2024年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn)總結(jié)+題型專訓(xùn)圓（原卷版+解析）

專題30圓

考點(diǎn)一：垂徑定理

知識回顧

1.圓的定義：

定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的圖形

叫做圓。固定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段OA叫做半徑.以0點(diǎn)為圓心的圓，記作“。0”，讀作“圓0”.

定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合。

2.與圓有關(guān)的概念：

弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等。

連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡稱弧，

圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半

圓的弧叫做劣弧。

3.垂徑定理：

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

4.垂徑定理的推論：

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題。

微專題

L___________________，

1.（2023?青海）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)。為圓心的圓的一部分，如果C是O。中弦

4B的中點(diǎn)，C￡）經(jīng)過圓心。交。。于點(diǎn)。，并且CD=6m,則。。的半徑長為m.

2.（2023?牡丹江）O。的直徑C￡>=10,42是O。的弦，AB1CD,垂足為OM：0c=3：5,則AC的

長為.

3.（2023?長沙）如圖，A、B、C是O。上的點(diǎn)，OCLAB,垂足為點(diǎn)D且。為OC的中點(diǎn)，若04=7,

則BC的長為.

第3題第4題

4.（2023?自貢）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦長20厘米，弓形高。為

2厘米，則鏡面半徑為_____厘米.

5.（2023?黑龍江）如圖，在。。中，弦垂直平分半徑OC,垂足為。，若。。的半徑為2,則弦AB的

長為.

6.（2023?上海）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個圓形花壇O,點(diǎn)C在弦上，AC=11,BC=21,OC=13,則這

個花壇的面積為.（結(jié)果保留TT）

7.（2023?遵義）數(shù)學(xué)小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28。，求北緯28°緯線的長度.

小組成員查閱相關(guān)資料，得到如下信息：

信息一：如圖1,在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；

信息二：如圖2,赤道半徑約為6400千米，弦8C〃0A,以8C為直徑的圓的周長就是北緯28°緯

線的長度；

（參考數(shù)據(jù)：IT心3,sin28°80.47,cos28°心0.88,tan28°七0.53）

根據(jù)以上信息，北緯28°緯線的長度約為千米.

8.（2023?黃石）如圖，圓中扇子對應(yīng)的圓心角a（a<180°）與剩余圓心角0的比值為黃金比時，扇子會

顯得更加美觀，若黃金比取0.6,則0-a的度數(shù)是.

考點(diǎn)二：圓周角定理：

知識回顧

X___________________>

1.圓心角、弦以及弧之間的關(guān)系：

①定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

②推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)

的其余各組量都分別相等。

說明：同?條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指

同為優(yōu)弧或劣弧。

2.圓周角的定義：

頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。

3.圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。

4.圓周角定理的推論：

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

5.圓的內(nèi)接四邊形：

①定義：四個頂點(diǎn)都在圓上的四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形。

②性質(zhì)：I：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。

II：圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角。

微專題

\________________/

9.（2023?襄陽）已知。。的直徑48長為2,弦AC長為正，那么弦AC所對的圓周角的度數(shù)等于.

10.（2023?日照）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的

測量，測得AB=12aw,BC=5cm,則圓形鏡面的半徑為.

第10題第”題

1

11.（2023?永州）如圖，是O。的直徑，點(diǎn)C、。在。。上，Ar-QIBzADC=

30°,則NBOC=度.

12.（2023?蘇州）如圖，AB是OO的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E,連接AC,AD.若/瓦iC=28°,則

13.（2023?湖州）如圖，已知AB是。。的弦，ZAOB=120Q,OCLAB,垂足為C,0c的延長線交。。

于點(diǎn)3.若/APO是AB所對的圓周角，則/APO的度數(shù)是

C點(diǎn)在圓。上，若NACB=36°,則/A08=

15.（2023?錦州）如圖，四邊形ABCO內(nèi)接于（DO,AB為。。的直徑，ZADC=130°,連接AC,貝!J/B4C

的度數(shù)為

16.（2023?雅安）如圖，NDCE是OO內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角，若NDCE=72°,那么NBQD的度

數(shù)為_________

第16題第17題

17.（2023?甘肅）如圖，O。是四邊形ABC。的外接圓，若N4BC=110°,則NAOC=°.

