2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：二次函數(shù)及方程、不等式

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之一、二次函數(shù)及方程、不等式

選擇題（共10小題）

1.已知集合A={M?-4X+3W0},B=[-1,1,2,4},則AG3=()

A.{1,2,3)B.{1,2}C.{2,3}D.{-1,1,2}

2.已知集合A={x|x+2>0},B={x\x1-x-2<0},則AG3=()

A.{x|-2<x<l}B.{x\-2<x<2]C.{x\-1<X<1}D.{x\-l<x<2]

Y_2c

3.已知集合4={%|虢<0},B={x|x2-3x<0},貝!JAU3=()

A.{小W2或x23}B.[x\-2<x<3}

C.{x[0<xW2}D.-2或x23}

4.設(shè)集合A={0,1,2,3),2={尤CN|d-5x+420},貝！()

A.{1}B.{1,2}C.{0,1}D.{1,2,3)

%—3y+1<0

若滿足約束條件卜+

5.x,y2y<9則z=2x-y最大值為（

3x+y>7

A.8B.1C.-2D.0

6.設(shè)集合A={-4,-2,0,2,4},8={x|尤2-4龍-5>0},則ACB=()

A.{0,2,4}B.{-4,-2,0}C.{-4,4}D.{-4,-2)

7.已知集合4={尤|/-4x+3W0},B={x|2<x<4},貝i]AC8=()

A.{x|3Wx<4}B.{x|lWxW3}C.{x[2<xW3}D.{x|l?4}

8.在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得〃次測量分別得到劉，X2,…，物共〃個數(shù)據(jù).我

們規(guī)定所測量物理量的“最佳近似值”。應(yīng)該滿足與所有測量數(shù)據(jù)的差的平方和最小.由此規(guī)定，從這

些數(shù)據(jù)得出的“最佳近似值”。應(yīng)是（

A%i招

B.

n

"i=iXi

C.D.-----------

n

%—2<0

表示的平面區(qū)域上運動，貝收=空空取值范圍是（）

9.已知點P(x,y)在不等式組y-l<0

X-4,

,%+2y-2>0

7

A.[1,3]B.[2,3]C.[1,|]D.[2,今

10.在區(qū)域。：—1WX—yWl'內(nèi)隨機取一點尸（尤，y）,則/+/W1的概率為（）

（1<%+y<3

7TTC7rl711

A.1B.1C.---D.---

488884

二.填空題（共5小題）

%+2y—2<0

11.若入、y滿足約束條件％-2y—2WO,則z=x+5y的最大值為.

3%—2y+6>0

12.已知全集。=凡集合A={x|d-3尤+220},則彳=.

13.函數(shù)次x）=7-4"+2次上有一個動點p,定點4（0,-1）,則14Pl的最小值是.

（X>1c

3%—z

14.若P（尤，y）滿足條件,x-y>0,且---=2,則z的最大值為________.

2x—y<4丫

2x+3y—6<0,

3x-y+2>0,設(shè)目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最大值為最小值為優(yōu)，則M+加

{7>0,

三.解答題（共5小題）

16.“跳臺滑雪”是冬奧會中的一個比賽項目，俗稱“勇敢者的游戲”，觀賞性和挑戰(zhàn)性極強.如圖：一個

運動員從起滑門點A出發(fā)，沿著助滑道曲線/（久）=一加一X2（一。<x<0）滑到臺端點8起跳，然后在

空中沿拋物線g（x）=a?-20ax-b（x>0）飛行一段時間后在點C著陸，線段BC的長度稱作運動員

的飛行距離，計入最終成績.已知g（無）="2-20"-6在區(qū)間［0,30］上的最大值為-30,最小值為

-70.

（1）求實數(shù)a,b的值及助滑道曲線A2的長度.

（2）若運動員某次比賽中著陸點C與起滑門點A的高度差為120米，求他的飛行距離（精確到米）.

A(起滑門)

=x,x6R},集合6={W"(x))

=0,xER}.

(1)若p=g=0,寫出相應(yīng)的集合。和序

(2)若集合功={0},求出所有滿足條件的0,q；

(3)若集合6只含有一個元素，求證：p20,“NO.

