2024-2025學(xué)年山東省德州市武城二中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年山東省德州市武城二中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z=1+i?2i3，則|z|=(

)A.5 B.6 C.102.設(shè)x∈R，向量a=(x,1),b=(2,?4)，且a⊥bA.3 B.5 C.9 D.253.某校在五四青年節(jié)舉行了班班有歌聲比賽.現(xiàn)從該校隨機抽取20個班級的比賽成績，得到以下數(shù)據(jù)，由此可得這20個比賽成績的第80百分位數(shù)是(

)比賽成績678910班級數(shù)35444A.8.5 B.9 C.9.5 D.104.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是(

)A.若α⊥β，m/?/α，則m⊥β B.若m/?/α，n⊥α，則m⊥n

C.若m⊥n，n⊥α，則m/?/α D.若α/?/β，m?α，m/?/n，則n/?/β5.已知一個圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為4，高為4，則該圓臺的體積為(

)A.9π B.24π C.28π D.84π6.一個不透明的盒子中裝有大小、材質(zhì)均相同的四個球，其中有兩個紅球和兩個黃球，現(xiàn)從盒子中一次性隨機摸取兩個球，則這兩球不同色的概率為(

)A.16 B.13 C.127.在平行四邊形ABCD中，BE=2ED，AF=AC+2AB，若A.1 B.2 C.4 D.88.在三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c+ccosA=3asinC，a=3，b+c=32，則A.324 B.334二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知z=?12+A.|z|=1 B.z?在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第二象限

C.z2+z+1=010.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若acosB+bsinA=c，a=210,aA.tanC=2 B.A=π3

C.b=62 11.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，已知點G，H分別在A1B1，A1C1上，且GH經(jīng)過△A1B1C1的重心，點E，A.EF//GH

B.GH//平面A1EF

C.GHEF=43三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.8，P(B?)=0.6，則P(A)=13.已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A=60°，b=3c，a=27，則△ABC的面積為______．14.在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，BM=λBC，N為AC中點，若AM?BN=?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

已知X，Y兩組各有5位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時間(單位：天)記錄如下：

X組：10，11，12，13，14，Y組：12，13，15，14，a

假設(shè)所有病人的康復(fù)時間相互獨立，從X，Y兩組隨機各選1人，X組選出的人記為甲，Y組選出的人記為乙．

(1)如果a=8，求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率；

(2)如果a=16，事件M：“甲康復(fù)時間為11天”，事件N：“甲乙康復(fù)時間之和為25天”，事件M，N是否相互獨立？16.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°．

(1)證明：平面ACC1A1⊥17.(本小題15分)

某中學(xué)高一年級舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，從中隨機抽取了一批學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計本次競賽成績的中位數(shù)和平均數(shù)；

(2)若按照分層隨機抽樣從成績在[80,90)，[90,100]的兩組中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求至少有1人的成績在[90,100]內(nèi)的概率．18.(本小題15分)

在①b+csinB+sinC=4，②△ABC外接圓面積為4π，這兩個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并作答．

在銳角△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若asinC=2sinA，且_____．

(1)求C；

(2)若△ABC的面積為16?819.(本小題17分)

如圖，在直角梯形ABCD中，BC//AD，AD⊥CD，BC=2，AD=3，CD=3，邊AD上一點E滿足DE=1，現(xiàn)將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使平面A1BE⊥平面BCDE，如圖所示．

(1)在棱A1C上是否存在點F，使直線DF//平面A1

答案解析1.C

【解析】解：z=1+i?2i=1+i+2=3+i，

所以|z|=32+12=102.B

【解析】解：由題意得a?b=(x,1)?(2,?4)=2x?4=0，解得x=2，

故a+b=(2,1)+(2,?4)=(4,?3)，

所以|a+b|=423.C

【解析】解：因為80%×20=16，

所以由表格數(shù)據(jù)可知這20個比賽成績的第80百分位數(shù)是9+102=9.5．

故選：C．

根據(jù)百分位數(shù)的定義和求解步驟直接計算求解即可．4.B

【解析】解：對于A，如圖，α⊥β，m/?/α，此時m?β，故A錯誤；

對于B，若m/?/α，α面內(nèi)可以找一條直線c，使得m//c；

而n⊥α，n與α內(nèi)任意一條直線c都垂直，則n⊥c，則m⊥n.故B正確；

對于C，如圖，m⊥n，n⊥α，此時m?α，故C錯誤；

對于D，如圖，α/?/β，m?α，m/?/n，此時n?β，故D錯誤．

故選：B．

運用線面垂直平行的定理，結(jié)合長方體模型舉反例即可判斷．

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．5.C

【解析】解：由圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為4，高為4，

得圓臺的體積V=13π×4×(12+1×4+42)=28π6.D

【解析】解：因為盒子中裝有大小、材質(zhì)均相同的四個球，其中有兩個紅球和兩個黃球，

從盒子中一次性隨機摸取兩個球，則這兩球不同色的概率為P=C21?C21C47.D

【解析】解：AF=AC+2AB=AB+AD+2AB=3AB+AD，

∵AE=AB+BE=AB+2ED=AB+2(AD8.B

【解析】解：c+ccosA=3asinC，由正弦定理得sinC+sinCcosA=3sinAsinC，

因為C∈(0,π)，所以sinC≠0，故1+cosA=3sinA，

即2sin(A?π6)=1，故sin(A?π6)=12，因為A∈(0,π)，

所以A?π6∈(?π6,5π6)，故A?π6=π6，解得A=π9.AC

【解析】解：A：|z|=|?12+32i|=(?12)2+(32)2=1，故A正確；

B：z?=?12?32i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(?12,?32)在第三象限，故B錯誤；