考點(diǎn)三：切線

知識回顧

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)。。的半徑為r,點(diǎn)尸到圓心的距離OP=d,則有：

①點(diǎn)尸在圓外=d>r

②點(diǎn)P在圓上=d=r

①點(diǎn)P在圓內(nèi)=dVr

2.三角形的外接圓與外心：

經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓。圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫

做三角形的外心。

3.直線與圓的位置關(guān)系：

設(shè)。。的半徑為廣，圓心。到直線/的距離為d,直線和圓的三種位置關(guān)系：

①相離：一條直線和圓沒有公共點(diǎn)。直線/和。。相離

②相切：一條直線和圓只有一個公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的

公共點(diǎn)叫切點(diǎn)。直線/和。。相切=d=r。

③相交：一條直線和圓有兩個公共點(diǎn)，此時叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線。直線/

和。0相交=dVro

4.切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。

③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，通過構(gòu)造直角三角形或

相似三角形解決問題。

5.切線的判定：

經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時，常過圓心作

該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條

件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單

地說成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”。

微專題

18.（2023?常州）如圖，AABC是。。的內(nèi)接三角形.若/ABC=45°,AC=&,則。。的半徑是

A

C

第18題第19題

19.（2023?黑龍江）如圖，在O。中，A3是。。的弦，。。的半徑為3cH.C為。。上一點(diǎn)，ZACB=60°,

則AB的長為cm.

20.（2023?玉林）如圖，在5義7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1,點(diǎn)。，A,B,C,D,E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)

O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認(rèn)為外心也是。的三角形都寫出

來_______________________

21.（2023?涼山州）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，是△ABC的外接圓，點(diǎn)A,B,。在格點(diǎn)上，

則cosZACB的值是.

第21題第22題

22.（2023?資陽）如圖，AABC內(nèi)接于OO,是直徑，過點(diǎn)A作。O的切線AD若NB=35°,貝iJ/D4c

的度數(shù)是度.

23.（2023?衢州）如圖，A8切于點(diǎn)8,A。的延長線交0。于點(diǎn)C,連結(jié)8C.若/A=40°,則/C的

度數(shù)為.

A

D

BO9

B

第23題第24題

24.（2023?鹽城）如圖，AB.AC是。。的弦，過點(diǎn)A的切線交的延長線于點(diǎn)D,若/區(qū)4。=35°,則

ZC=0.

25.（2023?上海）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點(diǎn)，截得的三條弦相等，我們把這

個圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑

為.

26.（2023?泰州）如圖，出與。。相切于點(diǎn)A,PO與。。相交于點(diǎn)8,點(diǎn)C在AmB上，且與點(diǎn)A、8不重

合.若NP=26°,則NC的度數(shù)為°.

27.（2023?寧波）如圖，在△ABC中，AC=2,BC=4,點(diǎn)。在上，以08為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)A.D

是8C邊上的動點(diǎn)，當(dāng)△AC。為直角三角形時，的長為.

第27題第28題

28.（2023?金華）如圖，木工用角尺的短邊緊靠。。于點(diǎn)A,長邊與。。相切于點(diǎn)8,角尺的直角頂點(diǎn)為C.已

知AC=6cm,CB=8cm,則。。的半徑為cm.