18.己知函數(shù)/(x)—x2+2ax+2.

(1)當(dāng)a=l時，求函數(shù)/(無)在［-2,引上的值域；

(2)當(dāng)。=-1時，求函數(shù)/(x)在［f,什1］上的最大值.

19.已知集合A是函數(shù)y—lg(20-8x-/)的定義域，集合B是不等式x2-2x+l-a2^0(a>0)的解集,

p：xEA,q：xG.B.

(1)若AC8=0,求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若10是q的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

20.已知關(guān)于x的不等式a/+5x-2?+1<0的解集是M.

(1)若-36M,求實數(shù)a的取值范圍；

7、

(2)若時={%|zn<kOn+^},求實數(shù)。，機的值.

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之一、二次函數(shù)及方程、不等式

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.已知集合4={尤|/-4x+3W0},1,2,4},則ACB=()

A.{1,2,3}B.{1,2}C.[2,3}D.{-1,1,2}

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；交集及其運算.

【專題】集合思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；集合；數(shù)學(xué)運算.

【答案】B

【分析】解不等式求得集合A,進而求得AC8

【解答】解：由尤2-4X+3=(x-1)(x-3)W0,解得1WXW3,

所以A={x|lWxW3},

所以AAB={1,2}.

故選：B.

【點評】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.己知集合4={力'+2>0},2={尤|尤2_%_2<0},則()

A.{x\-2<x<l]B.[x\-2<x<2}C.{x|-1<X<1}D.{x|-l<x<2]

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；交集及其運算.

【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算.

【答案】D

【分析】先求出集合A,B,然后結(jié)合集合的交集運算即可求解.

【解答】解：由題意得，A={x\x>-2},B={x\-l<x<2},

所以AA8={x|-l<x<2}.

故選：D.

【點評】本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知集合4={x|第W0},8={尤k2-3x<0},則AUB=()

A.{x|xW2或無》3}B.{x\-2<x<3)

C.{x[0<xW2}D.{加W-2或尤N3}

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；并集及其運算；其他不等式的解法.

【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算.

【答案】B

【分析】先求出集合A，然后結(jié)合集合并集運算即可求解.

【解答】解：因為集合4={刈曾W0}={x|-2<xW2},8=何7-3尤<0}={尤［0<》<3},

則AUB={R-2<x<3}.

故選：B.

【點評】本題主要考查了集合并集運算，屬于基礎(chǔ)題.

4.設(shè)集合A={0,1,2,3},BuDeNk2-5尤+420},則AC8=()

A.{1}B.{1,2}C.{0,1}D.{1,2,3}

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；交集及其運算.

【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算.

【答案】C

【分析】利用交集的定義，將兩個集合的條件聯(lián)立即可得到結(jié)果.

【解答］解:A={0,1,2,3},8={x€N|/-5尤+420}={x€N|(x-1)(x-4)》0}={x€N|xWl或x

2},

所以AC8={0,1}.

故選：C.

【點評】本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題.

x—3y+140

5.若羽y滿足約束條件卜+2y<9,則z=2x-y最大值為()

.3%+y>7

A.8B.1C.-2D.0

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】A

【分析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象，確定出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入計算，即可求解.

%—3y+1<0

【解答】解：化簡約束條件為+2y<9所表示的平面區(qū)域，如圖所示，

.3%+y>7

由目標(biāo)函數(shù)z=2%-?可得化為y=2x-z,

所以當(dāng)直線y=2x-z在y上的截距最小值時，z最大，

即直線y=2x-z過點A時，z最大，

又由廣；?+巳=°,解得尤=5,y=2,即A(5,2),可得z“=8.

故選：A.

【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.設(shè)集合A={-4,-2,0,2,4},B={x|?-4.r-5>0},則()

A.[0,2,4}B.{-4,-2,0}C.{-4,4}D.{-4,-2}

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；交集及其運算.

【專題】集合思想；定義法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】D

【分析】解不等式求出集合3,根據(jù)交集的定義求出AC2.

【解答】解：集合A={-4,-2,0,2,4},B={M?-4x-5>0}={x[x<-1或無>5},

所以ACB={-4,-2).

故選：D.

【點評】本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎(chǔ)題.