10.AC

【解析】解：由余弦定理可得a2+b2?c2=2abcosC=absinC，解得tanC=2，故A正確；

由acosB+bsinA=c及正弦定理，可得sinAcosB+sinBsinA=sinC=sin(A+B)，

化簡可得sinBsinA=cosAsinB．

因為B∈(0,π)，所以sinB>0，所以sinA=cosA，即tanA=1．

因為A∈(0,π)，所以A=π4，故B錯誤；

因為tanC=2，所以cosC>0且sinC=2cosC，代入sin2C+cos2C=1，

可得5cos2C=1，解得cosC=55，sinC=255．

因為a=210，A=π4，sinC=255，

所以由正弦定理可得c=asinCsinA=210×25522=8，

由a11.ABC

【解析】解：對于A，因為平面A1B1C1//平面ABC，平面A1B1C1∩平面BCHG=HG，平面ABC∩平面BCHG=BC，

所以HG//BC，

因為E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，

所以EF//BC，EFBC=12，

所以EF//GH，所以A正確；

對于B，由選項A可知EF//GH，

因為GH?平面A1EF，EF?平面A1EF，

所以GH//平面A1EF，所以B正確；

對于C，因為HG//BC，B1C1//BC，

所以HG//B1C1，

因為GH經(jīng)過△A1B1C1的重心，

所以GHB1C1=23，

因為B1C1=BC，

所以GHBC=23，

因為EFBC=12，

所以GHEF=43，所以C正確；

對于D，因為FC=12AC，12.0.4

【解析】解：∵事件A和B互斥，∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8，

又P(B?)=0.6，∴P(B)=1?P(B?)=1?0.6=0.4，

∴P(A)=0.8?P(B)=0.4．

故答案為：13.3【解析】解：∵b=3c，由余弦定理可得：a2=b2+c2?2bccosA，A=π3，a=27，

∴28=9c2+c2?314.23【解析】解：∵AB=3，AC=2，∠BAC=120°，

∴AB?AC=|AB|?|AC|cos120°=3×2×(?12)=?3，

∵N為AC中點，

∴BN=AN?AB=12AC?AB，

AM=AB+BM15.解：(1)當(dāng)a=8時，從X，Y兩組隨機各選1人，

樣本空間Ω={(x,y)|x∈{10，11，12，13，14}，y∈{12,13,15,14,8}}，共有25種，

甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的情況有{(10,8)，(11,8)，(12,8)，(13,12)，(13,8)，(14,12)，(14,13)，(14,8)}，共8種，

所以概率為825．

(2)當(dāng)a=16時，P(M)=15，

事件N的情況有{(10,15)，(11,14)，(12,13)，(13,12)}，共4種，則P(N)=425

事件MN：“甲康復(fù)時間為11天且甲乙康復(fù)時間之和為25天”的情況為(11,14)，則P(MN)=125，

因此P(M)P(N)=1【解析】(1)利用列舉法求出古典概率即得結(jié)果．

(2)利用列舉法求出概率，再利用相互獨立事件的定義判斷即得．

本題考查古典概型以及相互獨立事件的定義等相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．16.解：(1)∵A1C⊥底面ABC，BC?面ABC，

∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C，AC?平面ACC1A1，A1C∩AC=C，

∴BC⊥平面ACC1，又BC?平面BCC1B1，

∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1；

(2)∵BC⊥平面ACC1，AC，A1C?平面ACC1，

∴BC⊥AC，BC⊥A1C，

∵AB=A1B，BC=BC，

∴Rt△ABC≌Rt△A1BC，

∴A1C=AC，

∵A1C⊥底面ABC，【解析】(1)根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；

(2)利用已知可得A1C=AC，進而可得A117.解：(1)由頻率分布直方圖，得10(0.005+0.030+0.035+a+0.010)=1，解得a=0.020，

成績在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的頻率依次為0.05，0.3，0.35，0.2，0.1，

顯然本次競賽成績的中位數(shù)m∈(70,80)，則0.35+(m?70)×0.035=0.5，解得m≈74.3，

本次競賽成績的平均數(shù)為x?=55×0.05+65×0.3+75×0.35+85×0.2+95×0.1=75，

所以a=0.020，中位數(shù)約為74.3，平均數(shù)約為75．

(2)由(1)知，成績在[80,90)，[90,100]的頻率之比為0.2：0.1=2：1，

則在[80,90)中隨機抽取6×23=4人，記為1，2，3，4，在[90,100]中隨機抽取6×13=2人，記為a，b，

從6人中隨機抽取2人的樣本空間為Ω={12,13,14,1a,1b,23,24,2a,2b,34,3a,3b,4a,4b,ab}，共15個樣本點，

設(shè)事件A=“至少有1人的成績在[90,100]內(nèi)”，則A={1a,1b,2a,2b,3a,3b,4a,4b,ab}，有9個樣本點，

因此P(A)=915【解析】(1)利用頻率分布直方圖所有小矩形面積之和等于1

求出a的值，再估計中位數(shù)和平均數(shù)．

(2)求出抽取的6人中在[80,90)，[90,100]的人數(shù)，再利用列舉法結(jié)合古典概率求解即得．

本題考查頻率、中位數(shù)、概率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．18.解：(1)由asinC=2sinA得2sinC=asinA，

若選①，由正弦定理asinA=bsinB=csinC得asinA=b+csinB+sinC=4，

所以2sinC=4，則sinC=12，又因為C∈(0,π2)，故C=π6；

若選②△ABC外接圓半徑R=2，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R=4，

所以2sinC=4，則sinC=1