29.（2023?湖北）如圖，點(diǎn)尸是O。上一點(diǎn)，是一條弦，點(diǎn)C是APB上一點(diǎn),

與點(diǎn)。關(guān)于AB對稱，AD交。。于點(diǎn)E,CE與AB交于點(diǎn)F,且BD//CE.給

出下面四個結(jié)論:

①CD平分/BCE；②BE=BD；?AE2=AF-AB；④8。為。。的切線.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

考點(diǎn)四：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

知識回顧

1.相交弦定理：

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。

幾何語言：若弦A3,CD交于點(diǎn)P,則尸4尸8=尸。尸。。

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。

幾何語言：若A3是直徑，CD垂直于點(diǎn)尸，貝1」尸。2=尸。2=尸4?必。

2.弦切角定理：

（1）弦切角的定義：如圖像/ACP這樣，頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另

一邊和圓相切的角叫做弦切角。

（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半。

等于這條弧所對的圓周角。即NPCA=/PBC。

3.切線長定理：

（1）切線長定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線

長。

（2）切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分

兩條切線的夾角。

4.切割線定理：

從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

幾何語言：

「PT切。。于點(diǎn)T,PBA是。。的割線

：.PT2=PA?PB（切割線定理）。

推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。

幾何語言：

VPBA,PDC是。。的割線

.\PD-PC=PA*PB

由上可知：PT2=PA?PB=PUPD。

5.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：

內(nèi)切圓與內(nèi)心的概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做

三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形。三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)。

微專題

30.（2023?恩施州）如圖，在中，ZC=90°，AC=4,BC=3,O。為RtZkABC的內(nèi)切圓，則圖

中陰影部分的面積為（結(jié)果保留IT）

31.（2023?泰州）如圖，△ABC中，NC=90°,AC=8,BC=6,。為內(nèi)心，過點(diǎn)。的直線分別與AC、

AB邊相交于點(diǎn)。、E.若DE=CD+BE,則線段CD的長為.

CA

第31題第32題第33題

32.（2023?黔東南州）如圖，在△ABC中，/A=80°,半徑為3cMi的是△ABC的內(nèi)切圓，連接。2、

OC,則圖中陰影部分的面積是a,，.（結(jié)果用含口的式子表示）

33.（2023?宜賓）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大

正方形（如圖所示）.若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3,小正方形的面積為49,則大正方形的面積

為.

考點(diǎn)五：正多邊形與圓

知識回顧

1.正多邊形與圓的關(guān)系

把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多

邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓。

2.正多邊形的有關(guān)概念

①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心。

②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。

③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。

④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

微專題

34.（2023?長春）跳棋是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力游戲.如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊

三角形ABC和等邊三角形。所組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形.若AB=27厘米，則這個正

六邊形的周長為________厘米.

第34

35.（2023?營口）如圖，在正六邊形A8CQEF中,

度.

36.（2023?呼和浩特）如圖,從一個邊長是。的正五邊形紙片上剪出一個扇形，這個扇形的面積為（用

含n的代數(shù)式表示）；如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，圓錐的底面圓直徑為.

37.（2023?綏化）如圖，正六邊形ABCDE尸和正五邊形內(nèi)接于。。，且有公共頂點(diǎn)A,則NB?！钡?/p>

度數(shù)為度.

38.（2023?梧州）如圖，四邊形A8C￡＞是。。的內(nèi)接正四邊形，分別以點(diǎn)A,。為圓心，取大于;OA的定

長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)N,作直線MN,交O。于點(diǎn)E,F.若0A=1,則BE,AE,AB所圍

成的陰影部分面積為.

39.（2023?宿遷）如圖，在正六邊形4BCDE/中，AB=6,點(diǎn)M在邊AF上，且AM=2.若經(jīng)過點(diǎn)M的直

線/將正六邊形面積平分，則直線/被正六邊形所截的線段長是.

_____F

B>E

CD

專題30圓

考點(diǎn)一：垂徑定理

知識回顧

5.圓的定義：

定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A

所形成的圖形叫做圓。固定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段OA叫做半徑.以。點(diǎn)為圓心的圓，

記作“。0”,讀作“圓0”.

