2024-2025學(xué)年山東省菏澤市成武縣伯樂高級中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年山東省菏澤市成武縣伯樂高級中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若向量a=(2,5)，b=(1?x,2+x)，a⊥b，則A.17 B.?17 C.42.在△ABC中，AB=6,sinB=33,C=120°，則A.8 B.12 C.16 D.43.設(shè)z=i2+i，則z的虛部是A.1 B.i C.?1 D.?i4.交通錐，又稱錐形交通路標，如圖1，常用于進行工程、發(fā)生事故時提醒行人或車輛，以保證安全.某數(shù)學(xué)課外興趣小組對一個去掉底座的圓錐形交通錐筒進行研究，發(fā)現(xiàn)將其放倒在地面上，如圖2，使交通錐筒在地面上繞其頂點S滾動，當(dāng)其首次轉(zhuǎn)回原位置時，交通錐筒恰好滾動了3周.若交通錐筒近似看成無底的圓錐，將地面近似看成平面，該圓錐的母線長為6cm，則該圓錐的體積為(

)A.12πcm3 B.16πcm3 C.5.已知三條不同的直線l，m，n和兩個不同的平面α，β，下列四個命題中正確的是(

)A.若m//α，n//α，則m//n B.若l//α，m?α，則l//m

C.若α⊥β，l?α，則l⊥β D.若l//α，l⊥β，則α⊥β6.某射擊運動員射擊5次的成績?nèi)缦卤恚旱?次第2次第3次第4次第5次9環(huán)9環(huán)10環(huán)8環(huán)9環(huán)下列結(jié)論正確的是(

)A.該射擊運動員5次射擊的平均環(huán)數(shù)為9.2 B.該射擊運動員5次射擊的平均環(huán)數(shù)為9.5

C.該射擊運動員5次射擊的環(huán)數(shù)的方差為1 D.該射擊運動員5次射擊的環(huán)數(shù)的方差為27.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次，記事件A=“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B=“n次中至多有一次正面朝上”，下列說法不正確的是(

)A.當(dāng)n=2時，P(A)=12 B.當(dāng)n=2時，P(B)=34

C.當(dāng)n=3時，P(A)=348.“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點，另外兩條相對的側(cè)棱交于一點(該點為所在棱的中點)若某“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2，高為32的正四棱柱構(gòu)成，則下列說法正確的是(

)A.一個正四棱柱的某個側(cè)面與另一個正四棱柱的兩個側(cè)面的交線互相垂直

B.該“十字貫穿體”的表面積是322

C.該“十字貫穿體”的體積是5623

D.一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則由下列條件能得到△ABC為鈍角三角形的是(

)A.a=9，b=10，c=14 B.a=6，b=8，C=30°

C.cosC=35，4a=3c D.cosA=10.有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到的新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi=xi+t(其中i=1，2，A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同11.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1D1，C1DA.AC//平面EFG

B.存在點G使得EF⊥FG

C.存在點G使得異面直線AB與EG所成的角為60°

D.三棱錐G?EFD1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.一組數(shù)據(jù)如下：13，7，9，10，8，15，21，12，該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是______．13.在三棱錐P?ABC中，PA=PB=PC=2，AB=1，∠ACB=π6，若該三棱錐的所有頂點均在球O的表面上，則球O的表面積為______．14.甲、乙兩隊進行答題比賽，每隊3名選手，規(guī)定兩隊的每名選手都完成一次答題為一輪比賽，每名選手答對一題得1分，答錯一題得0分.已知甲隊中每名選手答對題的概率都為12，乙隊中3名選手答對題的概率分別為23,13,14.在第一輪比賽中，甲隊得x四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

已知圓C：(x?1)2+y2=4．

(1)若直線l經(jīng)過點A(?1,3)，且與圓C相切，求直線l的方程；

(2)若圓C1：16.(本小題15分)

如圖，AE⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2，F(xiàn)為CE中點．

(1)求證：DF//平面EAB；

(2)求點C到平面BDE的距離．17.(本小題15分)

△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若bcosC+3bsinC?a?c=0．

(1)求B；

(2)若C=π4且△ABC的面積為18.(本小題15分)

某校高一年級開設(shè)有羽毛球訓(xùn)練課，期末對學(xué)生進行羽毛球五項指標(正手發(fā)高遠球、定點高遠球、吊球、殺球以及半場計時往返跑)考核，滿分100分.參加考核的學(xué)生有40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示．

(1)由頻率分布直方圖，求出圖中t的值，并估計考核得分的第60百分位數(shù)；

(2)為了提升同學(xué)們的羽毛球技能，校方準備招聘高水平的教練.現(xiàn)采用分層抽樣的方法(樣本量按比例分配)，從得分在[70,90)內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再從中挑出兩人進行試課，求兩人得分分別來自[70,80)和[80,90)的概率；