7.已知集合A={M？-4X+3W0},B={X|2<X<4},則()

A.{x|3W尤<4}B.{x|lWxW3}C.{x[2<xW3}D.{x|lWx<4}

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；交集及其運算.

【專題】集合思想；定義法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】C

【分析】化簡集合4根據(jù)交集的定義計算即可.

【解答】解：因為集合4=國7-4了+3忘0}=兇1?尤忘3},2={尤|2<尤<4},

所以AA3={尤12c尤W3}.

故選：C.

【點評】本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎(chǔ)題.

8.在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得W次測量分別得到XI,X2,…，X"共”個數(shù)據(jù).我

們規(guī)定所測量物理量的“最佳近似值”。應(yīng)該滿足與所有測量數(shù)據(jù)的差的平方和最小.由此規(guī)定，從這

些數(shù)據(jù)得出的“最佳近似值”。應(yīng)是()

9九1

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】A

2222xa

【分析】/(a)=(a-%i)+(a—x2)T------I-(a—xn)=na-2aL+%2T-----.n)+(就4-----卜賭)，

看成關(guān)于。的二次函數(shù)，即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意得：/(a)=(a-％力2+Q-％2)2+…+Q-％九/=n十一2(%i+型+…+

xn)a+(好4----F

由于〃>0,所以/(a)是關(guān)于。的二次函數(shù)，

因此當(dāng)a=4+X2：“+Xn即0=吟速時，f(a)取得最小值.

故選：A.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

x—240

9.已知點P(x,y)在不等式組y-l<0表示的平面區(qū)域上運動，貝吻=中六取值范圍是()

+2y-2>0

57

A.[1,3]B.[2,3]C.[L|]D.[2,引

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】D

【分析】先畫出不等式組表示的可行域，再將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為z=1+力，根據(jù)斜率的幾何意義，結(jié)

合圖像即可求得卜=m3的取值范圍，由此得解.

結(jié)合圖像可知，kQAWkWkQB,

聯(lián)立《；；二°2=0,解得得A（0,1），故%4=W=1,

聯(lián)立M短02=0,解得｛；屋，得B（2,0）,故如

所以貝!J2W1+汽】，故2Wz］,

所以z=的取值范圍為［2,

故選：D.

【點評】本題主要考查簡單線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力，屬于中檔題.

10.在區(qū)域。：［-lWK—yWL內(nèi)隨機取一點尸（尤，y）,則/+y2（i的概率為（）

［1<x+y<3

71TC7rlTl1

A.1-^B.1C.---D.---

488884

【考點】簡單線性規(guī)劃；幾何概型.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；概率與統(tǒng)計；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【答案】D

【分析】畫出約束條件的可行域，求解滿足條件的面積，利用幾何概型，轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：在區(qū)域［-1三久—ywi’

區(qū)域。為正方形ABC。及其內(nèi)部（如圖所示），正方形的邊長為：V2.

x2+y2^l表示圓x2+y2=l及其內(nèi)部在正方形A8C。內(nèi)的部分，

n_l1

由幾何概型概率可知，所求概率。=守=卷-

Zo4,

故選：D.

y

汁

【點評】本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，幾何概型的求法，是基礎(chǔ)題.

二.填空題（共5小題）

（X+2y-2＜0?

11.若x、y滿足約束條件％-2y-2＜。,則z=x+5y的最大值為二.

.3%—2y+6之02

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【專題】對應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

13

【答案】萬.

【分析】畫出可行域，將z=x+5y變形為＞=-1+5,平移直線可得到點A處取得最大值，計算點A的

坐標(biāo)，代入求解即可.

【解答】解：作出可行域如圖所示：

將z=x+5y變形為產(chǎn)Y+f，

在圖中作出過原點的直線產(chǎn)Y，

可知當(dāng)直線平移到點A處時，z="5y取最大值,

x=—1

X+2y-2=0,0

所以.3比一2y+6=0'付,

y=

2

即A(—1/引,

313

所以zmax=-1+5X,=

13

故答案為：-

【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，作出可行域是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

12.已知全集。=兄集合A={尤以2-3尤+220},則彳=(1,2)

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；補集及其運算.

【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算.

【答案】(1,2).