定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)0的距離等于定長r的點(diǎn)的集合。

6.與圓有關(guān)的概念：

弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等。

連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓

弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于

半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。

7.垂徑定理：

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

8.垂徑定理的推論：

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等

問題。

微專題

1.（2023?青海）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)。為圓心的圓的一部分，如果

C是。。中弦A8的中點(diǎn)，C。經(jīng)過圓心。交00于點(diǎn)并且AB=4如C￡）=6%則

的半徑長為

D

【分析】連接。4如圖，設(shè)。。的半徑為"小根據(jù)垂徑定理的推論得到CD±AB,在

RtAAOC中利用勾股定理得到22+(6-r)2=a，然后解方程即可.

【解答】解：連接如圖，設(shè)。。的半徑為切2,

是0。中弦的中點(diǎn)，C。過圓心，

ACDLAB,AC=BC=^AB=2m,

2

在RtZXAOC中，'：OA=rm,OC=(6-r)m,

：.22+(6-r)2=J,

解得r=此，

3

即。。的半徑長為」且他.

3

故答案為：12.

3

2.(2023?牡丹江)O。的直徑8=10,A8是O。的弦，AB1CD,垂足為M,OM-.OC

=3：5,則AC的長為.

【分析】連接。4,由A2_LC。，設(shè)OC=5x,0M=3x,則。M=2x,根據(jù)C￡>=10可得

0C=5,0M=3,根據(jù)垂徑定理得到40=4,然后分類討論：當(dāng)如圖1時，CM=8；當(dāng)

如圖2時，CM=2,再利用勾股定理分別計(jì)算即可.

【解答】解：連接。4,

o?'/DD[O"M

BB

圖1圖2

,?0M-.0c=3：5,

設(shè)0C=5x,0M=3x,則￡>M=2x,

VC￡>=10,

：.OM=3,OA=OC=5,

"：AB.LCD,

：.AM=BM=^-AB,

2

在Rt^OAM■中，OA=5,

=2222

AMVOA-OM=VS-3=4，

當(dāng)如圖1時，CM=OC+OM=5+3=S,

22

在RtAACM中，AC=VAM-K；M=^42+82=蛔；

當(dāng)如圖2時，CM=OC-OM=5-3=2,

22

在RtAACM中，AC=VAM+MC=^42+22=275-

綜上所述，AC的長為4機(jī)或2。年.

故答案為：4代或2泥.

3.(2023?長沙)如圖，A、B、C是。。上的點(diǎn)，OC_L4B,垂足為點(diǎn)Z),且。為。C的中

【分析】根據(jù)已知條件證得△AOD咨△BCD(SAS),則BC=OA=7.

【解答】解：?..O4=OC=7,且。為0c的中點(diǎn)，

：.OD=CD,

'：OCLAB,

：.ZODA=ZCDB=90°,AD=BD,

在△AO。和△8CO中，

:.△AOD^XBCD(SAS),

：.BC=OA=y.

故答案為：7.

4.（2023?自貢）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦長20厘米,

弓形高為2厘米，則鏡面半徑為____厘米.

D

【分析】根據(jù)題意，弦AB長20厘米，弓形高。為2厘米，根據(jù)勾股定理和垂徑定理

可以求得圓的半徑.

【解答】解：如圖，點(diǎn)。是圓形玻璃鏡面的圓心，連接OC,則點(diǎn)C,點(diǎn)。，點(diǎn)。三點(diǎn)

共線，

D

由題意可得：OC_LAB,AC=AAB=10（厘米）,

2

設(shè)鏡面半徑為X厘米，

由題意可得：x2=102+（x-2）2,

??x=26.

鏡面半徑為26厘米，

故答案為：26.

5.（2023?黑龍江）如圖，在O。中，弦42垂直平分半徑OC,垂足為。，若O。的半徑為

2,則弦A8的長為.

【分析】連接。4由AB垂直平分OC,求出OD的長，再利用垂徑定理得到D為AB

的中點(diǎn)，在直角三角形中，利用垂徑定理求出AO的長，即可確定出的長.