(3)現(xiàn)已知直方圖中考核得分在[70,80)內(nèi)的平均數(shù)為75，方差為6.25，在[80,90)內(nèi)的平均數(shù)為85，方差為0.5，求得分在[70,90)內(nèi)的平均數(shù)和方差．19.(本小題17分)

定義：如果在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2)，那么稱d(A,B)=|x1?x2|+|y1?y2|為A，B兩點間的曼哈頓距離．

(1)已知A，B兩個點的坐標為A(x,2)，B(1,x)，如果它們之間的曼哈頓距離不大于5，那么x的取值范圍是多少？

(2)已知A，B兩個點的坐標為A(a,x)答案解析1.D

【解析】解：因為a=(2,5)，b=(1?x,2+x)，a⊥b，

所以a?b=2(1?x)+5(2+x)=12+3x=0，

解得x=?4．

2.D

【解析】解：在△ABC中，AB=6,sinB=33,C=120°，

由正弦定理ABsinC=ACsinB，可得632=AC33.A

【解析】解：由于z=i2+i=?1+i，所以z的虛部為1．

故選：A．

根據(jù)i4.C

【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，

則3×2πr=2π×6，

解得r=2，

所以圓錐的高為?=62?22=42，

所以圓錐的體積為15.D

【解析】解：三條不同的直線l，m，n和兩個不同的平面α，β，

對于A，若m//α，n/?/α，則m與n相交、平行或異面，故A錯誤；

對于B，若l//α，m?α，則l與m平行或異面，故B錯誤；

對于C，若α⊥β，l?α，則l不一定垂直β，故C錯誤；

對于D，若l//α，l⊥β，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正確．

故選：D．6.D

【解析】解：該射擊運動員5次射擊的平均環(huán)數(shù)為9+9+10+8+95=9，

5次射擊的環(huán)數(shù)的方差s2=15[(9?9)2+(9?9)2+(9?10)27.D

【解析】解：當(dāng)n=2時，A表示一正一反，故P(A)=2×12×12=12，故A正確；

B?表示兩個正面，此時P(B)=1?P(B?)=1?12×12=34，故B正確；

當(dāng)n=3時，A表示既有正面朝上又有反面朝上，

故P(A)=1?P(A?)=1?2×12×12×8.C

【解析】解：依題意，不妨設(shè)該幾何體中心對稱，

對于A：在梯形BDOG中，BD=32?222=22，BG=2，OG=322，

DC=22，則OC=OD=(322?22)2+22=6，所以O(shè)C2+OD2≠DC2，

即一個正四棱柱的某個側(cè)面與另一個正四棱柱的兩個側(cè)面的交線不互相垂直，A錯誤；

對于B：該“十字貫穿體”由4個正方形和16個與梯形BDOG全等的梯形組成，

故表面積S=4×2×2+16×12×(22+322)×2=322+16，B錯誤；

對于C：兩個正四棱柱的重疊部分為多面體CDGOST，取CS的中點I，

則多面體CDGOST可以分成8個全等的三棱錐C?GOI，

則S△GOI=12×2×2=2，且CI⊥平面GOI，CI=2，則VC?GOI=13×2×2=223，

則該“十字貫穿體”的體積為V=2×2×2×32?8VC?GOI=242?1623=5629.ABD

【解析】解：A中，由題意可得角C為最大值，則cosC=a2+b2?c22ab=81+100?1962×9×10=?112<0，

可得角C為鈍角，所以A正確；

B中，由題意及余弦定理可得c=a2+b2?2abcosC=36+64?2×6×8×32=100?483<b，

所以角B為最大角，

且cosB=a2+c2?b22ac=36+100?483?642×6×100?483=72?48312100?483，

因為72?483=24(3?23)<0，

所以cosB<0，即B為鈍角，

所以該三角形為鈍角三角形，故B正確；

C中，cosC=35，在△ABC10.BD

【解析】解：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi=xi+t；

對于A，第一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x?，則第二組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x?+t，平均數(shù)不同；

對于B，第一組數(shù)據(jù)的方差為s2，則第二組數(shù)據(jù)的方差也是s2，方差相同；

對于C，第一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是x，則第二組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是x+t，中位數(shù)不同；11.ABD

【解析】解：如圖，由三角形中位線定理可得EF//A1C1，再由正方體的結(jié)構(gòu)特征得A1C1//AC，則F//AC，

∵EF?平面EFG，AC?平面EFG，∴AC//平面EFG，故A正確；

設(shè)CD的中點為M，若G為BC的中點，則有AC⊥MG，AC⊥MF，

∵MG∩MF=M，∴AC⊥平面MFG，則AC⊥FG，

∵EF//AC，∴EF⊥FG，故B正確；

設(shè)正方體的棱長為2，取B1C1的中點N，連接EN，由EN/?/AB，得異面直線AB與EG所成角為∠NEG=α，

在直角三角形NEG中，tanα=NGEN<NBEN=52<3，即α<60°，故C錯誤；

由圖可知G到平面EFD1的距離為定值，則三棱錐G?EFD1的體積為定值，故D正確．

故選：12.14

【解析】解：將數(shù)據(jù)從小到大排序：7，8，9，10，12，13，15，21，共8個，

8?75%=6，

故該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是13+152=14．

故答案為：14．

根據(jù)已知條件，結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解．13.16π3【解析】解：∵在三棱錐P?ABC中，PA=PB=PC=2，