【分析】先求出集合4然后結(jié)合集合的補集運算即可求解.

【解答】解：因為U=R,集合A={x*-3x+220}={小22或xWl},

則Z=(1,2).

故答案為：(1,2).

【點評】本題主要考查了集合的補集運算，屬于基礎(chǔ)題.

13.函數(shù)/(x)=/-4ax+2a2上有一個動點p,定點A(0,-1),則|AP|的最小值是萬

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】y.

【分析】設(shè)點P的坐標(biāo)，求出|AP|的表達(dá)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得|AP|的最小值.

【解答】解：設(shè)尸(x,y),可得y=/-4QX+2〃2,

可得|AP|2=/+(y+1)2=/+(/_4〃X+2〃2+1)2=^+[2(o-%)2+1-x2]

2—+(1-X2)2=%4_/+1=(x2--)2+->

所以|AP|N堂.

V3

故|AP|的最小值為三.

故答案為：手.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.若尸(x,y)滿足條件Jx-y20,且----=2,則z的最大值為7.

(2%—y<4V

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】7.

【分析】由約束條件作出可行域，把目標(biāo)函數(shù)變形，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把

最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，

由----=2,得y=5久一亍，

y22

由圖可知，當(dāng)直線y=|久一★過A時Z有最大值，等于3X1-2X(-2)=7.

故答案為：7.

【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

2%+3y—6<0/

3x-y+2>0,設(shè)目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最大值為M,最小值為相，則

(y>0,

14

~3

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，

由圖可知，當(dāng)直線z=2r+3y過A時，z有最小值為機=-

當(dāng)直線z=2x+3y與直線2x+3y-6=0重合時，z有最大值為M=6,

.14

M+m=百.

14

故答案為：—.

【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

三.解答題（共5小題）

16.“跳臺滑雪”是冬奧會中的一個比賽項目，俗稱“勇敢者的游戲”，觀賞性和挑戰(zhàn)性極強.如圖：一個

運動員從起滑門點A出發(fā)，沿著助滑道曲線/（久）=一加一X2（一。<x<0）滑到臺端點B起跳，然后在

空中沿拋物線g（x）=a?-20ax-b（x>0）飛行一段時間后在點C著陸，線段BC的長度稱作運動員

的飛行距離，計入最終成績.已知g（無）=辦2-20"-6在區(qū)間［0,30］上的最大值為-30,最小值為

-70.

（1）求實數(shù)a,b的值及助滑道曲線的長度.

（2）若運動員某次比賽中著陸點C與起滑門點A的高度差為120米，求他的飛行距離（精確到米）.

A(起滑門)

【專題】計算題；整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】⑴a=-點,b=40,助滑道曲線A3的長度為207t米；

(2)89米.

【分析】(1)令＞=/(無)，即可得到了+/=必，(-b^x^o,-bWyWO),即可得到了(x)的幾何意

義，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到g(10)=-30,g(30)=-70,即可求出a、b的值，從而求出曲線

AB的長度；

(2)由(1)可得g(無)的解析式，依題意可得yc=-120,代入解析式中解出x,即可求出C點坐標(biāo)，

根據(jù)兩點間的距離公式計算可得.

【解答】解：(1)因為f(x)=-⑷2—/(-bWxW0),令y=/(x),則/+y2=62,(一放尤＜0,-b

WyWO),

y_____1

所以/(%)=—Zb2—%2(-b4％40)表示以(0,0)為圓心，半徑r=Z?的一圓弧，

4

因為g(x)=ax1-20ax-b(x＞0)由圖象可知函數(shù)開口向下，

所以當(dāng)x=10時g(x)max=g(10)=-100〃-b=-30,g(30)=300。-b=-70,

解得卜=G,所以而=1x27rx40=20TT,

U=404

即。=一白，b=40,助滑道曲線AB的長度為20Tt米；

(2)依題意可得A(-40,0),B(0,-40),yc=-120,

由(1)可得g(%)=-yg+2%—40(%>0),

令g(x)=-120,即一擊％2+2%-40=-120,

解得％l=40,X2=~20(舍去)，

所以C(40,-120),所以|BC|=7402+(-40+120)2=40V5?89,

即該運動員飛行距離約為89米.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

17.設(shè)函數(shù)/(x)=j^+px+q(p,qCR),定義集合。={W>(/(x))=x,xGR),集合回=(f(x))

=0,xER}.