【解答】解：連接。4,由垂直平分OC,得到。。=工OC=1,

2

OC±AB,

；.D為AB的中點(diǎn),

22

則AB=2AD=2^QA2,QD2=2^2-1=2近.

故答案為：

6.（2023?上海）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個圓形花壇。點(diǎn)C在弦AB上，AC=11,BC=21,

0c=13,則這個花壇的面積為.（結(jié)果保留TT）

【分析】根據(jù)垂徑定理，勾股定理求出。小，再根據(jù)圓面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，連接08,過點(diǎn)。作于￡）,

'：OD±AB,0。過圓心，是弦，

：.AD=BD=-^AB=^-（AC+BC）=上義（11+21）=16,

222

：.CD=BC-BD=2i-16=5,

在RtZ\C。。中，OD'OC?-CD2=132-52=144,

在RtABOD中,OB1=OD\BD2=144+256=400,

S0O=TT><Og2=400Tt,

故答案為：400n.

7.（2023?遵義）數(shù)學(xué)小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28。，求北緯28°緯

線的長度.

小組成員查閱相關(guān)資料，得到如下信息：

信息一：如圖1,在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；

信息二：如圖2,赤道半徑約為6400千米，弦BC"0k,以BC為直徑的圓的周長就

是北緯28°緯線的長度；

（參考數(shù)據(jù)：口弋3,sin28°心0.47,cos28°?=0.88,tan28°20.53）

根據(jù)以上信息，北緯28。緯線的長度約為千米.

【分析】根據(jù)垂徑定理，平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義求解.

【解答】解：作OK_LBC,貝|JN3KO=90°,

\'BC//OA,ZAOB=28°,

在RtZkBOK中，08=04=6400.

.*.BK=OBXcosB-6400X0.88=5632,

北緯28°的緯線長C=2irBK

弋2X3X5632

=33792（千米）.

故答案為：33792.

8.（2023?黃石）如圖，圓中扇子對應(yīng)的圓心角a（a<180°）與剩余圓心角0的比值為黃

金比時，扇子會顯得更加美觀，若黃金比取0.6,則0-a的度數(shù)是.

【分析】根據(jù)已知，列出關(guān)于a,0的方程組，可解得a,0的度數(shù)，即可求出答案.

（a

-----=0A

【解答】解：根據(jù)題意得：P,

a+B=360°

解得，

.*.p-a=225°-135°=90°,

故答案為：90°.

考點(diǎn)二：圓周角定理:

知識回顧

6.圓心角、弦以及弧之間的關(guān)系：

①定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

②推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那

么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中

的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧。

7.圓周角的定義：

頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。

8.圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一

半。

9.圓周角定理的推論：

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

10.圓的內(nèi)接四邊形：

①定義：四個頂點(diǎn)都在圓上的四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形。

②性質(zhì)：I：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。

II：圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角。

微專題

9.（2023?襄陽）已知。。的直徑A8長為2,弦AC長為亞，那么弦AC所對的圓周角的

度數(shù)等于,

【分析】首先利用勾股定理逆定理得NAOC=90°,再根據(jù)一條弦對著兩種圓周角可得

答案.

【解答】解：如圖，

D'

：CM=OC=1,AC=①

.\OA2+(9C2=AC2,

AZAOC=90°,

ZADC=45°,

AZAD'C=135°,

故答案為：45°或135°.

10.（2023?日照）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角

尺作如圖所示的測量，測得AB=12c?t,BC=5cm,則圓形鏡面的半徑為.

【分析】連接AC,根據(jù)NABC=90°得出AC是圓形鏡面的直徑，再根據(jù)勾股定理求出

AC即可.

【解答】解：連接AC,

VZABC=90°,且/ABC是圓周角,

；.AC是圓形鏡面的直徑,

由勾股定理得：AC—(7AB^+BC2=V12^+5^=(cm),

所以圓形鏡面的半徑為堂C小,

2

故答案為：11cm.