∴點P在平面ABC上的射影為△ABC的外心，又AB=1，∠ACB=π6，

∴△ABC的外接圓的半徑r=12sinπ6=1，

∴三棱錐P?ABC的高為22?12=3，設(shè)該三棱錐外接球的半徑為R，

則(3?R)2+114.79288【解析】解：由題意得甲隊在一輪比賽中得2分的概率為P2=12×12×12×3=38，

甲隊在一輪比賽中得3分的概率為P3=12×12×12=18，

乙隊在一輪比賽中得1分的概率為：

P1′=23×(1?13)×(1?14)+13×(1?23)×(1?14)+14×(1?13)×(1?23)=1736，

乙隊在一輪比賽中得2分的概率為：

P2′=23×13×(1?14)+23×(1?13)×14+14×13×(1?15.解：(1)若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=?1，與圓C相切，符合題意；

若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y?3=k(x+1)，即kx?y+k+3=0，

則|2k+3|k2+1=2，解得k=?512，所以直線l的方程為5x+12y?31=0．

綜上，直線l的方程為x=?1或5x+12y?31=0．

(2)圓C1的方程可化為(x?m)2+(y?1)2=9．

若圓C1與圓C外切，則(m?1)2+1=5【解析】(1)利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求直線，不要忘記討論斜率不存在的情況；

(2)分內(nèi)切和外切，結(jié)合公式，列式求值．

本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．16.解：(1)取BE的中點G，連接AG、FG，因為F為CE中點，

所以GF//BC且GF=12BC，又AD//BC，AD=1，BC=2，

即AD//BC且AD=12BC，

所以AD//GF且AD=GF，

所以四邊形ADFG為平行四邊形，

所以AG//FD，

又AG?平面EAB，DF?平面EAB，所以DF/?/平面EAB．

(2)因為AD⊥AB，AD//BC，所以AB⊥BC，

所以S△BCD=12×2×1=1，

又AE⊥平面ABCD，所以VE?BCD=13×2×1=23，

因為AD⊥AB，AD=AB=1，所以BD=AD2+AB2=2，

由AE⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AD，

又【解析】(1)取BE的中點G，連接AG、FG，即可得到四邊形ADFG為平行四邊形，從而得到AG//FD，即可得證；

(2)利用等體積法求出點到平面的距離．

本題考查線面平行和線面垂直的判定與性質(zhì)，以及點到平面的距離求法，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．17.解：(1)△ABC中，A=π?(B+C)?sinA=sin(B+C)，

∵bcosC+3bsinC?a?c=0，

∴由正弦定理得：sinBcosC+3sinBsinC?sin(B+C)?sinC=0，

即sinBcosC+3sinBsinC?(sinBcosC+cosBsinC)?sinC=3sinBsinC?cosBsinC?sinC=0，

又sinC>0，

∴3sinB?cosB=2sin(B?π6)=1?sin(B?π6)=12，又B∈(0,π)?B?π6∈(?π6,5π6)，

∴B?π6=π【解析】(1)利用正弦定理及兩角和與差的三角函數(shù)可求得B；

(2)依題意，可求得△ABC中BC邊上的高為?=32c，又18.解：(1)由題意得：10×(0.01+0.015+0.020+t+0.025)=1，

解得t=0.03，

設(shè)第60百分位數(shù)為x，

則0.01×10+0.015×10+0.02×10+0.03×(x?80)=0.6，

解得x=85，

即第60百分位數(shù)為85；

(2)由題意知，抽出的5位同學(xué)中，得分在[70,80)的有5×820=2人，設(shè)為A、B，

在[80.90)的有5×1220=3人，設(shè)為a、b、c，

則樣本空間為Ω={(A,B)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B、a)，(B,b)，(B,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)}，n(Ω)=10，

設(shè)事件M=“C兩人分別來自[70,80)和[80,90)”，

則M=(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,a)，(B,b)，(B,c)}，n(M)=6，

因此P(M)=n(M)n(Ω)=610=35，

所以兩人得分分別來自[70,80)和[80,90)的概率為35；

(3)考核得分在[70,80)內(nèi)的人數(shù)為0.02×10×40=8人，在【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和為1，可求出t的值，再利用百分位數(shù)的定義求解；

(2)利用古典概型的概率公式求解；

(3)利用分層隨機抽樣的均值和方差公式求解．

本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了古典概型的概率公式，以及分層隨機抽樣的均值和方差公式，屬于中檔題．19.解：(1)因為A(x,2)，B(1,x)，故d(A,B)=|x?1|+|2