(1)若0=q=O,寫出相應(yīng)的集合。和助

(2)若集合Q={0},求出所有滿足條件的p,q；

(3)若集合6只含有一個元素，求證：p20,

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

【專題】壓軸題；方程思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理.

【答案】(1)D/={Of1},母={0}.

(2)p=l,q=0.

(3)證明見解析.

【分析】(1)由￥=%、d=o解得X,可得Ef；

(2)由/(/(%))-x=0得x2+(p+1)x+p+q+l=0或/+(p-1)x+q=0,然后由A1=(p+1)2-4

2

(p+q+1),A2=(p-1)-4^>Ai,方程/"(x))7=0只有一個實數(shù)解0,得A2=0,Ai<0,

轉(zhuǎn)化為了+(p-1)x+q=0有唯一實數(shù)解0,可得答案；

(3)由條件，/(/(x))=0有唯一解，得/G)=0有解，分于(X)=0有唯一解猶、/(x)=0有兩

個解％1,X2(X1<X2),則/(X)=(X-Xl)(X-X2),且兩個方程/(%)=X\,f(X)=X2總共只有一

個解，結(jié)合/(X)圖像可知/(X)=%2有唯一解，所以X2<0,Xl<0,結(jié)合/(X)的圖像和實數(shù)解的個

數(shù)可得答案.

【解答】解：f(x)=/,f(/(x))=/,由/=x解得冗=0或冗=1,

由d=o解得％=0,所以功={0,1},Ef={0}.

(2)由/(/(x))-x=f(/(x))-f(x)+f(x)-x

=/(x)+pf(x)-x2-px+f(x)-x=(/(x)+x+p+l)(/(x)-x)

=(/+(p+1)x+p+q+1)(/+(p-1)x+q)=0,

得/+(p+1)x+p+q+l=0或f+(p-1)x+q=0,

A1=(p+1)2-4(p+q+1)=(p-1)之一例-4,

△2=(p-1)2-4q=(p-1)2-4q>△i,

而方程/(7(x))-1=0只有一個實數(shù)解0,

所以八2=0,△1<0,即只需/+(p-1)x+q=0有唯一實數(shù)解0,所以p=l,q=0.

(3)由條件，/(/(%))=0有唯一解，所以/(x)=0有解，

①若/(%)=0有唯一解X0,則/(x)=(X-X0)2,且/(%)=%0有唯一解，

結(jié)合/(x)圖像可知xo=O,所以/(%)=/,所以p=q=0.

②若/(X)=0有兩個解％1,X2(X1<X2),則/(x)=(X-Xl)(X-X2),且兩個方程/(X)=X1,f

(x)=X2總共只有一個解，結(jié)合/(X)圖像可知/(%)=X2有唯一解，所以X2<0,XIV0,

則/(x)=(X-Xl)(X-X2),且兩個方程/(x)=X1,f(x)=%2總共只有一個解，

結(jié)合/(x)圖像可知/(%)=12有唯一解，所以X2〈O,<0,所以g=xix2>0,且/(x)的對稱軸x=—3

<0,

所以p>0,所以p>0,q>0.

綜上，p20,

【點評】本題主題考查了二次函數(shù)與二次方程之間的關(guān)系的相互轉(zhuǎn)換，方程根與系數(shù)的應(yīng)用，考查了系

數(shù)對新定義的理解能力及計算能力.

18.已知函數(shù)/(x)=x2+2ax+2.

(1)當(dāng)4=1時，求函數(shù)/(%)在［-2,3］上的值域；

(2)當(dāng)〃=-1時，求函數(shù)/(x)在口什1］上的最大值.

【考點】二次函數(shù)的值域；二次函數(shù)的最值.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

(t-I)2+L

【答案】(1)值域是［1，17］;(2)/(X)max=\14

F+l,t>2

【分析】(1)函數(shù)在［-2,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,3］上單調(diào)遞增，可得函數(shù)/(X)在區(qū)間［-2,3)

上的值域；

(2)當(dāng)a=-1時，/(x)=/-2x+2=(x-1)2+1,分類討論，即可求函數(shù)/(x)在區(qū)間［3f+1］上

的最大值.