2

11.（2023?永州）如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C、。在O。上，ZADC=30°,貝U/BOC

=________度.

【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓

心角的一半求出NAOC的度數(shù)，根據(jù)平角的定義即可得到N2OC=180°-NAOC的度

數(shù).

【解答】解：是京所對的圓周角，

.?./AOC=2/AOC=2X30°=60°,

.*.ZBOC=180°-ZAOC=180°-60°=120°.

故答案為：120.

12.（2023?蘇州）如圖，AB是的直徑，弦CD交A8于點(diǎn)E,連接AC,AD.若N8AC

=28°,則/。=°.

【分析】如圖，連接BC,證明/ACB=90°,求出/ABC,可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，連接2C.

VAB是直徑，

AZACB=90°,

AZABC=90°-ZCAB=62°,

；./￡)=NA8C=62°,

故答案為：62.

13.(2023?湖州)如圖,已知42是。。的弦，ZAOB=120°,OC±AB,垂足為C,OC

的延長線交。。于點(diǎn)。.若是R所對的圓周角，則/APO的度數(shù)是.

【分析】由垂徑定理得出，由圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得出進(jìn)而得

出/AOD=60°,由圓周角定理得出/AP￡>=!NAO￡)=30°,得出答案.

2

【解答】解："：OC±AB,

：.ZAOD=ZBOD,

VZAOB=120°,

AZAOD=ZBOD=^-ZAOB=60°,

2

Z.ZAPD=AZA（?D=AX60O=30°,

22

故答案為：30°.

14.（2023?徐州）如圖，A、B、C點(diǎn)在圓。上，若NAC8=36°,則NAO8=.

c

【分析】利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半即可得出結(jié)論.

【解答】解：vZACB=^ZAOB,/ACB=36°,

2

:"A0B=2乂/ACB=12°.

故答案為：72°.

15.（2023?錦州）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，AB為。。的直徑，ZADC=130°,連

接AC,則NR4C的度數(shù)為.

【分析】利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和NADC的度數(shù)求得NB的度數(shù)，利用直徑所對的圓

周角是直角得到/ACB=90°,然后利用直角三角形的兩個銳角互余計(jì)算即可.

【解答】解：：四邊形ABC。內(nèi)接于。。，ZADC=130°,

.*.ZB=180°-ZADC=180°-130°=50°,

為。。的直徑，

AZACB=90°,

：.ZCAB^9Q°-NB=90°-50°=40°,

故答案為：40°.

16.（2023?雅安）如圖，NDCE是。。內(nèi)接四邊形ABC。的一個外角，若NDCE=72°,

那么NB。。的度數(shù)為.

【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念求出N2CZ),根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NA,根據(jù)圓周角

定理解答即可.

【解答】解：：NDCE=72°,

；./BC￡)=180°-Z￡)CE=108°,

,/四邊形ABCD內(nèi)接于。0,

ZA=180°-ZBCD=12°,

由圓周角定理，得/BOO=2NA=144°,

故答案為：144°.

17.(2023?甘肅)如圖，OO是四邊形ABCD的外接圓，若/A8C=110°,貝U/AOC

B

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)即可得到結(jié)論.

【解答】解：：四邊形ABCQ內(nèi)接于。0,ZABC=110°,

ZADC=180°-ZABC=180°-110°=70°,

故答案為：70.

