guān)系是:A,B可以同時(shí)開(kāi)工;A完成后,C可以開(kāi)工;B,C完成后,D可以開(kāi)工。若該工程總時(shí)數(shù)為9天,則完成工序C須要的天數(shù)x最大是。

答案：3解析：因?yàn)锳,B,C,D都完成總用時(shí)為9天,而D須要單獨(dú)工作4天,所以A,B,C都完成總用時(shí)為5天,而B(niǎo)用時(shí)為5天,所以A,B應(yīng)在5天內(nèi)完成,而A完成后C才可開(kāi)工,所以x+2≤5,即x≤3。9.☉%*88*8#0*%☉(2024·福建福州高一檢測(cè))某學(xué)校開(kāi)展探討性學(xué)習(xí)活動(dòng),一組同學(xué)獲得了下面的一組試驗(yàn)數(shù)據(jù):x1.99345.18y0.991.582.012.353.00現(xiàn)有如下5個(gè)模擬函數(shù):①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=log2x;⑤y=12x+1.請(qǐng)從中選擇一個(gè)模擬函數(shù),使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,應(yīng)選。答案：④解析：畫(huà)出散點(diǎn)圖如圖。由圖可知上述點(diǎn)大體在函數(shù)y=log2x上,故選擇y=log2x可以近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律。題型利用數(shù)學(xué)建模思想解決實(shí)際問(wèn)題10.☉%02@@#31#%☉(2024·武漢二中模擬)有時(shí)可用函數(shù)f(x)=0.1+15lnaa-x(x≤6),x-4.4x-4(x>6)來(lái)描述學(xué)習(xí)某學(xué)科學(xué)問(wèn)的駕馭程度,其中x(1)證明:當(dāng)x≥7時(shí),駕馭程度的增長(zhǎng)量f(x+1)-f(x)總是下降;答案：證明:當(dāng)x≥7時(shí),f(x+1)-f(x)=0.4(x-3)(x-4),而當(dāng)x≥7時(shí),函數(shù)y=(x-3)(x-4)單調(diào)遞增,且(x-3)(x-4)>0,所以當(dāng)x≥7時(shí),駕馭程度的增長(zhǎng)量f(x+1)-f(x)總是下降。(2)依據(jù)閱歷,學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115,121],(121,127],(127,133]。當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科學(xué)問(wèn)6次時(shí),駕馭程度是85%,請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科。答案：解:由題意可知0.1+15lnaa-6整理得aa-6=e0.05,解得a=e0.05e0而123∈(121,127],由此可知,該學(xué)科是乙學(xué)科。11.☉%￥5￥8@0@1%☉(2024·上海浦東新區(qū)一模)某蔬菜基地種黃瓜,從歷年市場(chǎng)行情可知,從二月一日起的300天內(nèi),黃瓜市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用如圖5-2-2-2①所示的一條折線表示,黃瓜的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用如圖5-2-2-2②所示的拋物線表示。圖5-2-2-2(1)寫(xiě)出圖5-2-2-2①中表示的市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式P=f(t),寫(xiě)出圖5-2-2-2②中表示的種植成本與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q=g(t);答案：解:由圖可得市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為P=f(t)=300由圖可得種植成本與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為Q=g(t)=1200(t-150)2+100,0≤t≤300(2)若認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益,則何時(shí)上市黃瓜純收益最大?(注:市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位:元/千克,時(shí)間單位:天)答案：設(shè)從二月一日起的第t天的純收益為h(t),則由題意,得h(t)=f(t)-g(t),即h