【解答】解：(1)當(dāng)4=1時，f(X)=/+2尤+2=(x+1)2+1,其圖象對稱軸為直線X=-1;

所以函數(shù)/(X)在［-2,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,3］上單調(diào)遞增，

?'?X=~Iff(%)min-f(11)=1,冗=3,f(%)max=f(3)=17,

???函數(shù)/(%)在區(qū)間［-2,3)上的值域是［1,17］；

(2)當(dāng)a=-1時，/(x)=J?-2x+2=(x-1)2+1,

當(dāng)/<義，函數(shù)/(x)在區(qū)間［3方+1］上的最大值/(/)=(L1)2+1；

當(dāng)行右函數(shù)/(無)在區(qū)間,，汁1］上的最大值/G+l)=P+1；

((t—1)2+1,t<5

，函數(shù)/(X)在區(qū)間［3f+1］上的最大值/(x)《12.

(t2+nt>|

【點評】本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)

思想，屬于中檔題.

19.已知集合A是函數(shù)y=lg(20-8x-x2)的定義域，集合B是不等式W-2x+l-(〃>0)的解集，

p：xGA,q：xEB.

(1)若AC8=0,求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若「p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；函數(shù)的定義域及其求法；充分條件與必要條件.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；簡易邏輯.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)分別求函數(shù)y=/g(20-8%-?)的定義域和不等式2x+l-a2》。(^>0)的解集化簡

集合A,由ACB=0得到區(qū)間端點值之間的關(guān)系，解不等式組得到a的取值范圍；

(2)求出「p對應(yīng)的無的取值范圍，由「p是q的充分不必要條件得到對應(yīng)集合之間的關(guān)系，由區(qū)間端

點值的關(guān)系列不等式組求解a的范圍.

【解答】解：(1)由條件,得4=兇-10cx<2｝,“｛小》l+a或啟1-。｝

f1+a>2

若AC8=0,則必須滿足11一aW-10

[<2>0

所以。的取值范圍為[11,+°°)；

(2)易得「p：尤22或xW-10,

是g的充分不必要條件，

二｛小》2或尤W-10｝是B=｛x|尤21+a或xWl-a｝的真子集,

'l+aW2

則?1—a2-10,，?！葱?

a的取值范圍為(0,1].

【點評】本題考查的知識點是充要條件的定義，正確理解充要條件的定義，是解答的關(guān)鍵.

20.已知關(guān)于x的不等式以2+5X-2a+l<0的解集是M.

(1)若-36M,求實數(shù)a的取值范圍；

7

(2)若"=Vm+引，求實數(shù)a,m的值.

【考點】由一元二次不等式的解求參數(shù).

【專題】函數(shù)思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】(1)[a\a<2｝;

(2)a=2,m-3.

【分析】(1)由題意得，-15-2a+l<0,求出。的取值范圍即可；

(2)由題意可知，方程辦-2a+l=0的兩個根為x2-m+-^,且a>0,再結(jié)合韋達(dá)定理求

解.

【解答】解：（1）由題意得，9〃-15-2〃+1<0,

解得a<2,

故a的范圍為｛a|〃V2｝；

（2）由題意可知，方程-2〃+1=0的兩個根為xi=m,X2=m+1,且a>0,

（,5

由韋達(dá)定理可得，<+%2=2--心-1,

—ZQ-rl

所以（X1-X2）2=（X1+X2）2-4X1X2=（―-）2-4X—（-）2,

CLCL2

解得。=2或-瑞（舍去），

75

所以m+m+—2?

解得m=-3.

【點評】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

考點卡片

1.并集及其運算

【知識點的認(rèn)識】

由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作AUB.

符號語言：或無62}.

AU3實際理解為：①％僅是A中元素；②％僅是8中的元素；③x是A且是8中的元素.

運算形狀：

?AUB=BUA.?AU0=A.?AUA=A.@AUB2A,@AUB=B^AQB.@AUB=0,兩個

集合都是空集.⑦AU(CuA)=U.⑧Cu(AUB)=(CUA)n(CUB).