考點(diǎn)三：切線

知識回顧

\___________________________________/

6.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)。。的半徑為「，點(diǎn)尸到圓心的距離OP=d,則有：

①點(diǎn)P在圓外=d>r

②點(diǎn)P在圓上od=r

①點(diǎn)P在圓內(nèi)=dVr

7.三角形的外接圓與外心：

經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓。圓心是三角形三條邊垂直平分

線的交點(diǎn)，叫

做三角形的外心。

8.直線與圓的位置關(guān)系：

設(shè)。。的半徑為廣，圓心。到直線/的距離為d,直線和圓的三種位置關(guān)系：

①相離：一條直線和圓沒有公共點(diǎn)。直線/和。。相離

②相切：一條直線和圓只有一個公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的

切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)。直線/和。。相切=

③相交：一條直線和圓有兩個公共點(diǎn)，此時叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓

的割線。直線/和。。相交

9.切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。

③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，通過構(gòu)造

直角三角形或相似三角形解決問題。

10.切線的判定：

經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時,

常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點(diǎn)，作垂

線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時，常連接過該公共點(diǎn)的半

徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”。

微專題

18.（2023?常州）如圖，△ABC是O。的內(nèi)接三角形.若NABC=45°,AC=&,則

的半徑是

【分析】連接AO并延長交。。于點(diǎn)。，連接C。，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得/

ACD=90°,再利用同弧所對的圓周角相等可得NAQC=45°,然c

后在RtzXAC。中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，從而求一^V?"

'B

出。。的半徑，即可解答.

【解答】解：連接A0并延長交。0于點(diǎn)。，連接C。，

TA。是。。的直徑，

AZACD=90°,

VZABC=45°,

AZADC=ZABC=45°,

AC

：.AD=,o.=^-=2,

sin45

~2~

/.OO的半徑是1,

故答案為：1.

19.（2023?黑龍江）如圖，在。。中，A8是。。的弦，。。的半徑為3cm.C為。。上一點(diǎn),

ZACB=6Q°,則AB的長為cm.

【分析】連接A。并延長交。。于點(diǎn)Q,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得/ABO=90°,

再利用同弧所對的圓周角相等可求出/AOB=60°,然后在中，利用銳角三角

函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：連接AO并延長交。。于點(diǎn)。，/-----

是。。的直徑，

AZABD=90°,

VZACB=60°,

：.ZADB=ZACB=60°,

C

在RtZ\A5Z）中，AD=6cm,

：.AB=AD^sin60°=6x"=3?（cm）,

2

故答案為：3V

20.（2023?玉林）如圖，在5X7網(wǎng)格中,各小正方形邊長均為1,點(diǎn)0,A,B,C,D,E

均在格點(diǎn)上，點(diǎn)O>AABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△A8C外把你認(rèn)

為外心也是。的三角形都寫出來_

【分析】由網(wǎng)格利用勾股定理分別求解。4OB,OC,OD,OE,根據(jù)三角形的外心到

三角形頂點(diǎn)的距離相等可求解.

【解答】解：由圖可知：

22

OA=yl1+2=V5,

OB=y]l2+22=75)

OC^yj12+22=75)

12+22=V5)

0￡=712+32=710,

OA=OB=OC=OD手OE,

：./\ABD,△AC。，△BCD的外心都是點(diǎn)0,

故答案為：△AB。，△AC。，ABCD.

21.(2023?涼山州)如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，。。是AABC的外接圓，點(diǎn)A,B,

。在格點(diǎn)上，則cos/ACB的值是.

【分析】先連接AD，BD,然后根據(jù)題意，可以求得COS/ADB的值，再根據(jù)圓周角定理

可以得至Ij/ACB=NA￡)B,從而可以得到cosZACB的值.

【解答】解:連接A。，BD,AD和8。相交于點(diǎn)D

?；Ar＞是。。的直徑，

.?.480=90°,

"：AB=6,80=4,

?'-AD=VAB2+BD2==2Vl3，

：.cos/ADB=膽=―*=漢亙，

AD2V1313

ZACB=ZADB,

：.cosZACB的值是2后,

13

故答案為：漢亙.

13

22.(2023?資陽)如圖，△ABC內(nèi)接于。。A8是直徑，過點(diǎn)A作。。的切線AD若NB

=35°,則/D4c的度數(shù)是度.

【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得/R4c=55°,再根據(jù)切線的性質(zhì)可得/

瓦10=90°,即可求解.