【解題方法點撥】解答并集問題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混

用；注意并集中元素的互異性.不能重復(fù).

【命題方向】掌握并集的表示法，會求兩個集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)

的定義域，值域聯(lián)合命題.

2.交集及其運算

【知識點的認(rèn)識】

由所有屬于集合A且屬于集合2的元素組成的集合叫做A與2的交集，記作ACR

符號語言：AHB={X\XGA,且XCB}.

ACS實際理解為：尤是A且是8中的相同的所有元素.

當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集.

運算形狀：

?AHB=BnA.②AC0=0.?AAA=A.@AHBQA,ADBQB.@AHB=A^AQB.@AAj?=0,兩個

集合沒有相同元素.⑦AC(CuA)=0.⑧Cu(AAB)=(CuA)U(CuB).

【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖.

【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集.

命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)

合命題.

3.補集及其運算

【知識點的認(rèn)識】

一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作

U.（通常把給定的集合作為全集）.

對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡

稱為集合A的補集，記作CuA,即CuA=[x\xeU,且x^A].其圖形表示如圖所示的Venn

【解題方法點撥】

常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補集常用于對立事件，否命題，反證法.

【命題方向】

通常情況下以小題出現(xiàn)，高考中直接求解補集的選擇題，有時出現(xiàn)在簡易邏輯中，也可以與函數(shù)的定義域、

值域，不等式的解集相結(jié)合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn).

4.充分條件與必要條件

【知識點的認(rèn)識】

1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時，可表示為p今q,稱p為q的充分條件，q是p的必要條件.事實上，

與“p今q”等價的逆否命題是“今「p”.它的意義是：若q不成立，則p一定不成立.這就是說，q對

于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件.例如：p：x>2；q：x>0.顯然xCp,則xCq.等價于尤幽，

則xCp一定成立.

2、充要條件：如果既有“〃今又有“q=p”,則稱條件p是g成立的充要條件，或稱條件g是p成立的

充要條件，記作“poq”.p與q互為充要條件.

【解題方法點撥】

充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一

不可.證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)

生答題時往往混淆二者的關(guān)系.判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判斷充要條件的方法是：

①若p=q為真命題且q0P為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；

②若pnq為假命題且qnp為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；

③若pnq為真命題且qnp為真命題，則命題p是命題q的充要條件；

④若p=q為假命題且q=p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件.

⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q

的關(guān)系.

【命題方向】

充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)

容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣.

5.其他不等式的解法

【知識點的認(rèn)識】

指、對數(shù)不等式的解法其實最主要的就是兩點，第一點是判斷指、對數(shù)的單調(diào)性，第二點就是學(xué)會指數(shù)和

指數(shù)，對數(shù)和對數(shù)之間的運算，下面以例題為講解.

【解題方法點撥】

例1：已知函數(shù)/(無)=/一1(e是自然對數(shù)的底數(shù)).證明：對任意的實數(shù)x,不等式/(x)》尤恒成立.

解：(/)設(shè)/?(尤)=/(x)-x=ex~1-x

(尤)=，1-1,

當(dāng)x>l時，li(x)>0,h(x)為增，

當(dāng)x<l時，h(x)<0,h(x)為減，

當(dāng)x=l時，h(x)取最小值//(1)=0.

：.h(x)(1)=0,即/'(x)

這里面是一個綜合題，解題的思路主要還是判斷函數(shù)的單調(diào)性，尤其是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查的重點其

實是大家的計算能力.

例2：已知函數(shù)/(x)=logfl(x-1),g(x)=loga(3-x)(〃〉0且〃W1),利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討

論不等式/(x)2g(x)中工的取值范圍.

解：?.?不等式/(x)2g(x),即loga(X-1)Nloga(3-X),

(X—1—x

???當(dāng)〃>1時，有，解得2<x<3.

[1<%<3

X—1V3-x

，解得1cx<2.

{1Vx<3

綜上可得，當(dāng)。>1時，不等式/(尤)2g(x)中x的取值范圍為(2,3)；

當(dāng)l>a>0時，不等式/(%)(無)中x的取值范圍為(1,2).

這個題考查的就是對數(shù)函數(shù)不等式的求解，可以看出主要還是求單調(diào)性，當(dāng)然也可以右邊移到左邊，然后

變成一個對數(shù)函數(shù)來求解也可以.

【命題方向】

本考點其實主要是學(xué)會判斷各函數(shù)的單調(diào)性，然后重點考察學(xué)生的運算能力，也是一個比較重要的考點，

希望大家好好學(xué)習(xí).

6.二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象

【知識點的認(rèn)識】

二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個自變量，因變量隨著自變

量的變化而變化.它的一般表達(dá)式為：y^a^+bx+c(aWO)

【解題方法點撥】

二次函數(shù)是一個很重要的知識點，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有

可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對稱性、最值、幾個根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物

線的焦點、準(zhǔn)線和曲線的平移.

這里面略談一下他的一些性質(zhì).

h

①開口、對稱軸、最值與X軸交點個數(shù)，當(dāng)40(<0)時，圖象開口向上(向下)；對稱軸x=-六；

最值為：/(—/);判別式△=廬-4a，當(dāng)△=()時，函數(shù)與無軸只有一個交點；△>?時，與x軸有兩

個交點；當(dāng)時無交點.

②根與系數(shù)的關(guān)系.若△'(),且xi、尤2為方程y=a/+bx+c的兩根，則有xi+x2=—，，xi?x2=泉

③二次函數(shù)其實也就是拋物線，所以/=2py的焦點為(0,與,準(zhǔn)線方程為>=-與含義為拋物線

上的點到到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離.

④平移：當(dāng)y=a(x+6)2+c向右平移一個單位時，函數(shù)變成y=a(x-1+Z?)2+c；

【命題方向】

熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)，會畫出拋物線的準(zhǔn)確形狀，特別是注意拋物線焦點和準(zhǔn)線的關(guān)系，拋物線最值得

取得，這也是一個常考點.

7.二次函數(shù)的值域

二次函數(shù)的值域

8.二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)的最值

9.一元二次不等式及其應(yīng)用

【知識點的認(rèn)識】

含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是ajr+bx+cX)

或ax1+bx+c<Q(°不等于0)其中以?+加什。是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式.

特征

當(dāng)△=/?2-4ac>0時，

一元二次方程af+bx+cu。有兩個實根，那么可寫成a(x-xi)(尤-尤2)

當(dāng)△=/-4ac=0時，

一元二次方程a7+fcr+cu。僅有一個實根，那么以2+區(qū)+<:可寫成a(x-xi)~.

當(dāng)△=廬-4ac<0時.

一元二次方程a^+bx+c=0沒有實根，那么cur+bx+c與x軸沒有交點.

【解題方法點撥】

例1：一元二次不等式，<x+6的解集為.

解：原不等式可變形為(x-3)(x+2)<0

所以，-2<x<3

故答案為：(-2,3).

這個題的特點是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項寫成"2+bx+c<0的形式；然后應(yīng)用了特征

當(dāng)中的第一條，把它寫成兩個一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解.

【命題方向】

①一元二次不等式恒成立問題：

一元二次不等式a^+bx+cX）的解集是R的等價條件是：a＞Q且△＜（）；一元二次不等式ax2+Z?x+c＜0的

解集是R的等價條件是：。＜0且△＜（）.

②分式不等式問題：

I，＞0=/（尤），g（%）＞0；

。（久）

~~~（x）?g（x）＜0；

。（無）

-9（尤）2o

g⑶IgO）豐o;

f（x）V』「⑺?9。）＜0

。㈤h（x）豐o

10.由一元二次不等式的解求參數(shù)

由一元二次不等式的解求參數(shù)

11.簡單線性規(guī)劃

【知識點的認(rèn)識】

線性規(guī)劃主要用于解決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題，它是一種重要的數(shù)學(xué)模型.簡

單的線性規(guī)劃指的是目標(biāo)函數(shù)含兩個自變量的線性規(guī)劃,其最優(yōu)解可以用數(shù)形結(jié)合方法求出.我們高中階

段接觸的主要是由三個二元一次不等式組限制的可行域，然后在這個可行域上面求某函數(shù)的最值或者是斜

率的最值.

【解題方法點撥】

1.畫出平面區(qū)域.避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化.

ZZ

2