【解答】解：為直徑，

AZC=90°,

'：ZB=35°，

：.ZBAC^55°,

?.工。與。。相切，

：.AB±AD,即/BAO=90°,

：.ZCAD=90°-ZBAC=3>5°.

故答案為：35.

23.（2023?衢州）如圖，AB切O。于點(diǎn)2,49的延長線交O。于點(diǎn)C,連結(jié)BC.若NA=

【分析】連接OB,先根據(jù)切線的性質(zhì)求出NAOB,再根據(jù)OB=OC,ZAOB=ZC+Z

OBC即可解決問題.

??,AB是。。切線，

J.OBLAB,

：.ZABO^90°,

VZA=40°,

：./AOB=90°-NA=50°,

OC=OB,

:"C=NOBC,

'：ZAOB=ZC+ZOBC,

：.ZC=25°.

故答案為：25°.

24.（2023?鹽城）如圖，AB,AC是O。的弦，過點(diǎn)A的切線交CB的延長線于點(diǎn)。，若/

BAD=35°,則/C=°.

【分析】連接AO并延長交。。于點(diǎn)E,連接BE,根據(jù)切線的性質(zhì)可得NOAO=90°,

從而求出/BAE=55°,然后利用直徑所對的圓周角是直角可得/ABE=90°,從而利用

直角三角形的兩個銳角互余可求出/E的度數(shù)，最后根據(jù)同弧所對的圓周角相等，即可

解答.

【解答】解：連接OA并延長交。。于點(diǎn)E,連接BE,

:AZ）與。。相切于點(diǎn)A,

：.ZOAD^9Q°,

VZBAD=35°,

：.ZBAE=ZOAD-ZBAD=55°,

是。。的直徑，

ZABE=90°,

；./E=90°-NBAE=35°,

AZC=ZE=35°,

故答案為：35.

25.（2023?上海）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點(diǎn)，截得的三條弦

相等，我們把這個圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认?/p>

圓最大時，這個圓的半徑為.

【分析】根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，利用圓周角定理、直角三角形的邊角關(guān)系以及三角

形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，二?圓與三角形的三條邊都有兩個交點(diǎn)，截得的三條弦相等，

.?.圓心。就是三角形的內(nèi)心，

...當(dāng)。。過點(diǎn)C時,且在等腰直角三角形ABC的三邊上截得的弦相等，即CG=CF=DE,

此時。。最大，

過點(diǎn)。分別作弦CG、CF、OE的垂線，垂足分別為尸、N、M,連接OC、04、0B,

CG=CF=DE,

：.OP=OM=ON,

VZC=90°,AB=2,AC=BC,

:.AC=BC=?

X2=M，

2

由SAAOC+SABOC+SAAOB=SAABC,

：.^AC^OP+^BC'ON+^AB'OM=S^ABC=—AC'BC,

2222

設(shè)OM=x,則OP=ON=x,

:.V^x+2x=A/2XV2，

解得尤=a-1,

即OP=ON=&-1,

在Rt^CON中，OC=&ON=2-6，

故答案為：2-企.

r-\

26.（2023?泰州）如圖，瑯與。。相切于點(diǎn)A,PO與。。相交于點(diǎn)8,點(diǎn)C在AmB上，且

與點(diǎn)A、8不重合.若NP=26°,則/C的度數(shù)為

【分析】連接AO并延長交。。于點(diǎn)。，連接由切線的性質(zhì)得出/。4尸=90°,由

NP=26°,求出NAOP=64°,由圓周角定理即可求出NC=NO=32°.

【解答】解：如圖，連接AO并延長交。。于點(diǎn)。，連接DB,

與。。相切于點(diǎn)A,

：.ZOAP=90°,

VZP=26°,

ZAOP=90°-ZP=90°-26°=64°，

AZD^-^-ZAOP^—X64°=32°,

22

;點(diǎn)C在端上，且與點(diǎn)A、2不重合,

：.ZC=ZD=32°,